010400 Комплексный анализ

1
2
3
4
1.
Цели и задачи дисциплины
1.1. Цель, задачи дисциплины, ее место в подготовке бакалавра, специалиста (с учетом
требований ФГОС)
Дисциплина «Комплексный анализ» является одной из базовых дисциплин математического и
естественно-научного цикла дисциплин ФГОС ВПО по направлению «Прикладная математика и
информатика». Дисциплина является общим и теоретическим основанием для многих
математических методов и основ математического моделирования в практической деятельности,
входящих в ООП бакалавра экономики.
Цели: оснастить студентов математическим аппаратом, необходимым для применения
математических методов в практической деятельности и в экономических исследованиях;
сформировать у студентов представление о комплексном анализе, как об одной из важнейших
областей современной науки, развить навыки практического применения аппарата комплексного
анализа и реализовать изучаемые алгоритмы с помощью современных информационных
технологий.
Задачи: теоретическое и практическое освоение студентами современных концепций и моделей
теории функций комплексного переменного; приобретение практических навыков применения
изучаемого аппарата в прикладных математических задачах.
1.2.Требования к уровню усвоения дисциплины
Студент должен знать: применения математических методов и элементов научных исследований
в прикладных задачах и оценивания пределов применимости полученных результатов.
Студент должен уметь: применять изученные методы к отысканию физических характеристик
процессов. Использовать математические модели для конкретных процессов и проводить расчеты в
рамках построенных моделей.
Студент должен иметь представление о функциях комплексного переменного и их свойствах,
рядах Лорана, особых точках и вычетах, о математике как особом способе познания мира и о
математическом моделировании.
У студента должны быть сформированы следующие общекультурные компетенции (ОК) и
профессиональные компетенции (ПК): ПК-1–обладать способностью демонстрации общенаучных
базовых знаний естественных наук, математики и информатики, понимание основных фактов,
концепций, принципов теорий, связанных с прикладной математикой и информатикой ; ПК-2 –
обладать способностью приобретать новые научные и профессиональные знания, используя
современные образовательные и информационные технологии; ПК-11 – обладать способностью
приобретать и использовать организационно-управленческие навыки в профессиональной и
социальной деятельности.
1.3. Связь с другими дисциплинами Учебного плана
Перечень действующих и предшествующих дисциплин
Математический анализ
Теория вероятностей и математическая статистика
Дифференциальные уравнения
Функциональный анализ
Эконометрика
Численные методы
Методы оптимизации
Дискретная математика
Перечень последующих дисциплин, видов работ
Дипломное проектирование
2. Содержание дисциплины, способы и методы учебной деятельности преподавателя
Методы обучения – система последовательных, взаимосвязанных действий, обеспечивающих усвоение
содержания образования, развитие способностей студентов, овладение ими средствами самообразования и
самообучения; обеспечивают цель обучения, способ усвоения и характер взаимодействия преподавателя и
студента; направлены на приобретение знаний, формирование умений, навыков, их закрепление и контроль.
Монологический (изложение теоретического материала в форме монолога)
М
5
Показательный (изложение материала с приемами показа)
Диалогический (изложение материала в форме беседы с вопросами и ответами)
Эвристический (частично поисковый) (под руководством преподавателя студенты
рассуждают, решают возникающие вопросы, анализируют, обобщают, делают выводы и
решают поставленную задачу)
Проблемное изложение (преподаватель ставит проблему и раскрывает доказательно пути
ее решения)
Исследовательский (студенты самостоятельно добывают знания в процессе разрешения
проблемы, сравнивая различные варианты ее решения)
Программированный (организация аудиторной и самостоятельной работы студентов
осуществляется в индивидуальном темпе и под контролем специальных технических средств)
Другой метод, используемый преподавателем (формируется самостоятельно), при этом в п.п.
2.1.-2.4. дается его наименование, необходимые пояснения
П
Д
Э
ПБ
И
ПГ
Приведенные в таблице сокращения обозначения педагогических методов используются составителем
Рабочей программы для заполнения п.п. 2.1., 2.2. и 2.3. в столбце «Методы».
24, 25
26, 27
24
25
8
2
Очная форма обучения
Восьмой семестр
Лекции
Модуль 1 «Исчисление функций комплексного
переменного »
Тема «Основные понятия ТФКП»
Определение ФКП, область определения, область значений.
Однозначные и многозначные функции. Реальная и мнимая
части функции. Производная ФКП. Дифференцируемость.
Теорема о необходимом и достаточном
условиях
дифференцируемости функции в точке. Условия КошиРимана. Геометрический смысл производной: угол поворота и
коэффициент растяжения.
2
2
-
Реализуемые
компетенции
Вид занятия, модуль, тема и краткое содержание
Методы
в том числе в
интерактивной
форме, час.
