ЛЕКЦИЯ 1 МЕХАНИКА План 1.1 Физика как наука. Предмет и

ЛЕКЦИЯ 1
МЕХАНИКА
План
1.1 Физика как наука. Предмет и методы исследования в физике и
биофизике.
1.2 Механическое движение. Системы отсчета.
1.1
Скорость и ускорение как производные.
1.4 Угловая скорость и угловое ускорение. Связь между векторами
линейных, угловых скоростей и ускорений.
1.5 Масса. Сила. Второй закон Ньютона. Момент силы.
1.6 Теорема Штейнера. Момент инерции конечностей в локомоторном
аппарате животных.
1.7 Основное управление динамики вращательного движения твердого тела.
1.8 Момент импульса. Закон сохранения момента импульса.
1.1
Физика – наука, изучающая простейшие и вместе с тем наиболее общие
закономерности явлений природы, свойства и строение материи и законы ее
движения.
Физические методы исследования:
1) наблюдение – изучение явлений в естественной, природной
обстановке;
2) эксперимент – изучение явления путем его воспроизведения в
искусственной, лабораторной обстановке;
3) создание гипотез – научных предположений, выдвигаемых для
объяснения явления;
Объектом изучения физики являются наиболее простые свойства и
структура материи. Биофизика выделилась в отдельную науку, так как ее
объект - живой организм - не допускает ни произвольных гипотез, ни
жестких очисток, ни мощных воздействий. Цель биофизики – познание
закономерностей процессов в живом организме, поэтому есть отличие в
применяемых методах, что относит биофизику к разделу биологических
наук.
1.2
Механическим движением называется любое изменение взаимного
положения материальных тел или их частей, происходящее в пространстве с
течением времени.
Поступательным называется движение твердого тела, при котором
любая прямая, связанная с телом, перемещается параллельно самой себе.
Механикой называется раздел физики, в котором изучается механическое
движение; например, перемещение транспортных средств, деталей машин, а
так же органов человека и животных.
Биомеханикой называют раздел биофизики, в котором рассматривают
механические свойства тканей и органов, а также механические явления,
происходящие в живых организмах в процессе их жизнедеятельности.
Материальная точка – это тело, размерами и формой которого в пределах
данной задачи можно пренебречь. Тело отсчета, координатные оси и часы
образуют систему отсчета.
А
y
r
В
x
Рисунок 1.1 - Путь и перемещение материальной точки на плоскости в
системе координат XY.
Линию, по которой движется материальная точка, называют
траекторией.
Расстояние, пройденное точкой по траектории, есть путь S, а отрезок,
соединяющий начальную и конечную точки траектории, называют

перемещением S (рис.1.1).
Определить положение тела в любой момент времени можно, зная

уравнение движения S t  или в случае прямолинейного движения по
уравнению xt  .
1.3
Рассмотрим движение эритроцита, перемещающегося вместе с потоком
крови по прямолинейному участку артерии. В условиях данной задачи его
можно принять за материальную точку. Пусть в момент времени t1
координата материальной точки будет x1 , а в момент времени t 2 координата
будет x 2 . Тогда за промежуток времени t  t 2  t1 перемещение точки будет
x  x2  x1 . Отношение пройденного перемещения x к промежутку времени
t , за который это перемещение было пройдено, называют средней
скоростью материальной точки:
x
 
.
(1.1)
t
Основная единица измерения скорости в СИ - м/с.
Если движение равномерное, то средняя скорость одна и та же при
любом промежутке времени. Однако при неравномерном движении тело за
одинаковые промежутки времени проходит неодинаковые расстояния.
Следовательно, при таком движении величина средней скорости зависит от
выбора промежутка времени. Для определения мгновенной скорости в
данной точке траектории необходимо выбрать промежуток времени
настолько малым, чтобы движение тела в течение этого промежутка времени
можно было считать равномерным.
Мгновенной скоростью неравномерного движения тела в данной точке
траектории (или в данный момент времени) называют предел, к которому
стремится средняя скорость при бесконечном уменьшении промежутка
времени, за который она определяется:
x .
(1.2)
  lim   lim
t 0 t
t 0
При движении тела его координата изменяется с течением времени, то
есть является функцией времени x  xt  , где х - функция, а t - аргумент. Из
математики известно, что предел отношения функции к приращению
аргумента есть производная функции по этому аргументу, то есть
dx
.
dt

