НЕПРОСТЫЕ ПОДСЧЕТЫ 1. Сколько имеется 2012

НЕПРОСТЫЕ ПОДСЧЕТЫ
НЕПРОСТЫЕ ПОДСЧЕТЫ
1. Сколько имеется 2012-значных чисел удовлетворяют следующим условиям: все цифры 1. Сколько имеется 2012-значных чисел удовлетворяют следующим условиям: все цифры
числа принадлежат множеству {1, 2, 3, 4, 5} и любые две соседние цифры отличаются на 1. числа принадлежат множеству {1, 2, 3, 4, 5} и любые две соседние цифры отличаются на 1.
2. Чему равно количество подмножеств множества {1, 2, 3, …, 2012}, не содержащих двух 2. Чему равно количество подмножеств множества {1, 2, 3, …, 2012}, не содержащих двух
последовательных чисел?
последовательных чисел?
3. У Алеши есть пирожные, разложенные в несколько коробок. Алеша записал, сколько
пирожных в каждой коробке. Сережа взял по одному пирожному из каждой коробки и
положил их на первый поднос. Затем он снова взял по одному пирожному из каждой
непустой коробки и положил их на второй поднос - и так далее, пока все пирожные не
оказались разложенными по подносам. После этого Сережа записал, сколько пирожных на
каждом подносе. Докажите, что количество различных чисел среди записанных Алешей
равно количеству различных чисел среди записанных Сережей.
3. У Алеши есть пирожные, разложенные в несколько коробок. Алеша записал, сколько
пирожных в каждой коробке. Сережа взял по одному пирожному из каждой коробки и
положил их на первый поднос. Затем он снова взял по одному пирожному из каждой
непустой коробки и положил их на второй поднос - и так далее, пока все пирожные не
оказались разложенными по подносам. После этого Сережа записал, сколько пирожных на
каждом подносе. Докажите, что количество различных чисел среди записанных Алешей
равно количеству различных чисел среди записанных Сережей.
4. В клетках таблицы 8×8 записаны числа от 1 до 64 (первая горизонталь нумеруется слева
направо числами от 1 до 8, вторая от 9 до 16 и т. д.). Перед некоторыми числами
поставлены плюсы, перед остальными - минусы, так что в каждой горизонтали и в каждой
вертикали по 4 плюса и по 4 минуса. Докажите, что сумма всех чисел равна 0 с учетом
знаков равна нулю.
4. В клетках таблицы 8×8 записаны числа от 1 до 64 (первая горизонталь нумеруется слева
направо числами от 1 до 8, вторая от 9 до 16 и т. д.). Перед некоторыми числами
поставлены плюсы, перед остальными - минусы, так что в каждой горизонтали и в каждой
вертикали по 4 плюса и по 4 минуса. Докажите, что сумма всех чисел равна 0 с учетом
знаков равна нулю.
5. Натуральные числа M и K отличаются перестановкой цифр. Докажите, что сумма цифр 5. Натуральные числа M и K отличаются перестановкой цифр. Докажите, что сумма цифр
5M равна сумме цифр 5K.
5M равна сумме цифр 5K.
6. На доске написаны числа 25 и 36. За ход разрешается дописать еще одно натуральное 6. На доске написаны числа 25 и 36. За ход разрешается дописать еще одно натуральное
число – разность любых двух имеющихся на доске чисел, если она еще не встречалась. число – разность любых двух имеющихся на доске чисел, если она еще не встречалась.
Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?
Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?
7. Докажите, что любое число можно ОДНОЗНАЧНО представить в фибоначчиевой системе 7. Докажите, что любое число можно ОДНОЗНАЧНО представить в фибоначчиевой системе
счисления ( то есть в виде суммы нескольких различных чисел Фибоначчи, среди которых счисления ( то есть в виде суммы нескольких различных чисел Фибоначчи, среди которых
нет двух подряд идущих).
нет двух подряд идущих).
8. 9 монет лежат в ряд, одна фальшивая. Можно указать на какую-нибудь монету, ответом
будет один из вариантов: «эта фальшивая», «фальшивая – одна из соседних с этой»,
«фальшивая слева от этой», «фальшивая справа от этой». Найдите минимальное
количество вопросов, за которые можно установить фальшивую.
8. 9 монет лежат в ряд, одна фальшивая. Можно указать на какую-нибудь монету, ответом
будет один из вариантов: «эта фальшивая», «фальшивая – одна из соседних с этой»,
«фальшивая слева от этой», «фальшивая справа от этой». Найдите минимальное
количество вопросов, за которые можно установить фальшивую.
9. В условиях предыдущей задачи сначала все вопросы записываются на листочках и
отдаются роботу, затем робот отвечает на каждый из вопросов. Найдите минимальное
число вопросов, услышав ответы на которые можно гарантированно указать фальшивую
монету.
9. В условиях предыдущей задачи сначала все вопросы записываются на листочках и
отдаются роботу, затем робот отвечает на каждый из вопросов. Найдите минимальное
число вопросов, услышав ответы на которые можно гарантированно указать фальшивую
монету.
10. Есть 12 коробок, в одной приз. Ведущий знает, где приз. Зритель может один раз 10. Есть 12 коробок, в одной приз. Ведущий знает, где приз. Зритель может один раз
послать ведущему пачку записок с вопросами, требующих ответа "да" или "нет". Ведущий послать ведущему пачку записок с вопросами, требующих ответа "да" или "нет". Ведущий
вытаскивает записки из пачки в произвольном порядке, и, не оглашая вслух вопроса, вытаскивает записки из пачки в произвольном порядке, и, не оглашая вслух вопроса,
честно отвечает. Какое наименьшее число записок нужно послать, чтобы наверняка честно отвечает. Какое наименьшее число записок нужно послать, чтобы наверняка
узнать, где приз?