Неделя
Кол. час
2.1. Аудиторные занятия (лекции, лабораторные, практические, семинарские)
М,Д,И,Э
М, Д
ПК-1,
ПК-2,
ПК-11
М
ПК-1,
ПК-2,
ПК-11
М, Д
ПК-1,
ПК-2,
ПК-11
Тема « Интегральная формула Коши»
Теорема о независимости интеграла от пути интегрирования.
Интегральная формула Коши.
Теорема Коши для
многосвязной области.
М, Д
ПК-1,
ПК-6
Модуль 2 «Ряды в комплексной области»
М, И, Д,
Э
Тема «Свойства аналитических функций»
Понятие аналитичности ФКП. Определение гармонической
функции. Уравнение Лапласа. Теорема о связи аналитических
и гармонических функций. Основные элементарные функции
комплексного
переменного
и
их
свойства
(e z , Ln z,sin z,cos z, sh z, ch z, Arc sin z, Arc cos z) .
26
2
27
2
28, 29,
30, 31
8
28
2
2
-
-
Тема «Интегральное исчисление ФКП»
Интеграл от ФКП вдоль кривой, свойства. Теорема Коши для
односвязной области.
Тема «Степенные ряды, их свойства».
М, Д
ПК-1,
6
Числовые ряды с комплексными членами. Абсолютная
сходимость. Степенные ряды. Теорема Абеля. Круг и радиус
сходимости. Свойства степенных рядов.
29
30
31
2
2
-
2
16
4
24
4
-
25
4
2
26
4
2
27
4
-
28-31
16
4
28
4
2
29
4
-
30
4
2
4
М, Д
ПК-1,
ПК-2,
ПК-11
М, Д
ПК-1,
ПК-2,
ПК-11
Тема «Нули аналитической функции, ИОТОХ, вычеты»
Нули аналитической функции. Порядок нуля. Теорема о нулях
функции. Особые точки и их классификация. Устранимая
особая точка. Полюс, порядок полюса. Существенно особая
точка. Поведение функции в окрестности особой точки. Вычет
функции относительно изолированной особой точки. Формулы
для вычисления вычетов. Основная теорема о вычетах.
Применение вычетов к вычислению интегралов.
24-31
31
Тема «Ряд Тейлора»
Ряд Тейлора. Теорема о разложении аналитической функции в
ряд Тейлора. Единственность разложения функции в ряд
Тейлора. Отыскание радиуса сходимости ряда Тейлора, если
функция имеет особые точки.
Тема «Ряды Лорана»
Ряды Лорана. Определение. Главная и правильная части
Лорана. Кольцо сходимости ряда Лорана. Теорема Лорана о
разложении аналитической функции кольце в ряд. Схема
разложения функций в ряд Лорана.
ПК-2,
ПК-11
-
Очная форма обучения
Восьмой семестр
Практические занятия
Модуль 1 «Исчисление функций комплексного
переменного»
Тема «Основные понятия ТФКП»
Выделение реальной и мнимой частей у функций комплексных
переменных.
Основные
элементарные
функции
и
исследование их свойств.
Тема «Производная ФКП»
Условие Коши-Римана. Восстановление функции f(x) по ее
реальной или мнимой частям. Геометрический смысл
производной. Вычисление угла поворота и коэффициента
растяжения при отображении
Тема «Интегральное исчисление ФКП»
Вычисление интеграла по контуру.
Тема «Интегральная формула Коши»
Интегральная формула Коши и ее применение к вычислению
интегралов.
Модуль 2 «Ряды в комплексной области»
Тема «Степенные ряды с комплексными переменными»
Область сходимости степенных рядов. Разложение функций в
ряды Тейлора и Маклорена
Тема « Ряд Лорана»
Ряды Лорана. Схема разложения. Кольцо сходимости ряда
Лорана
Тема «Нули функции»
Нули функции. Особые точки и их классификация.
Тема «Вычеты ФКП»
Вычисление вычетов в изолированных особых точках.
Основная теорема Коши о вычетах и ее применение к
вычислению интегралов.
ПК-1,
ПК-2,
ПК-11
М,Э,И,Д,
ПБ
М,Э,Д
ПК-1,
ПК-2,
ПК-11
М,Э,Д,И
ПК-1,
ПК-2,
ПК-11
М, И, Д,
Э
М, И, Д,
Э
ПК-1,
ПК-2,
ПК-11
ПК-1,
ПК-2,
ПК-11
М,Э,И,Д,
ПБ
М,И,Д,Э
М,И,Э,Д
М,И,Д,Э
М,И,Д,Э
ПК-1,
ПК-2,
ПК-11
ПК-1,
ПК-2,
ПК-11
ПК-1,
ПК-2,
ПК-11
ПК-1,
ПК-2,
ПК-11
7
Неделя
Кол. час
Темы, разделы, вынесенные на самостоятельную подготовку, вопросы к практическим и
лабораторным занятиям; тематика рефератной работы, контрольных работ,
рекомендации по использованию литературы и ЭВМ и др.