(1.3)
Таким образом, мгновенная скорость есть производная перемещения
(или координаты) по времени.
Путь, пройденный телом за время dt, будет равен dS   t   dt . Для
определения всего пути, пройденного за время t, это выражение надо
проинтегрировать, то есть
t
S    t   dt .
(1.4)
0
Быстроту изменения скорости характеризует величина, называемая
ускорением. Если за промежуток времени t скорость изменилась на
величину  , то среднее ускорение за этот промежуток времени численно
равно отношению изменения скорости к промежутку времени, в течение
которого оно было совершено

a 
.
(1.5)
t
Основная единица измерения ускорения в СИ –
м
.
с2
Мгновенным ускорением называют предел, к которому стремится
среднее ускорение при бесконечном уменьшении промежутка времени, за
который оно определяется:
a  lim a
t 0

t 0 t
(1.6)
 lim
При неравномерном движении скорость тела изменяется с течением
времени, то есть является функцией времени    t  . Из математики
известно, что предел отношения функции к приращению аргумента есть
производная функции по этому аргументу, то есть мгновенное ускорение
равна первой производной скорости по времени или второй производной
перемещения по времени:
 d 
d

d
dt  d 2 x

a

 2 .
dt
dt
dt
(1.7)
Многие биологические процессы протекают крайне неравномерно.
Таково, например, движение клапанов сердца. Таким образом, для изучения
и диагностики многих физиологических процессов необходимо измерять
мгновенные скорости и ускорения некоторых органов.
Криволинейным называется движение, при котором траекторией
является кривая линия.
Если материальная точка движется по криволинейной траектории, то ее
скорость изменяется не только по величине, но и по направлению.
а

аn
а
Рисунок 1. 2 - Составляющие ускорения материальной точки при
криволинейном движении.
Тогда изменение скорости характеризуется двумя составляющими
ускорения:
1) тангенциальным ускорением, которое характеризует изменение скорости
по величине, и вектор которого совпадает по направлению с вектором
скорости,
d d 2 x
at 
 2 ;
dt
dt
(1.8)
2) нормальным ускорением, которое характеризует изменение скорости по
направлению, и вектор которого направлен перпендикулярно вектору
скорости к центру кривизны траектории данного участка пути.
Модуль нормального ускорения определяется по формуле:
an 
2
.
(1.9)
R
Полное ускорение на основании теоремы Пифагора определяется по
формуле
a  at2  an2 .
(1.10)
1.4
Если точка движется по окружности, то с течением времени радиус вектор (отрезок, соединяющий центр окружности и МТ в каждый момент
времени) поворачивается на угол  .
Отношение угла поворота радиус - вектора  к промежутку времени
t , за который этот поворот был совершен, называют средней угловой
скоростью материальной точки:

 
(1.11)
t
Быстроту углового перемещения в любой момент времени характеризует
мгновенная угловая скорость – предел, к которому стремится средняя
угловая скорость при бесконечном уменьшении промежутка времени:
 d

.
t 0 t
dt
  lim   lim
t 0
(1.12)
или первая производная угла поворота по времени.
Единица измерения угловой скорости в СИ - рад/с.
Направление угловой скорости определяется правилом буравчика: если
ручку буравчика вращать по направлению движения материальной точки по
окружности, то поступательное движение буравчика совпадет с
направлением угловой скорости.

