Глава 1. ПОНЯТИЕ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ

Государственное бюджетное образовательное учреждение г. Москвы
«Школа №887»
____________________________________________________________________
Электрические цепи и цепные дроби
Учебно-исследовательская работа по математике
Авторы: Малкова Дарья Денисовна,
Подушко Ксения Ангелисовна
8 класс
Научный руководитель: Горшенин Константин Петрович,
учитель математики,
кандидат физико-математических наук
Москва
2015
2
Аннотация
В работе с помощью аппарата цепных дробей исследуется вопрос о
полноте ряда сопротивлений участков электрической цепи, построенных по
принципу лестничных схем из ограниченного количества одинаковых
резисторов. Показано, что можно построить ряд сопротивлений цепи
резисторов с шагом, равным минимально возможному сопротивлению цепи из
данных резисторов. Доказаны теоремы о ранее неизвестных свойствах цепных
дробей, касающиеся сумм элементов цепной дроби.
25 стр., 6 рис., 2 табл., библиография 8 наим.
3
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ ........................................................................................................................................ 4
Глава 1. ПОНЯТИЕ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ ........................................................................................ 6
1.1. Определение цепных дробей ................................................................................................. 6
1.2. Примеры разложений в цепную дробь ................................................................................. 7
1.3. Выводы .................................................................................................................................... 8
Глава 2. ЦЕПИ СОПРОТИВЛЕНИЙ ............................................................................................... 9
2.1. Основные понятия .................................................................................................................. 9
2.2. Проектирование цепей сопротивлений с помощью цепных дробей ............................... 10
2.3. Постановка задачи о полноте ряда сопротивлений........................................................... 12
2.4. Выводы .................................................................................................................................. 13
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ ..................................................... 14
3.1. Разложения некоторых обыкновенных дробей в цепные ................................................. 14
3.2. Теоремы о суммах элементов разложения произвольной обыкновенной дроби ........... 18
3.3. Теоремы о полных суммах для правильных дробей ......................................................... 21
3.4. Выводы .................................................................................................................................. 23
ЗАКЛЮЧЕНИЕ................................................................................................................................ 24
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ............................................................................................................... 25
4
ВВЕДЕНИЕ
Цепные дроби не изучаются в школьном курсе математики. Между тем
некоторые их приложения интересны и доступны для понимания учащимся
основной школы. Для знакомства с этим понятием учащимся можно
рекомендовать книги [3,4,8]. Классическое изложение теории цепных дробей,
рассчитанное на читателя, знакомого с высшей математикой, содержится в [7].
Теория цепных дробей включается в курсы теории чисел [2]. О применении
цепных дробей в различных разделах современной математики можно прочесть
в [1].
Одним из примеров практического применения цепных дробей является
расчет так называемых лестничных (цепных) схем в электротехнике [6]. В [3]
показано, что именно к такой схеме приводит необходимость экономичного
построения цепи с заданным значением сопротивления из одинаковых
резисторов. В нашей работе с помощью аппарата цепных дробей исследуется
вопрос о полноте ряда сопротивлений участков цепи, построенных по
принципу лестничных схем из ограниченного количества одинаковых
резисторов.
Актуальность и практическая значимость исследования. Свойства
цепных дробей, на которых сосредоточено настоящее исследование, ранее не
изучались. Поэтому они являются неотъемлемой частью, недостающими
деталями общей картины, возможно, имеющими значение не только для
электротехнических задач. Результаты нашего исследования, основанные на
применении этих свойств к упомянутой задаче из [3], переводят данную задачу
из разряда модельных, имеющих чисто методическое значение, в разряд
прикладных, имеющих уже, пусть и ограниченное, но практическое значение.
Объект исследования: цепные дроби.
Предмет исследования: суммы элементов цепной дроби.
5
Цель исследования: изучить вопрос о полноте ряда сопротивлений
участков цепи, построенных по принципу лестничных схем из ограниченного
количества одинаковых резисторов.
Гипотеза
исследования:
с
помощью
ограниченного
количества
резисторов с одинаковым сопротивлением можно построить ряд сопротивлений
цепи резисторов с шагом, равным минимально возможному сопротивлению
цепи из данных резисторов.
Задачи исследования:
 Изучить
необходимые
сведения
из
теории
цепных
дробей
и
электротехники.
 Сформулировать постановку задачи о полноте ряда сопротивлений в
терминах теории цепных дробей.
 Найти решение этой задачи аналитическими и компьютерными
методами.
 Оформить результаты исследования в печатном виде и в виде
компьютерной презентации.
Методы исследования: поиск, отбор и анализ содержания источников
информации; анализ, синтез, сравнение, классификация, доказательство;
компьютерный эксперимент.
Продукт работы: теоремы о свойствах сумм элементов цепной дроби.
6
Глава 1. ПОНЯТИЕ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
1.1. Определение цепных дробей
Канонической цепной (или непрерывной) дробью называется выражение
вида
a q 0 
1
q1 
1
(1.1)
1
q2
...
Числа q i называются элементами цепной дроби. Используется компактная
запись: a  [q 0 ;q1,q 2 ,...].
Если оборвать запись [q 0 ;q1 ,q 2 ,...] на элементе q k , то останется дробь
[q 0 ;q1,q 2 ,...,q k ] . При обращении ее в обыкновенную дробь получится
выражение
Pk
– k-я подходящая дробь (или подходящая дробь порядка k) для
Qk
исходной цепной дроби. Pk и Qk находятся по рекуррентным формулам
P0  q0 ; Q0  1
P1  q1q0  1; Q1  q1
(1.2)
Pk 1  qk 1Pk  Pk 1 ; Qk 1  qk 1Qk  Qk 1 ; k  1
Выражение вида
a q 0 
b1
q1 
называется обобщенной цепной дробью.
b2
q2
b3
...
7
1.2. Примеры разложений в цепную дробь
Алгоритм разложения в цепную дробь тесно связан с алгоритмом Евклида
нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел. Если
a  b , то алгоритм Евклида описывается цепочкой равенств
a  bq0  r1
b  r1q1  r2
r1  r2 q2  r3
(1.3)
.................
rn  2  rn 1qn 1  rn
rn 1  rn qn
Здесь rn  НОД (a; b) , qn  2 и
a  b  r1  r2  ...  rn  1 , rn 1  0
(1.4)
Числа q i – неполные частные – имеют тот же смысл, что и в формуле (1.1). Т.к.
остатки r i убывают с ростом n, то любое рациональное число представляется
конечной цепной дробью:
a
 [q 0 ;q1,q 2 ,...,q n ]
b
Пример разложения рационального числа в цепную дробь:
40
9
1
1
1
 1  1
 1
 1
 [1;3,2,4]
31
4
1
31
31
3
3
1
9
9
2
4
По формулам (1.2) можно найти подходящие дроби для исходного числа
(таблица 1), при этом n-я подходящая дробь совпадает с исходной
( Pn  a; Qn  b ):
8
k
0
1
2
3
qk
1
3
2
4
Pk
Qk
1
4
3
9
7
40
31
Таблица 1. Последовательность подходящих дробей
Иррациональные числа представляются бесконечными цепными дробями.
В XVIII в. было доказано, что квадратичные иррациональности представляются
периодическими цепными дробями. Рассмотрим пример:
1
1
2
2
 1
 1
 1

