Методическое пособие к лабораторной работе

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
КАЗАНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ ИМ. А.Н. ТУПОЛЕВА (КНИТУ – КАИ)
__________________________________________________________________
Кафедра радиоэлектроники и информационно-измерительной техники
ИССЛЕДОВАНИЕ ИЗБИРАТЕЛЬНЫХ СВОЙСТВ
ОДИНОЧНОГО КОЛЕБАТЕЛЬНОГО КОНТУРА
Методические указания к лабораторной работе № 404
по дисциплине Электротехника и электроника
Казань – 2012
2
Цель работы – исследовать амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики последовательного и параллельного колебательных контуров (в
нагруженном и не нагруженном режиме), а также переходную характеристику
и фильтрующие свойства последовательного контура.
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
1.1. Общие сведения
В электрических цепях, содержащих индуктивные и емкостные элементы,
амплитуда отклика (напряжения или тока через реактивный элемент) может
резко измениться, когда частота сигнала внешнего воздействия достигает некоторого определенного значения. Это явление называется резонансом.
Сопротивление двухполюсника в общем случае является комплексным и
определяется выражением
U ( )e ju ( ) U ( ) j[u ( )-i ( )]
j Z ( )
Z ( j ) 

e

Z
(

)
e
 R  jX
ji ( )
I ( )e
I ( )
X
 Z ( )  arctg ,
R
(1)
где R, X – активная и реактивная составляющая входного сопротивления цепи.
Условием резонанса в контуре является равенство нулю реактивной составляющей входного сопротивления (проводимости) контура Х(ω0) = 0. Частота ω0 на которой выполняется условие резонанса называется резонансной частотой.
Простейшей цепью, в которой наблюдается явление резонанса, является
одиночный колебательный контур, представляющей собой цепь, состоящую из
конденсатора С и катушки индуктивности L. В зависимости от способа соединения L и С различают: последовательный и параллельный колебательные контура.
1.2. Последовательный колебательный контур
Последовательный колебательный контур представляет собой цепь содержащую катушку индуктивности L и конденсатор С, включенные последовательно с источником сигнала (рис. 1.1).
Комплексное входное сопротивление контура
Z(j) = R + jX() = R + j(L - 1/C )
(2)
где R - активное сопротивление потерь контура, X()=XL()+XС() = L1/C - реактивное сопротивление контура.
На некоторой частоте o реактивное сопротивление контура обращается в
ноль
3
x(0 )  0 L 
1
 0,
0C
(3)
и в контуре наступает резонанс, а частота 0 называется резонансной и определяется элементами контура
0 
1
,
LC
f0 
1
.
2 LC
(4)
Рис.1.1 Схема последовательного Рис.1.2 АЧХ (а) и ФЧХ (б) коэффициента передачи
колебательного контура.
напряжения на емкости последовательного контура.
На резонансной частоте сопротивление емкости равно сопротивлению
индуктивности 1/0С=0L= L / C   . Величина ρ называется характеристическим сопротивлением контура.
Амплитуды тока и напряжений на реактивных элементах контура на резонансной частоте определяются соотношениями
I(0) = E/R,
UC(0) = UL(0) = ρ I = (ρ /R) E= Q E.
Отношение напряжения на реактивном элементе к напряжению на контуре на
резонансной частоте называется добротностью контура
Q = UL/E = UC/E = ρ /R = (1/R)( L / C ).
В зависимости от частотного диапазона добротность колебательных контуров на основе катушки индуктивности и конденсаторов составляет Q=20-200.
Т.к. напряжение на реактивных элементах в Q раз больше входного, то говорят,
что в последовательном контуре возникает резонанс напряжений (UL=Uc=QE).
Часто колебательный контур используют как четырехполюсник, снимая
выходной сигнал с емкости С или катушки индуктивности L.
Комплексный коэффициент передачи контура по напряжению KС(j)
для случая, когда напряжение снимают с емкости имеет вид:
4
KС(j) =UС(j)/E= (1/jС)/Z(j) = Q(0/)ej  / 1  Q 2 ω/ω0  ω0 /ω2 = KC()eJ  (),
где:
KС() = Q  (ω0 /ω) - уравнение амплитудно-частотной
1  a2
характеристики
(АЧХ) коэффициента передачи рис.1.2 (а), где a  Q(ω/ω0  ω0 /ω) - обобщенная
расстройка,  ()=-  / 2  arctga - уравнение фазо-частотной характеристики
(ФЧХ) рис.1.2.(б).
Максимум KС() соответствует С несколько более низкой частоте, чем
резонансная
С=0 1  1 /( 2Q) 2 , если Q = 5 то С = 0.99 0. При Q > 5 можно
считать, что С=0.
Важной особенностью контура является способность выделить из суммы
колебаний различных частот те колебания , которые лежат вблизи резонансной
частоты. Это свойство называется частотной избирательностью.
Избирательные свойства определяются формой АЧХ, чем ближе она к
прямоугольной форме и чем уже полоса пропускания, тем выше избирательность.
Полоса пропускания
K ( 
c
S = В- Н определяется на
уровне Q/ 2 = 0.707Q
от
максимального значения АЧХ
т.е.
I
Q
0,707Q
II
КС(В , Н) = 0.707 KС(0) =
0.707Q;

