BD - liveinternet.ru

ЗАДАЧИ К КОНТРОЛЬНЫМ ЗАДАНИЯМ. СТАТИКА
Задание С1. Определение усилий стержней.
Груз G при помощи троса, перекинутого через блок С, поднимается силой Р с постоянной скоростью. Определить усилия в стержнях АС и ВС. Размерами блока и трением на нем пренебрегаем.
Данные для задачи приведены на рис.С1 и в табл. С1.
Таблица С1
№
Р, кН
G, кН
α
β

0
0
0
15
10
30
15
15
1
25
12
450
200
200
2
10
13
250
450
450
3
0
0
30
15
30
30
600
4
12
10
150
600
350
5
10
15
300
450
450
6
0
0
6
18
45
15
600
7
25
20
300
600
450
8
0
0
12
13
60
45
300
9
5
12
300
200
200
10
Рис.С1
1
Задание С-2. Определение реакций опор балок
Определить реакции опор балок, представленных на рис. С2-С3. Данные для решения задачи
взять из табл. С2
Таблица С2
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
F1 , Н
F2 , Н M, Нм q1, Н/м
Предпоследняя цифра шифра
12
5
11
8
15
4
15
5
10
6
16
10
8
8
18
13
6
2
24
2
9
7
6
10
11
9
32
4
14
10
8
6
13
11
18
7
7
8
23
9
q2,Н/м a,м
b, м
Последняя цифра шифра
10
0,8
2,4
7
1,0
3,2
13
1,2
1,8
16
1,4
0,8
4
1,6
2,0
12
2,0
3,2
6
2,2
1,2
8
3,0
1,8
11
3,2
2,0
12
2,6
1,4
Рис.С-2
c, м
, град
3,0
2,0
2,6
2,4
2,4
1,2
3,0
2,4
1,4
1,5
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
Рис.С-3
Указания к выполнению работы:
1. К решению задачи следует приступить после проработки и усвоения темы «Плоская система сил»
2. Порядок решения задачи.
2.1. Нарисовать расчетную схему:
 Сделать чертёж к задаче, придерживаясь масштаба.
2
 Выделить тело, равновесие которого нужно рассмотреть для отыскания неизвестных
величин.
 Изобразить активные (заданные) силы в виде векторов.
 Выявить тип наложенных на тело связей и заменить действие связей реакциями.
2.2. Выбрать систему координат и составить уравнения равновесия в любой из двух форм:
 Fkx  0,
 Fkx  0,



(1)
 Fky  0,
 m A ( Fk )  0, (2)




