Ответы на задания 3 этапа 1.

Ответы на задания 3 этапа
1. На рисунке 1 а, б изображены равновесные начальное и конечное
положения поршня. Давление p1 , производимое ртутью на верхнюю
поверхность поршня (рисунок 1а), складывается из атмосферного p0 ,
которое на основании закона паскаля передается по объему ртути, и
гидростатического ρgh :
p1 = p0 + ρgh
(1)
Ввиду невесомости поршня и одинаковости площадей S его верхней и
нижней поверхностей это давление в газе под поршнем. Из уравнения
состояния идеального газа, когда налить ртуть,
νRT1
(2)
p1 =
SH
где  - число молей газа в объеме SH под поршнем; R – газовая
постоянная.
Приравняв выражения в правых частях равенств (1) (2), получим
νRT1
= p0 + ρgh
(3)
SH
Аналогичным образом запишем соотношение
νRT2
(4)
= p0
S(H + h)
Отвечающее верхнему положению поршня (рисунок 1 б), когда ртуть
полностью вытеснена из сосуда и атмосферное давление p0 над поршнем
уравновешивается давлением в газе, находящемся в объеме S(H + h) при
более высокой температуре T2 .
T1 (H + h) p0 + ρgh
=
,
T2 H
p0
откуда конечная температура
p0
H +h
T2 = T1
•
= 330K
H
p0 + ρgh
а)
б)
Рисунок – 1
2. При постоянном давлении p работа газа А определяется выражением:
(1)
A = pV
где V - изменение объема. В случае, когда давление газа при изменении
объема не остается постоянным, работу газа можно найти, как площадь
под зависимостью давления от объема на pV - диаграмме.
Определим связь между давлением и объемом в данном случае.
Согласно условию
T = kp 2
(2)
где k - некоторый коэффициент. Воспользуемся теперь уравнением
Менделеева – Клайперона
m
(3)
pV = RT
μ
Подставив в него выражение для температуры согласно (2). Тогда
получим следующую связь между давлением и объемом:
μ
(4)
p=
V
kmR
Этому выражению на pV - диаграмме соответствует прямая линия,
проходящая через начало координат (рисунок 2). Согласно сказанному в
начале решения получаем, что
p + p2
A= 1
(V2 _ V1 )
2
Воспользовавшись выражениями (4) и (2), для работы газа окончательно
находим
m
A=
R (T2 _ T1 )
2
Рисунок – 2
3. На поршень в начальном положении действуют: сила тяжести mg ,
сила атмосферного давления p0 S , сила давления со стороны газа в
цилиндре p1 S и сила упругости пружины kl0 /2 . Из условия равновесия
поршня
mg+p0S-p1S-kl0/2=0
найдем начальное давление p1 газа под поршнем
p1=p0+(mg-kl0/2)/S.
Потенциальная энергия пружины и потенциальная энергия поршня в
поле сил тяжести изменяется за счет работы A, совершаемой газом в
l
цилиндре, и работы AАТМ=-p0S 0 сил атмосферного давления:
2
k(l /2)
l
l
ΔE = A + AАТМ или (0- 0 ) + mg 0 = A -p0S 0 .
2
2
2
Отсюда
A = (l0 /2)(mg + p0 S -kl0/4)=0,1 кДж.
И будет обусловлено работой газа А и работой силы атмосферного
давления (-p0SH/2). В результате получаем уравнение:
H
(M + m)v2 (m - M)gh
=A-p0S ,
+
2
2
2
из которого находим
1
A = ((m+M)v2-(M-m)gH+p0SH))=480 Дж
2
3
4. По первому закону термодинамики: Q = ΔU + A U =
2
5. Из уравнений Клайперона - Менделеева, записанных для газа в
состояниях 1 и 2 следует, что эти состояния принадлежат одной изотерме
2p V
с температурой T = 0 0 . Так как все промежуточные состояния газа
υR
лежат на отрезке прямой, расположенной выше указанной изотермы, то
максимальная температура газа достигается в одной из этих состояний.
Для ее определения запишем уравнение заданного процесса
p
p=- 0 V + 3p0
V0
Тогда зависимость температуры от объема в процессе 1-2 имеет вид
p0 2 3p0
pV
V +
V
T(V)=
=RV0
R
R
Определяя экстремум функции (1), или анализируя график (рисунок 3),
находим, что температура газа достигает максимального значения
9p V
3
Tmax = 0 0 при V = V0
4R
2
Рисунок – 3
6. Труба и поршень соскальзывают с наклонной плоскости с одинаковым
ускорением
a=g(sin  -k cos  ).
(1)
На основании второго закона Ньютона запишем уравнение движения
поршня (силы, действующие на поршень при соскальзывании трубы,
указана на рисунке 4 N – внутренних стенок трубы, p1 и p2 – давления
воздуха по обе стороны от поршня):
ma=mg sin  -(p1-p2)S
(2)
Исключив из равенств (1) и (2) ускорение а, получим соотношение
( p1 - p2)S=kmg cos 
(3)
На основании закона Бойля-Мариота для воздуха по обеим сторонам
поршня:
p1V1 = pV
(4)
p2V2 = pV
(5)
где V – объем воздуха с каждой стороны поршня в горизонтально
лежащей трубе, V1 и V2 – в движущейся трубе (рисунок 4).
Из соотношений (3) – (5), образующих вместе с равенством
V1 + V2 = 2V
систему уравнений, находим отношением объемов (V2 / V1 ) :
V2 /V1 = ((kmg cos )/pS) + ((kmgcosα(/pS)2 + 1 = 1,2