н o в

В,Н = 0 1 0.5Q ;
S=в-н=o/Q.
Рис.1.3. Нормированные АЧХ:
I- идеальной, II- реальной.
Эти соотношения справедливы, когда внутреннее сопротивление генератора Rr= 0, а
сопротивление нагрузки RН =  .
С учетом элементов Rr и Rн добротность контура уменьшается, полоса
пропускания увеличивается, т.е. уменьшается избирательность контура. Добротность контура с учетом элементов Rr и Rн называется эквивалентной и
определяется выражением
Qэкв =  / [Rr + R + (  2 /Rн )] = Q/[1+ ( Rr/R ) + ( Q  / Rн )],
Sэкв = o / Qэкв.
где Q-собственная добротность контура.
Для того чтобы Qэкв → Q, необходимо чтобы: 1) Rr= 0; 2) RН =0.
5
1.3. Параллельный колебательный контур
Параллельным колебательным контуром называется электрическая цепь,
в которой индуктивность и емкость в двух ветвях подключены параллельно источнику энергии. (рис.1.4.). Rc и RL - сопротивление резистивных потерь в цепи емкости и индуктивности соответственно.
Важным параметром параллельного контура является его комплексное входное
сопротивление в режиме холостого хода (Rн=  ).
Z ( j ) 
( RL  j L)( RC  1/( j C ) ( RL  j L)( RC  1/( j C )

,
RL  j L  RC  1/( j C )
R  j ( L -1/( C )
Рис.1.4. Схема параллельного
колебательного контура.
где R= RC +RL.
При частотах, близких к резонансной (о), и больших добротностях
контура (Q>>1) справедливы неравенства RC<<1/C, RL<<L. Тогда выражение
для комплексного входного сопротивления примет вид:
L/ C
r2
R Q2
Z ( j ) 


 Z ( )e j ,
R  j ( L -1/( C ) R(1  ja) (1  ja)
где Z(ω ) 
L/ C
R  (ω L  1/(ω C))
2
2

ρ2
R 1 a
2

R Q2
1 a2
,
() = - arctg(а)
.
Рис.1.5. АЧХ (а) и ФЧХ (б) входного сопротивления параллельного контура.
Резонансная частота параллельного колебательного контура зависит от
его добротности и определяется соотношением
6
0п=0 1  1 / Q2 ,
где 0=
1
LC
.
Из этого выражения следует, что резонансная частота параллельного колебательного контура с учетом потерь меньше резонансной частоты последовательного колебательного контура, но при Q >>1, 0п =0.
На резонансной частоте входное сопротивление носит чисто резистивный характер R0(  Z=0), а модуль входного сопротивления достигает максимального значения
Z(0)=R0=RQ2=2/R=Q.
Все рассмотренное выше справедливо, когда сопротивление нагрузки
Rн=, и выходное сопротивление источника сигнала Rг=.
Подключение сопротивления нагрузки RH, а также учет выходного сопротивления Rг источника сигнала (тока), как и в случае последовательного контура, приводит к уменьшению эквивалентной добротности
Q экв 
Q
; Sэкв=0/Qэкв.
1  Q / Rr  Q / R H
Следовательно, параллельный контур надо питать от источника тока
(Rг=), и подключать нагрузку сопротивление которой бесконечно велико
(Rн=).
Коэффициенты передачи тока через индуктивность и емкость
KIL(j)=Z()/(jL), KIC(j)=( jC) Z().
В частности, при высокой добротности контура на частотах, близких к
резонансной
KIL KICQ, причем (ILICI Q).
Откуда следует, что амплитуда тока через реактивные элементы (L и C)
на частоте =0 в добротность (Q) раз больше тока во внешней цепи. Поэтому
резонанс в параллельном колебательном контуре называют резонансом токов.
1.4. Переходная характеристика последовательного колебательного контура.
При воздействие скачка напряжения в контуре при Q>1 возникает затухающий колебательный процесс. Переходная характеристика напряжения на
емкости имеет вид
7
hc (t ) 
VC (t )