узнать, где приз?
Усложненная – графская для 7 классов
Усложненная – графская для 7 классов
11. Девять математиков встретились на международном конгрессе. И
обнаружилось, что среди любых трех из них по крайней мере двое
говорят на одном языке. При этом любой математик владеет не более
чем тремя языками. Доказать, что по меньшей мере трое ученых
владеют одним и тем же языком.
11. Девять математиков встретились на международном конгрессе. И
обнаружилось, что среди любых трех из них по крайней мере двое
говорят на одном языке. При этом любой математик владеет не более
чем тремя языками. Доказать, что по меньшей мере трое ученых
владеют одним и тем же языком.
12. В комнате находится 10 человек, причем среди любых трех из них
есть двое знакомых между собой. Доказать, что
найдутся 4 человека, любые два из которых попарно
знакомы между собой.
12. В комнате находится 10 человек, причем среди любых трех из них
есть двое знакомых между собой. Доказать, что
найдутся 4 человека, любые два из которых попарно
знакомы между собой.
13. В двух классах вместе 47 учеников. Известно, что для любых двух
девочек-одноклассниц количества их друзей среди мальчиков из
другого класса не совпадают. Какое наибольшее число девочек может
быть в этих классах?
13. В двух классах вместе 47 учеников. Известно, что для любых двух
девочек-одноклассниц количества их друзей среди мальчиков из
другого класса не совпадают. Какое наибольшее число девочек может
быть в этих классах?
14. Саша и Маша загадали по натуральному числу и сказали их Васе. Вася написал на
одном листе сумму загаданных чисел, а на другом — их произведение, после чего один
из листов спрятал, а другой (на нем оказалось написано число 2002) показал Саше и
Маше. Увидев это число, Саша сказал, что не знает, какое число загадала Маша. Услышав
это, Маша сказала, что не знает, какое число загадал Саша. Какое число загадала Маша?
14. Саша и Маша загадали по натуральному числу и сказали их Васе. Вася написал на
одном листе сумму загаданных чисел, а на другом — их произведение, после чего один
из листов спрятал, а другой (на нем оказалось написано число 2002) показал Саше и
Маше. Увидев это число, Саша сказал, что не знает, какое число загадала Маша. Услышав
это, Маша сказала, что не знает, какое число загадал Саша. Какое число загадала Маша?
15. Компьютер может производить одну операцию: брать среднее арифметическое двух
целых чисел. Даны три числа: m, n и 0, причем m и n не имеют общих делителей и m < n.
Докажите, что с помощью компьютера из них можно получить а) единицу; б) любое
целое число от 1 до n.
15. Компьютер может производить одну операцию: брать среднее арифметическое двух
целых чисел. Даны три числа: m, n и 0, причем m и n не имеют общих делителей и m < n.
Докажите, что с помощью компьютера из них можно получить а) единицу; б) любое
целое число от 1 до n.
16. а) Придумайте такие три числа, что любые два не взаимно просты, а в совокупности
все взаимно просты; б) Придумайте такие четыре числа, что попарно они не были
взаимно прост, а в совокупности все взаимно просты. в) придумайте пять таких чисел, что
если взять несколько их (только не все сразу), то это множество не будет взаимно просто
в совокупности, а все вместе – взаимно просты.
16. а) Придумайте такие три числа, что любые два не взаимно просты, а в совокупности
все взаимно просты; б) Придумайте такие четыре числа, что попарно они не были
взаимно прост, а в совокупности все взаимно просты. в) придумайте пять таких чисел, что
если взять несколько их (только не все сразу), то это множество не будет взаимно просто
в совокупности, а все вместе – взаимно просты.
17. В государстве 1000 городов, и из каждого выходит не меньше шести дорог. Однажды
в государстве произошла революция, и оно разделилось на 143 республики. Каждая республика выбрала свою столицу. Докажите, что из какой-то столицы можно добраться хотя бы до одной из оставшихся.
17. В государстве 1000 городов, и из каждого выходит не меньше шести дорог. Однажды
в государстве произошла революция, и оно разделилось на 143 республики. Каждая республика выбрала свою столицу. Докажите, что из какой-то столицы можно добраться хотя бы до одной из оставшихся.
18. В стране 1000 городов. Известно, что если любые два города объявить закрытыми и
стереть с карты, то остальные города можно разделить на «дружественные пары», то
есть города, соединенные дорогой. Какое наименьшее число дорог может быть в этой
стране?
18. В стране 1000 городов. Известно, что если любые два города объявить закрытыми и
стереть с карты, то остальные города можно разделить на «дружественные пары», то
есть города, соединенные дорогой. Какое наименьшее число дорог может быть в этой
стране?
19. То же условие, что в задаче 18, но только городов пусть будет 1001, а закроем три города.
19. То же условие, что в задаче 18, но только городов пусть будет 1001, а закроем три города.
20. В стране четное число дорог. Докажите, что можно так ввести на каждой дороге одностороннее движение, что из каждого города будет ВЫХОДИТЬ четное число дорог.
20. В стране четное число дорог. Докажите, что можно так ввести на каждой дороге одностороннее движение, что из каждого города будет ВЫХОДИТЬ четное число дорог.