СД.Ф.3 Элементы абстрактной и компьютерной алгебры

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Мурманский государственный гуманитарный университет»
(ФГБОУ ВПО «МГГУ»)
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ДИСЦИПЛИНЫ
СД.Ф.3
ЭЛЕМЕНТЫ АБСТРАКТНОЙ И КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ
Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности
050201.65 – «Математика с дополнительной специальностью»
050202.65 – «Информатика с дополнительной специальностью»
Утверждено на заседании кафедры
математики и математических методов
в экономике факультета
физико-математического образования,
информатики и программирования
(протокол № 6 от 27 февраля 2013 г.)
Зав. кафедрой __________О.М. Мартынов
РАЗДЕЛ 1. Программа учебной дисциплины.
Структура программы учебной дисциплины
1.1 Автор программы: Скрябин А.В., старший преподаватель.
1.2 Рецензенты: Иванчук Н.В., к.п.н., доцент кафедры математики и МОМ МГПУ, Зубова
Юлия Владимировна, кандидат физ.-мат. наук, научный сотрудник кафедры физики МГТУ.
1.3 Пояснительная записка:
Компьютерная алгебра является одной из областей математики и информатики, особенно
активно развивающейся в последние годы. Усилия специалистов в этой области направлены как
на разработку новых алгоритмов, так и на создание систем компьютерной алгебры, которые все
шире используются и в научных исследованиях, и в практических приложениях. Полученные
результаты находят отражение не только в периодической печати, но и в монографиях, опубликованных в последние годы. Термин компьютерная алгебра (или символьные и алгебраические
вычисления) объясняется способностью компьютеров манипулировать математическими выражениями, заданными символьно, а не численно, подобно тому, как это делается в алгебре при
помощи карандаша и бумаги. Начиная с 1960 г. было разработано много программных систем,
предназначенных для различного рода символьных вычислений; эффективность и возможности
этих систем постоянно возрастают и в будущем можно ожидать расширения их использования.
Операции над полиномами и рациональными функциями составляют основу любой системы
символьных преобразований, поэтому исследования в этой области включают в себя развитие и
анализ эффективных алгоритмов для разложения на множители, вычисления наибольших общих делителей и отделения вещественных корней полиномов. Компьютерная алгебра включает
в себя большое количество различных тем, а поскольку она до настоящего времени находится в
стадии развития, к имеющемуся списку тем постоянно добавляются новые.
Курс "Элементы абстрактной и компьютерной алгебры" ставит целью ознакомить учащихся с характеристикой основных понятий абстрактной алгебры: число, группа, кольцо,
числовые поля, многочлены и др.
В качестве ключевого понятия элементов компьютерной алгебры взято понятие об алгоритмах
символьных преобразовании, связанных такими объектами как целые числами и полиномы.
Для организации изучения данного курса предполагается проведение лекционных и практических занятий.
На лекционных занятиях рассматриваются теоретические вопросы элементов абстрактной
и компьютерной алгебры, их взаимосвязей и основных характеристик.
Практические занятия предполагают отработку навыка применения теоретических характеристик в различных ситуациях, при решении задач и доказательстве предположений.
Студенты должны знать:
 определения и свойства теоретико-множественных операций и отношений, определение
разбиения множества на классы;
 определение соответствия между множествами, бинарного отношения на множестве, их
свойства и способы задания;
 определения отношения эквивалентности и порядка;
 характеристику числовых множеств;
 определение основных понятий абстрактной и компьютерной алгебры;
 алгоритмы действия модульной арифметики;
 определение и свойства отношения делимости;
 алгоритм Евклида;
 схему Горнера;
 сущность теории и способов кодирования;
Студенты должны уметь:
 устанавливать способ задания конкретного отношения и формулировать его свойства;











определять по определению и по критерию различные алгебраические структуры;
доказывать изоморфизм алгебраических структур;
выполнять операции на множестве целых и комплексных чисел;
производить вычисления, используя модульную арифметику;
находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное целых чисел и многочленов;
проверять кратность корня многочлена;
находить значения производных многочлена с помощью схемы Горнера;
строить алгоритмы символьных преобразований;
для списка сообщений с заданным распределением частот построить код Фано, определить стоимость кода;
для заданного сообщения X построить код Хэмминга, внести одиночную ошибку замещения и произвести декодирование искажённого сообщения по методу Хэмминга;
характеризовать числовые поля.
