Лабораторная работа №9 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ

Лабораторная работа №9
ИССЛЕДОВАНИЕ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ
СТРУНЫ
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Изучение волновых процессов на примере стоячей волны,
возникающей при поперечных колебаниях струны. Измер ения собственных частот колебаний струны с закрепленными
концами, снятие резонансной кривой на частоте основного
тона, определение скорости распространения поперечных
колебаний.
МЕТОДИЧЕСКИЕ И ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
РАБОТЫ
Волнами называются возмущения, распространяющиеся в
среде или в вакууме и несущие с собой энергию. При этом
перенос энергии происходит без переноса вещества, т.е. частицы среды, в которой распространяется волна, не в овлекаются в поступательное движение, а совершают кол ебания
около своих положений равновесия. В зависимости от
направления колебаний частиц по отношению к направлению распространения волны различают продольные и поп еречные волны. В поперечной волне частицы совершают к олебания в направлениях, перпендикулярных направлению
распространения колебаний, а в продольных волнах – вдоль
направления распространения волны. Упругие поперечные
волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей сопр отивлением сдвигу. К ним, в частности, относятся попере чные колебания струны. Составим уравнение колебаний стру ны, натянутой между двумя точками её закрепления, при ус ловии, что амплитуда отклонений струны от положения рав 124
новесия настолько мала, что длину струны ( l ) можно считать постоянной, а натяжение F  струны – неизменным по
всей длине струны и не зависящим от врем ени.
Рассмотрим отрезок l (рис. 9.1) колеблющейся однородной струны, точки закрепления которой находятся на оси
OX . Пусть в некоторый момент времени на струну было
оказано воздействие, приведшее к смещению отрезка l из
положения равновесия (вдоль оси OX ) в направлении оси
OY .
Y
F
1
2
  1
2
1
F
0
x0
x0  x
3
X
Рис. 9.1
Так как в исходном положении струна была натянута, то
к концам отрезка будут приложены равные силы натяжения
F  , образующие с направлением OX углы   1   2 . В интересах наглядности изображения на рис. 9.1 использован
укрупненный масштаб при изображении смещения струны
вдоль оси OY .Поэтому при дальнейших расчетах следует
иметь ввиду, во-первых, что на рис. 9.1 изображен только
некоторый произвольно выбранный отрезок струны и, во вторых, что смещение вдоль оси OY существенно меньше
длины струны, а углы настолько малы, что с большой то чностью соблюдаются приближенные соотношения:
125
sin 1  tg1  1 ,
sin 2  tg 2   2 .
(9.1)
Проекции сил F на ось OY , с учетом соотношений (9.1),
соответственно равны:
F sin(  1 )   F sin 1   F tg 1  ( F )
dy
dx
x  x0 ,
(9.2)
F sin  2  F tg  2  F
dy
dx
x  x0  x .
Алгебраическая сумма проекций сил, описываемых соо тношениями (9.2), является силой, возвращающей отрезок l в
положение равновесия. При этом рассматриваемая часть
струны (рис. 9.1) будет последовательно принимать пол ожения 1,2,3 и т.д., пока колебания не прекратятся и струна
не займет устойчивое положение вдоль оси OX .
На основании второго закона Ньютона результирующая
сила, действующая на отрезок l , равна произведению его
2 y
массы на ускорение
, сообщаемое отрезку l возвращаюt2
щей силой:
 y
 2 y
y
(9.3)
F
  x .
x  x0  x 
x  x0  
2

x

x

 t
Разделив правую и левую части соотношения (9.3) на x ,
при значениях x  0 получим:
F
2 y
x
2

2 y
t
2
,
или
2 y
t
126
2
 a2
y
x
2
,
(9.4)
F
;  – линейная плотность струны

Соотношения типа (9.4) называются волновыми уравн ениями, решение которых можно искать в следующем виде:
где a 
Y  x, t   A x Bt .
(9.5)
Подставляя соотношение (9.5) в формулу (9.4), получим:
2 A
2
a B
 x2
A
2B
t2
.
(9.6)
Уравнение (9.6) записано в обыкновенных производных,
т.к. A и B зависят только от x и t соответственно. Так как
x и t – независимые переменные, то равенство (9.6) может
соблюдаться во всем диапазоне их измерений, если обе части соотношения (9.6) являются некотор ой постоянной величиной, которую обозначим  k 2 . После проведения очевидных преобразований соотношение (9.6) может быть записано в следующей форме:
 
