Фундаментальная и компьютерная алгебра

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«Мордовский государственный университет
им. Н.П. Огарёва»
П Р И Н Я Т О
Учёным советом факультета математики
и информационных технологий
“27” сентября 2012 г.
Протокол №8
Рабочая программа дисциплины
“ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ АЛГЕБРА”
основной образовательной программы
высшего профессионального образования
по направлению подготовки
010200.62 – Математика и компьютерные науки
(бакалавриат)
профили подготовки
Математический анализ и приложения
Математические методы в экономике и финансах
Трудоемкость дисциплины – 15 зачетных единиц (540 часов)
Саранск 2012
2
1. Цели освоения дисциплины.
Цели освоения дисциплины «Фундаментальная и компьютерная алгебра» – обеспечить формирование профессиональных компетенций, позволяющих применять базовые знания фундаментальных разделов алгебры (классической и компьютерной) для освоения различных разделов математики и компьютерных наук, а также знакомство с классическими результатами компьютерной алгебры и развитие навыков конструирования алгоритмов.
Часть дисциплины компьютерная алгебра базируется на знаниях и умениях, полученных студентами на первых двух курсах в процессе изучения следующих дисциплин: линейная алгебра, дискретная математика, алгебра, основные структуры алгебры.
Компьютерная математика – область математики, лежащая на стыке алгебры и вычислительных методов. Тем не менее, компьютерная алгебра имеет дело с алгоритмами, которые существенно отличаются от алгоритмов, используемых в вычислительной математике,
так как вычисления обычно производятся без округления, анализу сходимости уделяется
значительно меньше внимания, но используется более широкий набор алгебраических объектов сложной структуры и ограничения по времени счета и по используемой памяти.
Предметом изучения компьютерной алгебры символьные представления и аналитические преобразования математических объектов в компьютерных системах обработки информации
Одна из областей компьютерной алгебры является теория базисов Гребнера, которая
бурно развивалась во второй половине прошлого века. Изложение теории базисов Гребнера в
процессе изучения курса включает случай полиномиальных идеалов.
Базисы Гребнера имеют многочисленные приложения. В частности, они позволяют
определить, совместна ли система нелинейных алгебраических уравнений, если совместна,
то определить, сколько решений над алгебраически замкнутым полем имеет система, если
бесконечно много решений, то определить размерность многообразия решений, и решить в
итоге систему.
Задачи освоения дисциплины «Фундаментальная и компьютерная алгебра»:
– овладеть базовыми знаниями фундаментальных разделов классической и компьютерной алгебры, таких как: алгебраические структуры (группы, кольца, тела, поля,), группа
подстановок Sn, кольцо Zm, кольцо многочленов от одного и нескольких переменных, кольцо
квадратных матриц над коммутативным кольцом с единицей, поле комплексных чисел С,
элементарная теория групп, колец, полей, факторизация групп, колец, полей, расширения
групп, колец, полей, представления ассоциативных алгебр матрицами, линейные пространства над конечными полями, в частности над полем Zp;
– установить взаимосвязи между изученными алгебраическими теориями и другими естественными науками;
– научиться применять методы алгебры для построения математических моделей объектов
реального мира;
– приобрести основные вычислительные навыки и выработать умения самостоятельного пополнения знаний и проведения анализа прикладных задач алгебраическими средствами;
– развивать культуру мышления, способность к обобщению, анализу, восприятию информации, постановок цели и выбору оптимальных путей ее достижения;
– формировать научное мировоззрение и целостную картинку мира, в которой органично сочетаются знания основ современной алгебры и других наук;
– на примерах по истории развития алгебры прослеживать развитие не только ее самой, но и
человеческой культуры в целом.
– формирование систематизированных знаний в области компьютерной алгебры.
– формирование терминологического запаса, необходимого для самостоятельного изучения
специальной математической литературы
– приобретение студентами навыков и умений по решению задач компьютерной алгебры
– формирования у них опыта математической деятельности в ходе решения прикладных задач, специфических для области их профессиональной деятельности.
3
2. Место дисциплины в структуре основной образовательной программы.
Дисциплина «Фундаментальная и компьютерная алгебра» относится к базовой части
профессионального цикла основной образовательной программы подготовки бакалавров по
направлению 010200.62 «Математика и компьютерные науки».
Изучение данной дисциплины позволяет создать условия, необходимые для формирования у студентов знания о современном содержании и применении рассмотренных в ней
понятий и методов в других дисциплинах естественнонаучного цикла, таких как аналитическая геометрия и линейная алгебра, математический анализ и функциональных анализ, дифференциальная геометрия и топология, дифференциальные уравнения, дискретная математика и математическая логика, теория чисел, методы оптимизации и другие.
Для усвоения студентами дисциплины «Фундаментальная и компьютерная алгебра»
требуются знания школьного курса арифметики и алгебры.
Межпредметные связи с обеспечиваевыми (последующими) дисциплинами.
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Наименование дисциплин
Требования к «входным» (и «выходным») значениям, умениям и готовностям обучающихся
Школьный курс алгебры
– умение решать алгебраические, рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические,
тригонометрические уравнения и неравенства, системы уравнений и неравенств;
– умение строить графики основных элементарных
функций;
– знание координатного метода решения задач на
плоскости и в пространстве;
– умение решать простейшие «текстовые» задачи;
– знание основных понятий, теорем и методов арифметики натуральных чисел;
– умение решать основные задачи арифметики
школьного курса.
«Основы
программирова- Знания базовых понятия теории алгоритмов, приения».
мов исследования и решения математически формализованных задач:
создавать и использовать печатные и электронные
публикации для самостоятельного профессионального обучения.
Языки программирования
Программирование на одном из алгоритмических
языков.
«Линейная алгебра»
Знания основных понятий линейной алгебры;
уметь применять алгоритмы линейной алгебры.
«Дискретная математика»
Знания элементов теории множеств, комбинаторики,
математической логики, булевой алгебры, теории
графов.
«Операционные системы»
Быть пользователем одной из операционных систем.
Последующие дисциплины
Теория чисел
Знание алгебраических структур, и их изоморфизмы,
знание теория многочленов,
умение применять алгоритмы алгебры.
Аналитическая геометрия
умение применять алгоритмы алгебры
Линейная алгебра
Знание алгебраических структур, и их изоморфизмы,
знание теория многочленов,
умение применять алгоритмы алгебры.
4
10
11
12
13
14
15
Дифференциальные уравне- Знание теории групп, теории многочленов,
ния
умение применять алгоритмы алгебры.
Математический анализ
Знание числовых алгебраических систем,
знание теория многочленов,
умение применять алгоритмы алгебры.
Функциональный анализ
Знание алгебраических структур,
умение применять алгоритмы алгебры.
«Математическое моделиро- Знание алгебраических структур,
вание»
умение применять алгоритмы алгебры,
навыки использования компьютера для проведения
численного эксперимента и обработки результатов.
«Теория кодирования»
Знание алгебраических структур,
умение применять алгоритмы линейной алгебры.
«Методы защиты информа- Знание алгебраических структур,
ции»
умение применять алгоритмы линейной алгебры.
3. Требования к результатам освоения дисциплин.
В совокупности с другими дисциплинами базовой и вариативной части математического цикла ФГОС ВПО дисциплина «Фундаментальная и компьютерная алгебра» обеспечивает формирование следующих общих и профессиональных компетенций подготовки бакалавра направления 010200.62 «Математика и компьютерные науки»
№
Название компетенции