1.4. Извлечение из ГОС ВПО специальности (направления), включающее требования к обязательному минимуму содержания дисциплины и общее количество часов (вписка).
1.5 Объем дисциплины и виды учебной работы:
№
п/п
Шифр и наименование специальности
К
у
р
с
050202
Информатика с доп спец
физика
050202 Информатика со специализацией
3
С
е
м
е
с
т
р
5
3
5
Трудоемкост
ь
Виды учебной работы в часах
ВсеЛК ПР/ ЛБ
Сам
го
СМ
.
ауди
рат.
бота
Вид итогового
контроля (форма отчетности)
90
44
20
24
-
46
экзамен
130
66
30
36
-
64
экзамен
1.6 Содержание дисциплины.
1.6.1 Разделы дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение учебного времени:
№
п/п
Всего
ауд.
ПР
Сам
.
раб.
15
15
Л
е
к
ц
и
и
6
6
9
9
12
14
12
6
6
12
12
6
6
12
Раздел дисциплины
1.
2.
3.
4.
Группы, кольца, идеалы, факторкольца
Кольцо целых чисел. Теория делимости в кольце целых чисел.
Кольцо многочленов от одной переменной. Теория
делимости.
Алгебраические методы в теории кодирования и за-
5.
щиты информации.
Поля. Расширения полей. Алгебраические и конечные
расширения.
ИТОГО:
12
6
6
14
66
30
36
64
1.6.2 Содержание разделов дисциплины.
ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ИДЕАЛЫ, ФАКТОРКОЛЬЦА
Определение бинарной алгебраической операции. Алгебраические структуры с одной бинарной операцией. Понятие группы. Примеры и свойства групп. Подгруппы. Нормальные подгруппы и факторгруппы. Гомоморфизмы групп. Изоморфизмы. Алгебраические структуры с
двумя бинарными алгебраическими операциями. Понятие кольца. Примеры и свойства колец.
Подкольца. Идеалы кольца. Факторкольца.
КОЛЬЦО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ. ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В КОЛЬЦЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
Кольцо целых чисел. Отношение делимости, его простейшие свойства. Теорема о делении с
остатком. Кольцо классов вычетов. НОД, НОК: Алгоритм Евклида и теорема Ламе; расширенный алгоритм Евклида; Алгоритм Евклида и цепные дроби. Простые числа. Разложение целых
чисел на множители; разложение больших целых чисел на множители. Точные вычисления, использующие модулярную арифметику. Представление больших целых чисел в памяти компьютера. Извлечение корней из больших целых чисел. Проверка свойств больших целых чисел.
КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
Построение кольца многочленов над полем. Отношение делимости многочленов. Теорема о
делении с остатком. Деление на двучлен, схема Горнера, формула Тейлора. Корни многочлена,
теорема Безу. НОД и НОК многочленов. Алгоритм Евклида и его следствия. Взаимно простые
многочлены. Приводимые и неприводимые многочлены. Разложение на неприводимые множители, единственность разложения. Понятие о многочленах от нескольких переменных.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ КОДИРОВАНИЯ И ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ
Алфавитное кодирование. Неравномерное кодирование слов. Неравенство Макмиллана. Кодирование с минимальной избыточностью, алгоритм Фано. Оптимальное кодирование, кодовое
расстояние. Кодирование с исправлением ошибок, код Хэмминга. Симметричные и асимметричные криптосистемы.
