Лабораторная работа №4. ИЗМЕРЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА

Глава II. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Когда макросистема находится в равновесии, все ее тер модинамические параметры постоянны по всему объему сис темы. Если систему вывести из равновесия и предоставить
самой себе, то она постепенно вернется в равно весное состояние. При этом в системе будут протекать необратимые
процессы, называемые процессами переноса. Различают нес колько процессов переноса в зависимости от того, какие па раметры системы были выведены из равновесия. Это –
процессы переноса энергии, плотности и импульса, и связанные с ними явления теплопроводности, диффузии и вяз кости. Процессы переноса возникают, когда имеется гради ент какого-либо параметра макросистемы по всему объему
макросистемы. При этом возникают потоки параметра в сто рону уменьшения параметра.
Установление равновесия термодинамических систем
происходит при помощи движения молекул. Это позволяет
получить общее уравнение для всех явлений переноса.
Пусть имеется термодинамическая система с концен трацией молекул, равной n . Средняя скорость молекул v .
Движение молекул в такой системе будем считать полнос тью хаотическим для того, чтобы не было направленных то ков молекул и процессы переноса обусловливались только
движением молекул. Возьмем некую площадку S единичной площади. Определим плотность потока молекул, пере секающих площадку в одном направлении. Пусть пло щадка располагается перпендикулярно оси X . Плотность
потока молекул, пересекающих площадку S в положительном направлении оси X будет
j
1
v n.
6
(2.1)
45
Этот поток и будет переносить физическую величину G ,
выведенную из равновесия, в сторону уменьше ния ее значения. Плотность потока величины G обозначим как jG .
Предположим, что величина G характеризует какое-то молекулярное свойство одной молекулы, причем молекула об ладала этим свойством на расстоянии свободного пробега 
от площадки S . То есть последнее со-ударение молекула
испытывала на расстоянии  от площадки S .
Пусть величина G изменяется вдоль оси X , т.е. имеет
место градиент G . Тогда возникает поток величины G в
сторону ее уменьшения (рис.2.1).
G
jG
G1
j1
G2
S 1
j2
x
x
x
X
Рис. 2.1
Тогда общее уравнение переноса для любой величины G
через площадку единичной площади, перпендикулярную на правлению переноса, будет следующим:
1
G
jG   n v 
,
3
x
где n – концентрация молекул,
v – средняя скорость молекул,
 – расстояние свободного пробега.
46
(2.2)
Значения этих величин берутся в сечении S . Теперь на
основе общего уравнения переноса получим уравнения для
переноса массы, импульса и энергии.
Процесс переноса массы
Процесс переноса массы обусловливает явление диффу зии. Диффузия – это самопроизвольное выравнивание кон центраций в смеси нескольких различных веществ. Такое
выравнивание концентраций происходит из -за теплового
хаотического движения молекул. Рассмотрим смесь двух га зов при постоянной температуре и давлении во всем объеме
сосуда. При этих условиях не будет газодинамических по токов, взаимопроникновение молекул будет обусловлено
только тепловым движением. Суммарная концентрация n0
обеих компонент не изменяется в зависимости от координаты по оси X . От координаты X зависят концентрации
обеих смесей ( n1 и n2 ). То есть возникает градиент концентрации одной из компонент, что служит причиной возникновения процесса переноса массы каждой компоненты в на правлении уменьшения ее концентрации (рис. 2.2).
n
n0  n1  n2  const
j2
n1
S 1
j1
Рис. 2.2
n2
X
Переносимой величиной G будет являться концентрация
молекул одной из компонент:
47
G
n1 ( x)

n0
(2.3)
Получаем выражения для потока этой величины:
jn1  
n
1
v 1
3
x
(2.4)
В случае, когда смесь состоит из большего количества
компонент, поток i -й компоненты будет выражаться тем же
соотношением:
n
n
1
ji   v  i   D i ,
(2.5)
3
x
x
где
D
1
v
3
(2.6)
– коэффициент диффузии.
Мы получили выражение для потока через единичную
площадку. При определении потока через площадку S , получаем соотношение, описывающее поток моле кул i -й компоненты:
n
N i  ji S   D i S .
(2.7)
x
Из этого соотношения можем получить выражение для
потока массы i -й компоненты. Для этого умножим обе
части уравнения на массу mi молекулы i -й компоненты:
M i  N i mi   D
ni mi 