Индекс
п/п
Общекультурные компетенции (ОК)
1. способность выстраивать и реализовывать перспективные линии интелОК-4
лектуального, культурного, нравственного и профессионального саморазвития и самосовершенствования
2. способность применять в научно-исследовательской и профессиональной
ОК-6
деятельности базовые знания в области фундаментальной и прикладной
математики и естественных наук
3. значительные навыки самостоятельной научно-исследовательской работы
ОК-7
4. способность и постоянная готовность совершенствовать и углублять свои
ОК-8
знания, быстро адаптироваться к любым ситуациям
5. фундаментальная подготовка в области фундаментальной математики и
ОК-11
компьютерных наук, готовность к использованию полученных знаний в
профессиональной деятельности
6. значительные навыки самостоятельной работы с компьютером, програмОК-12
мирования, использования методов обработки информации и численных
методов решения базовых задач
7. базовые знания в областях информатики и современных информационных
ОК-13
технологий, навыки использования программных средств и навыками работы в компьютерных сетях, умение создавать базы данных и использовать ресурсы Интернета
8. способность к анализу и синтезу информации, полученной из любых исОК-14
точников
9. способность к письменной и устной коммуникации на русском языке
ОК-15
Профессиональные компетенции (ПК)
Научно-исследовательская и научно-изыскательская деятельность
1. умение определять общие формы, закономерности, инструментальные
ПК-1
средства отдельной предметной области
2. умение понять поставленную задачу
ПК-2
5
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
умение формулировать результат
умение строго доказать утверждение
умение на основе анализа увидеть и корректно сформулировать результат
умение самостоятельно увидеть следствия сформулированного результата
умение грамотно пользоваться языком предметной области
умение ориентироваться в постановках задач
знание корректных постановок классических задач
понимание корректности постановок задач
навыки самостоятельного построения алгоритма и его анализа
понимание того, что фундаментальное знание является основой компьютерных наук
глубокое понимание сути точности фундаментального знания
навыки контекстной обработки информации
способность передавать результат проведенных физико-математических и
прикладных исследований в виде конкретных рекомендаций, выраженной
в терминах предметной области изучавшегося явления
выделение главных смысловых аспектов в доказательствах
умение извлекать полезную научно-техническую информацию из электронных библиотек, реферативных журналов, сети Интернет
умение публично представить собственные и известные научные результаты
Производственно-технологическая деятельность
владение проблемно-задачной формой представления математических и
естественнонаучных знаний
умение увидеть прикладной аспект в решении научной задачи, грамотно
представить и интерпретировать результат
умение проанализировать результат и скорректировать математическую
модель, лежащую в основе задачи
Организационно-управленческая деятельность
умение самостоятельно математически и физически корректно ставить
естественнонаучные и инженерно-физические задачи и организовывать их
решение в рамках небольших коллективов
Педагогическая деятельность
умение точно представить математические знания в устной форме
владение основами педагогического мастерства
возможность преподавания физико-математических дисциплин и информатики в общеобразовательных учреждениях и образовательных учреждениях среднего профессионального образования
ПК-3
ПК-4
ПК-5
ПК-6
ПК-7
ПК-8
ПК-9
ПК-10
ПК-11
ПК-12
ПК-13
ПК-14
ПК-15
ПК-16
ПК-17
ПК-18
ПК-21
ПК-22
ПК-23
ПК-25
ПК-27
ПК-28
ПК-29
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
– знать:
основные понятия и результаты по алгебре: алгебраические структуры (группы, кольца, поля, тела, алгебры, модули над коммутативными кольцами с единицей, линейные пространства над конечными полями) и основные алгоритмы (системы линейных уравнений в R, C и
Zm, теории многочленов, теории групп, колец, полей факторизации, изоморфизмы и гомоморфизмы и гомоморфизмы алгебраических структур) математические основы и базовые алгоритмов целочисленной и полиномиальной арифметики, а также функциональных возможностей их применения при решении избранных прикладных задач информатики и вычислительной техники, понятие об алгоритмической разрешимости/неразрешимости алгебраических проблем, основы теории базисов Гребнера в случае полиномиальных идеалов и основные алгоритмы, применение теории базисов Гребнера при решении систем нелинейных алгебраических уравнений;
6
– уметь:
ориентироваться в литературе по алгебре, применять полученные знания для решения конкретных задач, разрабатывать математические методы в сфере науки и практики с использованием конструкций алгебры; для этого студент должен уметь решить системы линейных
уравнений в R, в C, в Zm, пользоваться языком теории матриц, исследовать свойства многочленов от одного неизвестного над коммутативным кольцом с единицей, решать основные
задачи теории многочленов от нескольких неизвестных над полем, выявлять и использовать
основные свойства групп, колец, полей, применять изученные алгоритмы решать классические задачи компьютерной алгебры, рассмотренные в процессе изучения курса;
– владеть:
навыками применения алгебры для решения теоретических и прикладных задач.
4. Образовательные технологии
Реализация компетентностного подхода предусматривает использование в учебном
процессе активных и интерактивных форм проведения занятий в сочетании с внеаудиторной
работой с целью формирования и развития профессиональных навыков обучающихся.
Удельный вес занятий, проводимых в интерактивных формах, составляет не менее 30%
аудиторных занятий.
В учебном процессе при изучении дисциплины “Фундаментальная и компьютерная
алгебра” используются следующие формы проведения занятий:
– теоретические лекции с изложением определений основных математических понятий, изучаемых в рамках дисциплины, подробным описанием и доказательством наиболее
важных свойств этих математических понятий и их взаимосвязей друг с другом;
– практические занятия с более подробным изучением основных свойств математических понятий, изучаемых в рамках дисциплины, выяснением их взаимосвязей друг с другом в примерах и задачах;
– индивидуальные и коллективные консультации с активным участием обучающихся по наиболее сложным частям теоретического материала дисциплины и по задачам повышенной сложности;
– индивидуальные коллоквиумы по наиболее сложным частям теоретического материала дисциплины;
– самостоятельная работа по доказательству некоторых свойств некоторых математических понятий, изучаемых в рамках дисциплины, с целью развития самостоятельного
умения доказывать математические утверждения и последующее обсуждение проделанной
работы во время индивидуальных и коллективных консультаций;
– самостоятельная работа по выполнению индивидуальных лабораторных работ по
основным разделам дисциплины;
– самостоятельная работа по выполнению домашних заданий к практическим занятиям по основным разделам дисциплины.
– самостоятельная работа по подготовке к индивидуальным коллоквиумам по
наиболее сложным частям теоретического материала дисциплины.
7
№
п/п
5. Структура учебной дисциплины.
Раздел дисциплины
Семестр
Неделя
семестра
Виды учебной работы,
включая самостоятельную работу
студентов, и трудоемкость (в часах)
Лекции Практ. Лаб. рабо- Самост. Всего
занятия
ты
работа
5
6
7
8
9
4
2
3
9
Формы текущего
контроля успеваемости (по
неделям семестра)
10
1
1
2
Элементы теории множеств
3
1
4
1
2
Отображения
1
2
2
2
5
9
3
Перестановки и подстановки
1
3
6
3
6
15
4
Простейшие алгебраические структуры
1
4
4
2
3
9
5
Построение мультипликативной группы Sn
1
5
4
2
3
9
6
О кольце Z.
1
6
4
1
4
9
7
Построение кольца Zm
1
7
4
2
6
12
8
Построение кольца квадратных матриц над
коммутативным кольцом в единицей
Методы решения систем линейных уравнений с n неизвестными
Построение поля С
Кольцо многочленов от одного неизвестного нал кольцом с единицей
Многочлены от одного неизвестного над
числовыми полями.
Построение многочлены по заданным его
