Измерение ускорения свободного падения Лабораторная работа № 14.

Лабораторная работа № 14.
Измерение ускорения свободного падения
Цель работы: сформировать умение измерения
ускорения свободного падения с помощью груза на подвесе.
Оборудование: секундомер, измерительная лента, груз
100г, нить, стержень штатива с муфтой и лапкой, укладочный
пенал.
Теоретическая часть.
Колебательное движение.
Многие тела способны колебаться: груз на конце пружины; камертон; колесико балансира в часах; маятник; струны
гитары; пластмассовая или металлическая линейка, крепко
прижатая одним концом к столу; качели; ветки деревьев на
ветру. Подобных примеров можно обнаружить великое
множество, стоит чуть-чуть внимательнее оглядеться вокруг.
Пауки обнаруживают свою добычу по дрожанию паутины;
корпус автомобиля колеблется вверх-вниз на рессорах, когда
автомобиль проезжает по неровностям на дороге; мосты дрожат
под тяжестью грузовиков; небоскребы качаются при сильном
ветре.
Электрические
колебания
—
суть
работы
радиоприемников и телевизоров. Атомы колеблются в
молекулах. В твердых телах атомы совершают колебания
относительно
своих
(фиксированных)
положений
в
кристаллической решетке. Колебательное движение широко
распространено, оно играет важную роль и встречается во
многих разделах физики.
Колебательное движение – движение, которое имеет ту
или иною степень повторяемости во времени.
Все колебания делятся на:
1.) свободные
(собственные),
к
ним
относятся
1
гармонические и затухающие;
2.) вынужденные;
3.) автоколебания;
4.) параметрические.
Системы, совершающие колебательное движение
называют колебательными.
Свободные колебания – колебания, возникающие при
однократном начальном отклонении системы от положения
устойчивого равновесия при отсутствии внешних воздействий.
Если физические величины, характеризующие колебания
повторяются через равные промежутки времени, то такие
колебания называют периодическими.
Гармонические колебания.
Гармонические колебания – частный случай свободных,
периодических колебаний, когда физическая величина
изменяется по закону sin или cos с течением времени.
1.) Кинематика гармонических колебаний.
С основными закономерностями и характеристиками
гармонического
колебания
познакомимся
на
примере
равномерного движения материальной точки по окружности.
Пусть материальна точка М движется против часовой стрелки по
окружности радиусом А с постоянной угловой скоростью 
(рис. 1). Тогда ее проекция N на
вертикальный диаметр будет совершать
периодические
колебания
около
положения равновесия О, а смещение этой
проекции х = ON изменяется в пределах от
+ А до - А, также совершая периодические
колебания.
Абсолютное
значение
максимального смещения А называется
амплитудой колебания.
Рис. 1.
2
Амплитуда колебания – наибольшее (по модулю)
отклонение колеблющегося тела от положения равновесия.
Значение смещения в любой момент времени t
определяется соотношением, вытекающим непосредственно из
рисунка 1:
x  A  sin 
(1)
При описании колебательных процессов используются
следующие величины:
Т – период колебания – время, в течение которого тело
совершает одно полное колебание;
v — частота колебания – число колебаний, совершаемых
телом в единицу времени;
 – круговая, или циклической частотой;
 – фаза колебания.
Между этими величинами существуют следующие
зависимости:
T
1

;
2
 2 ;
T
  t .
(4)
x  A  sin   t 
(5)