Реализуемые
компетенции
2.2.Самостоятельная работа студента
Очная форма обучения
Восьмой семестр
24-27
12
Модуль 1 «Исчисление функций комплексного переменного»
24
2
Выделение реальной и мнимой частей у функций комплексных переменных. Свойства
элементарных ФКП.
25
4
Условие Коши-Римана. Восстановление функции f(x) по ее реальной или мнимой
частям. Геометрический смысл производной. Вычисление угла поворота и
коэффициента растяжения при отображении.
26
4
Вычисление интеграла по контуру. Интегральная формула Коши и ее применение к
вычислению интегралов.
27
2
Подготовка к контрольной работе по модулю 1.
Усвоение текущего учебного материала.
28-31
12
Модуль 2 «Ряды в комплексной области»
28
2
Область сходимости степенных рядов. Разложение функций в ряды Тейлора и
Маклорена
29
2
Нули функции. Особые точки и их классификация.
30
2
31
2
Вычисление вычетов в изолированных особых точках. Основная теорема Коши о
вычетах и ее применение к вычислению интегралов.
Подготовка к контрольной работе по модулю 2.
24-31
2
24-31
2
ПК-1,
ПК-2,
ПК-11
ПК-1,
ПК-2,
ПК-11
ПК-1,
ПК-2,
ПК-11
ПК-1,
ПК-2,
ПК-11
ПК-1
ПК-2,
ПК-11
ПК-1,
ПК-2,
ПК-11
ПК-1,
ПК-2,
ПК-11
ПК-3
ПК-1
ПК-2
ПК-2
ПК-4
Усвоение текущего учебного материала.
Темы и вопросы, определяемые преподавателем с учетом интересов студента.
Тема «Вычисление вычетов в изолированных особых точках»
ПК-4
2.3. Интерактивные технологии и инновационные методы, используемые
образовательном процессе
Основаны на использовании современных достижений науки и информационных технологий.
Направлены на повышение качества подготовки путем развития у студентов творческих
способностей и самостоятельности (методы проблемного обучения, исследовательские методы,
тренинговые формы, рейтинговые системы обучения и контроля знаний и др.). Нацелены на
активизацию творческого потенциала и самостоятельности студентов и могут реализовываться на
базе инновационных структур (научных лабораторий, центов, предприятий и организаций и др.).
№
Наименование основных форм
Применение
электронных мультимедийных
учебников и учебных пособий
Деловые и ролевые игры
Краткое описание и примеры,
использования в модулях темах, место
проведения
Находятся в электронном читальном зале
РГЭУ (РИНХ)
Учебная деловая игра по теме «Функции
комплексного переменного» в модуле 1
Часы
2
в
8
Разбор конкретных ситуаций
Использование проблемно-ориентированного
междисциплинарного подхода к изучению наук
Ориентация содержания на лучшие
отечественные аналоги образовательных
программ
восьмого семестра на практическом
занятии
Тема «Условие Коши-Римана.
Восстановление функции f(x) по ее
реальной или мнимой частям» в модуле 2
на лекции.
Тема «Интегральная формула Коши и ее
применение к вычислению интегралов» в
модуле 2 на лекции.
Содержание дисциплины ориентируется на
образовательную программу Финансового
университета при правительстве
Российской Федерации
14
3. Средства обучения
3.1.Информационно-методические
№
Перечень основной и дополнительной литературы, методических разработок; с указанием наличия в
библиотеке
Основная литература:
Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций, URSS, 2013. 424 с.
5
1.
2.
Кан Е. Х., Пестова Н.Ф. Функции комплексного переменного, URSS, 2010, 216 с.
12
Дополнительная литература
1.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Том 2. – 1985.- 560 c.
2.
Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Т.2. Изд. 2. -М: Наука. - 1976. - 400 с.
3.
Янушаускас А. И. Аналитические и гармонические функции многих переменных.Новосибирск: Наука, сиб. отд., 1981.- 184 с.
4.
Валирон Ж. Аналитические функции. М.: ГИТТЛ, 1957, 236 c.
5.
Владимиров В.С. Методы теории функций многих комплексных переменных. М.: Наука,
1964, 414 с.
2
6.
Ганнинг Р., Росси Х. Аналитические функции многих комплексных переменных. М.: Мир,
1969, 397 с.
2
7.
Гончаров В.Л. Теория функции комплексного переменного. М.: Учпедгиз, 1955, 353 с.
8.
Гурвиц А., Курант P. Теория функций. М.: Наука, 1968, 648 с.
9.
Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. т.1. - М.: Наука. - 1967. -488 с.
10
4
2
2
10
6
5
10. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. т.2. - М.: Наука. - 1968. - 624 с.