1
2
3 1
3 1
1
1
( 3  1)
3 1
2
2
1
1
 1
 1
 1
 [1;1,2,1,2,...]
2
1
1
2
1
1
1
3 1
3 1
2
1
1
3 1
3  1  ( 3  1)  1 
Известны разложения в цепные дроби различных замечательных чисел:

5 1
 [1;1,1,1,...] (число Фидия)
2
  [3;7,15,292,1,1,1,2,...],
e  [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,...]
1.3. Выводы
Аппарат цепных дробей успешно применяется в различных задачах, в
которых необходимо выполнять приближение точных значений различных
величин рациональными числами. Именно с этим связано большинство
известных результатов, касающихся свойств цепных дробей.
9
Глава 2. ЦЕПИ СОПРОТИВЛЕНИЙ
2.1. Основные понятия
Сопротивление (резистор) – элемент электрической цепи с линейной
вольт-амперной характеристикой, известной как закон Ома:
U  IR ,
где U – напряжение на сопротивлении, I – сила тока, протекающего через
сопротивление. Коэффициент пропорциональности R называется значением
сопротивления или просто сопротивлением.
При
последовательном соединении
резисторов с
сопротивлениями
R1 , R2 , ..., Rn ток, протекающий через них, одинаков, а напряжение на участке
цепи складывается из напряжений на резисторах. В соответствии с законом
Ома это означает, что сопротивление участка цепи R равно сумме
сопротивлений:
R  R1  R2  ...  Rn .
(2.1)
При параллельном соединении резисторов ток, протекающий через
участок цепи, складывается из токов, протекающих через резисторы, а
напряжение на каждом из них одинаково. Поэтому
1 1
1
1
.
 