значениям и заданным значениям его неизвестного. Интерполяционные формулы
Ньютона и Лагранжа
Поле частных кольца целостности с единицей
1
8
4
2
6
12
1
9-10
8
2
14
24
1
1
11
12
4
4
2
2
6
6
12
12
1
14
4
2
3
9
1
14
4
2
3
9
Контрольная
работа №2
1
15
4
2
3
9
Коллоквиум №2
9
10
11
12
13
14
8
Контрольная
работа №1
Коллоквиум №1
Формы
промежуточной аттестации
11
15
16
17
18
19
20
21
22
Кольцо K x / f над полем K
1
16
4
2
3
9
Кольцо многочленов от n неизвестных над
заданным коммутативным кольцом с единицей
Экзамен
ИТОГО ЗА 1 СЕМЕСТР
Группы и их подгруппы
1
17-18
8
2
2
12
2
Кольца и подкольца
Поля и подполя
Линейные пространства над конечными
полями
Полиномиальные матрицы
Теория исключения
1-3
72
9
36
6
72
9
36
216
24
2
2
2
4-6
7-9
10-12
9
9
9
6
6
6
9
9
9
24
24
24
2
2
13-15
16-18
9
9
6
6
9
9
24
24
36
180
20
24
Экзамен
23
24
ИТОГО ЗА 2 СЕМЕСТР
Представление данных
Базовые алгоритмы компьютерной алгебры
5
5
25
26
Базисы Гребнера
Алгоритмы факторизации
27
Системы компьютерной алгебры
Зачет
ИТОГО ЗА 5 СЕМЕСТР
ИТОГО
1-2
3-4
54
6
8
36
2
2
2
2
54
10
12
5
5
5-6
7-8
8
6
2
2
2
2
12
10
24
20
5
18
8
10
10
28
56
экзамен
Контрольная
работа №1
Коллоквиум №1
Контрольная
работа №2
экзамен
Контрольная
работа №1
Коллоквиум №1
Индивидуальная
работа №3
Коллоквиум №2
зачет
36
162
9
18
90
18
18
72
144
540
5.1. Содержание учебной дисциплины. Объем дисциплины и виды учебных занятий.
Общая трудоемкость дисциплины составляет 15 зачетных единиц.
Распределение дисциплины по семестрам.
Вид учебной работы
Аудиторные занятия (всего)
в том числе:
Лекции
Практические занятия
Семинары
Лабораторные работы
Самостоятельная работа (всего)
Виды текущего контроля успеваемости:
Индивидуальные лабораторные работы
Коллоквиумы
Контрольные работы
Виды промежуточной аттестации
Зачеты
Экзамены
Общая трудоемкость в часах:
в зач. единицах:
Всего
часов
270
162
90
1
108
Семестр
2
90
5
72
72
36
54
36
36
18
18
270
108
90
18
72
3
1
1
1
1
2
1
1
15
6
5
1
4
5.2. Содержание дисциплины (модуля) «Фундаментальная и компьютерная алгебра».
№
п/п
Наименование
раздела дисциплины
Содержание раздела
Формы текущего
контроля успеваемости
1
2
3
4
1
Элементы
теории множеств.
Понятие множества. Типы множеств. Способы
задания множеств. Подмножества. Равенство
множеств. Действия над множествами: объединение, пересечение, разность, дополнение. Круги
Эйлера-Венна. Универсальные множества. Декартовые произведения двух и нескольких множеств. Бинарные соответствия, их графики и
графы. Бинарные отношения. Их свойства: рефлексивность, симметричность, транзитивность
и другие. Эквивалентности. Разбиения. Связи
между эквивалентностями и разбиениями.
2
Отображения.
Отображения и их виды. Композиция отображений. Обратное отображение.
3
Перестановки и подста-
Упорядоченные множества. Перестановки конечного множества. Теорема о количестве пере10
Контрольная
работа №1
новки.
4
Простейшие
алгебраические структуры.
5
Построение
мультипликативной
группы Sn.
становок множества длины n. Четные и нечетные
перестановки, их свойства. Число четных и число
нечетных перестановок n элементов.
Понятие бинарной операции. Внутренние бинарные операции. Свойства внутренних бинарных
операций: алгебраичность, коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность одной внутренней бинарной операции относительно другой.
Специальные элементы множества относительно
данной
внутренней
бинарной
операции:
нейтральный элемент, элемент, симметричный
данному. Симметризуемые элементы, симметризуемая операция. Понятие группы. Два определения группы, их взаимосвязь. Простейшие
свойства элементов групп. Изоморфизм групп,
его простейшие свойства. Понятие кольца. Виды
колец (коммутативные, ассоциативные, с единицей, без единицы). Простейшие свойства колец.
Делители нуля в кольцах. Поля. Простейшие
свойства элементов полей. Изоморфизм колец.
Изоморфизм полей. Их простейшие свойства.
Умножение подстановок, его свойства. Наличие
в Sn единицы, обратимость элементов. О коммутативности группы Sn.
О кольце Z.
Отношение делимости в Z, его свойства. НОД и
НОК двух и нескольких чисел. Взаимно простые
числа, их свойства. Простые и составные числа,
их свойства. Каноническое представление натуральных чисел. Обобщенное каноническое представление целых чисел. Основная теорема арифметики и ее приложение. Теорема о делении с
остатком в Z и ее приложения. Линейное представление НОД (a, b). Функция Эйлера.
7
Построение
кольца Zm.
Числовые сравнения и их свойства. Два метода
построения Zm, их взаимосвязь. Сложение в Zm,
его свойства. Умножение в Zm, его свойства. Делители нуля в Zm. Понятие характеристики кольца с единицей. Характеристики кольца Zm. Обратимость элементов в Zm. Необходимое и достаточное условие того, что Zm – поле. Мультипликативная группа обратимых в кольце Zm элементов.
8
Построение
кольца квадратных матриц над коммутативным
кольцом с
Понятие матрицы размера m x n над коммутативным кольцом с единицей. Сложение и умножение матриц, умножение матриц на скаляр,
транспонирование матриц, их свойства. О кольце
матриц n-го порядка над коммутативным кольцом с единицей. Определители 1-го, 2-го, 3-го
6
11
Коллоквиум №1
9
10
11
единицей.
порядков над коммутативным кольцом с единицей. Их свойства и методы вычисления. Обратимость матриц над коммутативным кольцом с
единицей.
Методы решения систем
линейных
алгебраических уравнений с n неизвестными.
Метод Гаусса решения систем над полем. Метод
Крамера решения систем линейных уравнений
над коммутативным кольцом с единицей (случай
систем 2-х уравнений с 2 неизвестными, 3-х
уравнений с 3 неизвестными).
Построение
поля С.
Комплексные числа как конструкции вида a+bi.
Сложение и умножение комплексных чисел. Их
свойства. Возведение комплексного числа в
натуральную степень n (бином Ньютона), извлечение корня квадратного из комплексного числа.
Сопряженные комплексные числа. Деление комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Формула
Муавра возведения комплексного числа в тригонометрической форме. Извлечение корня n-ой
степени из комплексного числа в тригонометрической форме. Корни n-ой степени из 1. О мультипликативной группе корней n-ой степени из 1.
Понятие порядка корня n-ой степени из 1. Первообразные корни n-ой степени из 1. Двучленные
уравнения. Геометрическое представление комплексных чисел. Построение поля С методом
пар.
Кольцо многочленов от
одного неизвестного над
кольцом с
единицей.
Понятие многочлена от одного неизвестного над
кольцом с единицей. Сложение многочленов и
умножение многочлена на скаляр. Их свойства.
Алгебраическая форма записи многочлена от одного неизвестного. Действия над многочленами в
алгебраической форме. Их свойства. Коммутативность кольца многочленов над коммутативным кольцом с единицей. Делители нуля в K[x].
Характеристика кольца K[x]. Делимость многочленов, еe свойства. НОД и НОК двух и нескольких многочленов. Теорема о делении с остатком
в кольце K[x] и в поле Р[x]. Алгоритм Евклида и
его применение для нахождения НОД двух многочленов. Линейная форма НОД (f,g). Взаимно
простые многочлены. Их свойства. Значение
многочлена в заданной точке. Деление многочлена на линейный двучлен над коммутативным
кольцом с единицей. Теорема Безу. Понятие корня многочлена. Необходимое и достаточное
условие того, что скаляр α есть корень данного
многочлена. Кратные корни многочлена. Разло12
жение многочлена по степеням x – α. Схема Горнера и ее применение. Теорема о максимальном
числе корней многочлена. Дифференцирование в
K[x] и его применение. Теорема о кратности корня многочлена и его производной. Неприводимые многочлены, их свойства. Каноническое
представление многочлена над полем и его применение.
Кольцо многочленов над полем С.Теорема о числе корней многочлена из С[x]. Формулы Виетта.
Решение уравнений третьей степени (формула
Кардано). Решение уравнений четвертой степени
(метод Феррари). Неприводимые многочлены из
С[x] .Кольцо многочленов над полем R: Комплексные корни многочлена с вещественными
коэффициентами. Существование вещественного
корня многочлена нечетной степени. Метод
Штурма отыскания числа вещественных корней
многочлена с вещественными коэффициентами.
Неприводимые многочлены из R[x]. Кольцо многочленов над полем Q: Целые и рациональные
