1(91-94)
реклама
ИНФОРМАЦИОННЫЙ МЕТОД МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ НЕЧЕТКИХ ИЗМЕРЕНИЙ КВАНТОВОГО СОСТОЯНИЯ В ЭКСПЕРИМЕНТЕ ПО НАБЛЮДЕНИЮ РАБИ-ОСЦИЛЛЯЦИЙ Мельник С.И.1, Слипченко Н.И.1, Мельник С.С.2 1 Харьковский национальный университет радиоэлектроники 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, каф. МЭПУ, тел. (057) 702-13-62, E-mail: [email protected]; факс (057) 702-11-13 2 Институт радиофизики и электроники им. А.Я. Усикова НАН Украины 61085, Харьков, ул. Академика Проскуры, 12, тел. (057) 315-00-06, 720-33-19 The dynamics of two-level quantum system in a mode of Rabi-oscillations in continuous fuzzy supervision. This interaction is described by the information method. Quantum Bayes theorem and scale invariance is used in the transition to a continuous description. . This makes it possible to do without specifying the mechanism of interaction between the observed system and the sensor. Write the equation of Chapman-Kolmogorov and Fokker-Planck equation for this process. The possibility of comparing their solutions with experimental results. Введение В последнее время большое внимание в физике уделяется как проблемам построения квантового компьютера, так и общетеоретическим аспектам описания физических процессов, обеспечивающих получение, передачу и преобразование квантовой информации. В теории классических измерений давно установлено, что «энергетическая стоимость» получения одного бита информации связана с температурой датчика и равна kT . Этот факт позволяет в ряде случаев абстрагироваться от конкретного механизма взаимодействия датчика с наблюдаемым объектом и получать общие соотношения, характеризующие закономерности измерительных процессов [1]. В теории квантовых измерений возникает аналогичная возможность, связанная с тем, что не только энергетическая составляющая, но и все квантовое состояние наблюдаемой системы полностью и однозначно определяется полученной при его наблюдении информацией. Математически этот факт строго обоснован в доказательстве квантовой теоремы Байеса. В настоящей работе на примере непрерывных нечетких измерений квантового состояния в эксперименте по наблюдению Раби-осцилляций продемонстрирована эффективность такого информационного подхода. Без привлечения микроскопической модели, только лишь на основе анализа информационных потоков, получено уравнение стохастической динамики квантового состояния непрерывно наблюдаемого твердотельного кубита. Методика моделирования ННИ в информационном подходе Чистое состояние двухуровневой системы может быть представлено как суперпозиция собственных векторов, соответствующих этим уровням: C C . При воздействии на систему с резонансной частотой возникают осцилляции Раби с частотой, пропорциональной интенсивности воздействия: C ( t ) C (0) cos(vt ) iC (0) sin( vt ) . Так как мы рассматриваем единичную систему, то в любой момент времени она находится в чистом состоянии и выполняется условие нормировки: C (t) 2 C (t) 2 1 . Динамика наблюдаемой системы описывается функцией (t ) . При разрушающем четком измерении энергии системы может быть получен один из результатов E / 2 с вероятностями cos2 и sin 2 соответственно. Результаты численного моделирования динамики такой системы для фазово-зарядового твердотельного кубита описаны в [2] 91 Рассмотрим основные принципы описания нечетких квантовых измерений. В теории классических измерений погрешность (нечеткость в нашей терминологии) определяется как отклонение полученного результата от истинного значения. В рассматриваемом случае она характеризуется не нулевой вероятностью получить при измерении энергии значение E i , если система находится в чистом состоянии, соответствующем одному из двух уровней. В рамках квантово-механического формализма следует отказаться от иллюзии существования истинного значения измеряемой величины. Можно при этом считать, что вероятности получить возможные значения наблюдаемых переменных и определяют полностью состояние наблюдаемой системы. В противном случае можно говорить о потере части измерительной информации и описывать состояние наблюдаемой системы как смешанное. Изменение состояния наблюдаемой системы, описанного как распределение