S  D i S ,
x
x
где  i  ni mi – парциальная плотность i -й компоненты.
48
(2.8)
Два последних выражения (2.7) и (2.8) были получены
эмпирическим путем и носят название закона Фика.
2
Размерность коэффициента диффузии – м . Коэффициент
с
диффузии определяет массу, переносимую через поверх ность площадью S  1м 2 за 1 секунду при градиенте плоткг
ности, равном 1 4 . Коэффициент диффузии приближенно
м
обратно пропорционален давлению, а при постоянном дав лении пропорционален
3
T 2.
Процесс переноса импульса
Процесс переноса импульса лежит в основе явления вяз кости или внутреннего трения. Возникает это явле ние в тех
случаях, когда на хаотическое тепловое движение молекул
накладывается упорядоченное движение молекул со
скоростью u . Если газ или жидкость движутся в трубе, то
скорости движения различных слоев газа различны. Вследс твие теплового движения молекулы переходят из слоя в
слой, перенося с собой импульс. При этом медленные слои
ускоряются, быстрые – тормозятся (рис. 2.3).
X
jp
S 1
u
Рис. 2.3
49
В этом случае, когда слои обмениваются импульсом, пе реносимая величина и будет импульсом: G  p . Плотность
потока импульса через единичную площадку:
jp  
1
u
v  ,
3
x
(2.9)
где  – плотность газа;
u
– градиент скорости в направлении оси X , перпенx
дикулярной направлению скорости.
На основе этого соотношения поток импульса через пло щадку S может быть рассчитан как
K 
1
u
u
v  S   S ,
3
x
x
(2.10)
1
v  – динамический коэффициент вязкости.
3
Величина, обратная динамической вязкости, называется
1
текучестью:   .
где  

Формула потока импульса позволяет нам получить выра жение для силы трения между двумя слоями жидкости или
газа (формула Ньютона):
F 
u
S.
x
Размерность коэффициента вязкости –
(2.11)
кг
. Он численно
мс
равен силе вязкости, возникающей между слоями площадью
S  1м 2 при градиенте скорости, равном единице. Коэффициент вязкости определяет быстроту передачи импульса из
50
одного слоя потока в другой. Коэффициент вязкости может
быть получен из коэффициента диффузии:

1
v   D .
3
(2.12)
Иногда вместо динамического коэффициента вязкости
применяют кинематический коэффициент вязкости    ,

который совпадает с коэффициентом д иффузии. Вязкость
газов не зависит от давления и пропорциональна
T.
Вязкость жидкостей уменьшается с увеличением темпера туры. Это связано с тем, что в жидкостях молекулы нахо дятся на сравнительно небольших расстояниях друг от дру га. Поэтому их подвижность сильно ограничена межмоле кулярным взаимодействием. Каждая молекула находится в
силовом поле, созданном соседними молекулами. Это поле
можно представить в виде большой совокупности потен циальных ям (минимумов потенциальной энергии ). Потенциальные ямы расположены друг от друга на расстояниях
того же порядка, что и размеры молекул. Для того, чтобы
молекула перескочила из одной потенциальной ямы в
другую, она должна обладать кинетической энергией, боль шей высоты E потенциальной ямы. Поэтому коэффициент
вязкости изменяется с температурой, и эта зависимость
имеет вид:
  0
E
e kT
,
(2.13)
где  0 – константа, слабо зависящая от температуры;
E – энергия, необходимая молекуле для скачка из одного положения в другое, называемая энергией активации
молекулы;
k – постоянная Больцмана;
T – абсолютная температура.
51
Процесс переноса энергии
Это процесс лежит в основе явления теплопроводности.
Если в некоторой среде возникает градиент температуры,
то возникает поток тепла. В этом случае переносимой вели чиной будет средняя кинетическая энергия теплового дви i
жения одной молекулы G  kT . Плотность потока тепла
2
составит
1
i T
jQ   n0 v  k
.
(2.14)
3
2 x
Переносимую величину представим в виде:
i
i RT iR T
T
G  kT  
 