корни многочлена с рациональными коэффициентами. Методы их вычисления. Неприводимые
многочлены из Q[x]. Критерий Эйзенштейна.
12
Многочлены
от одного неизвестного
над числовыми полями.
13
Построение
многочлена
по заданным
его значениям и заданным значениям его неизвестного.
14
Построение поля частных поля целостности с
Поле частединицей. Построение поля рациональных дроных кольца
бей. Несократимые и правильные дроби. Предцелостности с
ставление рациональной дроби в виде суммы
единицей.
простейших.
15
Полиномиальные сравнения и их свойства. Построение фактормножества K[x]/mod f методом
сравнений и методом равноостаточности при делении на mod f. Взаимосвязь указанных разбиеКольцо K[x]/f ний. Построение кольца K[x] над полем К. Поле
над полем К. расширения для данного многочлена f над полем
К. Теорема существования поля расширения. Поле полного разложения многочлена над полем.
Теорема существования поля полного разложения.
16
Кольцо мно- Понятие многочлена от нескольких неизвестных.
гочленов от n Построение кольца многочленов от n неизвест-
Построение многочлена по заданным его значениям и заданным значениям его неизвестного.
Интерполяционная формула Ньютона. Интерполяционная формула Лагранжа.
13
Контрольная
работа №2
Коллоквиум №2
неизвестных
над заданным коммутативным
кольцом с
единицей.
ных над коммутативным кольцом с единицей.
Лексографическая форма записи многочлена от n
неизвестных. Симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах.
Некоторые приложения теории симметрических
многочленов: суммы степеней неизвестных; значение элементарных симметрических многочленов от корней алгебраических уравнений; значение симметрического многочлена от корней алгебраического уравнения. Формула Ньютона.
Группы и их
подгруппы.
Группа и ее подгруппа. Свойства элементов подгруппы. Подгруппа, порожденная подмножеством. Циклические подгруппы. Циклические
группы. Изоморфизм конечных циклических
групп. Изоморфизм бесконечных циклических
групп. Разложение группы по ее подгруппе. Теорема Лагранжа. Разложение группы по двум подгруппам. Нормальный делитель группы. Основные теоремы. Построение факторгруппы. Гомоморфизм групп. Теорема о гомоморфизме групп.
Автоморфизмы групп. Группа автоморфизмов.
Нормальный ряд групп. Композиционный ряд
групп. Основная теорема о нормальных рядах.
Разрешимые группы. Группы подстановок. Орбиты и стабилизаторы. Лемма Бернсайда. Цикловая структура и четность подстановки. Знакопеременная группа. Системы образующих симметрических и знакопеременных групп. Простые
группы. Силовские подгруппы. Конечные абелевы группы. Каноническое разложение конечной
абелевой группы. Тип конечной абелевой группы. Перечисление конечных абелевых групп. Характеры конечных абелевых групп.
Кольца и
подкольца.
Различные определения кольца, их взаимосвязь.
Подкольца. Идеал кольца. Главные идеалы.
Классы вычетов кольца по его идеалу. Факторкольца. Гомоморфизм колец. Свойства гомоморфизма колец.
19
Поля и подполя.
Различные определения поля, их взаимосвязь.
Примеры полей. Поле вещественных кватернионов. Подполе. Простое поле. Типы простых полей. Присоединения или расширения поля. Простое расширение поля. Существование простых
расширений.
20
Линейные
пространства
над конечными полями.
Линейная зависимость элементов линейного пространства над конечным полем. линейные уравнения с n неизвестными. Теорема о ранге матрицы. Линейное пространство решений однородной
системы. Линейное многообразие решений неоднородной системы линейных уравнений.
17
18
14
Контрольная
работа №1
Коллоквиум №1
Полиномиальные матрицы.
Полиномиальные матрицы. Эквивалентность λ –
матриц. Унимодулярные λ – матрицы. Связь подобия числовых матриц с эквивалентностью их
характеристических матриц. Жорданова нормальная форма. Минимальный многочлен.
22
Теория исключения.
Результант двух многочленов от одного неизвестного над полем, его свойства. Решение системы двух алгебраических уравнений с двумя
неизвестными методом исключения. Дискрименант многочлена от одного неизвестного над полем. Связь D(f) и R(f,f’). Необходимое и достаточное условие для того, чтобы многочлен имел
кратный корень.
23
Введение в
компьютерную алебру.
Задачи и цели курса. Понятие о конструктивных
процессах и объектах. Алгоритмическая разрешимость неразрешимость алгебраических проблем.
24
Задача представления
данных
Общая схема символьных вычислений. Правила
переписывания. Понятие канонической и нормальной формы представления данных. Примеры
алгоритмической неразрешимости построения
нормальной формы. Каноническая форма представления целых и рациональных чисел. Каноническая форма представления колец вычетов и конечных полей. Каноническая форма представления алгебраических чисел. Трансцендентные
числа и возможность работы с ними. Целые и
дробные p-адические числа.
25
Каноническая форма
представления многочленов и рациональных
функций
21
25
Наибольший
общий делитель. Алгоритмы вычисления
Контрольная
работа №2
Многочлены Рациональные функции. Обобщенные многочлены и рациональные функции. Векторные пространства и модули
Свойства НОД(a,b) в Z. Евклидовы кольца. Алгоритмы вычисления НОД(a,b) в кольцах многочленов k[x] и Z[x]. Расширенные алгоритмы вычисления НОД(a,b) в Z. Эффективность вычисления НОД(a,b) в Z. Алгоритмы вычисления
НОД(a,b) в кольцах многочленов k[x] и Z[x]. Последовательности полиномиальных остатков. Евклидов алгоритм PRS. Алгоритм примитивных
PRS. Модулярный алгоритм вычисления НОД
многочленов. Границы для коэффициентов делителя полинома. Неравенство Коши. Неравенство
Ландау.
15
Контрольная
работа №1
26
Определение
базисов
Гребнера
Базисы Гребнера в полиномиальных, дифференциальных и разностных модулях. Инволютивные
базисы.
Теорема Гильберта о базисе. Идеал системы
27
Системы нелинейных
алгебраических уравнений
Размерностные многочлены подмножеств в Nm.
Размерностный многочлен матрицы
28
Определение
целозначных
многочленов
и их основные свойства
Коллоквиум №1
Алгоритмы
Кронекера
Многомерный алгоритм Кронекера. Разложение Коллоквиум №1
на множители, свободные от квадратов. Выделение линейных множителей. Организация перебора. Перебор с предварительным разложением
старшего коэффициента и свободного члена на
простые множители. Факторизация, основанная
на переборе неприводимых сомножителей в K[x].
30
Введение в
системы
компьютерной алгебры
Аналитические преобразования с помощью ком- Индивидуальная
пьютера. Эффективность алгоритмов. Знаком- работа №1
ство с системой Mathematica. 8/0. .Компьютерная
алгебра на примерах: простые операции с числами, полиномами, действия с матрицами, функции
времени и даты. Построение базисов Гребнера.
Решение систем нелинейных алгебраических
уравнений.
31
Интегрирование полиномов и рациональных
функций
29
Некоторые сведения из дифференциальной ал- Коллоквиум №2
гебры. Структурная теорема. Дифференцирование и интегрирование
16
5.3 Разделы учебной дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
№ Наименование обеспечиваемой дисп/п
циплины
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Теория чисел
Аналитическая геометрия
Линейная алгебра
Дифференциальные уравнения
Математический анализ
Функциональный анализ
Математическое моделирование
Теория кодирования
Методы защиты информации
Теория чисел
Номера разделов данной дисциплины,
необходимых для изучения обеспечиваемых
дисциплин
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 25 26 27 28 29 30 31
+
+
+
+
+
+
+
+ + +
+
+
1 2 3 4 5 6 7 8 9
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+ +
+
+ +
+
+ +
+
+
+
+ +
+ +
+
+
17
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
5.4. Разделы учебной дисциплины и виды занятий.
№
п/п
Раздел дисциплины
1
2
3
4
5
6
7
8
Элементы теории множеств
Отображения
Перестановки и подстановки
Простейшие алгебраические структуры
Построение мультипликативной группы Sn
О кольце Z.
Построение кольца Zm
Построение кольца квадратных матриц над
коммутативным кольцом в единицей
Методы решения систем линейных уравнений с n неизвестными
Построение поля С
Кольцо многочленов от одного неизвестного нал кольцом с единицей
Многочлены от одного неизвестного над
числовыми полями.
Построение многочлены по заданным его
значениям и заданным значениям его неизвестного. Интерполяционные формулы