по значениям энергии, можно рассчитывать по классической формуле Байеса. Оно записывается в диагональных элементах матрицы плотности. Однако наличие не коммутирующих операторов измерения, соответствующих сопряженным квантовым переменным состояния, требует введения дополнительных параметров описания, которые представляют собой ее недиагональные элементы. Для расчета их изменения при получении того или иного нечеткого результата следует воспользоваться предположением об отсутствии неучтенных взаимодействий. Тогда чистое до измерения состояние должно остаться чистым, и после получения и учета результата измерения. Отметим, что входящая в формулу Байеса функция условной вероятности E i ; E получить нечеткий результат E i при наблюдении системы, находящейся в чистом состоянии E , может быть произвольной, и определяется как свойствами наблюдаемой системы, так и конструкцией датчика. При переходе к непрерывным нечетким квантовым измерениям возникают дополнительные требования к описанию, которые в значительной степени определяют вид этой функции. Первым из них является требование инвариантности результата измерения к параметру дискретности описания . Из него, в частности, следует, что в пределе 0 функция распределения нечеткости измерения становится нормальной и E i ; E f (E E i ) C exp 1 2 E E i 2 2 (1) где - параметр нечеткости измерения, причем величина 0 2 уже не зависит от выбора параметра дискретности . Ее физический смысл – скорость получения информации (в битах в секунду) при непрерывном нечетком измерении. В общем случае эта скорость может меняться в соответствие с изменением классического состояния датчика и квантового состояния наблюдаемого объекта. В этой работе мы будем учитывать только влияние состояния кубита на этот параметр, не конкретизируя свойств датчика. В связи с этим в этой работе мы не используем другое естественное требование инвариантность полученных результатов к способу описания классической динамики измеряемой величины. При этих предположениях мы можем описывать непрерывное нечеткое измерения квантового состояния как последовательность мгновенных нечетких измерений любого полного набора ортогональных динамических переменных, разделенных промежутками времени, в которые наблюдаемая система изолирована от наблюдателя. 2 Информационная модель ННИ Раби-осцилляций двухуровневой квантовой системы Из (1) следует, что плотность вероятности получения единичного нечеткого результата E i при наблюдении системы в состоянии суперпозиции с фазой равна 2 / 4 E 2 i ( E i ) C exp 2 2 92 2 E 1 i cos 2 , 2 (2) где мы полагаем , что соответствует достаточно малому интервалу дискретизации . При получении результата « E i » кубит переходит в новое состояние с фазой ' . Плотность вероятности функции перехода ' определяется функцией ( E i ) и рассчитывается по квантовой теореме Байеса. Тогда E f (E i / 2) tg (' ) tg () tg () exp mp2 (3) f (E i / 2) где E mp - наиболее вероятное значение результата нечеткого измерения. В промежутке времени между двумя нечеткими измерениями система эволюционирует в соответствии с законом Раби-осцилляций (t ) (t ) v . Для перехода к модели непрерывного нечеткого измерения рассмотрим последовательность слабо возмущающих измерений Ei 2 , разделенных малыми промежутками времени. Для каждого из них изменение фазы связано с результатом измерения энергии d E i / 2 sin 2 и распределено по нормальному закону. Плотность вероятности изменения фазы состояния после n мгновенных измерений может быть получена как последовательная свертка функций распределения для единичных 2 измерений n (d) F 1{[F[(d)]]n } C 2n exp d sin 2 / n , где F, F 1 - прямое и обратное преобразование Фурье соответственно. Тогда плотность вероятности изменения фазы за малое время t на d равна t (d, ) C2t exp d2 () t , где () 2 2 sin 2 2 . Параллельно с этим в промежутках времени между мгновенными нечеткими измерениями фаза состояния суперпозиции равномерно изменяется. Для малого промежутка времени dt c учетом дрейфа фазы можно записать d ' dt . Тогда в стандартных обозначениях получим: ( v dt ' ) 2 ( v dt ' ) 2 ()dt 1/ 2 exp (4) (' , t dt , t ) Cdt2 exp ()dt ()dt Динамика изменения плотности вероятности фазы задается уравнением Чепмена– (, t dt ) (' ) dt ( dt ' , ) d' , Колмогорова которое позволяет моделировать эволюцию распределения состояния системы со временем с помощью разностной схемы. А, следовательно, и эволюцию распределения (E i ) результатов нечеткого измерения энергии. Исследуя свойства непрерывности рассматриваемого случайного процесса, можно показать, что это уравнение может быть преобразовано к дифференциальному уравнению Фоккера-Планка и решено аналитически. 