 ... 
R R1 R2
Rn
На
рис.1
приведены
простейшие
примеры
(2.2)
последовательного
и
параллельного соединения сопротивлений. Формулы (2.1) и (2.2) для этих
случаев показывают, что при последовательном подключении резистора R2
10
R1
R1
R2
R2
Рис.1. Последовательное и параллельное соединение сопротивлений.
к участку цепи с сопротивлением R1 сопротивление участка цепи возрастает, а
при параллельном подключении того же резистора сопротивление участка цепи
уменьшается. Таким образом, при наличии n одинаковых резисторов R0
набольшее возможное значение сопротивления участка цепи достигается при
последовательном соединении всех резисторов, а наименьшее возможное – при
параллельном соединении всех резисторов:
Rmin 
R0
, Rmax  nR0 .
n
2.2. Проектирование цепей сопротивлений с помощью цепных дробей
Пусть из одинаковых резисторов
сопротивлением
R0
необходимо собрать цепь с
19
R0 . Очевидно, эту цепь можно получить последовательным
7
соединением двух резисторов R0 и блока с сопротивлением
5
R0 (блок 1). Этот
7
блок, в свою очередь, можно получить путем последовательного соединения
пяти блоков сопротивлением
R0
каждый. При этом для создания блока 1 будет
7
использовано 35 резисторов R0 .
Попытаемся сконструировать блок 1 более экономичным способом. Для
этого заметим, что
11
5
1
1
R0 

7
1
2
7

5R0 R0 5R0
Таким образом, блок 1 можно построить путем параллельного соединения
резистора R0 и блока с сопротивлением
5
R0 (блок 2). Поскольку
2
R
5
R0  2 R0  0 ,
2
2
то блок 2 можно получить последовательным соединением двух резисторов R0
и блока с сопротивлением
R0
, состоящего из двух параллельно соединенных
2
резисторов R0 . При этом для создания блока 1 будет использовано всего 5
резисторов R0 .
Алгоритм построения участка цепи с требуемым сопротивлением
аналогичен разложению обыкновенной дроби
19
R0
7
19
в цепную дробь:
7
5R
19
1
1
1
R0  2 R0  0  2 R0 
 2 R0 
 2 R0 