Ньютона и Лагранжа
Поле частных кольца целостности с единицей
Кольцо K x / f над полем K
Кольцо многочленов от n неизвестных над
заданным коммутативным кольцом с единицей
Группы и их подгруппы
Кольца и подкольца
Поля и подполя
Линейные пространства над конечными
полями
Полиномиальные матрицы
Теория исключения
Представление данных
Базовые алгоритмы компьютерной алгебры
Базисы Гребнера
Алгоритмы факторизации
Системы компьютерной алгебры
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
18
Виды учебной работы,
включая самостоятельную работу
студентов, и трудоемкость (в часах)
Лекции Практ. Лаб. рабо- Самост. Всего
занятия
ты
работа
4
2
3
9
2
2
5
9
6
3
6
15
4
2
3
9
4
2
3
9
4
1
4
9
4
2
6
12
4
2
6
12
8
2
14
24
4
2
6
12
4
2
6
12
4
2
3
9
4
2
3
9
4
2
3
9
4
2
3
9
8
2
2
12
9
9
9
6
6
6
9
9
9
24
24
24
9
6
9
24
9
9
6
8
8
6
8
6
6
2
2
2
2
10
9
9
10
12
12
10
28
24
24
20
24
24
20
56
2
2
2
2
10
6.1. Лекции
На лекциях рассматриваются основные понятия и теоремы, соответствующие данной дисциплине.
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Номер раздела
дисциплины
1
1
2
3
4
4
5
5
7
6
6
7
8
9
10
23
23
18
19
10
11
20
11
21
22
23
24
25
26
24
12
12
16
16
27
27
13
28
13
29
30
15
15
31
32
16
16
Наименование лекции
Трудоемкость в
часах
Множества. Действия над множествами.
2
Декартовое произведение множеств.
2
Отображения
2
Элементы комбинаторики.
2
Алгебраические структуры: группы.
2
Внутренние бинарные операции.
2
Построение мультипликативной группы Sn
2
Алгебраические структуры: кольца и поля.
2
Сложная сумма и сложное произведение.
2
Кольцо Z.
2
Теорема о делении с остатком в Z.
2
Построение кольца Zm.
2
Матрицы. Действия над ними.
2
Определители первого, второго, третьего порядков.
4
Построение поля комплексных чисел С.
2
Тригонометрическая форма комплексного числа.
2
Первообразные корни. Геометрическое представле2
ние комплексных чисел.
Построение поля комплексных чисел методом пар.
2
Кольцо многочленов от одного неизвестного над
2
произвольным кольцом с единицей.
2
Делимость в кольце K [x] . Теорема о делении с
остатком.
Алгоритм Евклида и его приложения.
2
Корни многочлена над кольцом и над полем.
2
Понятие кратного корня многочлена.
2
2
Дифференцирование в кольце K [x] над полем K.
Неприводимые многочлены.
2
Кольцо многочленов над полем комплексных чи2
сел. Кольцо многочленов с вещественными коэффициентами.
Нахождение числа вещественных корней много2
члена с вещественными коэффициентами. О рациональных корнях многочлена с рациональными коэффициентами.
Построение многочлена по заданным его значени2
ям при заданных значениях неизвестного.
2
Построение кольца K [ x] / f над полем K .
Построение поля расширения для данного много2
члена f над полем K .
Поле полного разложения многочлена.
2
2
Построение кольца многочленов от n неизвестных
над заданным коммутативным кольцом с единицей.
19
33
34
27
27
35
14
36
14
37
38
39
40
41
17
26
26
17
17
42
3
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
3
24
24
25
18
26
18
22
22
20
9
54
20
55
25
56
21
57
58
21
21
59
60
61
62
21
8
24
23
63
27
Симметрические многочлены.
Некоторые приложения теории симметрических
многочленов.
Построение поля частных кольца целостности с
единицей.
Некоторые дополнительные вопросы теории комплексных чисел.
Группы и подгруппы.
Разложение группы по ее подгруппе.
Нормальный делитель группы. Факторгруппы.
Гомоморфизм групп.
Нормальный ряд групп. Композиционный ряд
групп.
Группы подстановок. Симметрическая и знакопеременная группы.
Применения цикловой записи подстановки.
Знакопеременные группы.
Орбита групп.
Конечные абелевы группы.
Кольца и подкольца. Идеалы.
Факторкольца.
Гомоморфизм и изоморфизм колец.
Тело вещественных кватернионов.
Присоединение или расширение поля.
Линейные пространства над конечными полями.
Теорема о ранге матрицы над произвольным полем.
Теорема о совместности системы линейных уравнений над конечным полем.
Линейное пространство решений однородной системы линейных уравнений над конечным полем.
Его базис и размерность.
Неоднородная система линейных уравнений в конечном поле.
Полиномиальные матрицы. Эквивалентность  –
матриц.
Унимодулярные матрицы.
Связь подобия числовых матриц с эквивалентом их
характеристических матриц.
Жорданова нормальная форма.
Приведение матрицы к диагональному виду.
Минимальный многочлен.
Результант и дискриминант. Их свойства и применение.
Решение системы двух алгебраических уравнений с
двумя неизвестными.
20
2
2
2
2
3
2
2
3
3
2
2
2
2
4
4
2
5
4
5
4
4
5
4
2
2
2
3
2
2
2
2
6.2. Лабораторный практикум
Лабораторные работы по дисциплине «Фундаментальная компьютерная алгебра»
предусмотрены только в пятом семестре.
№
п/п
1
2
3
4
5
№ раздела
дисциплины
23
24
25
26
27
Наименование лабораторной работы
Представление данных
Базовые алгоритмы компьютерной алгебры
Базисы Гребнера
Алгоритмы факторизации
Системы компьютерной алгебры
Трудоемкость
(час.)
2
2
2
2
10
7. Практические занятия.
№
п/п
Номер раздела
дисциплины
Наименование практических
занятий
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
1
1
3
2,4
4
5
6
7
8,9
10
10
11
10
12
10
13
11
14
11
15
11
16
17
18
13
12
16
19
20
21
22
17
17
17
17
3
Элементы теории множеств
Элементы теории множеств
Отображения
Перестановки и подстановки
Простейшие алгебраические структуры
Построение мультипликативной группы Sn
О кольце Z.
Построение кольца Zm
Построение кольца квадратных матриц над коммутативным кольцом в единицей
Методы решения систем линейных уравнений с n неизвестными
Кольцо многочленов от одного неизвестного нал
кольцом с единицей
Кольцо многочленов от одного неизвестного нал
кольцом с единицей
Многочлены от одного неизвестного над числовыми
полями.
Построение многочлены по заданным его значениям
и заданным значениям его неизвестного. Интерполяционные формулы Ньютона и Лагранжа
Построение многочлены по заданным его значениям
и заданным значениям его неизвестного. Интерполяционные формулы Ньютона и Лагранжа
Кольцо K x / f над полем K
Поле частных кольца целостности с единицей
Кольцо многочленов от n неизвестных над заданным
коммутативным кольцом с единицей
Группы и их подгруппы
Группы и их подгруппы
Группы и их подгруппы
Группы и их подгруппы
21
Трудоемкость
в часах
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
41
42
17
17
18
18
19
19
20
20
20
21
21
21
21
22
24
25
26
27
28
Группы и их подгруппы
Группы и их подгруппы
Представление данных
Кольца и подкольца
Поля и подполя
Поля и подполя
Линейные пространства над конечными полями
Линейные пространства над конечными полями
Линейные пространства над конечными полями
Полиномиальные матрицы
Полиномиальные матрицы
Полиномиальные матрицы
Полиномиальные матрицы
Теория исключения
Представление данных
Базовые алгоритмы компьютерной алгебры
Базисы Гребнера
Системы компьютерной алгебры
Алгоритмы факторизации
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
4
2
4
8. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.
8.1. Варианты контрольных работ по дисциплине «Фундаментальная и компьютерная алгебра».
1 семестр.
1. Найти остаток от деления числа a = 362 211  (10  211362 )10 на число b =17.
2. На плоскости даны точки M 1 и M 2 , соответствующие комплексным числам
z1 =  3  2i и z2 = 13  2i . Найдите комплексные числа z , соответствующие точкам, лежащим
на биссектрисе угла, образованного векторами OM 1 и OM 2 .
4
3. Дано комплексное число a =
. Требуется 1) записать его в алгебраической
3i 3
и тригонометрической формах; 2) решить уравнение z n  a  0 , n=6.
4. Найти сумму всех корней n -ой степени из 1, n=26.
5. Построить поле расширения многочлена f  x 4  x 2  1 Z 2 x .
6. Представить симметрический многочлен
f ( x1 , x2 , x3 )  ( x13  1)( x23  1)( x33  1)
в виде многочлена от элементарных симметрических функций и найти значение этого многочлена от корней уравнения 2 x 3  4 x  1  0 .
2 семестр.
1. Пусть G – множество многочленов степени  n над R и Н – множество многочленов
степени  n-2 . Доказать, что 1) G () - группа; 2) H ( ) - нормальный делитель для G. Построить факторгруппу G / H и доказать, что она изоморфна аддитивной группе комплексных
чисел.
22
2. Проверить, будет ли кольцом множество симметрических многочленов от n переменных над R.


