11Tema14_Urok1

Класс 11. Модуль 14. Элементы теории функции
комплексного переменного
В этой главе мы рассмотрим примеры функций комплексного переменного,
установим связь некоторых из них с перемещениями плоскости, покажем, как с помощью
комплексных чисел получить основные свойства инверсии, приведем одну из знаменитых
формул Эйлера и с ее помощью определим некоторые степени с комплексными
показателями.
1. Линейные функции комплексного переменного
План урока
1. Понятие функции комплексного переменного
2. Преобразование сдвига
3. Преобразование поворота около начала координат
4. Преобразование гомотетии
6. Преобразование поворота около заданной оси
7. Произвольная линейная функция комплексного переменного
1. Понятие функции комплексного переменного
В курсе математики много раз рассматривались числовые функции действительного
аргумента. В некоторых задачах оказываются полезными функции комплексного
аргумента. Они называются обычно функциями комплексного переменного.
Функцией комплексного переменного f называют правило, которое каждому
комплексному числу z из заданного множества D комплексных чисел ставит в
соответствие вполне определенное комплексное число w Записывают это соответствие в
виде w  f ( z ) Множество D называется областью определения функции f 
Одним из способов задания функции комплексного переменного является запись
формулы, по которой вычисляют значения функции. В этом случае обычно предполагают,
что область определения совпадает с множеством тех значений аргумента, при которых
выполнимы все операции, участвующие в записи формулы. Например, функция
f ( z )  12  z  1z  определена для всех z  C  z  0
Функции действительного аргумента можно считать частным случаем функций
комплексного переменного, так как такие функции определяются на подмножестве R
множества C
Вопрос. При каких z функция f ( z )  12  z  1z  принимает значение 0?
2. Преобразование сдвига
Выберем и зафиксируем комплексное число m  a  bi где a b  R Рассмотрим функцию
f ( z )  z  m
определенную на множестве C Пусть z  x  yi и f ( z )  x1  y1i где x y x1 y1 —
действительные числа. По указанному правилу
x1  y1i  ( x  yi)  (a  bi)  ( x  a)  ( y  b)i
Изобразим комплексные числа z и z  m точками координатной плоскости. Мы видим,
что функция f ( z )  z  m переводит точку z с координатами ( x y ) в точку w с
координатами ( x1  y1 ) так, что
x1  x  a
y1  y  b
Полученное правило преобразования координат точек совпадает с правилом
преобразования координат при параллельном переносе на вектор (a b) изображающий
число m (рисунок 1). Следовательно, функция f ( z )  z  m определяет параллельный
перенос координатной плоскости на вектор, соответствующий числу m
Вопрос. Пусть m  C Какое преобразование координатной плоскости определяет
функция f ( z )  z  m где z  C
3. Преобразование поворота около начала координат
Выберем и зафиксируем комплексное число m модуль которого равен 1. Рассмотрим
функцию
f ( z )  mz
определенную на множестве C
Если z  0 то w  f (0)  m  0  0
При z  0 представим числа в тригонометрической форме.
Пусть z  r (cos a  i sin a ) Так как  m  1 то m  cos   i sin   где  –аргумент числа m
По правилу умножения чисел, записанных в тригонометрической форме, имеем
w  f ( z )  mz  (cos   i sin  )  r (cos   i sin  ) 
 r (cos(   )  i sin(   ))
Изображая комплексные числа z и f ( z ) в координатной плоскости, получаем, что
функция f ( z )  mz переводит точку z с координатами (r cos   r sin  ) в точку w с
координатами ( x1  y1 ) так, что
x1  r cos(   ) y1  r sin(   )
Полученное правило преобразования координат точек совпадает с правилом
преобразования координат при повороте относительно начала координат на угол 
(рисунок 2). Таким образом, при  m  1 функция f ( z )  mz определяет поворот
координатной плоскости относительно начала координат на угол, равный аргументу числа
m
Вопрос. Какое преобразование координатной плоскости определяет функция f ( z )  mz
при m 
2
2

2
2
i
4. Преобразование гомотетии
Выберем и зафиксируем положительное действительное число t Рассмотрим функцию
f ( z )  tz
определенную на множестве C Пусть z  x  yi Тогда
w  x1  y1i  f ( z )  t ( x  yi )  tx  tyi
Изображая комплексные числа z и f ( z ) точками координатной плоскости, получаем, что
функция f ( z )  tz переводит точку z с координатами ( x y ) в точку w с координатами
( x1  y1 ) так, что
x1  tx y1  ty
Полученное правило преобразования координат точек совпадает с правилом
преобразования координат при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом
t (рис.3). Следовательно, при t  0 функция f ( z )  tz определяет гомотетию
координатной плоскости с центром в начале координат и коэффициентом t
Вопрос. Какое преобразование координатной плоскости определяет функция f ( z )   z
где z  C
6. Преобразование поворота около заданной оси
Возьмем a  cos 23  i sin 23 и m  3  i Рассмотрим функцию
f ( z )  a( z  m)  m
Для каждого z  C точка z  m получается из точки z параллельным переносом на m
(рисунок 3). Далее, точка a ( z  m) получается из точки z  m поворотом относительно 0
на угол 23 (рисунок 4). Наконец, точка a( z  m)  m получается из точки a ( z  m)
параллельным переносом на m (рисунок 5). Заметим, что при параллельном переносе на
m точки z  m 0 a( z  m) переходят соответственно в точки z , m , a( z  m)  m . Так
как точка a ( z  m) получается из точки z  m поворотом относительно 0 на 23  то после
параллельного переноса на m приходим к тому, что точка a( z  m)  m получается из
точки z поворотом относительно точки 3  i на угол 23 
Таким образом, функция
f ( z )  a ( z  m)  m
2
2
при a  cos 3  i sin 3 и m  3  i определяет поворот координатной плоскости
относительно точки 3  i на угол 23 
В общем случае, при  a  1 a  1 и произвольном m функция f ( x)  a( z  m)  m
определяет поворот координатной плоскости относительно точки m на угол, равный
аргументу числа a
Вопрос. Какое преобразование координатной плоскости определяет функция
f ( z )  i( z  1  2i)  1  2i
7. Произвольная линейная функция комплексного переменного
Пусть f ( z )  az  b где a и b — заданные комплексные числа.