ПОЛЯ. РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ И КОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ
Понятие поля. Примеры и свойства полей. Поле комплексных чисел. Конечные поля. Поле
Галуа. Расширения полей. Конечные расширения поля. Строение простого алгебраического
расширения. Определение алгебраических и трансцендентных чисел над полем.
1.6.3 Темы для самостоятельного изучения.
№
п/п
1
2
3
Наименование раздела
дисциплины.
Тема.
Группы, кольца, идеалы,
фактор кольца
Кольцо целых чисел.
Теория делимости в
кольце целых чисел.
Кольцо многочленов от
Форма самостоятельной работы
- вопросы для самостоятельного изучения,
Кол- Форма контроля выполво
нения самостоятельной
часов
работы
13
Коллоквиум
вопросы для самостоятельного изучения,
13
Коллоквиум
вопросы для самостоятель-
13
Коллоквиум
4
5
одной переменной. Теория делимости.
Алгебраические методы
в теории кодирования и
защиты информации.
Поля. Расширения полей. Алгебраические и
конечные расширения.
ного изучения,
-контрольная работа
вопросы для самостоятельного изучения,
вопросы для самостоятельного изучения,
- контрольная работа
13
Коллоквиум
12
Коллоквиум
1.7 Методические рекомендации по организации изучения дисциплины.
1.7.1 Тематика и планы практических занятий по изученному материалу
1.8 Учебно-методическое обеспечение дисциплины.
1.8.1 Рекомендуемая литература:
Основная литература.
1. Кострикин, А. И.Введение в алгебру : учебник для студ. ун-тов, обуч. по спец. "Математика" и "Прикладная математика" : в 3 ч. Ч.3 : Основные структуры / А. И. Кострикин. 2-е изд., испр. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2001. гриф
2. Матрос, Д. Ш.Элементы абстрактной и компьютерной алгебры : учеб. пособие для студ.
вузов, обуч. по спец. 050202 (030100)"Информатика" / Д. Ш. Матрос, Г. Б. Поднебесова.
- М. : Академия, 2004. гриф
Дополнительная литература.
1. Акритас А. Основы компьютерной алгебры с приложениями /Пер. с англ. - М.: Мир,
1994.
2. Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Учпедгиз, I960.
3. Гоппа В.Д. Введение в алгебраическую теорию информации. – М.: Наука. Физматлит,
1995.
4. Дэвенпорт Дж., Сирэ И., Турнье Э. Компьютерная алгебра: системы и алгоритмы алгебраических вычислений. - М.: Мир, 1991.
5. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: "Высшая школа", 1979.
6. Куликов Л.Я., Москаленко А.И., Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и теории чисел. М.: "Просвещение", 1993.
7. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1975.
8. Кокс Д., Литтл Дж., О'Ши Д. Идеалы, многообразия, алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебры: Пер. с англ. - М.:
Мир, 2000.
9. Нечаев В.И. Элементы криптографии (Основы теории защиты информации): учебное
пособие для университетов и педвузов. /Под.ред. В.А. Садовничего. - М.: Высш. шк.,
1999.
10. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. — М.: Высш. шк., 2001.
11. Новиков Ф. А. Дискретная математика для программистов. — СПб.: Питер, 2001.
12. Норден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика (с упражнениями и решениями): Пер.
с франц. - М.: Мир, 1999.
13. Окунев Л.Л. Высшая алгебра. - М.: Просвещение, 1966.
14. Окунев Л.Л. Сборник задач по высшей алгебре. - М.: "Просвещение", 1966.
15. Мальцев А.И. Алгоритмы и рекурсивные функции. - М.: Наука, 1986.
16. Шниперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - Минск, "Высш. шк.", 1982.
17. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. - М.: Физматгиз, 1961.
18. Кнут Д. Искусство программирования, т. 2. Получисленные алгоритмы, 3-е изд. /Пер. с
англ.: Уч. пос. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2000
19. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. – М.: МЦНМО,
1999.
1.9 Материально-техническое обеспечение дисциплины.
1.10 Примерные зачетные тестовые задания.