 mB ( Fk )  0
 m0 ( Fk )  0
(при использовании уравнений (2) нельзя, чтобы ось, на которую проецируют силы была
перпендикулярна линии, проходящей через точки А и В).
2.3. Из составленных уравнений определить искомые величины.
2.4. Проверить полученные результаты, составив проверочное уравнение. При использовании
системы (1) следует составить сумму моментов относительно другой точки, при использовании
уравнений (2) – нужно спроецировать силы на ось Оу.
КИНЕМАТИКА
Задание К2. Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном
и вращательном движениях
Механизм состоит из ступенчатых колес 2-3, связанных ременной передачей, и груза 1, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес (рис. К2). Радиусы ступеней колес равны соответственно: у колеса 2 –r2, R2 см, у колеса 3 - r3, R3 . На ободах колес расположена точка М.
В таблице К2 указан закон движения или закон изменения угла поворота ведущего звена механизма, где s1(t)- закон движения груза 1, 2(t), 3(t) закон вращения колес 2 и 3 соответственно. Положительное направление для  - против хода часовой стрелки, для s - вниз.
Определить в момент времени t1=1с угловые скорости  и угловые ускорения  колес, ускорение
а тела 1 и ускорение а точки М, указанной на Рис.К2.
Таблица К2
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
s, см
20(t2+t)
2,рад
3,рад
r1,см
10
15
20
30
25
12
24
18
16
14
10t2
2
40(t +2t)
20t2
3
2
10(t +6t )
5t3
2
30(t +6t)
30t3
6t2
20(t2+8t)
R1,см
15
30
25
35
40
24
36
36
32
28
r2,см
8
12
16
20
10
14
18
22
16
10
R2,см
16
24
32
30
22
26
32
30
32
30
Указания к решению задания:
Задание К2 на исследование вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.
При решении задачи учесть, что, когда два колеса связаны ременной передачей, то скорости всех точек
ремня и, следовательно, точек, лежащих на ободе каждого из этих колес, в данный момент времени
численно одинаковы; при этом считается, что ремень по ободу колеса не скользит.
(Условимся обозначать скорости точек, лежащих на внешних ободах колес (радиуса R), через v, а точек,
лежащих на внутренних ободах (радиуса r),— через u).
3
Рис.К2
Контрольные вопросы к защите задач:
1. Какое движение твердого тела называется поступательным?
2. Могут ли траектории точек тела при поступательном движении быть окружностями?
3. Какими уравнениями задается поступательное движение?
4
4. Какое движение твердого тела называется вращением вокруг оси? Каковы траектории точек при
этом движении?
5. Каким уравнением задается вращение тела вокруг неподвижной оси?
6. Какие зависимости существуют между углом поворота, угловой скоростью и угловым ускорением тела?
7. Как определяется скорость точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси?
8. Как определяется ускорение точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси? Как направлены и чему равны его составляющие?
9. Во сколько раз ускорение точки А, вращающегося диска больше ускорения точки В, если расстояние точки А от оси вращения вдвое больше расстояния точки В.
Задание К-3. Плоско-параллельное движение. Определение скоростей
Для заданного положения механизма, зная угловую скорость кривошипа АО, найти скорости точек А, В, С и D и угловые скорости всех его звеньев, используя:
1. теорему о проекциях скоростей двух точек;
3. мгновенный центр скоростей.
Данные, необходимые для решения задачи, взять из таблицы К-3. Схемы приведены на Рис.К3.
N
условия
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
Таблица К3
размеры (см)
OA
AB
ВС
BD
35
20
10
10
10
15
30
25
20
10
45
35
20
20
25
30
55
50
45
30
20
25
15
10
10
20
25
25
20
15
20
15
10
12
15
20
30
25
20
15
(с'1)
1
4
3
2.5
5
2
1
1.5
3
2
Указания к решению задачи:
1. Построить чертеж в выбранном масштабе.
2. Указать на нем направления скоростей точек А и В.
3. Выбрать полюс, приняв за него точку, скорость которой можно вычислить.
Решение с помощью теоремы о проекциях скоростей двух точек:
Для определения скорости точки В спроецировать слагаемые формулы
на прямую AB. Для определения скорости
эту же формулу спроецировать на прямую, перпендикулярную
АВ. Вычислив значение скорости
, определить угловую скорость звена ВА .
Решение с помощью мгновенного центра скоростей.
Определить положение мгновенного центра скоростей, построив перпендикуляры к скоростям точек
А и В. Определить скорость точки В и угловую скорость звена АВ, используя зависимости мгновенного центра скоростей:
vA
v
 B   AB
APмцс BPмцс
5
Рис. К3
6
Пример выполнения задания С1
Груз G при помощи троса, перекинутого через блок С, поднимается силой Р с постоянной скоростью. Определить усилия в стержнях АС и ВС. Размерами блока и трением на нем пренебрегаем, известно, что угол =30, а угол, =50, =45 G=4кН, Р=5кН. Весом стержней пренебречь.
Решение:
1). Рисуем расчетную схему:
(Углы расставляем согласно значениям, заданным в таблице)
 Выбираем объект изучения
(Изучим равновесие узла С, который находится в равновесии при наличии двух связей: стержня
АС и стержня ВС).
 Расставляем действующие (заданные) силы
(Заданными силами являются: сила Р и сила тяжести G, направленная вниз).
 Заменяем действие связей реакциями:
(Заменим действие стержней АС и ВС реакциями SА и SB, направленными вдоль стержней от узла,
считая, что стержни работают на растяжение).
Активной силой будет сила тяжести лампы Р., направленная вниз.
2) Введем систему координат и составляем уравнения равновесия (Начало координат выберем в
точке С. Укажем углы между силами и координатными осями)
 Fkx  S B  sin   S A  cos   P  sin   0;



 Fky  S B cos   S A sin   P cos   G  0.
3) Вычисляем искомые величины
Из полученных уравнений определяем SА и SС. Для этого подставим в уравнения значения сил и
решаем полученную систему линейных уравнений.
0,766S B  0,866S A  5  0,707  3,535,

0,643S B  0,5S A  7,535.
Используем метод Крамера. Вычислим определители, из коэффициентов при SВ , SА и значения
правых частей уравнений.
0,766 - 0,866

 0,766  0,5  0,643(0,866)  0,966,
0,643 0,5
SA 
3,535 - 0,866
SB 
0,766 3,535
7,535
0,643
0,5
7,535
 3,535  0,5  7,535(0,866)  8,135,
 0,766  7,535  0,643  3,535  3,499.
Тогда
S
8,135
SA  A 
 8,421кН ,