1 2 A
1 2B
 2  2  2  k 2 .
A x
a B t
(9.7)
Соотношение (9.7) позволяет составить следующие ура внения:
2 A
x
2
 k 2 A  0,
(9.8)
2B
t
2
 a 2k 2 B  0 .
127
Решения дифференциальных уравнений (9.8) имеют вид:
A  A0 sin kx , B  B0 sin kat .
Следовательно, решение (9.5) волнового уравнения (9.4)
имеет вид:
y x, t   y0 sin kx  sin kat ,
(9.9)
где y sin kx – амплитудные значения колебаний, формирующихся в точке с координатой x в результате сложения волн,
распространяющихся вдоль струны за счет действия возм ущающей силы и отраженных от точек закрепления оконечных участков струны. Возникающий в результате колеб ательный процесс (9.9) называется стоячей волной. Точки, в
которых sin kx  0 , называются узлами, а точки, в которых
амплитуда максимальна sin kx  1 – пучностями стоячей волны. Следует иметь в виду, что и пучность, и узел предста вляют собой не точки, а плоскости, удовлетворяющие ук азанным условиям. Расстояние между соседними пучностями
(также как и между cоседними узлами) равно половине дли

ны волны . Соседние узел и пучность сдвинуты на .
2
4
Для нахождения неопределенной постоянной k в уравнении (9.9) воспользуемся очевидными граничными услови ями, обусловленными тем, что в точках закрепления струны
амплитуда равна нулю:
y0, t   yl , t   0 .
(9.10)
Следовательно,
sin kl  0 или kl  n ,
где n =1,2,3... – определяет число пучностей.
128
(9.11)
Введем для формулы (9.9) следующие обозначени я:
y  x, t   y 0 sin
n
l
 x sin t ,
(9.12)
где ka    2f ;
 – циклическая частота колебаний;
f – частота колебаний.
С учётом соотношений (9.4), (9.11) и (9.12) имеем:
f 
ka n

2 2l
F

.
(9.13)
При установившейся стоячей волне вся длина струны l
содержит целое число n полуволн, т.к. в конечных точках

струны согласно (9.10) y x, t   0 . Таким образом, l  n  и,
2
соответственно:
2l
 .
(9.14)
n
Так как скорость распространения колебаний:
  f ,
(9.15)
то с учетом формул (9.13) и (9.14) имеем:

F

.
(9.16)
В равенстве (9.16) можно перейти от линейной к объемной плоскости струны    :
129

2 F
,
d 
(9.17)
где d – диаметр струны.
При этом соотношение (9.13) можно записать в виде:
f 
n F
.
ld 
(9.18)
Частота, соответствующая n =1, называется основной ( f1 