 a 3b 
3. Доказать, что кольца M 1  x x  a  b 3; a, b  Z , M 2     
; a, b  Z 
b a 


изоморфны.


8.2. Список вопросов и варианты зачетных задач.
1 семестр.
1. Проверить равенство множеств:
1) A  B  A \ ( B \ A) ;
2) B \ A  ( A  B)  A ;
3) ( A \ B) \ C  A \ ( B  C ) .
2. Известно, что отношение  -эквивалентность. Дополните граф этого отношения:
3. Найти остаток от деления числа a на число b :
a  361211  (5  210362 )11 ; b  17 .
4. На плоскости даны точки M 1 и M 2 , соответствующие комплексным числам z1 и
z2 . Найдите комплексные числа z , соответствующие точкам, лежащим на биссектрисе угла,
образованного векторами OM 1 и OM 2 .
z1 =  3  2i , z2 = 13  2i .
4
. Требуется 1) записать его в алгебраической
3i 3
и тригонометрической формах; 2) решить уравнение z n  a  0 .
4
; n = 3.
a=
3i 3
5. Дано комплексное число a =
6. Вычислить один из первообразных корней n-ой степени из 1. Получены все корни
n-ой степени из 1 с помощью этого первообразного корня. Сколько всего первообразных
корней n-ой степени из 1?
n = 15.
7. Используя схему Горнера
1) разделить многочлен f на g над R.
2) Найти f ( ) над Z3.
3) Разложить многочлен f по степени x   над Z5.
f  2x7  2x6  4x5  x3  x  5 ,   2 .
8. Является ли приводимым многочлен f  x  x  1над Z5?
9. Найти НОД ( f , g ) над а) R; б) Z3. Для многочленов f и g подобрать такие многочлены m1 и m2 , что fm1  gm2  НОД ( f , g ) .
3
f  x 2 1, g  x  2 .
10. Методом
Штурма
найти
число
вещественных
корней
многочлена
5
3
f  x  x  x  1 . Определить эти корни.
11. Построить многочлен f не выше третьей степени такой, что f (2)  3 , f (1)  1 ,
f ( 2)  0 (тремя способами).
f ( x)
12. Рациональную дробь
разложить в сумму простейших а) над R; б) над С:
g ( x)
23
x5  x  2
x4  x2
13. Представить симметрический многочлен f ( x1 , x2 , x3 )  ( x13  1)( x23  1)( x33  1) в виде
многочлена от элементарных симметрических функций и найти значение этого многочлена
от корней уравнения 3x 3  2 x 2  5 x  1  0 а) над R; ,) над Z7.
14. Построить поле расширения для многочлена f  2 x 2  2 x  1 над Z3.
 x1  x2  x3  1

15. Систему линейных уравнений 2 x1  x2  x3  0 МГ, ММ, МК а) над R; б) над Z5.
 x  2 x  2 x  1
2
3
 1
f ( x) 
2 семестр.
1. Пусть даны множество G многочленов степени меньше либо равной 5 над R и
множество H многочленов степени меньшей либо равной 3.
1) доказать, что а) G () - группа;
б) H ( ) - подгруппа группы G;
в) H ( ) - нормальный делитель группы G.
2) Построить факторгруппу G\H.
3) Доказать, что G\H тождественно равна аддитивной группе вещественных чисел.


 a 3b 
, a, b  Z  .
2. Доказать, что множество M   x x  
b a 


3. Построить факторкольца Z по идеалу J  4Z .
M 1  x x  a  b 7 , a, b  Z
4. Доказать
изоморфизм
колец
и




 a 7b 
, a, b  Z  .
M 2     
b a 


5. Построить поле расширения R( 13 ) .
6. Найти фундаментальную систему решений однородной системы линейных урав2 x1  x2  x3  x4  0

нений  x1  x2  x3  x4  0 над Z3.
x  2x  2x  x  0
2
3
4
 1
7. Найти
все
решения
неоднородной
системы
линейных
уравнений
 x1  x2  x3  x4  x5  1

2 x1  x2  2 x3  x4  2 x5  1 над Z2.
3x  3x  3x  2
3
5
 1
 1 0 0


8. Найти минимальный многочлен матрицы A   0 2 1  .
 1 1 0


9. При каком значении параметра  многочлен f ( x)  x 3  3x   имеет кратный корень?
2
2