0,966
S
3,499
SB  B 
 3,622кН

0,966
Ответ  SА =8,421кН SB =3,662кН.
7
Пример решения задачи из схемы С2
Жестко заделанная у левого конца консольная балка АВ (рис. 2,а) нагружена равномерно распределённой нагрузкой интенсивностью q=5 кН/м, сосредоточенной силой Р=12кН наклонной к балке под
углом =60 и моментом М=20кН.м. Определить реакции заделки.
Рис.С2a)
Рис.С2, в)
Решение.
1). Рисуем расчетную схему.
Выдерживаем размеры и углы рис. С2,а
 Выбираем объект изучения
Рассмотрим равновесие балки АВ
 Расставляем действующие (заданные) силы
На балку действуют: в точке С – вертикальная сосредоточенная сила Р, которую удобно заменить
составляющими,
ее
проекциями
на
координатные
оси
P x  P cos 60  12  0,5  6кН ,
P y  P sin 60  12  0,866  10,392кН . По всей длине балки действует равномерно распределённая нагрузка, ее заменим сосредоточенной силой Q  q  AB  5  4  20кН , приложенной посередине. Правый конец
балки нагружен моментом М, направленным против хода часовой стрелки.
 Заменяем действие связей реакциями:
Освободив балку от связи, заменим её действие реакциями связи XA, YA и реактивным моментом
МА (рис.С2,б).
2) Введем систему координат и составляем уравнения равновесия
Составим уравнения равновесия в основной форме: суммы проекций сил на оси x и y и сумму
моментов относительно точки А (1):

 Fкx  X A  Pх  0;

.
 Fky  YA  q  AB  Pу  0;

 M Ak M A  q  AB AB  Pу  AC  M  0

2
Полученные уравнения решаем относительно неизвестных XA, YA , МА:

 X A   Pх  6 кH;

YA  q  AB  Pу  5  4  10,392  30,39 кH;

М А  q  AB  АВ  Pу  AC  M  5  4  2  10,392  3  20  51,18кН

2
Для проверки правильности решения составим сумму моментов, указанных сил относительно
точки В:
AB
 М вк  М A  YA  AB  q  AB  2  Pу  CB  M 
 51,18  30,39  4  5  4  2  10,392 1  20  0,06  0
ОТВЕТ:
С
точностью
до
сотых
8
долей
реакции
заделки
равны
YA  30,39 кH, X A  6 кH, M A  51,18кHм. Реакция RxA направлена в сторону, противоположную указанной на схеме.
Пример решения задачи из схемы С3
Двухопорная балка АВ (рис. С3,а) нагружена равномерно распределённой нагрузкой интенсивностью q=4 кН/м, сосредоточенной силой Р=10кН наклонной к балке под углом =60 и моментом
М=20кН.м. Определить реакции опор.
Рис.С3a)
Рис.С3, в)
Решение
1). Рисуем расчетную схему.
Выдерживаем размеры и углы рис. С3,а
 Выбираем объект изучения
Рассмотрим равновесие балки АВ
 Расставляем действующие (заданные) силы
Равномерно распределённую нагрузку q, заменим сосредоточенной силой Q  4q  16кН , приложенной посередине. Вместо силы P введем ее проекции на координатные оси
P x  P cos 60  10  0,5  5кН , P y  P sin 60  10  0,866  8,66кН .
 Заменяем действие связей реакциями
Заменим неподвижную опору в точке А реакциями XA, YA , а подвижную опору в точке В реакцией
RB (рис. С3,б).
2) Введем систему координат и составляем уравнения равновесия
Выберем вторую форму уравнений равновесия, сумму проекций сил на оси x и суммы моментов относительно точек А и В (2):
 FkX  X A  PX  0,

 M Ak  Q  3  PY  4  RB  5  M  0,

 M Bk  YA  5  Q  2  PY  1  M  0.
Полученные уравнения решаем относительно неизвестных XA, YA , RB:

 X A   PX  5 кH;

