30 Лекция 14 (11 декабря 2002 года). Теорема. Если xn x слабо в банаховом пространстве L , то xn ограничена, т.е. c : xn c. Доказательство. Рассмотрим операторы: An f f , xn : L C (есть вложение L L** , т.к. * L xn xn L** ). Тогда это линейно непрерывные операторы. f , xn f xn , т.к. числа f xn f x f xn ограниченная числовая последовательность, т.е. An f f xn c f не зависит от что n . Теорема Банаха – Штейнгауза утверждает, что f xn c f не зависит ни от n , ни от f . Знаем, sup f xn xn - следствие теоремы Хана – Банаха, т.е. xn c. f 1 f L* Мы доказали больше: xn сильно ограничена. f xn c f - а это и есть определение того, что xn слабо ограничена. Теорема. Если xn слабо ограничена, то Замечание. Здесь вместо счётного множества Теорема (о *-слабой компактности). Если xn можно рассматривать произвольное множество x . x слабо ограниченное множество в L , то L* сепарабельное. Тогда из x можно выделить слабо фундаментальную последовательность, т.е. слабо ограниченное множество в L является либо слабо предкомпактным, либо слабо вполне ограниченным. L может быть линейным нормированным пространством и не обязательно (!)полным, т.е. банаховым. Но здесь мы используем только то, что Доказательство. Если L* банахово. x слабо ограничено, то x c (сильно ограничено). Пусть f j j 1 - счётное * плотное множество в L . Возьмём любую счётную последовательность xn n1 элементов x . Заметим, что f1 xn c, т.е. f1 xn ограниченная числовая последовательность. xnk : f1 xnk a1 . Рассмотрим f x ограниченная последовательность в С. последовательность x : f x a 2 nk выделим подпоследовательность, т.ч. ms 2 ms 2 . Из xms f 3 xl j a3 Рассмотрим диагональную последовательность: xn1 x11 , xm2 x12 , xl3 x31 ,... Тогда на такой последовательности по построению: f j x1n a j , n . (т.к. следующая последовательность выбирается из предыдущей). Т.к. f j плотны в L . То f L : f xn a. Для f L f jk : f f jk 0, k . Отсюда: * * * f x1n lim a jk . f jk фундаментальна в L* . 1 k lim a jk , т.е. x слабо фундаментальная последовательность. 1 n Определение. К – компактный в L , если образ в единичном шаре является вполне ограниченным множеством. всякую слабо сходящуюся последовательность переводит в xn x слабо, то Kxn Kx )(работаем в банаховом пространстве L ). Теорема. К – компактный оператор сильно сходящуюся (т.е. если К – компактен, xn x , Kxn предкомпактно, т.к. xn ограниченное множество. Выделим фундаментальную подпоследовательность в предкомпактном множестве Kxnk y L . Если Доказательство. Kxnk не y, то другая подпоследовательность, т.ч. Kxnm y1 y. Но Kxn Kx слабо Kxnk Kx, Kxnm Kx . Пусть Kxn не y, xnm , т.ч. Kxnm y 0. Но Kxnm предкомпактная. 31 новая подпоследовательность из xnm , т.ч. Kxls y1 , но у1 обязан совпадать с у. f x f , x f , Kx K f , x K f , x f , Kx Если Kx f Kx f , Kx K * f , x Учитывая, что sup f , x x sup f , x f если f 1 * x 1 n f , xn f , x , то y сильно, то тем более Kxnk y слабо и * n f xn f x nk Kxml y1 слабо. Отсюда Kxml y1 , Kxn Kxxn слабо. Отсюда по любой подпоследовательности Kxnk y Kx слабо сильно они могут сходиться только к элементу y Kx. Kxnk y Kx по сильная сходимость может быть только к Kx y. любой подпоследовательности xnk К переводит xn x слабо в Kxn Kx слабо. Берём бесконечное подпространство в образе K B1 Kx | x 1, Kxn бесконечное подпространство сходящаяся последовательность Kxn y y предельная точка множества Kxn , т.е. K B1 предкомпактно. k Определение. K x, y ядро. Kf x K x, y f y dy называется оператором Гильберта – Шмидта в пространстве b a b b L2 [a, b], если Kˆ K x, y 2 a a dxdy - суммируемость в квадрате. Теорема. Оператор Гильберта – Шмидта компактен. Традиционное доказательство. A sup Af f 1 L2 [ a ,b ] Kˆ - доказательство из Коши – Буняковского. K x, y L2 [a, b] [a, b] . n,k sin nx sin kyn1k 1 , [a, b] [0, ] ПОНС в L2 [0, ] [0, ] Если это k ,n1 o N K x, y n,k x, y K N f доказано, тогда x, y f y dy конечномерный k ,n1 n ,k K K N K компактен. Лемма. Если K N компактен и K K N 0, N , то К – компактен. Доказательство. Берём K x | x 1 . fix : 0, N : K K N выбираем 2 сеть. Пусть y1 ,..., yk Другое доказательство теоремы. 2 Почему б) ? 0 0 2 . В образе N K N x | x 1 N y1 ,..., yk сеть в Ф. Kf | f 1 (очевидно). б) Ф – равностепенно непрерывно в среднем сеть в K x, y f ydy, f 1. o а) Ф – ограничено теорема Рисса. [ K x h, y K x, y ] f y dy dx 0 0 2 K x h, y K x, y dy f dy dx 0 L1[ 0 , ]( по _ x ) 2 1 0 0 2 K x h, y K x, y dydx 0, h 0.