 1  e t (cos 1t  sin 1t ) где  =R/2L=0/2Q - коэффициент
E0
1
2
2
затухания, ω1  ω0  δ  ω0 1 
1
(2Q) 2
График переходной характеристики заключен между огибающими:
верхней hB(t) и нижней hH(t) - hB(t)=1+ e-  t hH(t)= 1- e-  t.
e( t)
Eo
hc
h B (t )
h c ( t)
t
h H (t )
Вид переходной характеристики (Рис.1.6) зависит от
величины добротности контура.. При малых Q  5 переходной процесс имеет не колебательный характер (апериодический). С увеличением добротности частота 1 стремится к 0, а скорость затухания
уменьшается
Переходный
процесс принимает колебательный характер. При этом
число периодов за которое
амплитуда уменьшается в 10
раз примерно равно величине
добротности Q.
Рис.1.6. Переходная характеристика напряжения на емкости последовательного колебательного контура.
1.5. Фильтрующие свойства колебательного контура
Фильтрующие или избирательные свойства колебательного контура состоят в способности колебательного контура на выходе выделять сигналы, частоты которых находятся вблизи от резонансной частоты и подавлять сигналы,
частоты которых находятся за пределами полосы пропускания контура.
Так, например, из графика на рис.1.3 следует, что для входного сигнала с
частотой ω0, коэффициент передачи равен Q>>1, в то время как для сигналов с
частотой за пределами полосы пропускания коэффициент передачи значительно меньше. Следовательно, на выходе цепи будут преобладать сигналы с частотами находящимися в полосе пропускания контура, а сигналы с частотами за
пределами полосы пропускания будут подавляться.
8
2. ЗАДАНИЯ НА ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ
1. Рассчитать и построить АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи по напряжению последовательного контура. Сопротивление потерь R=5 Ом, номиналы
элементов контура задаются преподавателем. Произвести расчет не менее чем в
10 точках симметрично относительно резонансной частоты. Вычислить резонансную частоту, характеристическое сопротивление, добротность, частоту
пропускания.
2. Рассчитать и построить переходную характеристику последовательного
колебательного контура.
3. Вычислить амплитуду выходного напряжения и частоту свободных
(собственных) колебаний 0, постоянную затухания   1/  / При добротности
Q>5 переходную характеристику можно строить по графику огибающей UM(t),
hB(t), hH(t), дополнив его гармоническим колебанием с частотой 1. Временный
интервал характеристики должен включать не менее 5 периодов.
3. ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОГО СТЕНДА
Комплект приборов для выполнения лабораторной работы состоит из:
- лабораторного стенда;
- функционального генератора сигналов GFG-8215А;
- осциллографа GOS-630FC;
- источника питания лабораторного стенда с напряжениями +15В; -15В; +5В (источник для
всех стендов общий).
Лабораторный стенд, на основном поле передней панели (рис.3.1) содержит наборное поле, на котором собираются исследуемые цепи.
Рис.3.1.
В верхней части стенда на вспомогательном поле размещены элементы согласования:
Резистивный делитель 75/5 Ом имеет малое выходное сопротивление и используется для питания последовательного контура; резистор 30 кОм служит для питания параллельного контура. На правом дополнительном поле расположены выключатель питания макета SA1, два
генератора прямоугольных импульсов.
На дополнительном поле расположена клемма “синхронизация”, сигнал которая служит для синхронизации осциллографа при измерении переходных характеристик.
4. ЗАДАНИЯ НА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И
МЕТОДИКА ИХ ВЫПОЛНЕНИЯ.
Задание 1. Исследовать частотно-избирательные свойства последовательного колебательного контура
Снять АЧХ KU(f), рассчитать нормированную АЧХ K U(f), построить графики и по ним определить резонансную частоту f0, полосу пропускания S, добротность Q, и сопротивление потерь R=1/2  f0CQ.
1.1. Собрать схему исследования (рис.4.1). Колебательный контур собрать
из элементов c параметрами: С=16 нФ, L=0,84 мГн (RL=12 Ом).
Рис .4.1. Схема измерения АЧХ последовательного колебательного контура.
Генератор установить в режим формирования гармонических колебаний.
Установить действующее значение выходного напряжения на генераторе
