Лекция № 4. Аналогия световой и электронной оптики. Электронная оптика параксиальных пучков. Движение заряженных частиц в аксиально-симметричном электрическом поле. Основные типы электростатических линз. IV. ЭЛЕКТРОННАЯ ОПТИКА. § 4.1. Аналогия световой и электронной оптики. До сих пор мы изучали движение отдельных частиц в электронном и магнитном полях. Электронная оптика изучает законы распространения пучков заряженных частиц – электронов и ионов – в электрическом и магнитном полях. Пучки в электронной оптике, как правило, считаются достаточно редкими, так что электрические и магнитные микрополя от собственного объемного заряда пучка пренебрежимо малы по сравнению с макрополями отклоняющей системы (линейная оптика). Уже первые эксперименты в конце 19 века с катодными лучами показали, что законы распространения электронных лучей подобны законам распространения световых лучей в геометрической оптике. И дело вовсе не в том, что электроны можно считать электронной волной. Комптоновские длины волн электрона h 12.25 . A много меньше характерных размеров mV U [эВ] оптических систем, т.е. электроны можно считать частицей. Аналогия между движением заряженной частицы и распространением света более фундаментальна, и лежит она в существовании вариационного принципа. В геометрической световой оптике этот a2 a2 a1 a1 принцип имеет название принципа Ферма: ndl 0 , т.е. L 0 где L ndl оптическая длина пути света, n const - показатель преломления. Оптическая длина реального пути света должна быть минимальна (свет распространяется по такому пути, на котором он тратит наименьшее время). Свет распространяется прямолинейно. В механике t2 вариационный принцип имеет вид: Ldt 0 , где L t1 mV 2 q q A V , A - векторный 2 c потенциал ( H rotA ), L- функция Лагранжа. Вариация интеграла равна изменению этого интеграла при . t2 изменении . t2 . обобщенный . t2 L qi , q i dt L qi qi , q i q i dt L qi , q i dt . t1 t1 t1 координат: То, что вариация равна 0, говорит о том, что этот интеграл на действительной траектории H 0 , то имеет экстремум (рис.4.1). Если функция L T U , Лагранжа кинетическая энергия, а a1 где q T- U - потенциальная T U dt S Реальная траектория t1 принципом наименьшего действия: S 0 . a2 Виртуальная траектория называется действием, а вариационный принцип называется q a1 t2 энергия. Величина l Рис. 4.1. Виртуальная и реальная траектории частиц. Принцип наименьшего действия можно записать через обобщенный импульс, который a1 1 l1 n1 x равен H 0 . L q p . (где q i mV A ): c qi a2 pdt 0 , при a1 a2 Vdt 0 . Покажем, что принцип Ферма a1 2 эквивалентен закону преломления геометрической оптики l2 x n2 a2 Рис. 4.2. Преломление света на границе двух сред V1 + - (рис.4.2). Оптическая длина L l1n1 l2 n2 , ее вариация: L n1l1 n2l2 n1x sin 1 n2x sin 2 0 , следует закон преломления геометрической откуда оптики: sin 1 n2 . sin 2 n1 Получим аналогичный закон для электронной оптики. 1 Так как параллельная границе раздела компонента + - 2 + - V2 U1 + U2 скорости не меняется (рис.4.3), то V1 sin 1 V2 sin 2 . Следовательно, ускоряющее Рис. 4.3. Преломление пучка заряженных частиц на границе потенциалов электронной sin 1 V2 sin 2 V1 или напряжение) – оптики. Таким U2 sin 1 (где U sin 2 U1 закон образом, преломления U- аналог показателя преломления. Но у электронной оптики есть и существенные отличия от световой, они в основном состоят в следующем: 1. Отдельные лучи в световой оптике независимы – электронные лучи взаимодействуют друг с другом. 