Тогда
(2)
 2 t 
x  A  sin 

 T 
x  A  sin  2 t 
(3)
(6)
(7)
Фазой колебания   t , называется аргумент
тригонометрической функции в уравнении гармонического
колебания. Физический смысл фазы состоит в том, что фаза
3
колебания определяет смещение в любой момент времени, т. е.
определяет состояние колебательной системы. Действительно,
например, при  =  /2 смещение х = А/2, при  =  х = 0, при
 = 3  /2 х = -А и т. п. Фазам, различающимся между собой на
значение, кратное 2  , соответствуют одинаковые смещения.
Изменение фазы на 2  радиан соответствует промежутку времени в один период Т.
Уравнение (1) написано в предположении, что в
начальный момент времени (t = 0) фаза колебаний была равна
нулю. Если же в начальный момент фаза уже имела некоторое
значение 0 , то
x  A  sin   0   A  sin   t  0  ,
(8)
0 – начальная фаза колебания. Поскольку выбор
где
начального момента отсчета времени произволен, будем (при
рассмотрении одного единственного колебания), как правило,
полагать 0 = 0.
Скорость V колебания точки М определим как
производную смещения (5) по времени:
V
или, учитывая
функций
dx
   A  cos   t  ,
dt
правило
приведения
(9)
тригонометрических
V    A  sin   t   / 2  ,
(9*)
Из уравнения (9*) видно, что скорость колебания
изменяем со временем. Следовательно, колебательное движение
совершается с ускорением а, которое можно определить,
продифференцировав; выражение скорости (9) по времени:
4
dV
  2  A  sin   t  
dt
(10)
  2  A  sin   t      2  A  cos   t   / 2 
a
Учитывая формулу (5), можно выразить ускорение
смещение:
(11)
a   2  x .
Для наглядности, зависимости х, V и а от времени при
гармоническом колебании, рассчитанные по уравнениям (6), (9*)
и (10), представлены на рисунке 2.
Как видно, в момент прохождения колеблющейся точкой
положения равновесия (х=0) ее скорость максимальна (   A ),
а ускорение равно нулю. Когда же точка максимально
отклоняется от положения равновесия (х=+А или х=—А), ее
скорость равна нулю, а ускорение становится максимальным
2
2
(   A или   A ). Знак ускорения всегда противоположен
знаку смещения. Следовательно, ускорение всегда направлено к
положению равновесия колеблющейся точки.
Рис. 2.
5
2.) Динамика гармонических колебаний.
При гармонических колебаниях ускорение изменяется в
соответствии
с
формулой
(10).
Следовательно,
это
колебательное движение обусловлено действием переменной
силы. Пусть под действием силы F материальная точка массой т
совершает гармоническое колебание с ускорением а. Тогда,
учитывая формулу (11), можно записать, что
(12)
F  m  a  m   2  x   k  x ,
где
k  m 2 .
(13)
Следовательно, сила, вызывающая гармонические
колебания, пропорциональна смещению и направлена в сторону,
противоположную смещению. Эта сила стремится возвратить
материальную точку в положение равновесия, поэтому ее
называют возвращающей силой. Возвращающей силой может
быть, например, сила упругости, определяемая по закону Гука
F=--kx. Эта сила полностью характеризует движение тела вблизи
положения равновесия, т. е. при малых амплитудах колебаний. С
увеличением
амплитуды
колебаний
может
наступить
ангармоничность, пропорциональность между возвращающей
силой и величиной смещения тела нарушится. Таким образом,
гармоническое колебание вызывается действием упругой силы.
Возвращающие силы могут иметь и иную природу. В
этих случаях они называются квазиупругими силами, т. е.
силами, не упругими по своей природе, но аналогичными им по
виду зависимости от смешения. Например, квазиупругие силы
являются причиной гармонических колебаний математического
и физического маятников.
Запишем основной закон динамики в проекции на ось x:
m  ax  Fx ;
m  ax  k  x .
Учтем, что a  ax  x , тогда
6
m  x   k  x ;
m  x  k  x  0 .
С учетом формулы (12) получаем:
m  x   2  m  x  0 |: m ;
x   2  x  0 .
(14)
Формула
(14)
–
дифференциальное
уравнение
гармонических колебаний. Его решением является уравнение
(4): x  A  sin   t  .
3.) Энергия гармонических колебаний.
При
гармоническом
колебании
происходит
периодическое взаимное превращение кинетической энергии
колеблющегося тела Ек и потенциал ной энергии Еп,
обусловленной действием упругой (или квазиупругой) силы.
Полная энергия колебательной системы определяется по
следующей формуле:
Е=Ек+Еп.
(15)
Учитывая формулу (8), можем записать:
Eк 
m  V 2 m  A2   2