4 x  y  7 xy  13 x  2 y  3  0
10. Методом исключения решить систему  2
.
2

9 x  y  14 xy  28 x  4 y  5  0
24
8.3. Вопросы к текущим экзаменам.
1 семестр.
1. Понятие внутренней бинарной операции. Ее свойства: алгебраичность, коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность относительно другой внутренней бинарной
операции. Специальные элементы множества относительных алгебраической внутренней
бинарной операции: нейтральный элемент. Симметризуемый элемент. Симметризуемые операции.
2. Понятие группы, кольца, поля. Простейшие свойства элементов группы, кольца,
поля.
3. Изоморфизм групп, колец, полей.
4. Построение группы Sn . О ее коммутативности.
5. Делимость в Zm. Свойства делимости. НОД (а, b) и НОК (а, b), их свойства.
6. Взаимнопростые числа. Их свойства.
7. Простые числа, их свойства.
8. Каноническое представление натурального числа, обобщенное представление целого числа. Его применение для нахождения НОД (а, b) и НОК (а, b).
9. Теорема о делении с остатком в Z.
10. Алгоритм Евклида и его применение для нахождения НОД (а, b)
11. Линейное представление НОД (а, b). Необходимое и достаточное условие взаимной простоты чисел а и b.
12. Функция Эйлера, ее простейшие свойства.
13. Числовые сравнения, их свойства.
14. Построение кольца Zm (два способа). Делители нуля в Zm. Характеристика кольца
Zm.
15. Необходимое и достаточное условие того, что Zm.- поле.
16. Построение кольца многочленов К[x] над кольцом К с единицей. О коммутативности этого кольца. О наличии делителей нуля в этом кольце. О характеристике этого кольца.
Об обратимости элементов этого кольца.
17. Делимость многочленов, ее свойства. НОД (, q),и НОК (, q). Их свойства.
18. Теорема о делении с остатком в К[x].
19. Алгоритм Евклида и его применение для нахождения НОД (, q).
20. Линейное представление НОД (, q). Необходимое и достаточное условие взаимной простоты многочленов  и q. Свойства взаимнопростых многочленов.
21. Rhyb многочлена. Их свойства над полем К. Простые и краткие корни. Необходимое и достаточное условие S-кратности корня  - многочлена  над полем К.
22. О корнях  и 1.
23. Неприводимые многочлены. Их свойства. Каноническое представление многочлена над полем, его существование и единственность.
24. О неприводимости многочленов над R и С.
25. Полиноминальные сравнения. Их свойства.
26. Построение кольца К[x]/ Необходимое и достаточное условие того, что К[x]/ –
поле.
27. Построение поля расширения неприводимого многочлена над полем К.
28. Теорема существования поля полного разложения над колем К.
29. Построение поля С (различные способы). Алгебраическая, тригонометрическая,
показательные формы комплексного числа.
30. Действия над комплексными числами в алгебраической форме: сложение, вычитание, умножение, сопряжение, деление, возведение комплексного числа в натуральную степень (бином Ньютона), извлечение корня квадратного.
25
31. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме: умножение,
деление, возведение в натуральную степень (формула Муавра), извлечение корня n ой степени.
32. Извлечение корня nой степени из 1. Порядок корня nой степени из 1. Первообразные корни. Необходимое и достаточное условие того, что корень  nой степени из 1 – первообразный.
33. Мультипликативная группа корней nой степени из 1. Первообразные корни как образующие элементы группы корней nой степени из 1.
34. Матрицы и определители над коммутативным кольцом с 1. Необходимое и достаточное условие обратимости матрицы.
35. Метод Крамера решения систем линейных уравнений в коммутативном кольце с
единицей.
2 семестр.
1. Группы и их подгруппы. Циклические группы. Циклические подгруппы.
2. Изоморфизм групп. Теорема об изоморфизме конечных циклических групп. Теорема об
изоморфизме бесконечных циклических групп.
3. Разложение групп на левые смежные классы по подгруппе и на правые смежные классы.
Теорема Лагранжа для конечных групп.
4. Нормальные делитель группы. Его свойства.
5. Факторгруппа.
6. Гомоморфизм группы. Теоремы о гомоморфизмах.
7. Кольца и подкольца. Идеалы колец. Их свойства.
8. Разложение кольца по его идеалу.
9. Главные идеалы. Факторкольцо.
10. Изоморфизм и гомоморфизм колец. Теоремы о гомоморфизмах колец.
11. Поле. Подполе. Простое поле. Типы простых полей.
12. Поле отношений. Построение поля отношений. Кольца отношений (кольца частных).
13. Присоединения (расширения) поля. Простое расширение поля. Существование простого
расширения.
14. Алгебра кватернионов и ее связь с векторами в трехмерном евклидовом пространстве.
15. Линейные пространства над конечными полями. Модули над некоммутативным кольцом
с единицей. О линейной зависимости векторов линейного пространства над коммутативным кольцом с единицей и над полем.
16. Базис и размерность линейного пространства над конечным полем. Координаты вектора.
Действия над векторами в координатной форме.
17. Строчный и столбцовый ранг матрицы над коммутативным кольцом с единицей. Теорема о ранге матрицы.
18. Необходимое и достаточное условие совместности системы линейных уравнений в поле.
19. Линейное пространство решений однообразной системы линейных уравнений в поле.
Его базис и размерность.
20. Линейное многообразие решений неоднородной системы линейных уравнений в поле.
21. Полиноминальные матрицы. Эквивалентность полиноминальных матриц, ее свойства.
22. Унимодулярные матрицы. Их свойства.
23. Жордановы клетки. Жорданова матрица. Приведение матрицы к жордановой форме.
24. Подобие числовых матриц. Свойства подобия. Необходимое и достаточное условие приведения числовой матрицы к диагональному виду.
25. Минимальный многочлен матрицы. Его свойства и нахождение.
26
5 семестр.
1. Конструктивные процессы и конструктивные объекты.
2. Нормальные алгоритмы Маркова. Принцип нормализации.
3. Пример алгоритмически неразрешимой проблемы.
4. Алгебра полиномов как пример линейной схемы симплификации.
5. Базис Гребнера полиномиального идеала.
6. Теорема об эквивалентности условий: канонизация, порождающее множество полиномиального идеала является его базисом Гребнера, редуцируемость к нулю элемента идеала, существование H-представления, существование специального представления sполинома.
7. Алгоритм построения редуцированного базиса Гребнера.
8. Алгоритмически разрешимые проблемы.
9. Системы нелинейных алгебраических уравнений. Множество решений системы.
Идеал системы.
10. Теорема Гильберта о базисе и ее следствия.
11. Аффинные алгебраические многообразия. Радикал идеала.
12. Применение теоремы Гильберта о нулях в теории систем нелинейных алгебраических уравнений.
13. Критерий несовместности системы нелинейных алгебраических уравнений.
14. Критерий эквивалентности систем нелинейных алгебраических уравнений.
15. Критерий конечности числа решений системы нелинейных алгебраических
уравнений.
16. Алгоритм нахождения максимального свободного набора переменных.
17. Геометрическая структура множества решений системы.
18. Алгоритм решения систем нелинейных алгебраических уравнений.
8.4. Варианты билетов к экзамену
1 семестр.
Билет № 0
1. Построение группы Sn. О ее коммутативности. Неприводимые многочлены. Их
свойства
2. Каноническое представление многочлена над полем P, его существование и единственность.
3. Решить уравнение ix5+1-i=0.
2 семестр
Билет № 0.
1. Разложение групп на левые смежные классы по подгруппе и на правые смежные
классы. Теорема Лагранжа для конечных групп.
2. Присоединения (расширения) поля. Простое расширение поля. Существование
простого расширения.
3. Найти линейное многообразие решений системы линейных уравнений:
x