7
1
2
1
1
7
7


5 R0
R0 5 R0
R0 5 R0
2






1
1


 2 R0 
 R0 2 

1
1
1 

1


R
1
R0

2 
2 R0  0

2
2
Окончательный вид спроектированного участка цепи изображен на рис.2,3.
Отметим, что количество резисторов на этом участке равно сумме элементов
12
Рис.2. Участок цепи, спроектированный с помощью разложения в цепную дробь.
Рис.3. Тот же участок в виде лестничной схемы.
соответствующей цепной дроби.
2.3. Постановка задачи о полноте ряда сопротивлений
Известно, что любое рациональное число можно единственным образом
разложить в конечную цепную дробь. Поэтому с помощью алгоритма,
рассмотренного в п.2.2, из одинаковых резисторов R0 можно собрать цепь с
сопротивлением
a
a
– любая обыкновенная дробь. Этот алгоритм
R0 , где
b
b
является достаточно экономичным. Тем не менее, если количество резисторов
R0 ограничено, то возникает вопрос о возможных значениях
a
R0 , которые
b
можно получить с помощью данного набора резисторов. Ясно, что для
практических целей этот вопрос следует формулировать следующим образом:
каковы условия для построения ряда значений вида
a
R
R0 с шагом 0 , где N –
b
N
заданное число? В частности, возможно ли с помощью набора из N резисторов
сопротивлением R0 получить ряд сопротивлений участка цепи с шагом, равным
13
R0
(минимальное сопротивление, которое можно получить с помощью N
N
одинаковых резисторов):
R0 2 R0
( N  1) R0
?
,
, ... ,
N
N
N
Положительный ответ на последний вопрос в терминах цепных дробей
означает, что сумма элементов разложений в цепные дроби обыкновенных
дробей
1 2
( N  1)
, , ... ,
N N
N
не превышает N.
Таким образом, ставится задача о полноте ряда сопротивлений участков
цепи, построенных по принципу лестничных схем из ограниченного количества
одинаковых резисторов. В свою очередь, решение этой задачи должно
опираться на исследование свойств сумм элементов цепных дробей.
2.4. Выводы
В классической теории цепных дробей исследуются главным образом
свойства подходящих дробей. Вопрос о свойствах сумм элементов цепной
дроби возник у нас только в связи с модельной задачей об экономичном
построении цепи резисторов с заданным значением сопротивления. Возможно,
поэтому раньше этот вопрос не привлекал внимание математиков. Во всяком
случае, результаты наших исследований, в том числе и выраженные
доказанными теоремами, не являются общеизвестными; напротив, повидимому, они являются новыми.
14
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
Введем обозначение для суммы элементов конечной цепной дроби
[q 0 ;q1,q 2 ,...,q n ] с 1-го по n-й (будем называть такую сумму полной):
a n
S     qi
 b  i 1
и с 1-го по k-й, k  n (назовем такую сумму частичной):
a k
S k     qi
 b  i 1
3.1. Разложения некоторых обыкновенных дробей в цепные
Для автоматизации разложения правильных обыкновенных дробей
a
b
(1  a  b , a  N , b  N ) в цепные была написана процедура на языке VBA,
a
которая подсчитывает сумму S   и записывает исходную дробь, ее
b
разложение в цепную и сумму S на лист MS Excel:
Sub cf()
With Worksheets("Лист1")
i = 2
For b = 2 To 20
a = 1
Do While a < b
.Cells(i, 1) = a & "/" & b
.Cells(i, 2) = "[0;"
.Cells(i, 3) = 0
rm = b
r = a
Do While r > 0
q = Int(rm / r)
.Cells(i, 2) = .Cells(i, 2) & q
15
.Cells(i, 3) = .Cells(i, 3) + q
rp = rm - q * r
rm = r
r = rp
If r = 0 Then
.Cells(i, 2) = .Cells(i, 2) & "]"
Else
.Cells(i, 2) = .Cells(i, 2) & ","
End If
Loop
a = a + 1
i = i + 1
Loop
Next b
End With
End Sub
В этой процедуре можно задавать различные пределы изменения параметра b.
Результатом работы процедуры является таблица, фрагмент которой приведен в
 a 
таблице 2. На рис.4 приведена гистограмма зависимости S   от a.
 20 
Дробь
1/20
2/20
3/20
4/20
5/20
6/20
7/20
8/20
9/20
10/20
11/20
12/20
13/20
14/20
15/20
16/20
17/20
18/20
19/20
Разложение
[0;20]
[0;10]
[0;6,1,2]
[0;5]
[0;4]
[0;3,3]
[0;2,1,6]
[0;2,2]
[0;2,4,2]
[0;2]
[0;1,1,4,2]
[0;1,1,2]
[0;1,1,1,6]
[0;1,2,3]
[0;1,3]
[0;1,4]
[0;1,5,1,2]
[0;1,9]
[0;1,19]
Сумма
20
10
9
5
4
6
9
4
8
2
8
4
9
6
4
5
9
10
20
Таблица 2. Разложения в цепные дроби правильных обыкновенных дробей
со знаменателем 20.
16
Рис.4. Суммы элементов цепных дробей для правильных обыкновенных дробей
со знаменателем 20.
a
Для корректного сравнения характера зависимостей S   от a при
b
различных b в гистограммах нужно учитывать только несократимые дроби.
При этом каждая дробь отражается только на одной гистограмме. Для b  20
такая гистограмма построена на рис.5. Рис.6 представляет гистограммы для
других значений b.
Рис.5. Суммы элементов цепных дробей
для правильных несократимых обыкновенных дробей со знаменателем 20.
17
Рис.6. Суммы элементов цепных дробей
для правильных несократимых обыкновенных дробей с различными знаменателями.
18
Отметим характерные особенности приведенных зависимостей.
1) Гистограммы симметричны относительно медианы ряда 1, 2, ... , b  1
значений a.
2) Наибольшие значения сумм, равные b, достигаются при значениях a  1
и a  b  1.
3.2. Теоремы о суммах элементов разложения
произвольной обыкновенной дроби
Теорема 1. Если Qk – знаменатель k-й подходящей дроби для дроби
a
S k    Qk
b
a
, то
b
(3.1)
Доказательство. Проведем доказательство по индукции. Согласно
a
формулам (1.2), Q1  q1  S1   , поэтому для k  1 утверждение теоремы
b
выполнено.
Рассмотрим k  2 , при этом Q2  q2 q1  1.
Пусть
q2  q1  q~ .
Тогда
из
неравенства
(q~  1) 2  0
следует
Q2  q~ 2  1  2q~  q1  q2 .
Пусть q2  q1 . Тогда Q2  max( q1 ; q2 )  min( q1 ; q2 )  1 . Если min( q1 ; q2 )  1 ,
то
Q2  max( q1 ; q2 )  1  max( q1 ; q2 )  min( q1 ; q2 )  q1  q2 .
Если
min( q1 ; q2 )  2 , то Q2  2 max( q1 ; q2 )  max( q1 ; q2 )  min( q1 ; q2 )  q1  q2 .
a
Таким образом, Q2  S 2   .
b
же
19
a m
Пусть для некоторого m  2 выполнены неравенства Qm  S m     qi и
 b  i 1
 a  m 1
Qm 1  Sm 1     qi . Т.к. Qm 1  qm 1Qm  Qm 1 и qi  1 , то имеем следующие
 b  i 1
оценки:
m
m 1
m 1
m 1
i 1
i 1
i 1
i 1
Qm 1  qm 1  qi 
 qi  qm 1qm  qm 1qm 1  qˆ 
 qˆ 
m 1
 qi 
a
 