 cos 2   t  ,
2
2
(16)
где V — скорость колеблющегося тела, т — масса этого
тела.
Потенциальная энергия выражается так же, как и
потенциальная энергия упруго деформированного тела. С
учетом формул (5) и (13) находим:
k  x 2 m   2  A2
Eп 

 sin 2   t  .
2
2
(17)
7
Подставим формулы (16) и (17) в (15), получаем:
m  A2   2
m   2  A2
2
E
 cos   t  
 sin 2   t  
2
2
2
2
m   A
m  A2   2

  cos 2   t   sin 2   t   
.
2
2
m   2  A2
E
.
(18)
2
Таким образом, полная энергия гармонического колебания
постоянна и пропорциональна квадрату амплитуды и квадрату
круговой частоты колебания.
Математический маятник.
Любое тело, подвешенное так, что его центр тяжести
находится ниже точки подвеса, называется маятником.
Математический маятник — это материальная точка,
подвешенная на невесомой, нерастяжимой нити.
Любой груз, подвешенный на нити, будет вести себя как
математический маятник, если выполнены три условия:
1) размеры груза значительно меньше размеров нити;
2) масса нити значительно меньше массы груза;
3) растяжение нити настолько мало, что им можно
пренебречь.
При вертикальном положении нити действие силы
m g
тяжести
уравновешивается
действием силы упругости нити T . Это
положение является положением равновесия
(рис. 3).
При малых отклонениях маятника от
положения
равновесия
возникает
равнодействующая сил тяжести и упругости,
направленная к положению равновесия; колебания маятника являются гармоническими.
Рис. 3.
8
Период колебаний равен:
T  2
l
,
g
(19)
где l – длина нити, g – ускорение свободного падения.
Зависимость периода колебаний
маятника от ускорения свободного падения используется для
точных измерений ускорения свободного падения на
поверхности Земли.
По результатам измерений можно обнаружить районы залегания полезных ископаемых — железной руды, нефти, газа.
Известно, что ускорение свободного падения зависит от
географической широты места (на полюсе g =9,83 м/с2, а на
экваторе g=9,78 м/с2). Наблюдения за периодом колебаний
некоторого эталонного маятника позволяют определить
распределение ускорения свободного падения по широте. Этот
метод настолько точен, что с его помощью можно обнаружить и
более тонкие различия значений g на земной поверхности.
Оказывается, что даже на одной параллели значение g в разных
точках нашей планеты различно. Эти аномалии в распределении
ускорения свободного падения связаны с неравномерной
плотностью земной коры. Они используются для изучения
распределения плотности, в частности, для обнаружения в толще
земли полезных ископаемых. Такие измерения были выполнены,
например, в области так называемой Курской магнитной
аномалии.
Период колебания тела, прикрепленного к пружине:
T  2
m
,
k
(20)
где m – масса тела, k – жесткость пружины.
9
Практическая часть.
1. Подготовка к выполнению работы.
Приготовьте необходимое для проведения данной работы
оборудование.
Для
измерения
ускорения
свободного
падения
применяются разнообразные гравиметры, в частности
маятниковые приборы. С их помощью удается измерить
ускорение свободного падения с абсолютной погрешностью
105 м / с 2 .
В работе используется простейший маятниковый прибор
– груз на нити. При малых размерах груза по сравнению с
длиной нити и небольших отклонениях от положения
равновесия период колебания равен
T  2
l
.
g
Для увеличения точности измерения периода нужно измерить
время t достаточно большого числа N полных колебаний
маятника. Тогда период
T
t
,
N
(21)
и ускорение свободного падения может быть вычислено по
формуле:
l  N2
g  4   2 .
t
2
(22)
2. Ход работы.