Q  3  PY  4  M 16  3  8,66  4  20


 12,528 кH;
 RB 
5
5

Q  2  PY  M 16  2  8,66  20


 12,132кН
YA 
5
5
Для проверки правильности решения составим сумму проекций сил на ось у:
 FkY  YA  Q  PY  RB  12,132  16  8,66  12,528  0 .
Реакции опор найдены верно.
ОТВЕТ: Реакции неподвижной шарнирной опоры в точке А равны Х А=-5кН,
RВ=12,528кН Реакция ХA направлена в сторону, противоположную указанной на схеме.
9
УА=12,132кН,
Пример решения задачи К2
Движение груза 1 в механизме на рис. 1 описывается уравнением
x  10t 2  3t
(1)
где t – время в с.
В начальный момент времени (t = 0) координата груза – x0, его скорость – v0. Координата груза в
момент времени t = t2 равна x2.
Определить в момент времени t1=1с угловые скорости  и угловые ускорения  колес, ускорение
а тела 1 и ускорение а точки М, указанной на Рис.К2.
Расчётная схема
Исходные данные
R2  50 см,
r2  25 см,
R3  65 см,
r3  40 см,
Решение
1. Рисуем расчетную схему. Указываем на ней направления скоростей каждого тела.
2. Вычисляем скорость груза 1
v  х  (10t 2  3t )  20t  3.
В момент времени t  1c скорость равна v  (20t  3) t 1  23м / с.
3. Вычисляем ускорение груза 1
а  v  (20t  3)  20 см / c 2 .
4. Для определения угловой скорости ω2 , и углового ускорения тела 2 запишем уравнение, связывающее скорость груза v и угловую скорость колеса 2. ω2 и ω3. В соответствии со схемой механизма
v  r2ω2

 20t  3  20 20
v 20t  3
 

 0,8c  2 .
,  2   2  
Отсюда ω2  
r2 25
r2
r2
 r2 
5. Запишем уравнение, связывающее угловые скорости колес 2 ω2 и 3 - ω3.
R2ω2  R3ω3 ,
Откуда вычисляем - ω3
ω3  R2 /R3 ,
или с учетом (5) после подстановки данных
3 
20t  3  50  1,54t  2,31
65
10
t 1
 3,85c 1
3  3,85с 1.
В момент времени t1
Угловое ускорение колеса 3
 3   3  1,54с 2 .
6.
Определим скорость точки М, её центростремительное, вращательное и полное ускорения
vM  3r3  3,85  40  154см / с.
аМц  32 r3  3,852  40  592,9см / с 2 ,
аМвр   3 r3  1,54  40  61,6см / с 2 ,
2
a м  aц2  aвр
 592,92  241,42  640,2см/с 2.
Результаты вычислений для заданного момента времени t1  1 с приведены в таблице
v,
а,
см / с
см / с
23
20
2
3,
3 ,
рад / с
рад / с
3,85
1,54
vМ ,
2
см / с
154
aвр ,
aц
см/с
592,9
2
aм ,
см/с
62,7
2
см/с 2
640,2
Скорости и ускорения тела 1 и точки М показаны на рис. 2.
Пример решения задачи К3.
Шарнирно-стержневой механизм состоит из четырех шарнирно соединенных стержней и
горизонтально движущегося ползуна С (рис. К3). Механизм приводится в движение кривошипом ОА, который вращается с постоянной угловой скоростью ОА =2рад/с.
В указанном положении механизма найти ускорения шарниров А, В, С и точки М. Даны
размеры: АО = 2 см, АВ = 5 см, АМ=2см, BD=3см, ВС=2см, =30°, =30°.
Рис.К3.
Решение:
1. Определяем угловые скорости звеньев и скорости точек механизма. Находим величину скорости точки А:
v A  OA AO  2  2  4см / с.
11
Вектор vA направляем перпендикулярно радиусу АО против часовой стрелки.
Вектор скорости vB направлен перпендикулярно звену BD, т.е. горизонтально.
Решаем задачу с помощью мгновенного центра скоростей. Мгновенный центр скоростей Р звена АВ находится на пересечении перпендикуляров к векторам скоростей точек А и В (рис. К4).
Рис.4
Находим расстояния точек А, В, М до МЦС.
АР  АВ / соs30  5,774см,
ВР  АР  sin 30  2,887см,
МР  МВ 2  ВР 2  32  2,887 2  4,163см.
Скорости точек находим из системы уравнений
v A   AB AP,
v М   АВ МР,
v B   AB BP.
В результате решения получим:
 AB  v A / AP  0.693 рад / с, vB  2,000см / с, vМ  2,000см / с.
Найти скорость точки С не составит труда. Векторы vB и vc параллельны и не перпендикулярны отрезку ВС. Следовательно, звено ВС совершает мгновенное поступательное движение, и скорости всех его точек в этот момент равны. Отсюда, vB  vC  2см / с. Угловая скорость
звена ВС равна нулю.
12