1 2 () (5) f (, t ) v f (, t ) 2 f (, t ) t 2 2 J 1 0 sin 2 2 Интегрируя однократно по фазе, получаем f (, t ) f (, t ) , где 2 2 постоянная интегрирования J имеет смысл потока вероятности (постоянного для стационарного решения). При отсутствии измерения, когда 0 0 , получаем тривиальный результат: f () const 1 / 2 и J v / 2 . В пределе жесткого (разрушающего) измерения / 0 0 , получаем f () C / sin 2 2 , что с учетом нормировки дает - функции в точках k / 2 и J=0. Это означает, что система «замораживается» в одном из чистых состояний и наблюдается квантовый эффект Зенона. В общем случае решение стационарного уравнения имеет вид f () C 4J / 0 exp 4 ctg2 / 0 d sin 2 2 exp 4 ctg2 / 0 (6) 93 Постоянные интегрирования C и J могут быть определены из циклических граничных условий и условия нормировки для функции распределения вероятности f () . В нестационарном уравнении переменные разделяются: f (, t ) () T(t ) и 1 2 () (7) v () 2 2 2 () () t T( t ) T( t ) C 0 Спектр возможных значений С0 определяется из циклических граничных условий для уравнения 1 2 () (8) v 2 C 0 2 2 Решение нестационарного уравнения представляет собой сумму гармоник, которые экспоненциально затухают со временем. При этом скорость затухания уменьшается с уменьшением параметра нечеткости 0 и ростом номера гармоники. Поэтому время «коллапса» информации о начальном состоянии определяется в основном первой гармоникой. Спустя характерное время t r 01 начальное распределение по фазе релаксирует к стационарному распределению, где коэффициент зависит от вида функции () . Изменение фазы состояния суперпозиции однозначно определяется весовой функцией (1) и полученным результатом E i . Поэтому, зная параметры случайного процесса для фазы (t ) , мы можем определить их и для результата нечеткого измерения E (t ) . С учетом дрейфа фазы получим: d ddif ddr E i 2 sin 2 dt dt , откуда E (t ) (9) i 0 sin 2 , E i (t ) 0 sin 2(t ) Преобразование Фурье для корреляционной функции случайного процесса дает спектральную мощность сигнала. Именно ее и наблюдают, как правило, в эксперименте. Отметим, что процесс эволюции фазы (и соответственно состояния кубита) является Марковским, так как вероятность каждого ее последующего значения зависит только от предыдущего. Автокорреляционная функция для стационарного процесса эволюции может быть рассчитана на основании (4) и (6) как: K ( t ) () ,0 ' , t ' d' d . Однако вероятность получения того или иного результата E i зависит от всей последовательности предыдущих результатов. Поэтому процесс наблюдаемой эволюции E i ( t ) – не Марковский. Расчет функции переходной вероятности для случайного процесса E i ( t ) с учетом (9) требует применения численных методов [3]. Результаты такого моделирования будут представлены в последующих публикациях. Таким образом, на примере непрерывных нечетких измерений квантового состояния в эксперименте по наблюдению Раби-осцилляций показаны преимущества информационного подхода, в котором из общих закономерностей, без применения микроскопической теории взаимодействия датчика с кубитом удается получить уравнение для расчета энергетического спектра случайного процесса, связанного с такими измерениями. Литература [1] Information-theoretic approach to the analysis of measurement data and evaluation of their uncertainty. Melnyk S.I. Information processing systems, 2009, № 5, 89-92 [2] Quantum detector based on a superposition of macroscopic states in the phase kubite Melnik S.I., Shnyrkov V.I. Low Temp. Phys. 33, Issue 1 (January 2007), c. 22-31 [3] Random finite-valued dynamical systems: additive Markov chain approach O.V.Usatenko, S.S.Apostolov, Z.A.Mayzelis, S.S.Melnik-ISBN 978-1-904868-74-3 cambridge scientific publishers 2009 94