5
Ангилейко И.М., Козлова Р.В. Задачи по теории функций комплексной переменной. Мн.:
11. Выш. школа, 1976, 128 с.
2
3.2. Материально-технические
№ ауд.
206214,
417,521
Основное оборудование, специально оборудованные
кабинеты
и
аудитории:
компьютерные
классы,
лингафонные кабинеты,
аудитории, оборудованные
мультимедийными средствами обучения, обеспечивающие
проведение лабораторных и практических занятий, научноисследовательской работы студентов.
Компьютерная техника.
Основное назначение (опытное,
обучающее, контролирующее) и
краткая характеристика использования
при изучении явлений и процессов,
выполнении расчетов.
ППП МS Excel, Eviews 6.0
9
429,
431
Телевизионная техника для презентаций.
4. Текущий, промежуточный контроль знаний студентов
№
1.
2.
Тесты, темы курсовых работ/проектов, вопросы для текущего контроля, для подготовки к зачету,
экзамену
Тестовые задания
Модуль 1 (образец)
Задание 1. Вычислить
 Im zdz , где С — прямолинейный отрезок, соединяющий точку 0 с точкой 2 + i.
C
Варианты ответов:
а) -1+3i,
б) 1 + 0,5i,
в) 2 – i.
Задание 2. . Вычислить интеграл
2z3  1
  z  1
4
dz
z 2 2
Варианты ответов: а)
i ;
б) 4 i ;
в)
4 i .
Задание 3. Определить радиус сходимости степенного ряда:

n z
n n
n 1
Варианты ответов: а)
i ;
б) 0 ;
в)
4i .
Модуль 2 (образец)
Задание 4. Определить радиус сходимости степенного ряда:

1
 n! z
n 1
Варианты ответов: а)
0;
n
10
б)
;
в)
4 .
Задание 5. Найти вычеты указанных функций относительно всех изолированных особых точках и
относительно бесконечно удаленной точки:
1
z (1  z 2 )
Варианты ответов: а) Res
f(0) =1;
б)
Res f(0) =i;
в)
Res f(0) =1+i.
4.2.Индивидуальные задания
Темы модулей 1 и 2
Найдите угол поворота
1.
W
 и коэффициент растяжения
1 .
z2
f z  
Найдите все Лорановские разложения функции
2.
k в точке z0  1  i при отображении
z0  3 .
f ( z) 
ci
3.
Разложить функцию
4.
Вычислите интеграл, применяя теорему о вычетах.
 z  1
2
4z  8
в окрестности точки
z  1z  3
в ряд Лорана в области
z 1
eiz
 z  2 dz
z 4
Вычислить вычеты во всех изолированных особых точках функций:
5.
f ( z) 
а)
cos(cz )
z 
3
f ( z) 
б)

2c
z
,
2
e2 z  1  2 z
.
z 3 ( z  c)
4.3.Темы контрольных работ
1
Модуль 1. Исчисление функций комплексного переменного.
2
Модуль 2. Ряды Лорана. Вычеты.
4.4.Вопросы к зачету за восьмой семестр
1.
2.
3.
4.
5.
Определение ФКП, область определения, область значений.
Производная ФКП. Дифференцируемость.
Условия Коши- Римана. Геометрический смысл производной: угол поворота и коэффициент
растяжения
Понятие аналитичности ФКП.
Определение гармонической функции. Уравнение Лапласа.
11
Основные элементарные функции комплексного переменного и их свойства.
Интеграл от ФКП вдоль кривой, свойства.
Теорема Коши для многосвязной области.
Числовые ряды с комплексными членами. Абсолютная сходимость.
Теорема Абеля. Круг и радиус сходимости. Свойства степенных рядов.
Теорема о разложении аналитической функции в ряд Тейлора.
Кольцо сходимости ряда Лорана. Теорема Лорана о разложении аналитической функции кольце в
ряд.
13. Особые точки и их классификация. Устранимая особая точка. Полюс, порядок полюса.
14. Основная теорема о вычетах. Применение вычетов к вычислению интегралов.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
4.5 .Задание для студентов заочной формы обучения.
Домашнее задание представляет собой письменную работу, которая должна продемонстрировать
степень усвоения знаний, приобретенных студентом в ходе самостоятельной подготовки. Задание состоит
из 10 вариантов задач по основным темам дисциплины.
Сдача контрольной работы производится в форме собеседования, в ходе которого студент сначала
кратко излагает основные выводы т результаты работы и отвечает на замечания, отмеченные в рецензии.
По результатам защиты выставляется окончательная оценка, которая учитывает и ответы студента на
вопросы, заданные преподавателем.
5. Дополнения и изменения в рабочей программе на учебный год _____/______
Следующие записи относятся к п.п.
Автор
Зав. кафедрой
Принято УМУ__________________________________ Дата:_____________________