R

Рисунок 1.3 - Направление векторов линейной и угловой скорости при
движении материальной точки по окружности.
Угол поворота радиус – вектора определяется по формуле
t2
    t   dt .
(1.13)
t1
Равномерным движением по окружности называется движение, при
котором тело за равные промежутки времени поворачивается на один и тот
же угол. Равномерное движение по окружности   const  можно
характеризовать периодом и частотой вращения.
Период вращения – промежуток времени, в течение которого тело
совершает один полный оборот.
t
l 2   R 2 
T
 

(1.14),
N 
R

где t - время совершения колебаний, N - число колебаний, l - путь,
совершенный радиус-вектором,  - скорость конца радиус-вектора, R радиус окружности или длина радиус-вектора,  - циклическая частота.
Единица измерения периода в СИ – секунда (с).
Частота вращения – число оборотов в единицу времени.
1
  .
(1.15)
T
Единица измерения частоты в СИ – Гц или с 1 .
При неравномерном движении по окружности изменяется и линейная и
угловая скорость материальной точки. Введем понятие углового ускорения.
Если за промежуток времени t угловая скорость изменилась на
величину  , то среднее угловое ускорение за этот промежуток времени есть
отношение изменения угловой скорости к промежутку времени, за который
это было совершено:

 
.
(1.16)
t
Быстроту изменения угловой скорости в любой момент времени
характеризует мгновенное угловое ускорение – предел, к которому стремится
среднее угловое ускорение при бесконечном уменьшении промежутка
времени:
 d d 2
  lim
  lim

 2 .
(1.17)
t 0
t 0
t
dt
dt
Единица измерения углового ускорения рад/с 2 .
Как известно из геометрии, дуга окружности связана с радиусом этой окружности
соотношением
S  R 
Или для бесконечно малых перемещений dS  R  d .
Разделив обе части этого равенства на dt, получим
dS
d
 R
    R .
dt
dt
Разделив обе части последнего равенства на dt, имеем
d
d
 R
 at  R   .
dt
dt
Итак, связь линейных и угловых величин выражается следующими
соотношениями:
S  R  ,
(1.18)
    R,
a    R ,
(1.20)
an   2  R
(1.21)
(1.19)
1.5
Законы Ньютона играют исключительную роль в механике и являются
обобщением результатов огромного человеческого опыта.
Первый закон Ньютона: существуют системы отсчета, относительно
которых тело сохраняет состояние покоя или равномерного
прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны
других тел не заставит его изменить это состояние.
Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного
прямолинейного движения называется инертностью.
Масса тела – физическая величина, определяющая его инертные и
гравитационные свойства.
Основная единица измерения массы в СИ – кг.
m   V ,
(1.22)
где ρ – плотность вещества – масса единицы объема.
Сила – это векторная физическая величина, являющаяся мерой
механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в
результате которого тело приобретает ускорение или деформируется.
Основная единица измерения силы в СИ – Н.
Второй закон Ньютона: ускорение тела прямо пропорционально
вызывающей его силе и обратно пропорционально массе тела:

 F
а .
m
(1.23)
Если на тело действует несколько сил, то во втором законе Ньютона под

F понимают равнодействующую силу.
Третий закон Ньютона: все тела действуют друг на друга с силами,
равными по величине и противоположными по направлению.
Силы, о которых говорится в третьем законе Ньютона, приложены к
разным телам и являются силами одной природы.
Иллюстрацией третьего закона Ньютона является движение рыб и
пиявок, которые в процессе движения отталкивают воду назад, а сами
движутся вперед. Плывущая пиявка отгоняет воду назад волнообразными
движениями тела, а рыба - взмахами хвоста.
1.6
Перепишем второй закон Ньютона в виде:


F  ma .
Ускорение тела есть первая производная скорости по времени, тогда:
d d (m   )
F  m

.
dt
dt
Импульсом тела называется векторная физическая величина, численно
равная произведению массы тела на его скорость.


p  m  .
Основной единицей импульса тела в СИ является
(1.24)
кг  м
.
с
Тогда второй закон Ньютона можно переписать в виде:
F
dp
dt
(1.25)
- сила, действующая на тело, равна скорости изменения импульса тела.
Совокупность тел, рассматриваемых как единое целое, называется
механической системой. Силы взаимодействия между телами механической
системы называются внутренними. Силы, с которыми на тела системы
действуют внешние тела, называются внешними. Механическая система тел,
на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой
(изолированной).
Рассмотрим механическую систему, состоящую из двух тел массами m1 и m2 ,


