09-10-06

Тема 10. Предел последовательности
09-10-06. Действительные числа как пределы
последовательностей
Теория
6.1. Десятичные дроби появились как удобное средство для записи результатов
измерений в десятичной системе счисления.
Для превращения обыкновенной дроби в десятичную используют алгоритм деления
столбиком числителя дроби на ее знаменатель.
Этот алгоритм для некоторых дробей через некоторое число шагов приводит к
нулевому остатку. В таком случае соответствующее рациональное число равно конечной
25
десятичной дроби. Например, 16
 1 5625 .
Для некоторых дробей алгоритм деления на каждом очередном шаге приводит к
ненулевому остатку. Это происходит в том случае, когда при делении в процессе
приписывания нулей некоторый ненулевой остаток повторится. Например, при делении
числа 779 на 7 после первых трех шагов алгоритма начинается приписывание нулей.
Остаток 2, который появился после третьего шага, получается снова после девятого шага.
Отсюда следует, что после десятого шага получается такой же остаток, как и после
четвертого шага, после одиннадцатого шага получается такой же остаток, как и после
пятого шага, и так далее. Поэтому в данном примере начиная с третьего шага
получающиеся остатки периодически повторяются через каждые шесть шагов. В этом
случае говорят, что последовательность остатков начинает повторяться с периодом 6.
Соответственно, выписываемые десятичные цифры частного, начиная с четвертой
цифры, записанной слева, повторяются с периодом 6:
111 28571428571428
Получаемую по алгоритму деления бесконечную последовательность цифр называют
бесконечной периодической дробью, равной рациональному числу 779
7 .
Для удобства периодически повторяющуюся группу цифр заключают в круглые
скобки и записывают в виде
111 (285714)
Это сокращенная запись для бесконечной периодической дроби, равной числу 779
7 .
6.2. Для бесконечной периодической десятичной дроби 111,(285714), полученной в
предыдущем пункте, можно рассмотреть последовательность конечных десятичных
дробей:
111 2111 28111 285111 2857
Эта последовательность является последовательностью десятичных приближений по
недостатку для данной десятичной дроби 111,(285714).
Обозначим   111 (285714) ; 1  111 2 ;  2  111 28 ;  3  111 285 ; и так далее. Тогда
можно записать следующие неравенства:
0    1  0 028  01
0     2  0 008  0 01
0    3  0 0005  0 001
и так далее. Следовательно, при каждом натуральном n выполняются неравенства
1
0    n 

10 n
По теореме о пределе промежуточной последовательности получаем lim(   n )  0 ,
n 
откуда a  lim  n .
n 
Таким образом, для рассмотренной бесконечной периодической десятичной дроби
  111 (285714) последовательность ее десятичных приближений имеет пределом число
.
6.3. Рассмотрим последовательность десятичных приближений по недостатку для
числа  из предыдущего пункта. Мы установили, что эта последовательность сходится к
числу  . Поэтому последовательность
b1  111 285714 b2  111 285714285714
тех десятичных приближений, которые записываются целым числом периодов
повторяющихся цифр, также сходится к числу  . Так как
1
b1  111  285714  6 
10
1 
 1
b2  111  285714   6  12  
 10 10 
1
1 
 1
b3  111  285714   6  12  18  
10 
 10 10
и так далее, то предел последовательности (bn ) можно вычислить по-другому.
Действительно, в записи членов последовательности (bn ) в скобках появляется сумма
начальных членов геометрической прогрессии с первым членом 1016 и знаменателем
q  1016 . Поэтому по формуле суммы начальных членов геометрической прогрессии
bn  111  285714 
1
1 1  qn

 111  285714  6  q n 
6
10  1
10 1  q
Так как
 1
lim q n  lim  6 t ) n  0
n 
n  10