),
2l
а частоты, соответствующие n >1 – собственными или нормальными частотами. Их также называют гармониками. В
общем случае колебание струны представляет собой наложение гармоник.
ОПИСАНИЕ И ПРИНЦИП РАБОТЫ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ
Экспериментальная установка, общий вид которой прив еден на рис. 9.2, состоит из штатива 1, на основании которого
закреплены электронный блок 2 и механизм натяжения струны 3.
Механизм натяжения струны состоит из основания 4, на
котором закреплен постоянный магнит 5 и планка 6. Между
полюсами магнита через блок 8 протянута струна 9. Один
конец струны крепится к клемме 10, а другой – к тарировочной пружине 11. Второй конец пружины механически связан
с винтовым механизмом 12, предназначенным для изменения натяжения струны. Сила натяжения струны (F ) измеряется в Ньютонах по шкале 13 при помощи указателя 14.
Пределы изменения натяжения струны составля ют 0,2–0,6
Н. Весь механизм закрыт кожухом 16, на передней поверхности которого нанесена шкала 17, предназначенная для из130
мерения длины полуволны. Для улучшения видимости к олеблющейся струны применяется подсветка.
5
6
1
3
11
13
12
8
9
4
30
17
16
14
10
15
35
2
7
сеть
10-100
грубо
выход
плавно
Рис. 9.2
Принцип действия установки основан на во зникновении
сил, действующих на струну (проводник) с током в магни тном поле. Величина силы, раскачивающей струну, по кот орой протекает ток, определяется согласно закону Ампера:
T  B I l  sin ,
(9.19)
где B – магнитная индукция постоянного магнита 5,между
полюсами которого протянута струна;
I – ток протекающий через струну;
131
l – длина участка струны, находящегося в пределах з азора магнита;
 – угол между струной и направлением вектора магнитной индукции.
Для изменения точки приложения силы Ампера постоя нный магнит можно передвигать, предварительно ослабив
винты 7. Источником тока струны является генератор син усоидальных колебаний, входящий в состав элек тронного блока устройства. При прочих равных условиях колебания име ют наибольшую амплитуду при совпадении частоты генер атора с одной из собственных частот струны. Частота генер атора изменяется от 10 до 100 Гц при нажатии кнопки S1 переключателя диапазонов, а при нажатии кнопки S2 – от 100
до 400 Гц. Изменение частоты осуществляется с помощью
выведенных на переднюю панель регуляторов грубой и
плавной установки частоты. Частота генератора измеряется
с помощью частотомера входящего в состав электронного
блока. Индикатор частотомера выведен на переднюю панель
блока. Амплитуда напряжения генератора может плавно и зменяться с помощью регулятора "Выход" в пределах 0,2 –4,0 В.
На задней панели блока имеется клемма "Контроль" при
нажатии которой в случае нормальной р аботы частотомера
индицируется контрольная частота 1024 Гц.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Подключить установку к сети 220 В. Нажать кнопку
"Сеть". После этого должна загореться цифровая индикация
электронного блока и лампа подсветки стр уны.
Дать электронному блоку в течение 1–2 минут выйти на
устойчивый режим работы.
Ручкой 15 установить натяжение струны F = 0,40 Н, а
ручку "Выход" повернуть вправо до упора.
2. Включить первый диапазон генератора (10 –100 Гц) нажатием кнопки S1. Изменяя частоту генератора с помощью
132
ручек "Грубо" и "Плавно", получить одну хорошо различимую полуволну по всей длине струны. Отсчет частоты
 f1,эксп  производить при максимальной амплитуде полуво лны. Результат измерений занести в таблицу 1.
Таблица 1
№ пп
F, Н
м
f n, расч. , Гц  расч , с
f n, эксп , Гц
 эксп ,
м
с
E
 эксп
 расч
3. Увеличить в 2, а затем в 3 или 4 раза начальную установку частоты генератора относительно f1,эксп . Поворачивая
регулятор установки частоты вправо и влево, а при необх одимости изменяя и диапазон частот, определить вторую и
третью (четвертую) резонансные частоты  f 2,эксп , f 3,эксп . Полученные результаты занести в таблицу 1.
4. Установить натяжение струны 0,2 и 0,6 Н, повторяя
каждый раз операции, описанные в пп. 2, 3.
5. Определить расчетно-экспериментальные значения
скоростей распространения волн по формуле:
 n,эксп 
2l
f n,эксп ,
n
(9.20)
где l – длина струны, равная 0,6 м;
n – номер гармоники.
Результаты расчетов занести в таблицу 1.
6. Определить по формулам (9.17) и (9.18) расчетные
значения скоростей распространения волн и частот колеб аний для ситуаций, исследованных эксперименталь но. При
выполнении расчетов принимать, что струна выполнена из
стали   7,8 103 кг / м 3 , имеет диаметр d  0,2 мм и длину
l  600 мм .