2. Показатель преломления для электронов всегда непрерывен, для света он, как правило, меняется скачком. 3. Диапазон изменения показателя преломления для электронов не ограничен, в оптике n 2.5. 4. Скорость электронов тем больше, чем больше показатель преломления, а скорость света наоборот. 5. Преломляющие поверхности для электронов, в отличие от световых лучей, не могут быть произвольными – распределение потенциалов всегда удовлетворяет уравнению Лапласа (линейная электронная оптика) или Пуассона (нелинейная электронная оптика). § 4.2. Потенциал аксиально-симметричного электростатического поля. Задание преломляющих поверхностей в виде сеток затруднительно, поэтому часто используют диафрагмы с аксиально-симметричным распределением потенциала U r, z (рис.4.4). r U1 Так как U r, z = U r, z , то в результате U2 разложения U по r будут только четные z степени: U r , z b0 z b2 z r 2 b4 z r 4 ... b2 k z r 2 k . Потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа: Рис. 4.4. Аксиально-симметричное поле диафрагм 2U r 2 1 r r U 2U z 2 0 С учетом 2U 2b2 z 12b4 z r 2 30b6 z r 4 ... ; 2 r 2U b0z r 2 b2z r 4 b4z ... ; 2 z 1 U 2b2 z 4b4 z r 2 6b6 z r 4 ... ; r r уравнение Лапласа перепишется в виде: b0z 4b2 z b2z 16b4z r 2 b4z 36b6 z r 4 ... 0. коэффициенты при различных степенях r, получим систему: Приравнивая к нулю b2 b0 4 b0 z 4b2 z 0 b0IV b b IV . b2z 16b4 z 0 b4 2 0 16 64 2!2 24 b4z 36b6 z 0 b IV b b6 4 02 6 32 3! 2 { { С учетом b0 z U 0, z U z (потенциал на оси), получим распределение потенциала в пространстве в виде: z r . 1 r 1 r IV k U r U r , z U z U ( z ) 2 U IV z U z ... 1 2 2 2 2 2 3! 2 k ! 2 2 Таким образом, 4 распределение 2k 6 потенциала аксиально-симметричного 2k поля определяется значением потенциала на оси . § 4.3. Движение параксиальных пучков электронов в аксиально-симметричном электростатическом поле. Для приосевых электронов (r2/L2хар<< r/Lхар, где Lхар – характерная длина системы), которые еще называют параксиальными, можно получить уравнение траектории. Так как E 0 , то электроны не вращаются вокруг оси z. Другие компоненты электрического поля определяются из соотношений: U r4 E z U z U z U z ; z 4 U r r3 r Er U z U IV z U z . z 2 3 2 Уравнение движения для электрона: er U z 2 mz eU z mr eEr { (4.1) Первое уравнение системы замечательно тем, что в полях с аксиальной симметрией радиальная фокусирующая или расфокусирующая сила пропорциональна удалению частицы от оси. Возьмем второе уравнение системы (4.1). Учитывая, что левые части уравнения содержат производные по времени, а правые производные по z, можно использовать переход к производной d 2 z d dz dz d dz 1 d dz e dU z . 2 dt dt dt dz dt 2 dz dt m dz dt 2 по переменной z: Интегрируя последнее уравнение с учетом граничного условия при z = 0 U(z) = 0 и dz/dt0 = 0 (пренебрегаем начальной скоростью частиц), получим dz/dt = 2eU ( z) / m . Возьмем первое уравнение системы (4.1) и перейдем к производной по переменной z: d 2 r d dr dz d dr dz e rU z . Последнее уравнение перепишем в виде: 2 dt dt dt dz dz dt 2m dt U z d dr r U z U z , получим уравнение траектории r(z) параксиального dz dz 4 пучка: d 2 r U ' ( z ) dr U '' ( z ) r0 dz 2 2U ( z ) dz 4U ( z ) (4.2), которое называется основным уравнением электронной оптики. Анализ уравнения (4.2): 1. В уравнение входит только U z , траектория зависит только значением потенциала на оси. 2. В уравнение не входит e , поэтому траектории электронов и ионов не отличаются. m 3. Уравнение линейно и однородно относительно U z можно заменить на kU z ; 4. Уравнение линейно и однородно относительно r z можно заменить на krz ; Таким образом, полученное линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка относительно U(z) и r(z) показывает, что возможно масштабное моделирование, т. е. если потенциал во всех точках пространства увеличить в k раз (увеличить потенциал на всех электродах системы в одинаковое число раз), то уравнение, а следовательно и траектория электрона не изменится. Кроме того, можно сделать вывод, что любое аксиально-симметричное поле есть линза, т.к. в любой плоскости сохраняется подобие траекторий относительно расстояния от оси (рис.4.5): A rA rA A Предметная плоскость rB rB B B Плоскость изображения Рис. 4.5. Изображение в линзе. Фокусная Fr rA rB . rA rB сила линзы: er U z возрастает с удалением от оси. 2 Линза будет фокусирующей (собирающей), если U 0 . Линза будет расфокусирующей (рассеивающей), если U 0 . § 4.4. Параметры увеличения в электронной линзе. Основное уравнение электронной оптики (4.2) является однородным дифференциальным уравнением относительно r второго порядка. Решение, как известно, можно представить в виде суммы двух частных решений: C1r1 z a b C1r1 z A z B константы. Пусть C2 0 , частные решения при z a и z b . Тогда r z C1r1 z - это совокупность C1r1 z траекторий, которые пересекают ось в точках А и В, т.е. в точке В соберутся все электроны, вышедшие из Рис. 4.6. Траектории осевых электронов в линзе. точки C1r1 z C2 r2 z A r z C1r1 z C2 r2 z , где C1 и C2 - произвольные А (рис.4.6). C2 0 r a C2 r2 a и При r b C2 r2 b для всех электронов, т.е. если источник поместить в точку А, то в точке В будет его b изображение (рис.4.7). Тогда линейное увеличение a линзы: M C1r1 z C2 r2 z B r2 b . Рассмотрим снова траекторию с r2 a источником на оси, т.е. Рис. 4.7. Траектории не осевых электронов в линзе. Угловое z 1 2 Рис. 4.8. Угловое увеличение в линзе. линзы определяется как отношение тангенсов углов наклона траектории к оси: r увеличение r z C1r1 z (рис.4.8). tg 1 r1b . Возьмем основное уравнение tg 2 r1a электронной U z d dr r U z U z . dz dz 4 решения r1 z : U z Для частного решения r2 z : U z оптики в Для виде: частного dr1 r1 d U z U z . dz dz 4 dr2 r2 d U z U z . Первое умножим на r2, dz dz 4 d dr dr d второе на r1 и вычтем их: U z r2 U z 1 r1 U z 2 0 . Следовательно, dz dz dz dz d dz U r2 r1 r1r2 0 , то есть, U r2 r1 r1r2 const . Для z a и z b r1 a r1 b 0 , т.е. U br2 br1b U br2 br1b M U a U b U a или U b r2 b r1b . r2 a r1a Получаем соотношение , которое является аналогом теоремы Лагранжа-Гельмгольца: M n1 . n2 Найдем фокусные расстояния электронной линзы. Возьмем частные решения r1 z и r2 z , r1 z r2 z h1 проходящие через фокусы. Так же, как это h2 было сделано выше, напишем для них основные уравнения электронной оптики, f1 a f2 b z до множим на r1 и r2 и вычтем, получим: U r2 r1 r1 r2 const . Для предметного пространства: U a r2 a r1a c . f1 f2 Для пространства изображения: U br1 br2 b c . Тогда фокусные Рис. 