то отсюда
1
285714
2 779
 111 
 111  

10  1
999999
7
7
В результате приходим к тому числу, которое мы рассматриваем с начала параграфа.
Таким образом, бесконечную периодическую десятичную дробь 111,(285714) можно
определить как предел последовательности ее десятичных приближений по недостатку. В
этом смысле представление числа 779
в виде бесконечной десятичной дроби, которое
7
lim bn  111  285714 
n 
6
получается по алгоритму деления, дает число, равное 779
7 .
6.4. В предыдущих пунктах на примерах мы показали, что обыкновенная дробь
иногда равна конечной десятичной дроби, а иногда равна бесконечной периодической
десятичной дроби. Конечную десятичную дробь также можно считать бесконечной
периодической десятичной дробь, если в конце ее записи приписать бесконечное число
нулей. При таком определении можно доказать, что любое положительное рациональное
число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби и что
каждая бесконечная периодическая десятичная дробь равна рациональному числу.
Примем это утверждение без доказательства.
6.5. Положительные действительные числа в десятичной записи можно представлять
как бесконечные десятичные дроби вида
m a1a2 a3 
(1)
где m — целое неотрицательное число, a1 , a2 , a3 ,... — цифры.
Действительное число, в виде бесконечной периодической десятичной дроби является
одной из форм записи рационального числа.
Действительное число, которое записывается в виде бесконечной непериодической
десятичной дроби, есть иррациональное число.
6.6. С каждым действительным числом x вида (1) из пункта 6.5 можно связать
последовательность
x1  m a1 x2  m a1a2  x3  m a1a2 a3 
десятичных приближений числа x по недостатку. Тогда
0  x  x1  0 0a2   01
0  x  x2  0 00a3   0 01
0  x  x3  0 000a4   0 001
и так далее. Поэтому по теореме о пределе промежуточной последовательности
lim( x  xn )  0 , откуда по определению
n 
lim xn  x
n 
Таким образом, каждое положительное действительное число можно получить как
предел некоторой последовательности рациональных чисел.
6.7. Отрицательные действительные числа представляют по-разному. Мы будем
считать записью отрицательного числа x запись вида
(2)
m a1a2 a3 
если число (x) записывается в виде:
 x  m a1a2 a3 
В этом случае последовательность
x1  m a1 x2  m a1a2  x3  m a1a2 a3 
является последовательностью десятичных приближений числа x по избытку.
Например, 13  0 (3) . Поэтому
1
1
1
0 3   0 33   0 333  
3
3
3
Отсюда из свойств неравенств получаем:
1
1
1
1
0 3   0 33   0 333     
3
3
3
3
6.8. Длину окружности можно определить как предел последовательности периметров
вписанных в окружность правильных n -угольников при n   .
Пусть радиус окружности равен R и A1 A2  An — вписанный в окружность
правильный n -угольник. Соединив центр O окружности с вершинами A1  A2  An ,
получим n равных равнобедренных треугольников A1OA2 , A1OA3 , и так далее (рисунок ?).
360
Поэтому AOA
1
2  n .
Проведем
в
треугольнике
A1OA2
высоту
OH
(рисунок 1).
Тогда
180
AOH
 12 AOA
1
1
2  n .
Поэтому из прямоугольного треугольника A1OH получаем
180

n
Следовательно,
A1 A2  2 A1H  2R  sin 180n ,
записывается в виде формулы
A1H  A1O  sin A1OH  R  sin
и
периметр
Pn
многоугольника
1800
(3)

n
Можно доказать, что последовательность с общим членом an  n  sin 180n имеет предел
при n   . Этот предел равен иррациональному числу, которое ввиду его особой
важности обозначается  . Мы несколько раз приводили число  как пример
иррационального числа и записывали некоторые его десятичные приближения. Например,
  314159265понедостатку
Мы не будем доказывать, что
360
(4)
lim n  sin
 
n 
n
Обычно это делается в курсе высшей математики.
Используя равенство (4), для предела последовательности Pn получаем:
Pn  2 R  sin
180
180
 2 R  lim n  sin
 2 R  2 R
n