x
 1
2  x3  x 4  1

 x1  x2  x3  x4  1 в Z2.
x  x  x  x  1
2
3
4
 1
27
5 семестр.
Билет № 0.
1. Базис Гребнера полиномиального идеала.
2. Основные сложные типы данных: последовательность выражений, списки и множества, массивы и таблицы.
3. Создать собственную встроенную функцию F(A, B) =Det[A]/Det[B] с помощью
средств программирования в системе Mathematica.
8.5. Вопросы к экзаменам, входящие в программу государственного экзамена
1. Понятие основных алгоритмических структур: группа, кольцо, поле. Простейшие
свойства элементов этих структур. Изоморфизм алгебраических структур. Свойства изоморфизма.
2. Построение симметрической группы Sn подстановок. Знакопеременная группа An
четных подстановок. Цикловая запись подстановки. Ее применение.
3. Построение кольца Zm. Необходимое и достаточное условие того, что Zm- поле.
4. Теорема о делении с остатком в кольце многочленов от одного неизвестного над
коммутативным кольцом с единицей.
5. Неприводимые многочлены. Каноническое представление многочленов.
6. Корни многочлена /(простые и кратные), их свойства: необходимое условие того,
что α – корень многочлена ; необходимое и достаточное условие того, что α – s-кратный корень многочлена ; связь корней многочленов  и ; о кратности корня многочлена ; о
комплексных корнях многочлена с вещественными коэффициентами; теорема о максимальном числе корней многочлена.
7. Полиномиальные сравнения, их свойства. Построение факторкольца К[x]/. Теорема о существовании поля разложения многочлена .
8. Симметрические многочлены. Основная теорема.
9. Разложение группы на смежные классы по подгруппе. Теорема Лагранжа.
10. Нормальный делитель группы. Факторгруппа.
11. Циклические группы. Изоморфизм конечных циклических групп. Изоморфизм
бесконечных циклических групп.
12. Подкольца, идеалы колец. Факторкольцо.
13. Поле отношений. Построение поля отношений. Кольца частных.
14. Расширение поля. Простое расширение поля.
15. Полиномиальные матрицы. Приведение матриц к жордановой форме. Минимальный многочлен.
9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины.
а) Основная литература.
1. Бухштаб А.А. Теория чисел. / А.А. Бухштаб. – М.: Учпедгиз, 1960. – 376 с.
2. Виноградов И.А. Основы теории чисел. / И.А. Виноградов. – М.: Наука, 1972. –
168 с.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. / А.И. Кострикин. – М.: Наука, 1977. – 495 с.
4. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. / А.Г. Курош. – М.: Физматгиз, 1959. – 431 с.
5. Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. / Д.К. Фадеев. – М.: Наука, 1984. – 416 с.
6. Латышев В.Н. Комбинаторная теория колец. Стандартные базисы. – М. : Изд-во
МГУ, 1988.
28
7. Бухбергер Б. и др. Компьютерная алгебра: символьные и алгебраические вычисления – М. :Мир, 1986.
8. Панкратьев Е.В. Элементы компьютерной алгебры. -М.: Интернет-университет
информационных технологий; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007.
9. Матрос Д.Ш., Поднебесова Г.Б. Элементы абстрактной и компьютерной алгебры М.: Издательский центр ”Академия”,2004.
10. Воробьев Е.М. Введение в систему Математика. - М.: Финаисы и статистика, 1998.
б) Дополнительная литература.
1. Винберг Э.Б. Алгебра многочленов. / Э.Б. Винберг. – М.: Просвещение, 1980. –
176 с.
2. Глухов М.М. Задачник-практикум по алгебре. / М.М. Глухов, А.С. Солодовников.
– М.: Просвещение, 1969. – 276 с.
3. Глухов М.М. Алгебра. В 2 томах. Том. I / М.М. Глухов, В.П. Елизаров, А.А. Нечаев. – М.: Гелиос АРВ, 2003. – 336 с.
4. Глухов М.М. Алгебра. В 2 томах. Том. II / М.М. Глухов, В.П. Елизаров, А.А. Нечаев. – М.: Гелиос АРВ, 2003. – 416 с.
5. Глухов М.М. Алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие. / М.М. Глухов. – М.: Гелиос АРВ, 2005. – 392 с.
6. Калужкин Л.А. Введение в общую алгебру./ Л.А. Калужкин. – М.: Наука, 1973. –
447 с.
7. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел./ Л.Я. Куликов. – М.: Высшая школа, 1979. –
559 с.
8. Нестеренко Ю.В. Теория чисел. / Ю.В. Нестеренко. – М.: Изд. Центр «Академия»,
2008. – 272 с.
9. Окунев Л.Я. Сборник задач по высшей алгебре. / Л.Я. Окунев – М.: Просвещение,
1964. – 183 с.
10. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. / И.В. Проскуряков. – М.:
Наука, 1962. – 332 с.
11. Фадеев Д.К. Сборник задач по высшей алгебре. / Д.К. Фадеев, И.С. Соминский. –
М.: Наука, 1977. – 228 с.
12. Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. / Л.Б. Шнеперман. –
М.: Высшая школа, 1982. – 223 с.
13. Петросян В.Г., Газарян Р.М. Решение задач по алгебре с помощью компьютера //
Информатика и образование. - 2004. - № 9. - С. 54 - 58.
14. Позняк Ю.В., Воротницкий Ю.И., Гурин Н.И. Возможности применения методов
компьютерной алгебры в учебном процессе // Iфарматызацыя адукацыi. - 1997. - № 9. - С. 72
- 79.
15. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование в информационную эпоху // Вестник Российской Академии наук. - 2004. - Том 7, № 9. - С. 781 - 784.
16.
в) Учебно-методические материалы.
1. Бочкарева В.Д. Алгебра. Задачник-практикум. Учебное пособие. / В.Д. Бочкарева. – Саранск.: Изд-во СВМО, 2003. . – 60 с.
2. Бочкарева В.Д. Программа, упражнения и контрольные работы по алгебре. Учебно-методическое пособие. / В.Д. Бочкарева. – Саранск.: Изд-во СВМО, 2005. . – 36 с.
3. Бочкарева В.Д. Введение в специальность. Учебное пособие. / В.Д. Бочкарева. –
Саранск.: Изд-во СВМО, 2005. . – 80 с.
4. Василькина Т.В. Геометрия и алгебра. Введение в теорию алгебраической структуры. Учебное пособие. / Т.В. Василькина, В.Д. Бочкарева. – Саранск.: Изд-во СВМО,
2006. – 36 с.
29
10. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Для проведения лекционных занятий по учебной дисциплине необходима аудитория
на 60 посадочных мест. Лекции проводятся в форме компьютерных презентаций, поэтому
аудитория должна быть укомплектована следующим оборудованием:
 портативным персональным компьютером класса «ноутбук» или «нетбук»; на нем
должно быть установлено программное обеспечение, включающее операционную систему
MS Windows XP (или более поздней версии) и редактор презентаций MS PowerPoint (версии
2002 или более поздней);
 настенным экраном или интерактивной доской.
Для проведения лабораторных занятий по учебной дисциплине необходима лаборатория на 15 рабочих мест. Каждое рабочее место должно быть оборудовано персональным
компьютером конфигурации IBM PC или совместимой с ней, двумя электрическими розетками для подключения системного блока и периферийных устройств и компьютерным столом для их размещения. Все компьютеры должны быть объединены в локальную сеть с возможностью доступа к ресурсам сети Интернет.
Каждый компьютер должен иметь следующую аппаратную конфигурацию:
 2-ядерный процессор семейства Intel Core 2 Duo или более производительный;
 оперативную память объемом не менее 1 Гб;
 жесткий диск объемом не менее 500 Гб;
 дисковод оптических дисков класса DVD-RW;
 монитор с диагональю не менее 17";
 стандартную клавиатуру (102 клавиши или более);
 манипулятор «мышь» оптического типа с тремя кнопками и колесом прокрутки;
 коврик для манипулятора «мышь» оптического типа.
На каждом компьютере должно быть установлено следующее программное обеспечение:
 сетевая операционная система семейства Microsoft Windows (Windows XP или более поздняя);
 пакет офисных программ Microsoft Office (версии 2002 или более поздней);
 система программирования Free Pascal.
Желательно, не реже чем один раз в два года, проводить обновление аппаратного и
программного обеспечения лаборатории, поскольку развитие информатики и информационных технологий приводит к их быстрому моральному устареванию, что естественным образом отрицательно повлияет на качество подготовки студентов.
Программа одобрена на заседании учебно-методической комиссии факультета математики и информационных технологий от “20” сентября 2012 г., протокол № 6.
30