движущимися со скоростями 1 и  2 соответственно. Эти тела действуют друг на друга с




силами F12 и F21 . Пусть F1 и F2 - равнодействующие внешних сил, действующих на эти
тела.
Запишем второй закон Ньютона для этих тел:



d
(m1  1 )  F21  F1
dt
.



d
(m2   2 )  F12  F2
dt
Сложим почленно эти уравнения и получим:


 


d
(m1  1  m2   2 )  F21  F12  F1  F 2 .
dt


По третьему закону Ньютона силы F21 и F12 равны по величине и противоположны
по направлению, значит их сумма равна нулю.



m1  1  m2   2  p - есть импульс системы.


dp 
 F1  F2 - производная по времени от импульса механической системы равна
Тогда
dt
геометрической сумме внешних сил, действующих на систему.

dp
0.
В случае замкнутой системы
dt
Из математики известно, что производная равна нулю только для постоянного числа.
Закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы тел
остается неизменным при любых движениях и взаимодействиях тел
системы.
Реактивное движение происходит по закону сохранения импульса.
Некоторые животные передвигаются по принципу реактивного движения,
например кальмары, осьминоги, каракатицы. Морской моллюск-гребешок,
резко сжимая створки раковины, рывками может двигаться вперед за счет
реактивной силы струи воды, выброшенной из раковины. Приблизительно
так же передвигаются и некоторые другие моллюски. Личинки стрекоз
набирают воду в заднюю кишку, а затем выбрасывают ее и прыгают вперед
за счет силы отдачи. Так как в этих случаях толчки отделены друг от друга
значительными промежутками времени, то большая скорость движения не
достигается.
1.7
Вращательное движение тела вокруг неподвижной оси характеризуется
тем, что любые точки тела описывают окружности, лежащие в параллельных
плоскостях, а центры этих окружностей лежат на одной прямой, называемой
осью вращения.
При вращательном движении инерция тела зависит не только от массы,
но и от распределения ее в пространстве относительно оси вращения. Чем
дальше от оси вращения распределена масса тела, тем больше ее инерция.
Мерой инертности тела при вращении является физическая величина,
называемая моментом инерции тела относительно оси.
Момент инерции материальной точки с массой mi , находящейся на
расстоянии R от центра вращения, численно равен произведению массы МТ
на квадрат расстояния:
I  mi  R 2 .
(1.26)
Основной единицей измерение момента импульса в СИ является кг  м 2 .
Для вычисления момента инерции какого – либо тела его разделяют на
множество достаточно малых по массе элементов, каждый из которых может
быть представлен как материальная точка. Для каждого элемента вычисляют
момент инерции и затем находят их сумму
n
I   mi  R 2
1
2
или для сплошного тела в пределе n   I   R  dm .
(1.27)
m
Приведем выражения моментов инерции разных симметричных тел.
Момент
Тело
инерции
m l2
Тонкий стержень длиной l
I
12
Тонкостенное кольцо (обруч) со средним радиусом R
I  m  R2 
Диск (цилиндр) радиуса R
I
m  R2
2
2  m  R2
I
5
Шар радиуса R
Момент инерции тел, имеющих сложное несимметричное строение,
определяют экспериментально.
При решении задач для определения момента инерции тела
относительно оси, не проходящей через центр масс, используют теорему
Штейнера: момент инерции тела I относительно некоторой оси равен сумме
момента инерции тела I0 относительно параллельной оси, проходящей через
центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между
осями d.
I  I0  m  d 2
(1.28)
О
О
d
О
О
Рисунок 1.4 - Оси вращения твердого тела: ОО проходит через центр масс,
ОO проходит через произвольную точку.
Разобьем мысленно абсолютно твердое тело на материальные точки.
Кинетическая энергия материальной точки определяется по формуле
Е кинi
mi   i2