n
n
В результате приходим к формуле для длины окружности, которая известна с пятого
класса.
6.9. Площадь круга можно определить как предел последовательности площадей
вписанных в окружность правильных n -угольников при n   . Эта последовательность
будет рассмотрена в старших классах и из новых свойств пределов последовательностей
будет получена формула
S   R2
для вычисления площади S круга радиуса R .
lim Pn  lim 2 R  sin
n 
n 
Контрольные вопросы
1. Объясните на примере, в чем состоит алгоритм деления одного натурального числа
на другое натуральное число.
2. Объясните на примере периодическое повторение цифр в представлении дроби mn в
виде бесконечной десятиной дроби.
3. Как кратко записывается бесконечная периодическая десятичная дробь?
4. Какую последовательность называют последовательностью десятичных
приближений по недостатку положительного рационального числа?
5. Как связано рациональное число с пределом последовательности его десятичных
приближений?
6. Как представлять положительные действительные числа?
7. Как представлять положительные иррациональные числа?
8. Докажите, что положительное действительное число равно пределу
последовательности его десятичных приближений по недостатку.
9. Как можно представлять отрицательные действительные числа?
10. Как можно определить длину окружности?
11. По какой формуле вычисляется длина окружности?
12. Как можно определить площадь круга?
13. По какой формуле вычисляется площадь круга?
Задачи и упражнения
1. Запишите обыкновенную дробь в виде бесконечной периодической десятичной
дроби:
а) 94 ; б) 76 ; в) 13
г) 375 ; д) 171
е) 137 .
99 ;
303 ;
2. Запишите бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной
дроби:
а) 0,(15); б) 0,2(30); в) 0,1(15);
г) 3,2(21); д) 0,(123); е) 1,(01).
3. Найдите первые три члена последовательности приближенных значений по
недостатку для следующих действительных чисел:
а) 3 ; б) 5 ; в) 17 ; г) 152 ;
д)  521 ; е)  2  3 .
4.* Доказать, что последовательность приближенных значений действительного числа
a  0 , взятых по избытку, сходится к числу a .
5.* Найдите первые четыре члена последовательности приближенных значений по
недостатку для чисел:
а)  17 ; б)  152 ; в)  2 . В круг радиуса R вписан правильный n -угольник.
6. Найдите площадь части круга, лежащей вне этого n -угольника, если:
а) n  4 ; б) n  3 ; в) n  6 ;
г)  n  5 ; д)  n  10 ; е)  n  12 .
7.* Найдите площадь пересечения двух кругов радиуса R , расстояние между
центрами которых равно R .
8.** Найдите площадь общей части четырех кругов, центры которых образуют
квадрат.
9.** На сторонах прямоугольного треугольника, как на диаметрах, построены
полуокружности так, как изображено на рисунке 4. Докажите, что сумма площадей
закрашенных луночек равна площади прямоугольного треугольника.
10.** Около квадрата со стороной a описана окружность и на каждой его стороне,
как на диаметре, построена полуокружность так, как изображено на рисунке 5. Чему равна
сумма площадей закрашенных луночек?
Ответы и указания
Задача 3. Найдите первые три члена последовательности приближенных значений по
недостатку для следующих действительных чисел:
а)
г)
3;
2
15 ;
1
б) 5 ; в) 7 ;
д)  521 ; е)  2  3 .
Указание. ) Последовательно получаем:
12  3  22 
172  300  182 
1732  30000  1742 
следовательно, 1 73  3  1 74 ;
б) действуя аналогично предыдущему, находим 2 23  5  2 24 ;
д) 
5 1
2
 3224  1 62 и
5 1
2
 3223  1 61 ;
е)  так как 1 414  2  1 415 и 1 732  3  1 733 , то 3146  2  3  3148 .
Задача 6. В круг радиуса R вписан правильный n -угольник. Найдите площадь части
круга, лежащей вне этого n -угольника, если:
а) n  4 ;
г)  n  5 ;
б) n  3 ;
в) n  6 ;

д) n  10 ; е)  n  12 .
Указание. Во всех пунктах для вычисления площади вписанного правильного n - угольника
можно использовать формулу Sn  n2 R 2 sin 2n . Далее, при вычислении площадей
пятиугольника и десятиугольника следует использовать то, что
5 1

sin18 
 sin 
4
10
Это позволяет найти, что sin 25 
следующие ответы:



10  2 5
4

, sin 5 
а) (  2)R 2 ; б)   3 43 R 2 ; в)   3 43 R 2 ; г)   
10  2 5
4
. Окончательно получаются
5
8 10  2 5 R 2




; д)     54 10  2 5  R 2 ;
е) (  3)R .
Задача 8  . Найдите площадь общей части четырех кругов радиуса R , центры которых
образуют квадрат со стороной, равной R .
Указание. Площадь пересечения четырех кругов можно представить в виде
SMNKL  4  ( Sсек  DMN  S DMN )

2
(рис. 2). Вычисляя диагональ квадрата MNKL , получаем MK  ( 3  1) R . Далее, так как
MDN  6 , то
1
1
Sсек  DMN  S DMN   R 2  R 2 
12
4

Задача 9 . На сторонах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены
полуокружности так, как изображено на рисунке 3. Докажите, что сумма площадей
образовавшихся луночек (луночек Гиппократа) равна площади прямоугольного
треугольника.
Указание. Площадь полукруга, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей
полукругов, построенных на катетах.
Задача 10  . Около квадрата со стороной a описана окружность и на каждой его
стороне как на диаметре построена полуокружность так, как изображено на рисунке 4.
Чему равна сумма площадей всех четырех луночек?
Указание. Площадь одной из четырех луночек можно вычислить как разность между
суммой площадей двух секторов радиусов R  a2 с углами 2 и площадью квадрата со
стороной a2 .