 CV
,
2
2 NA 2 NA
NA
(2.15)
где CV – молярная теплоемкость при постоянном объеме.
Отсюда получаем
C T
1
.
(2.16)
j Q   n0 v  V
3
N A x
Умножив и разделив на массу молекулы, и учтя, что
CV
C
n0 m   – плотность вещества и
 V  cV – удельная
N Am

теплоемкость вещества, получаем выражение для теплового
потока через единичную площадь:
jQ  
где
1
T
T
v cV
 
,
3
x
x

1
v cV
3
– коэффициент теплопроводности.
52
(2.17)
(2.18)
Окончательно,
J Q  
T
S.
x
(2.19)
Полученное соотношение называется законом Фурье.
Теплопроводность не зависит от давления и пропорцио нальна T .
Коэффициент теплопроводности может быть получен из
коэффициентов диффузии и вязкости:

1
v cV  DcV  cV .
3
(2.20)
Коэффициент теплопроводности имеет размерность
Вт
Км
и численно равен энергии, переносимой в виде теплоты за 1
секунду через плоскую поверхность площадью S  1м 2 при
градиенте температуры, равном единице.
Общими свойствами всех трёх коэффициентов является
то, что эмпирически определив D ,  и  , мы можем вычислить длину свободного пробега  и эффективный диаметр молекул d эфф .
53
Лабораторная работа №4
ИЗМЕРЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ВОЗДУХА МЕТОДОМ
НАГРЕТОЙ НИТИ
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Экспериментальное определение коэффициента теплопроводности воздуха, находящегося вокруг нагретой элек трическим током нити. В работе определяется электричес кая мощность, выделяемая в нити и температура нити.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ
Тела, находящиеся при различных температура х, могут
обмениваться внутренней энергией. Перенос энергии, теп лообмен – это самопроизвольный, необратимый процесс
распространения тепла в пространстве, обусловленный раз ностью температур.
Различаются три основных способа переноса тепла.
1. Теплопроводность – перенос, обусловленный взаимо действием микрочастиц соприкасающихся тел, имеющих
равную температуру.
2. Конвекция – перенос вследствие пространственного
перемещения вещества.
3. Теплововое излучение – перенос посредством электро магнитного поля с двойным взаимным превращением теплоты в энергию поля и наоборот.
В реальных тепловых процессах, как правило, перенос
тепла осуществляется одновременно тремя способами. В
данной работе изучается первый из них.
При отсутствии конвекции (макроскопического пере мешивания теплых и холодных масс воздуха) перенос тепла
происходит благодаря теплопроводности, связанной с теп ловым движением молекул. Молекулы при этом обме 54
ниваются энергией, поэтому в основе теплопроводности ле жит процесс переноса энергии. Поток тепл а при этом определяется градиентом температуры:
Q  
T
S,
x
(2.4.1)
где Q – мощность, пересекающая воображаемую площадку S ,
установленную перпендикулярно тепловому потоку;
x – координата, вдоль которой направлен градиент тем T
пературы
;
x
 – коэффициент теплопроводности.
Рассмотрим случай, когда поток тепла направлен от
нагретой нити к стенкам внешней цилиндрической оболоч ки (рис. 2.4.1)
При нагревании нити вдоль радиуса трубки создается градиент
Трубка r
температуры. Площадь, через которую передается тепло, равна плоr1
щади поверхности цилиндра, коr2
аксиального с нагретой нитью.
Нить
При этом поток тепла dQ через
любую промежуточную цилиндрическую
оболочку
радиуса
r
Рис.2.4.1.
( r1  r  r2 ) и площадью S  2rL
можно определить, пренебрегая утечками тепла через тор цы цилиндра:
dT
dQ  
 2Lr  dt ,
(2.4.2)
dr
где L – длина цилиндра радиуса r ,
dt – интервал времени
Из (2.4.2) получим выражение для мощности теплого по тока через внутреннюю цилиндрическую поверхность труб ки радиуса r . По определению, мощность теплого потока:
55
P
dQ
dT
 