 qi  S m 1  b   qˆ  S m 1  b 
i 1
Здесь qˆ  0 при m  2 и qˆ 
a
 
 qi  qm  qm 1  qˆ 
m2
 qi
при m  2 .
i 1
Из полученных оценок, с учетом случаев k  1 и k  2 , следует, что
утверждение теоремы справедливо при 1  k  n . Теорема доказана.
a
Следствие 1.1. S    b .
b
Доказательство. Так как Qn  b , то утверждение следует из (3.1) при
k  n.
a
Следствие 1.2. Если n  4 , то S    b .
b
Доказательство. При доказательстве теоремы 1 показано, что при k  4
 a  k 3
a
a
справедлива оценка Qk  S k     qi  S k   . При k  n получаем: b  S   .
 b  i 1
b
b
Теорема 2. Для частичной суммы элементов конечной цепной дроби
справедлива следующая оценка:
b  rk  rk 1
 a  b  r1  rk 1
 1  Sk   
1
r1
rk
b
(3.2)
Доказательство. Просуммируем по частям формулы (1.3) со 2-й по
(k  1) -ю:
20
k 1
k
k 1
i 1
i 1
i 2
b   ri   ri qi   ri
Отсюда, с учетом (1.4), получаем:
k
k
i 1
k
i 1
k
i 1
i 1
b  r1  rk  rk 1   ri qi  r1  qi
b  r1  rk  rk 1   ri qi  rk  qi
Таким образом,
b  rk  rk 1
 a  b  r1  rk 1
 1  Sk   
1
r1
rk
b
Теорема доказана.
Следствие 2.1. Для полной суммы элементов конечной цепной дроби
справедлива следующая оценка:
b  rn
 a  b  r1
1  S  
1
r1
b
r
 
n
Доказательство.
Двойное
неравенство
(3.3)
(3.3)
получается
из
(3.2)
непосредственной подстановкой k  n с учетом rn 1  0 .
Замечание. Для несократимой дроби
a
( rn  НОД (a; b)  1 ) неравенство
b
(3.3) принимает вид:
b 1
a
 1  S    b  r1  1
r1
b
2b
a
 1.
Теорема 3. S   
 b  НОД(a; b)
21
Доказательство. С учетом (1.4) из (3.3) получаем:
2b
2b
 a  b  r1
S  
1 
1 
1
rn
rn
НОД(a; b)
b
Следствие 3.1. Если дробь
a
a
сократима, то S    b .
b
b
Доказательство. Если дробь
a
сократима, то rn  НОД (a; b)  2 . Поэтому
b
2b
a
S  
1  b 1  b
 b  НОД(a; b)
3.3. Теоремы о полных суммах для правильных дробей
Если a  b , то b  aq  r (q  N, 0  r  a, r  Z) и
a 1
1
 