При a  1 и произвольном b функция имеет вид f ( z )  z  b и определяет параллельный
перенос, осуществляемый вектором b
При a  1  a  1 и произвольном b составим равенство az  b   a( z  m)  m откуда
получим b  (1  a )m m  1ba  Тогда из предыдущего пункта следует, что f ( z )  az  b
определяет поворот плоскости с центром 1ba на угол, равный аргументу числа a
При остальных ненулевых значениях a и произвольных b функция f ( z )  az  b
определяет преобразование подобия плоскости.
Действительно,
рассмотрим
на
плоскости
произвольные
точки
( x1  y1 ) и ( x2  y2 ) , определяемые комплексными числами z1  x1  iy1 и z2  x2  iy2 .
Функция f ( z )  az  b переводит эти точки в точки w1  az1  b и w2  az2  b . Расстояние
между точками z1 и z2 равно модулю  z1  z2  , а расстояние между точками w1 и w2
равно
 w1  w2  (az1  b)  (az2  b)  a    z1  z2  
Мы видим, что отношение расстояний
 w1  w2 
 a 
 z1  z2 
постоянно. Так как в данном случае  a  1 , то функция f ( z )  az  b определяет
преобразование подобия.
Вопрос. Какое преобразование плоскости определяет функция f ( z )  (4  3i ) z  25
Тесты. Проверь себя. Выбери правильные ответы.
Центр поворота координатной плоскости, определяемого функцией f ( z )  i ( z  i  1)  i  1 ,
находится в точке
1. i  1
2. i
3. 1  i
4. ( i  1 ) / 2
Ответ: 1.
Для каких комплексных чисел z значения функции f ( z )  z 2 действительны?
1. только для всех вещественных чисел больших, либо равных нулю
2. только для всех вещественных чисел
3. только для всех чисто мнимых чисел
4. для всех вещественных чисел и для всех чисто мнимых чисел
Ответ: 4.
Выбрать число, которое не может быть значением функции f ( z )   zz
1. i
2.  i
1 i
3.
2
1 i
4.
2
Ответ: 3.
Какая из перечисленных ниже функций определяет поворот?
1. f ( z )  iz  i  1
2. f ( z )  iz  i  2
3. f ( z )  iz  2i  1
4. f ( z )  2iz  i  1
Ответ: 1.
Тесты. Проверь себя. Выбери все правильные ответы.
Для каких комплексных чисел z значение функции f ( z ) 
z
не определено?
z 1
1 i
2
2. i
1 i
3.
2
1 i
4.
2
Ответ: 2, 3.
1.
Какие из функций определяют параллельный перенос координатной плоскости?
1. f ( z )  2 z  i
2. f ( z )  z  i  1
3. f ( z )  2 z  2
4. f ( z )  z  i 2
Ответ: 2, 4.
Какие из функций определяют поворот координатной плоскости относительно начала
координат?
1. f ( z )  (1  i) z
1 i
2. f ( z )  (
)z
2
1 i
)z
3. f ( z )  (
2
4. f ( z )  iz
Ответ: 2, 4.
Какие из функций переводят точку 1+i в точку 2+3i?
1. f ( z )  z  1  i
2. f ( z )  2 z  i
3. f ( z )  3z  i
4. f ( z )  2( z  i)
Ответ: 1, 2, 3.
Миниисследование
Соответствует ли действительности утверждение, что любой сдвиг можно представить в
виде комбинации двух последовательных поворотов?
Домашнее задание
1. Какое преобразование координатной плоскости определяет данная функция f ( z ) :
а) f ( z )  z  i б) f ( z )  iz в) f ( z )  2z 
г) f ( z )  zi  д) f ( z )  iz
2. В какую фигуру преобразуется окружность радиуса 1 с центром в начале координат с
помощью данной функции f ( z ) :
а) f ( z )  z  i
б) f ( z )  2 z
в) f ( z )  iz
3. Найти, в какую фигуру преобразуется окружность радиуса 1 с центром в точке (01) с
помощью функции f ( z ) :
а) f ( z )  iz  1
б) f ( z )  i( z  1)  1
в) f ( z )  2( z  i )  3 г) f ( z )  i ( z  2i)  2
Рисунки
Рис.1 - 11-15-01.EPS
Рис.2 - 11-15-02.EPS
Рис.3 - 11-15-03.EPS
Рис.4 - 11-15-04.EPS
Рис.5 - 11-15-05.EPS