 2Lr .
dt
dr
Полученное дифференциальное уравнение решим мето дом разделения переменных:
P
dr
  2L  dT .
r
Поскольку P  const , проинтегрируем левую часть от радиуса нити r1 до радиуса трубки r2 , а правую – от температуры нити Tн до температуры стенок трубки Tc . С учетом
знаков получим:
r2
T
T
H
dr
P   2L   (T )dT ,
r
r
T
1
H
r2
P ln  2L   (T )dT ,
r1
T
C
2L
P
r
ln 2
r1
C
Tн
  (T )dT .
(2.4.3)
Tc
Опыт проводится при постоянной температуре трубки,
равной Tc . При этом увеличение электрической мощности,
выделяемой в нити, на величину dP приводит к возрастанию ее температуры на dTн . Поэтому из (2.4.3) следует
dP  
2L
 (Tн )dTн .
r2
ln
r1
(2.4.4)
Так как вблизи нити теплопроводность воздуха опреде ляется температурой нити, то в (2 .4.4) величина  (Tн )
56
относится к температуре Tн . При возрастании температуры
нити на dTн дополнительный перенос мощности на dP от
нити к стенки трубки определяется только теплопровод ностью слоя воздуха в близи нити. Из соотношения (2 .4.4)
получим
r
ln 1
r2 dP
 (Tн ) 


(2.4.5)
2L dTн
Для определения производной необходимо знать зависи мость P  f (TH ) , которую находят по экспериментальным
данным.
Мощность теплового потока P  I H U H находится по напряжению U H , измеренному на нити, и току I H 
UR
, текуRШ
щему через образцовое сопротивление R Ш и нить. Для определения тока измеряется напряжение на образцовом со противлении U RШ . Температура нити определяется из отношения
tН
RН  RОН o
, C;
 t  RОН
TН  (273,15  t Н ), K
,
(2.4.6)
где R0 H – сопротивление нити при t Н  0 o C , Ом;
RН – сопротивление нити при температуре опыта, Ом;
 t – температурный коэффициент сопротивления мате риала нити,
1
.
град
Формула (2.4.5) позволяет по найденной эксперимен тальной зависимости P  f (TH ) определить  (Tн ) .
57
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДА
ИССЛЕДОВАНИЯ
Метод определения теплопроводности воздуха, применяемый в данной работе,
4
носит еще название метода
Шлейермахера.
Нагреваемая вольфрамовая проволока-нить 5 (рис.
2.4.1, 2.4.2) находится в
цилиндрическом
стеклянном баллоне 2 с двойными
стенками, между которыми
залита вода. Температура во2
ды в баллоне 2 и, следовательно, температура стенки
5
TC трубки 3 постоянна в течение опыта. Баллон с нитью
укреплен в модуле 1, который находится на лабораторном стенде. На панели модуля расположены электрические разъемы 6 и 7 для соединения его с измерительными
приборами. Нить 5 через разъ- 1
3
емы 7 подключается к блоку
питания. Напряжение на нити
7
U H измеряется цифровым 6
вольтметром, подключенным
к разъемам блока питания,
ток в нити определяется по
П1
падению напряжения U RШ на
заданном образцовом сопро- Рис. 2.4.2. Схема установки (вид сзади)
тивлении R Ш .
58
Величина U RШ измеряется милливольтметром, подключенным к разъемам 6.
RH
U
+
*
6
7
RH
Микромультиметр
RШ
RШ
+
–
Источник питания
Рис. 2.4.2. Электрическая схема
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Выпишите данные установки, условия опыта, получен ные значения занесите в таблицу 1:
Таблица 1
Данные установки
Радиус нити, мм
Внутренний радиус трубки, мм
r1 
r2 
R0 H 
Сопротивление нити при 0 o C , Ом
Температурный коэффициент сопротив-  t 
ления нити, 1/град
Длина нити, см
L
Образцовое сопротивление, Ом
RШ 
r1 
r2 
R 0 H 
 t 
L 
R Ш 
2. Убедитесь в том, что все приборы выключены. Повер нуть регулятор напряжения блока питания против часовой
стрелки до упора. Включить стенд.
3. Соединить проводами разъемы 7 с разъемами блока
питания, разъемы 6 с разъемами микромультиметра.
4. Определить значения напряжений, при которых прово дятся измерения. Эти значения не должны превышать 6
59
вольт!! Рекомендуемые значения напряжений, устанавлива емые на блоке питания:1,2,3,4,5,6 вольт.
5. Установить первое значение напряжения на нити, сле дя за показаниями вольтметра.
6. Произвести отсчет на нити U H по вольтметру, напряжение на образцовом сопротивление U RШ по микромультиметру (температура в воды в термостате приблизительно
равна комнатной и в течение работы практически не из меняется).
Результаты измерений занести в таблицу 2.
Таблица 2
Результаты измерений
№
опыта
1
2
3
4
5
6
UH , В
U R , мВ
IH , A
RH , Ом
TH , K
P, Вт
,
Вт
мК
1
2
3
4
5
6
7. Пункты 5 и 6 повторить для следующих значений нап ряжений, устанавливаемых на нити.
8. Понизить напряжение на нити. Выключить приборы и
стенд.
9. Используя выражение P  I H U H и формулу (2.4.6), вычислить мощность Р, выделяемую нитью при различных
значениях ее температуры Т Н . По полученным результатам
построить график зависимости P  f (TH ) и определить проdP
изводную
. Методика определения производной по гра dTH
фику функции приведена в Приложении 2.
10. Вычислить, используя (2.4.5), коэффициент теплопроводности воздуха для различных значений температуры TH .
60
11. Рассчитать относительную погрешность расчета теп лопроводности нити по формуле:

2
2
2
2
 r   r   L    
  1    2        ,

 r1   r2   L    
где  – ошибка вычисления производной  
dP
dTн
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Охарактеризуйте различные способы переноса тепла
между телами.
2. Что такое процессы переноса, перечислите их.
3. Что общего во всех явлениях переноса?
4. Каков механизм процессов переноса?
5. Запишите общую формулу для всех процессов переноса.
6. Какой из процессов переноса лежит в основе явления
диффузии?
7. Какой из процессов переноса лежит в основе явления
вязкости?
8. Какой из процессов переноса лежит в основе явления
теплопроводности?
9. Что характеризует коэффициент теплопроводности тел?
10. Каким образом измеряется температура нити в данной
работе?
11. Есть ли ограничения на величину градиента темпера туры в данной работе?
12. Есть ли ограничения на величину градиента темпера туры при определении теплопроводности жидкостей?
13. Есть ли ограничения на величину градиента температуры при определении теплопроводности твердых тел?
14. Какова размерность коэффициента теплопроводности?
61
15. Как зависит от давления коэффициент теплопровод ности газа?
16. Завышенное или заниженное значение коэффици ента
теплопроводности мы получим в эксперименте, если тепло излучение играет существенную роль при теплопередаче?
17. В каком газе больше коэффициент теплопровод -ности – в гелии или водороде? Температура давления одина ковая, длины свободного пробега равн ы.
18. Как зависит коэффициент теплопроводности от коэф фициента диффузии?
19. Как зависит коэффициент теплопроводности от коэф фициента вязкости?
20. В каких случаях возникают процессы переноса?
21. Что такое длина свободного пробега молекулы?
22. Как длина свободного пробега молекулы зависит от температуры газа (при постоянном давлении)?
21. Что такое эффективный диаметр молекулы?
22. Как изменяется эффективный диаметр молекулы при
повышении температуры газа – увеличивается или уменьшается?
23. Что такое конвекция?
24. Что такое тепловое излучение?
25. Какими способами происходит теплообмен при реальных тепловых процессах?
26. Как определяется мощность теплового потока в дан ной работе?
27. С какой целью в стеклянный баллон, окружающий трубку с нитью, заливается вода?
28. Оцените мощность Р, выделяемую нитью при различ ных значениях ее температуры Т Н
29. Как в данной работе рассчитывается ошибка вычис ления производной  ?
30. Как в данной работе определяются ошибки таблич ных данных?
62