,
b b q r
a
a
Теорема 4. Если дробь
a
r
S   q  S .
b
a
a
a ba
правильная, то S    S 
.
b
b  b 
Доказательство. Имеем:
ba

b
1
1
1
1



b
a
1
1
1
1
1
ba
r
ba
ba
q 1 
a
a
(3.4)
22
ba
r
r
поэтому S 
 1  (q  1)  S    q  S   . Вместе с (3.4) это доказывает
 b 
a
a
утверждение теоремы.
Теорема 5. Если дробь
a
правильная, то
b
a
S    b при a  1 и a  b  1, b  2 ,
b
a
S    b при 2  a  b  2 , b  4 .
b
Доказательство.
Утверждения
непосредственно из разложений
и
1
S   b
b
и
 b 1 
S
b
 b 
следуют
1
b 1
1
 [0; b] ,
 [0;1, b  1] . При b  2 дроби
b
b
b
b 1
совпадают, при b  3 различны, но других правильных дробей со
b
знаменателем 3 нет.
Рассмотрим случай 2  a  b  2 , b  4 .
a
S   2  b .
b
Пусть a 
b
. Тогда
2
Пусть a 
b
b
b r b b
r
. Тогда по Теореме 1: S    a  . Так как q     ,
2
2
a a a 2
a
то из (3.4) получаем
a
r b b
S   q  S     b
b
a 2 2
Пусть a 
b
b
a ba
. Тогда по теореме 4: S    S 
 . Так как b  a  , то
2
2
b  b 
23
ba
S
  b , значит, и
 b 
a
S   b .
b
Теорема доказана.
3.4. Выводы
На основании Следствия 1.1 можно сделать вывод о полноте ряда
сопротивлений, полученных с помощью ограниченного количества одинаковых
резисторов. Это утверждение означает, что сумма элементов разложений в
цепные дроби обыкновенных дробей
1 2
( N  1)
, , ... ,
N N
N
не превышает N. Таким образом, любое из значений сопротивлений
R0 2 R0
( N  1) R0
,
, ... ,
N
N
N
можно получить с помощью не более чем N резисторов сопротивлением R0 .
a
Теоремы 4, 5 обосновывают свойства зависимостей суммы S   от a,
b
отмеченные как эмпирический результат в п.3.1:
1) гистограммы симметричны относительно медианы ряда 1, 2, ... , b  1
значений a;
2) наибольшие значения сумм, равные b, достигаются только при
значениях a  1 и a  b  1.
С точки зрения построения электрических цепей речь идет о свойствах
зависимостей
необходимого
сопротивления цепи.
количества
сопротивлений
от
значения
24
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В ходе работы получены следующие основные результаты:
1. Изучены необходимые сведения из теории цепных дробей и электротехники.
2. Сформулирована постановка задачи о полноте ряда сопротивлений участков
цепи, построенных по принципу лестничных схем из ограниченного
количества одинаковых резисторов.
3. Найдено решение этой задачи с помощью аппарата цепных дробей.
4. Доказаны ранее не известные теоремы о свойствах сумм элементов цепной
дроби
Вывод: с помощью ограниченного количества резисторов с одинаковым
сопротивлением можно построить ряд сопротивлений цепи резисторов с шагом,
равным минимально возможному сопротивлению цепи из данных резисторов.
Гипотеза исследования подтверждена.
25
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Арнольд, В.И. Цепные дроби. – М.: МЦНМО, 2000. – 40 с.
2. Бухштаб, А.А. Теория чисел. – М.: Просвещение, 1966. – 384 с.
3. Виленкин, Н.Я. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра:
Пособие для учащихся 10-11 кл. /Н.Я. Виленкин, Л.П. Шибасов, З.Ф.
Шибасова. – М.: Просвещение, 2008. – 192 с.
4. Глейзер, Г.И. История математики в школе: IX-X кл. Пособие для учителей.
– М.: Просвещение, 1983. – 351 с.
5. Материалы сайта http://ru.wikipedia.org.
6. Новгородцев, А.Б. Теоретические основы электротехники. 30 лекций по
теории электрических цепей: Учебное пособие. – СПб.: Питер, 2006. – 576 с.
7. Хинчин, А.Я. Цепные дроби. – М.: Наука, 1978. – 112 с.
8. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика /Глав. ред. М.Д.Аксенова. – М.:
Аванта+, 1998. – 688 с.