.
2
Тогда кинетическая энергия вращающегося тела может быть найдена по формуле:
n
Еk   Eкинi
i 1
n
mi  i2
m  Ri   

 i

2
2
i 1
i 1
2
n
.
2
n
mi  Ri2   2
I 2
2 

m

R




i
i
2
2
2
i 1
i 1
Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела может быть
найдена по формуле
n
I 2
Еk 
.
(1.29)
2
Вращательное движение имеет место в локомоторном аппарате
живых существ, ноги и крылья которых совершают вращательные
движения, хотя и поворачиваются на небольшие углы. Моменты инерции
конечностей в первом приближении можно вычислить по формуле момента
ml2
инерции стержня:
. Особенностью движения конечностей
12
является то, что в конце каждого акта движения их надо остановить, а
затем направить в обратную сторону. При этом необходимо сначала
отнять у конечности кинетическую энергию, а затем вновь сообщить ей
энергию при движении в обратную сторону. При остановке кинетическая
I
энергия конечности
I 2
Еk 
переходит в энергию упругой деформации
2
k  x 2
мышцы Е п 
и рассеивается в виде тепла Q : Ек  Еп  Q . Чем
2
больше момент инерции конечности, тем больше энергии ей требуется
сообщить, а момент инерции тем больше, чем больше расстояние от
соответствующего участка конечности до оси вращения. Поэтому для
уменьшения необходимой для движения кинетической энергии выгоднее,
чтобы обладающая значительной массой мускулатура была расположена не
по всей длине конечности, а ближе к бедру или плечу. У млекопитающих,
способных к быстрому бегу, много мышечной ткани находится в
проксимальных (ближних) частях конечностей и мало – в дистальных
(дальних) частях.
1.8
Моментом силы относительно оси вращения называется векторная
величина, численно равная произведению силы на длину перпендикуляра,
опущенного из центра вращения на направление силы, называемого плечом
силы.
  
M  F d .
(1.30)
Основной единицей измерения момента силы в СИ является – Н  м .
Направление этого вектора определяется по правилу буравчика.

Найдем выражение для работы при вращении тела. Пусть сила F приложена в точке
В, находящейся на расстоянии r от оси вращения. Угол α – между направлениями силы и

радиус – вектором r .
Будем считать, что тело абсолютно твердое (расстояние между любыми точками тела
остается неизменным). Тогда работа этой силы равна работе, затраченной на поворот
всего тела.
При повороте тела на бесконечно малый угол dφ точка проходит расстояние
dS  r  d , и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на
величину смещения:
 
dA  F  dS  F  sin   r  d  F  d  d  M  d .
r
О
d

dS
F  sin

F
Рисунок 1.5 - К определению момента силы и механической работы при
вращательном движении
Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии:
 I 2  I
I
   d  2   2    d  I    d
dA  dEk  d 
2
 2  2
 
или
M  d  I    d .
Разделим обе части уравнения на dt и получим:
d
d
 I  
или M    I     .
dt
dt
M
Выразим угловое ускорение, получим  
.
I
Таким образом, угловое ускорение прямо пропорционально моменту
силы, действующей на тело и обратно пропорционально моменту инерции –
второй закон Ньютона для вращательного движения:
M
M
.
I
Перепишем второй закон Ньютона для вращательного движения в виде

(1.31)
d M
d

M .
или I 
dt
dt
I
Из математики известно, что постоянную величину можно вносить под знак
d I   
M.
производной. Получим
dt
Векторную физическую величину, равную произведению момента
инерции тела на угловую скорость, называют моментом импульса:


L  I 
(1.32)
M 
dL
dt
производная момента импульса тела по времени равна равнодействующему моменту
всех внешних сил.
Если на вращающееся тело не действуют внешние силы или их результирующий
момент равен нулю, то
dL
 0.
dt
Из математики известно, что нулю равна производная только постоянного числа, то
есть L – const.
Закон сохранения момента импульса: если на вращающееся тело не
действуют внешние силы или их результирующий момент равен нулю,
то момент импульса относительно оси вращения есть величина
постоянная.
Если в этих условиях изменяется момент инерции тела, то
соответственно изменяется и его угловая скорость.
Примером проявления этого закона можно наблюдать при вращении
фигуриста, который в начале вращения приближает руки к корпусу, тем
самым уменьшая момент инерции и увеличивая угловую скорость. В конце
вращения происходит обратный процесс: при разведении рук увеличивается
момент инерции и уменьшается угловая скорость, что позволяет легко
остановиться.
Применение закона сохранения момента импульса проявляется при
падении кошек. Как показала скоростная киносъемка, падающая кошка сразу
начинает быстро вертеть хвостом. При этом тело ее разворачивается в
обратную сторону (с меньшей скоростью, так как масса тела значительно
больше массы хвоста) до тех пор, пока тело кошки не станет в такое
положение, при котором она приземляется на лапы.
Задачи для самостоятельного решения.
1. Движение материальной точки задано уравнением x  A  t  B  t 2 , где А = 5
м/с; В = -0,02 м/с1. Определить момент времени, в который скорость  точки
равна нулю. Найти координату и ускорение в этот момент.
2. Движение двух тел описывается уравнениями x1  0,75  t 3  2,25  t 2  t ,
x2  0,25  t 3  3  t 2  1,5  t . Определить величину скоростей в момент времени,
когда ускорения тел имеют одинаковые значения.
3. Скорость материальной точки задана уравнением   5  2  t . Определить
путь, пройденный точкой за промежуток времени от 5-ой до 7-ой секунды.
4. Точка движется по кривой с постоянным тангенциальным ускорением аτ =
0,5 м/с1. Определить полное ускорение а точки на участке кривой с радиусом
кривизны R = 3м, если точка движется на этом участке со скоростью υ = 2
м/с.
5. Троллейбус начал двигаться равноускоренно по закругленному участку
пути и, пройдя расстояние 100 м, развил скорость 24 км/ч. Найти
тангенциальное, нормальное и полное ускорение троллейбуса через 20 с
после начала движения. Радиус закругления равен 170 м.
6. Какую скорость приобретает кальмар после одного сокращения мантийной
полости, если выбрасываемая из нее со скоростью 7,5 м/с вода составляет
1
3
массы тела кальмара? Сопротивлением воды пренебречь.
7. Косилка – измельчитель предназначена для скашивания травы и
одновременного измельчения кормов для скота. Зависимость угла поворота
барабана косилки КС-1 от времени задается уравнением   5  0,6t  0,25t 3 .
Найти угловую скорость вращения барабана и линейную скорость точек на
его поверхности через 10 с от начала движения. Диаметр барабана 0,5 м.
8. Зависимость угла поворота от времени для точки, лежащей на ободе
колеса, задается уравнением   t 3  0,5t 2  2t  1. К концу 3-ей секунды эта
точка получила нормальное ускорение, равное 153 м/с 2 . Определить радиус
колеса.
9. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону   10  20t  2t 2 . Найти
величину и направление полного ускорения точки, находящейся на
расстоянии 0,1 м от оси вращения для момента времени t=4 с.
10. Линейная скорость вентилятора веялки на его периферии должна быть
равна 9 м/с. С каким угловым ускорением вращается вентилятор, если его
диаметр 1,2 м и он достигает этой скорости через 3 мин? Сколько оборотов
сделал за это время вентилятор?
11. Определить момент инерции тонкого однородного стержня массой 2 кг и
длиной 1 м, если ось вращения проходит через точку, отстоящую на ¼ длины
стержня от его конца.
12. Обруч массой 3,75 кг катится без скольжения с линейной скоростью 6
м/с. Найти кинетическую энергию обруча.
13. Однородный диск массой 12,64 кг, вращается с постоянным угловым
ускорением, и его движение описывается уравнением   30  t 2  2  t  1 . Диск
вращается под действием постоянной касательной тангенциальной силы
F=90,2 Н, приложенной к ободу диска. Определить момент сил трения,
действующих на диск при вращении. Радиус диска 0,15 м.
14. Для изучения воздействия ускорений на живой организм животных,
кролик массой 2,5 кг был посажен в центр горизонтальной платформы
диаметром 1,5 м и массой 12 кг. Платформу привели во вращение так, что
она делает 15 об/мин. Как изменится частота вращения платформы, если
кролик перейдет от центра к краю?