1.11 Примерный перечень вопросов к экзамену.
1.12 Комплект экзаменационных билетов.
1.13. Примерная тематика рефератов.
1.14. Примерная тематика курсовых работ.
1.15. Примерная тематика квалификационных (дипломных) работ.
1.16. Методика(и) исследования (если есть).
1.17. Бально-рейтинговая система.
РАЗДЕЛ 2. Методические указания по изучению дисциплины (или ее разделов) и контрольные задания для студентов заочной формы обучения.
РАЗДЕЛ 3. Содержательный компонент теоретического материала.
ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ИДЕАЛЫ, ФАКТОРКОЛЬЦА
Определение бинарной алгебраической операции. Алгебраические структуры с одной бинарной
операцией. Понятие группы. Примеры и свойства групп. Подгруппы. Теорема Лагранжа. Нормальные подгруппы и факторгруппы. Гомоморфизмы групп. Изоморфизмы. Алгебраические
структуры с двумя бинарными алгебраическими операциями. Понятие кольца. Примеры и
свойства колец. Подкольца. Идеалы кольца. Факторкольца.
КОЛЬЦО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ. ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В КОЛЬЦЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
Кольцо целых чисел. Отношение делимости, его простейшие свойства. Теорема о делении с
остатком. Кольцо классов вычетов. НОД, НОК: Алгоритм Евклида и теорема Ламе; расширенный алгоритм Евклида; Алгоритм Евклида и цепные дроби. Простые числа. Разложение целых
чисел на множители; разложение больших целых чисел на множители. Точные вычисления, использующие модулярную арифметику. Представление больших целых чисел в памяти компьютера. Извлечение корней из больших целых чисел. Проверка свойств больших целых чисел.
КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
Построение кольца многочленов над полем. Отношение делимости многочленов. Теорема о
делении с остатком. Деление на двучлен, схема Горнера, формула Тейлора. Корни многочлена,
теорема Безу. НОД и НОК многочленов. Алгоритм Евклида и его следствия. Взаимно простые
многочлены. Приводимые и неприводимые многочлены. Разложение на неприводимые множители, единственность разложения. Понятие о многочленах от нескольких переменных.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ КОДИРОВАНИЯ И ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ
Алфавитное кодирование. Неравномерное кодирование слов. Неравенство Макмиллана. Кодирование с минимальной избыточностью, алгоритм Фано. Оптимальное кодирование, кодовое
расстояние. Кодирование с исправлением ошибок, код Хэмминга. Симметричные и асимметричные криптосистемы.
ПОЛЯ. РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ И КОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ
Понятие поля. Примеры и свойства полей. Поле комплексных чисел. Конечные поля. Поле Галуа. Расширения полей. Конечные расширения поля. Строение простого алгебраического расширения. Определение алгебраических и трансцендентных чисел над полем.
РАЗДЕЛ 4. Словарь терминов (глоссарий).
РАЗДЕЛ 5. Практикум по решению задач.
РАЗДЕЛ 6. Изменения в рабочей программе, которые произошли после утверждения программы.
Характер изменений в
программе
Номер и дата протокола заседания кафедры, на котором
было принято данное решение
Подпись заведующего
кафедрой, утверждающего внесенное изменение
Подпись декана факультета (проректора по учебной работе), утверждающего данное изменение
РАЗДЕЛ 7. Учебные занятия по дисциплине ведут:
Ф.И.О., ученое звание и степень
преподавателя
Скрябин А.В., старший преподаватель.
Учебный год
Факультет
2010-2011
ФМОИиП
Шиманский С.А., старший
преподаватель
2011-2012
ФМОИиП
Большакова Н.С., старший
преподаватель
2012-2013
ФМОИиП
Специальность
050201.00 – «Математика с дополнительной
специальностью»
050202.00 – «Информатика с дополнительной
специальностью»
050202.00 – «Информатика с дополнительной
специализацией»
050202.00 – «Информатика с дополнительной
специализацией»