1В (контролировать при помощи вольтметра). Резистивный делитель (R1=75
Ом, R2=5 Ом) служит для согласования генератора и контура. Для измерения
входного U1 и выходного U2 напряжения контура использовать вольтметр В758/2, для визуального наблюдения – осциллограф.
В осциллографе установить режим усилителя – «двойн», режим запуска
синхронизации – «авто», источник «кан 1». Развертку осциллографа отрегулировать так, чтоб на экране было устойчивое изображение 1-2 периодов гармонического колебания.
1.2. Определить резонансную частоту f0 контура. Для этого плавно изменяя
частоту генератора, в диапазоне частот 20-200 кГц, определить частоту при которой амплитуда напряжения на конденсаторе контура U2m максимальна. Измерить резонансную частоту f0 и записать значения f0 в табл. 3.1.
1.3. Не меняя частоты, переключить вольтметр ко входу контура и установить действующее значение входное напряжения U1 =Uвх=0,1В. Вольтметр
снова подключить к конденсатору и измерить резонансное значение напряжения U2 (f0) = U0. Результат измерения записать в табл.3.1.
10
1.4. Снять левую половину частотной характеристики контура. Для этого
уменьшить частоту генератора настолько, чтобы напряжение на конденсаторе
составило U2(f1л)=0,7 U0. Записать в таблицу значение нижней граничной частоты f1л =fн, и U2 =0,7 U0. Измерить значения частот f2л, f3л и f4л , на которых
напряжение на конденсаторе составляет: U2 = 0.5U0; 0.3U0 и 0,1U0. Результаты
измерений частоты записать в табл. 4.1.
Таблица 4.1.
Частота
Параметры
f генератора
Uвх (В)= U1
Uвых (В)= U2
f4л
f3л
f2л
f1л =fн
f0
f1пр= fв
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1U0 0.3 U0 0.5Uo 0.7Uo
0.1
Uo
0.1
0.7Uo
f 2пр
f3пр
0.1
0.1
0.5Uo 0.3Uo
f 4пр
0.1
0.1 U0
Ku=Uвых/Uвх
Ku =Ku/Ku max
1.5.Снять правую часть АЧХ контура. Для этого, увеличивая частоту генератор, повторить измерения частот f1пр= fвр, f 2пр и f3п.
1.6. По результатам измерений рассчитать Ku=Uвых/Uвх и Ku =Ku/Ku max и,
зная форму передаточной характеристики (см. рис.1.3), построить график
Ku=KC(f).
Определить по характеристике: 1. полосу пропускания S=fв - fн на уровне
0.7Kmax, 2. добротность Q=f0 / S и сравнить ее значение с KUmax .
Рассчитать сопротивление контура на резонансной частоте.
Задание 2. Исследовать влияние сопротивления источника сигнала на добротность и полосу пропускания контура (рис.4.2)
Рис .4.2. Схема измерения АЧХ последовательного колебательного контура с добавочным
сопротивлением потерь R3.
2.1. Включить последовательно с индуктивностью добавочное сопротивление R3 =56 Ом. Определить резонансную частоту f o , по максимальному
напряжению на емкости, и записать эти значения: Uвыхmax,
f o .
11
2.2. Изменяя частоту генератора определить fв; fн полосы пропускания, на
которых напряжение Uвых = Uвых max/ 2 и записать в отчет S= fв- fн =___.
Рассчитать эквивалентную добротность Qэкв контура.
Измерить Ku max и сравнить Qэкв и Ku max.
Сделать вывод о влиянии добавочного сопротивления на полосу пропускания и добротность.
Задание 3. Исследовать частотно-избирательное свойства параллельного колебательного контура
Снять АЧХ параллельного контура, составленного из тех же элементов, что
и последовательный. Определить f o , полосу пропускания S и добротность Q.
3.1 Собрать параллельный контур и соединить с приборами (рис 4.3).
Добавочное сопротивление R=30 кОм (расположенное на лабораторном
макете) включить последовательно с генератором. Т.к. значение сопротивления R намного больше сопротивления параллельного колебательного контура
Zк= ZL// ZC, то можно считать, что ток через контур Iк  U1/R. Напряжение на
контуре U2= Iк  Zк
Рис. 4.3. Схема измерения АЧХ параллельного колебательного контура.
3.2. Снять АЧХ напряжения на контуре по той же методике, что и для последовательного контура. Результаты занести в таблицу аналогичную и построить график U2/U2max(f).
3.3.
Определить резонансную частоту f o , граничные частоты fв; fн,
полосу пропускания S и добротность Q. Рассчитать сопротивление контура на
резонансной частоте.
Задание 4. Исследовать влияние сопротивления нагрузки
на полосу пропускания параллельного контура