133
Результаты расчетов занести в таблицу 1.
7. Для величины E 
 эксп
, приведенной в таблице 1,
 расх
определить:
математическое ожидание:
m
E
 Ei
i 1
m
,
среднеквадратическое отклонение:
m

 Ei  E 
2
i 1
m(m  1)
,
доверительный интервал для доверительной вероятности
  0,95 :
E  E  t ,m ,
где t ,m – коэффициент Стьюдента (см. Приложение 1);
m – число измерений.
8. Установить натяжение струны F  0,40 Н , а частоту генератора равной f1,эксп для данного натяжения струны. С
помощью регулятора настройки частоты "Плавно" настр оиться на максимальное значение амплитуды колебаний
струны. Занести полученную величину f1,эксп в таблицу 2.
Изменяя частоту генератора ( f г ) путем вращения регулятора настройки вправо и влево относительно f1,эксп , определить область вблизи резонансной частоты, в которой заме тно изменяется амплитуда колебаний струны. Разбить эту
134
область на 5–10 точек и снять зависимость амплитуды кол ебаний (A) от частоты генератора. Особенно часто следует
проводить измерения вблизи резонансной частоты. Резул ьтаты измерений занести с таблицу 2.
Таблица 2
№
пп
F, Н
f эксп. , Гц
f г , Гц
A, мм
A
Amax
Повторить указанные измерения для силы натяжения F ,
равной соответственно 0,2 и 0,6 Н.
9. По данным таблицы 1 построить в одной и той же к оординатной системе зависимости расчетных и экспериме нтальных величин скорости распространения волны от натяжения струны.
По данным таблицы 2 построить резонансные кривые для
первой гармоники (моды), откладывая по оси X значения
частоты, а по оси Y величины отношений текущих значений
амплитуд колебаний струны (A) к максимальному значению
A в соответствующей серии измерений.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Сформулируйте определения бегущей и стоячей волны.
2. Укажите отличия продольных волн от поперечны х.
3. Покажите, как связаны волновое число, частота и ск орость волны, а также длина волны.
4. Укажите, какие приближения сделаны при выводе волн ового уравнения (9.6).
5. Сформулируйте третий закон Ньютона для участка
струны.
6. Выведите уравнение, описывающее поперечные колебания струны, закрепленной на концах.
135
7. Выведите решение предыдущего уравнения, опишите
его вид.
8. Сформулируйте определение углов и пучностей, выв едите выражение для расстояния между соседними углами
либо пучностями.
9. Сформулируйте определение нормальных колебаний (гармоник), укажите их частоты.
10. Запишите выражение, описывающее бегущую пл оскую волну.
11. Запишите выражение, описывающее стоячую плоскую
волну.
12. Запишите выражение, описывающее бегущую сферическую волну.
13. Укажите, от чего зависит скорость распространения
волны в данном случае.
14. Дайте определение интенсивности бегущей и стоячей
волны.
15. Объясните, что называется резонансом. Сколько р езонансных частот возможно в данном опыте, укажите их.
16. Опишите принцип работы экспериментальной установки.
17. Расскажите, как возбуждаются колебания в струне.
18. Чем определяется величина силы, действующей на
струну?
19. Объясните, в каком случае колебания имеют наибольшую
амплитуду.
20. Укажите, сколько резонансных часто т вы наблюдали.
21. Укажите величину систематической ошибки (приб ора) f в определении частоты.
22. Оцените наибольшую относительную ошибку измер еt
ния частоты E f 
.
t min
23. Оцените абсолютную l (прибора) и относительную
l
ошибку определения длинны струны El  , из двух велиl
136
чин E f и El оставляйте наибольшую E max , если они одного
порядка, вычислите E max  El2  E 2f .
24. Вычислите абсолютную ошибку скорости  эксп , если
считается, что относительная ошибка  равна наибольшей,
рассчитанной в п. 8.  эксп.   эксп.  E max .
25. Сравните, попадают ли расчетные значения скорости
 расч. в интервал  эксп.   эксп. .
26. В случае сильного (>50%) отклонения величины
E
 эксп.
от единицы (см. п.7, порядок выполнения работы).
 расч.
Укажите причины возможных ошибок.
27. Нарисуйте зависимость амплитуды колебаний от частоты генератора, объясните ход этой зависимости.
28. Оцените величину абсолютной и относительной ошиб ки измерения амплитуды при исследовании A( f ) .
29. Расскажите, широкий или узкий резонанс вы набл юдаете. Рассчитайте ширину резонансных кривых на половине максимальной высоты.
30. Объясните, от чего зависит ширина резонансной кр ивой.
137