Document 760508

30
Лекция 14 (11 декабря 2002 года).
Теорема. Если
xn  x слабо в банаховом пространстве L , то xn  ограничена, т.е. c : xn  c.
Доказательство. Рассмотрим операторы: An  f    f , xn  : L  C (есть вложение
L  L** , т.к.
*
L  xn  xn  L** ). Тогда это линейно непрерывные операторы.  f , xn   f xn , т.к. числа
f xn   f x    f xn  ограниченная числовая последовательность, т.е. An  f   f xn   c f   не
зависит от
что
n . Теорема Банаха – Штейнгауза утверждает, что f xn   c f не зависит ни от n , ни от f . Знаем,
sup f xn   xn - следствие теоремы Хана – Банаха, т.е. xn  c. 
f 1
f L*
Мы доказали больше:
xn  сильно ограничена.
f xn   c f  - а это и есть определение того, что xn  слабо ограничена.
Теорема. Если
xn 
слабо ограничена, то
Замечание. Здесь вместо счётного множества
Теорема (о *-слабой компактности). Если
xn  можно рассматривать произвольное множество x .
x   слабо ограниченное множество в
L , то L* 
сепарабельное. Тогда из x  можно выделить слабо фундаментальную последовательность, т.е. слабо
ограниченное множество в L является либо слабо предкомпактным, либо слабо вполне ограниченным.
L может быть линейным нормированным пространством и не обязательно (!)полным, т.е. банаховым. Но здесь
мы используем только то, что
Доказательство. Если
L*  банахово.
x   слабо ограничено, то
x  c (сильно ограничено). Пусть f j j 1 - счётное

*
плотное множество в L . Возьмём любую счётную последовательность
xn n1 элементов x . Заметим, что
f1 xn   c, т.е.  f1 xn  ограниченная числовая последовательность. xnk : f1 xnk   a1 . Рассмотрим
f x  ограниченная последовательность в С.  последовательность x : f x   a
2
nk
выделим подпоследовательность, т.ч.
 
ms
2
ms
2
 
. Из xms
f 3 xl j  a3 Рассмотрим диагональную последовательность:
 
xn1  x11 , xm2  x12 , xl3  x31 ,... Тогда на такой последовательности по построению: f j x1n  a j , n  . (т.к.
 
 
следующая последовательность выбирается из предыдущей). Т.к. f j  плотны в L . То f  L : f xn  a.
Для f  L f jk : f  f jk  0, k  . Отсюда:
*
 
 
*
*
f x1n  lim a jk . f jk  фундаментальна в L* .
1
k 
  lim a jk , т.е. x  слабо фундаментальная последовательность. 
1
n
Определение. К – компактный в L , если образ в единичном шаре является вполне ограниченным
множеством.
 всякую слабо сходящуюся последовательность переводит в
xn  x слабо, то Kxn  Kx )(работаем в банаховом пространстве L ).
Теорема. К – компактный оператор
сильно сходящуюся (т.е. если
 К – компактен,
xn  x , Kxn   предкомпактно, т.к. xn  ограниченное множество.
Выделим фундаментальную подпоследовательность в предкомпактном множестве  Kxnk  y  L . Если
Доказательство.
 Kxnk не  y, то  другая подпоследовательность, т.ч. Kxnm  y1  y. Но Kxn  Kx слабо


 Kxnk  Kx, Kxnm  Kx . Пусть Kxn не  y, xnm , т.ч. Kxnm  y  0. Но Kxnm  предкомпактная.
31
 
  новая подпоследовательность из xnm , т.ч. Kxls  y1 , но у1 обязан совпадать с у. f x   f , x


 f , Kx   K f , x   K f , x    f , Kx Если Kx
f Kx   f , Kx  K * f , x Учитывая, что sup  f , x   x  sup  f , x   f  если
f 1
*
x 1
n
 f , xn    f , x 
, то
 y сильно, то тем более Kxnk  y слабо и
*
n
f  xn   f  x 
nk
Kxml  y1 слабо. Отсюда Kxml  y1 , Kxn  Kxxn слабо. Отсюда по любой подпоследовательности
Kxnk  y  Kx  слабо  сильно они могут сходиться только к элементу y  Kx. Kxnk  y  Kx  по
  сильная сходимость может быть только к Kx  y.
любой подпоследовательности xnk
 К переводит xn  x слабо в Kxn  Kx слабо. Берём бесконечное подпространство в образе
K B1   Kx | x  1, Kxn  бесконечное подпространство  сходящаяся последовательность
Kxn  y  y  предельная точка множества Kxn , т.е. K B1   предкомпактно. 
k
Определение.
K x, y   ядро. Kf x    K x, y  f  y dy называется оператором Гильберта –
Шмидта в пространстве
b
a
b b
L2 [a, b], если Kˆ  
 K x, y 
2
a a
dxdy   - суммируемость в квадрате.
Теорема. Оператор Гильберта – Шмидта компактен.
Традиционное доказательство. A  sup Af
f 1
L2 [ a ,b ]
 Kˆ - доказательство из Коши – Буняковского.
K x, y  L2 [a, b]  [a, b] .  n,k  sin nx sin kyn1k 1 , [a, b]  [0,  ]  ПОНС в L2 [0, ]  [0, ] Если это
 


k ,n1
o
N
K x, y    n,k x, y    K N  f   
доказано, тогда
 x, y  f  y dy  конечномерный
k ,n1
n ,k
 K  K N    K  компактен. 
Лемма. Если
K N  компактен и K  K N  0, N   , то К – компактен.


Доказательство. Берём   K x | x  1 . fix :   0, N : K  K N 
выбираем


2
сеть. Пусть
y1 ,..., yk 
Другое доказательство теоремы.


2
Почему б) ?

0
0
 
2
. В образе  N  K N x | x  1
 N  y1 ,..., yk    сеть в Ф. 
  Kf | f  1 
(очевидно).
б) Ф – равностепенно непрерывно в среднем

сеть в

 K x, y f ydy, f  1.

o
а) Ф – ограничено
 теорема Рисса.

[ K x  h, y   K x, y ] f  y dy dx  
0


0
2

K x  h, y   K x, y  dy  f dy dx 
0



L1[ 0 , ]( по _ x )
2
1


0
0
2
  K x  h, y   K x, y  dydx  0, h  0.