Для этого параллельно колебательному контуру включить сопротивление
нагрузки Rн=56кОм (Рис.4.4)
12
4.1 Определить резонансную частоту f o , полосу пропускания Sэкв и добротность контура Qэкв. Рассчитать сопротивление контура на резонансной частоте.
Рис .4.4. Схема измерения АЧХ последовательного колебательного контура с сопротивлением нагрузки Rн.
Задание 5. Снять переходную характеристику последовательного контура
5.1. Собрать схему на рис.5.5. В генераторе на выходе установить прямоугольные импульсы, с амплитудой 1 В и частотой f≈f0/50≈1кГц.
Рис .5.5. Схема измерения переходной характеристики последовательного колебательного
контура.
В осциллографе установить режим усилителя – «двойн», режим запуска
синхронизации – «авто», источник «кан 1».
5.2. Регулируя частоту развертки переключателя «время/см». получить
на экране переходную характеристику выходного напряжения контура. Зарисовать вид переходной характеристики в отчет (см. рис.1.6).
5.3. Измерить период свободных колебаний и рассчитать их частоту.
По изображению на экране подсчитать число периодов за которое амплитуда колебаний уменьшается в10 раз. Сравнить это число с добротностью определенной в задании 1.6.
13
5.4 Исследовать влияние сопротивления потерь на переходную характеристику. Для этого включить последовательно с индуктивностью добавочное сопротивление R1 =56 Ом и повторить задания 5.2, 5.3.
Задание 6. Качественно оценить фильтрующие свойства контура
6.1. Собрать схему на рис.5.6. Установить частоту следования прямоугольных импульсов равной резонансной частоте. Плавно изменяя частоту импульсов настроить контур в резонанс по максимальному значению выходного
напряжения.
Осциллограмма выходного напряжения должна иметь вид гармонического сигнала, что свидетельствует о выделении контуром из спектра прямоугольных импульсов первой гармоники. Уменьшив частоту следования импульсов в
3 раза, можно убедиться в выделении контуром третьей гармоники ( четных
гармоник в спектре такого сигнала нет ). С увеличением номера гармоники амплитуда их уменьшается.
Рис. 5.6 Схема для оценки фильтрующих свойств последовательного колебательного
контура
5. ТРЕБОВАНИЯ К ОТЧЕТУ
Отчет должен содержать:
1.
Заголовок: название работы, № группы, ФИО.
2.
Результаты выполнения домашнего задания;
3.
Принципиальные схемы исследуемых цепей;
4.
Результаты измерений , сведенные в таблицы;
5.
Графики частотных и переходных характеристик;
6.
Выводы и сопоставление результатов измерений и расчетов.
6. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
14
1. Понятие резонанса в электрической цепи. Условие резонанса.
2. Последовательный колебательный контур. Основные соотношения.
3. Параллельный колебательный контур. Основные соотношения.
4. Понятие о характеристическом сопротивлении, добротности, полосе пропускания колебательного контура.
5. Как влияет сопротивление источника сигнала, сопротивление нагрузки и сопротивление потерь на добротность контура и его полосу пропускания?
6. В каком контуре возникает резонанс напряжений, а в каком резонанс токов и
в чем они выражаются?
7. Амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики контуров?
8. Переходная характеристика колебательного контура. На какой частоте возникают колебания в отсутствии потерь? Как изменяется частота колебаний
от сопротивления потерь?
9. Как экспериментально определить резонансную частоту последовательного
высокодобротного контура?
10. Как экспериментально определить резонансную частоту параллельного высокодобротного контура?
11. Как экспериментально определить полосу пропускания последовательного
контура?
12. Как экспериментально определить добротность последовательного контура
по резонансной характеристике?
13. Пояснить частотноизбирательные свойства колебательного контура.
14. Как экспериментально определить добротность последовательного контура
по переходной характеристике?
15.
7. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Каяцкас А.А. Основы радиоэлектроники. М: Высшая школа, 1988.
2. Атабеков Г.И. Теоретические основы электротехники. Линейные электрические цепи. - М: Энергия, 1978.
3. Попов В.П. Основы теории цепей. М: Высшая школа, 1981.
15