1. Для проведения опыта собранный штатив размещают
так, чтобы конец лапки выступал на 5 - 10 см за край поверхности рабочего стола. На конце нити делают петлю, за которую
подвешивают груз. Другой конец нити зажимают в лапке. При
этом груз должен находиться на высоте 2 - 3 см от пола (рис. 4) .
10
2.
Измерительной
лентой
определяют
расстояние от точки
подвеса
до
середины груза. Так
находят длину маятника l.
3.
Груз
отводят на 5 - 10 см
в
сторону,
отпускают и одновременно включают
секундомер.
Определяют время,
за
которое
он
совершит 30 полных
колебаний.
Проводят 5 таких
экспериментов,
результаты которых
заносят в таблицу 1.
Рис. 4.
4. Вычисляют tср :
tср 
5. Вычислить
измерения:
t1  t2  ...  t5
.
5
абсолютную
погрешность
каждого
t1  t1  tср ;
11
t2  t2  tср ;
…………….;
t5  t5  tср .
Результаты записать в таблицу 1.
6. Вычислите среднюю
измерения времени:
tср 
абсолютную
погрешность
t1  t2  ...  t5
5
и результаты занесите в таблицу 1.
7. Вычислите ускорение свободного падения по формуле
(22)
l  N2
g ср  4    2 .
tср
2
8. Определите относительную погрешность измерения
времени
t : t 
tср
tср
.
9. Определите относительную погрешность измерения
длины маятника
l : l 
l
. Значение l складывается из
l
погрешности мерной ленты и погрешности отсчета, равной
половине цены деления ленты: l  l л  lотсч , где
l л  0,005 м .
10. Вычислите относительную погрешность измерения g
по формуле:
 g  l  2  t ,
Учитывая, что погрешностью округления  можно пренебречь,
если   3,14 ; также можно пренебречь  l , если она в 4 (и
более) раз меньше 2   t .
12
11. Определите g   g  gср и запишите результат
измерения в виде
gср  gср  g  gср  gср .
Таблица 1.
№
опыта
1
2
3
4
5
N
l, м
l ,
м
t, с
tср , с
ti ,
tср ,
g ср ,
с
с
м/с2
3. Задание.
Определите абсолютную и относительную погрешности
измерения ускорения свободного падения методом верхней и
нижней границ.
4. Вывод.
1) Сделайте вывод. Какое значения ускорения свободного
падения вы получили?
2) Сравните два способа вычисления погрешностей и
полученные результаты.
13
Вопросы для защиты лабораторной работы.
1. Какое движение называется колебательным?
2. Какие колебания называются свободными?
3. Какие колебания называются периодическими?
4. Какие колебания называются гармоническими?
5. Какой формулой определяется смещение тела при
гармонических колебаниях?
6. В какой момент колебаний скорость (ускорение)
равно нулю? В какой момент колебаний скорость (ускорение)
принимает наибольшее значение? (При ответе можно
пользоваться рисунком 2.).
7. Дайте определение периода и частоты колебаний.
8. Какими формулами связаны между собой период,
частота и круговая частота колебаний?
9. Как найти период колебания математического
(пружинного) маятника?
10. Уметь выводить формулу 22.
Литература
1. Кабардин О. Ф.. Справ. Материалы: Учеб. Пособие
для учащихся.—3-е изд.—М.: Просвещение, 1991. — с.: 214221.
2. Мякишев Г. Я..
Физика: Учебн. для 11 кл.
общеобразоват. учреждений/ Г. Я. Мякишев, Б. Б. Буховцев.—
12-е изд.—М.: Просвещение,2004. — с.: 48-63, 71.
3. Справочник школьника. Физика/ Сост. Т. Фещенко, В.
Вожегова.–М.: Филологическое общество «СЛОВО», ООО
«Фирма» «Издательство АСТ», Центр гуманитарных наук при фте журналистики МГУ им. М. В. Ломоносова, 1998. — с.: 62-64,
164, 200-201, 210-211.
4. Самойленко П. И.. Физика (для нетехнических
специальностей): Учебн. для общеобразоват. учреждений сред.
Проф. Образования/ П. И.Самойленко, А. В. Сергеев.—2-е изд.,
стер.—М.: Издательский центр «Академия», 2003 — с.: 240-245.
14