4.9. Геометрические параметры линзы. расстояния слева f1 и справа f2 от главных плоскостей h1 и h2 электронной линзы можно определить через траектории, проходящие через фокус линзы r1 и параллельно оси r2 системы f 2 U b r2 a r b f ; f1 1 . Отношение фокусных расстояний | 2 | . f1 r2 b r1b U a § 4.5. Тонкие электростатические линзы. Рассмотрим тонкие линзы, главные плоскости которых находятся при z = a и при z = b. Для тонких линз расстояние между главными плоскостями много меньше фокусных расстояний (b - a) << f1, f2 , т. е. главные плоскости сливаются. Линейное увеличение линзы (рис.4.10) M f1 f 2 , следовательно z1 z2 f1 f 2 . Записав систему: z1 z2 f2 z1 z2 f1 l1 z l1 z1 f1 l 2 z 2 f 2 , получим: z z f f 1 1 2 т.е. z1 z 2 l1 z1 l2 z 2 , 1 l2 Рис. 4.10. Геометрические параметры тонкой оптической линзы. f1 z1 f 2 z2 2, l1 l1 l2 l2 z1 z2 . Получим: l1 l2 следовательно f1 f 2 1 - основное l1 l2 соотношение тонкой линзы. Возьмем основное уравнение электронной оптики в виде: U z Которое a b A l1 привести к виду: d dr r z U z ; U z dz dz 4 U z можно d dr r U z U z , dz dz 4 B l2 Проинтегрируем: z Рис. 4.11. Геометрические параметры тонкой электростатической линзы. 1 b r z U z dr dr . U b U a 4a U z dz b dz a Если линза слабая, то r a r b . r b dr r a dr Тогда заменяя tg и tg , и вынося r z из под знака l2 l1 dz b dz a интеграла как множитель r a , получим: U b U a 1 b U z dz (сократили на l2 l1 4 a U z r a r b ). С учетом основного соотношения тонкой линзы f1 f 2 1 , получим l1 l2 b b U z 1 1 1 1 U z dz фокусные расстояния слева и справа: и dz . f1 4 U a a U z f 2 4 U b a U z Отношение фокусных расстояний: U b n2 f2 . Возьмем выражение для f 2 : f1 U a n1 b 1 1 U z dz . Проинтегрируем по частям ( xdy xy ydx ), получим: f 2 4 U b a U z 2 b U b U a U z 1 1 1 D dz 3 f2 4 U b U b 8 U b a U 2 z U a - оптическая сила. Если U a U b 0 (т.е. на границе нет электрического поля), то линза всегда собирающая ( D 0 ). § 4.6. Основные типы электростатических линз. Для одиночной диафрагмы с круглым отверстием: E Ez2 1 . где Ez1 и Ez2 – z1 fD 4U d напряженности электрических полей слева и справа от диафрагмы, Ud – потенциал диафрагмы. Для системы из двух линз – диафрагм с фокусами f1 и f2 и расстоянием между линзами l оптическая сила задается соотношением: 1 1 1 l . В общем f f1 f 2 f1 f 2 случае аксиально-симметричного поля траектория электрона описывается уравнениями: er '' m r eEr 2 U ( z ) , ' m z eE z eU ( z ) т.е. фокусирующая сила определяется знаком второй производной от потенциала на оси системы. Если U(z) > 0, то система фокусирующая, если U(z) < 0, то расфокусирующая. На рис. 4.12- 4.15 показаны примеры возможныех типов электростатических линз. E1 E2 E2 E2 E1 z z e e U U z 0 a z 0 b U a b U z z 0 0 U U + z 0 Рис. 4.12. Фокусирующая электростатическая линза с тормозящим электрическим полем. z 0 Рис. 4.13. Фокусирующая электростатическая линза с тормозящим и ускоряющем электрическим полем. E1 E2 | E1 || E2 | E2 E1 E2 E1 z z e e U U z 0 a z 0 b U a b U z 0 0 z U U z 0 - Рис. 4.14. Расфокусирующая электростатическая линза с тормозящим электрическим полем. 0 z - Рис. 4.15. Расфокусирующая электростатическая линза с ускоряющем электрическим полем. | E1 || E2 | E2 E1 z e U z 0 a b U 0 z U + z 0 Рис. 4.16. Фокусирующая электростатическая линза с ускоряющем электрическим полем.