6 класс

6 класс
1. Сколько раз в течение суток часовая и минутная стрелки
а) совпадают; б) составляют развернутый угол; в) составляют прямой
угол?
2. В записи 88888888 поставьте между некоторыми цифрами знак
сложения так, чтобы получилось выражение, значение которого равно
1000.
3. Найти целое число, которое в семь раз больше цифры его единиц.
4. К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы
полученное число делилось на 15.
5. Незнайка перемножил два двузначных числа, а затем заменил в
примере одинаковые цифры на одинаковые буквы, а разные – на
разные. У него получилось АБ  ВГ = ДДЕЕ. Докажите, что Незнайка
где-то ошибся.
6. Полторы курицы за полтора дня снесли полтора яйца. Сколько яиц
снесут 6 куриц за 6 дней?
7. Три ежика делили три кусочка сыра массами 5, 8 и 11 граммов
соответственно. Лиса стала им помогать. Ей разрешили от любых двух
кусочков отрезать по одному грамму сыра (эти обрезки лиса съедает).
Сможет ли лиса оставить ежикам равные кусочки сыра?
Делимость
1. Пользуясь признаками делимости, определить, делятся ли на 2, 3,
4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12 и 15 следующие числа:
а) 8580;
б) 11340;
в) 75600
2. Разложить следующие числа на простые множители:
а) 49500;
б) 32760.
Алгоритмы
1. Укажите ошибки в алгоритме для сбора Пети Торопыжкина в
школу. Предложите свой правильный алгоритм. Алгоритм следующий:
встать, протереть левый глаз, взять мыло, намылить руки, протереть
правый глаз, промыть руки, умыться, пройти в столовую, съесть
завтрак, надеть левый носок, схватить портфель, надеть школьную
форму, надеть обувь, бежать бегом в школу.
2. Имеется лабиринт со стенами, расположенными с юга на север
или с запада на восток (как на рисунке). В одной из
клеток
1
лабиринта находится сыр. Мышь начинает в неизвестной клетке и хочет
съесть сыр, который лежит в одной из клеток лабиринта. Находясь в
клетке, она может видеть, есть ли справа/слева/спереди стена. Также
она может поворачиваться на 90° и идти на одну клетку вперёд.
Напишите алгоритм, при выполнении которого мышь найдет сыр.
Информатика
1. Найти количество натуральных чисел, не превосходящих M
(M<10000), сумма цифр которых делится на 3.
2. Петя выехал в ОЗШ в четверг 16 августа. Написать программу,
которая определяет, на какой день недели приходится день его
рождения в августе, если он наступает через k дней после заезда.
3. Незнайка с Сиропчиком случайно забрались на склад с
газированной водой двух видов. Уйти с пустыми руками они,
естественно, не могли. Коротышки решили напиться вволю и улучшить
свое материальное положение. Однако, у каждого оказалось только по
одной емкости для этой наивкуснейшей газировки, первая рассчитана
на B1 литров жидкости, вторая на B2 литров. Один литр «Пепси» они
смогли бы продать за A1 рублей, один литр «Спрайта» – за A2 рублей.
Им надо было заполнить обе емкости таким образом, чтобы получить
как можно больше денег за их продажу. При смешении жидкостей,
естественно, получается несъедобная смесь. С другой стороны,
2
коротышки – гурманы, и решили, что надо вынести воду обоих видов.
Требуется написать программу, которая определяет, на какую
максимальную сумму предприимчивые Незнайка и Сиропчик смогут
продать газировку, если они заполнят свои емкости по условиям задачи.
Формат входных данных:
С клавиатуры вводятся четыре числа: A1, A2, B1, B2. Все числа
целые и не превосходят 100.
Формат выходных данных:
На экран выдать результат – сумму в рублях, которую смогут
Незнайка и Сиропчик заработать в случае наилучшего для себя
заполнения емкостей газировкой.
Пример входных данных:
1232
Результат:
8
Ребусы
МЫ + РОЖЬ = СЕЕМ
СЕ*МЬ - ШЕ*СТЬ = 1
AAAA-BBB+CC-D=1234
3
7 класс
1. В ряд выложены 28 одинаковых по внешнему виду монет. Известно,
что среди них есть 2 фальшивые монеты – более тяжелые по весу, чем
настоящие. Можно ли за 3 взвешивания на чашечных весах без гирь найти
все фальшивые монеты, если известно, что они лежат рядом друг с другом?
2. Докажите, что число 10101010…10101 (101 единица) является
составным, если оно записано в системе счисления с произвольным
натуральным основанием, большим 1.
3. Квадратное поле 2005-ю вертикальными и 2005-ю горизонтальными
линиями разделили на прямоугольные участки, на каждом из которых
поселился рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда
лгут. Каждый владелец заявил, что площадь его участка больше площадей
соседних по стороне участков. Какое наибольшее количество владельцев
могли быть рыцарями?
4. На сторонах треугольника АВС взяты точки А1, В1, С1 так, что отрезки
АА1, ВВ1, СС1 делят соответствующие стороны треугольника А1В1С1
пополам. Верно ли, что точки А1, В1, С1 непременно являются серединами
сторон треугольника АВС?
5. Найдите наибольшее натуральное число n, которое делится на все
натуральные числа, квадрат которых не превышает n2.
6. Две команды разыграли первенство школы в 10 видах, причём за
победу команда получала 4 очка, за ничью 2 очка и за проигрыш 1 очко.
Вместе обе команды набрали 46 очков. Сколько было ничьих?
Комбинаторика
1. Сколько можно составить различных пятизначных чисел из цифр
0, 1, 2, 3, 4, 7, если: а) все цифры числа различны;
б) цифры могут
повторяться?
2. Сколько существует четырехзначных чисел из цифр 1, 2, 3, 9
таких, что они делятся на 3, но не начинаются с 2 (все цифры чисел
различны)?
Делимость
1. Существуют ли такие натуральные a и b, что ab(a-b)=45045?
2. Натуральные числа x и y таковы, что 34x=43y. Докажите, что число
x+y – составное.
3. Существует ли натуральное число, произведение цифр которого
1980?
4
Информатика
1. Вводятся N чисел. Подсчитайте, сколько в массиве содержится
различных чисел.
2. Последовательность вычисляется по формуле: an =an-1-an-2/an-3. По
заданным a1, a2 и a3 заполните массив из K элементов.
3. Дан набор из букв и цифр. Вывести все возможные палиндромы,
которые можно составить из этого набора, используя только элементы
набора и ровно столько раз, сколько они встречаются в наборе.
Геометрия
1. Нарисуйте 4-звенную ломаную, проходящую через 9 точек
2. Как разрезать квадрат на 5 прямоугольников, чтобы никакие два из
них не имели общей стороны?
3. Можно ли нарисовать замкнутую 8-звенную ломаную, которая
пересекает каждое своё звено ровно 1 раз?
4. Можно ли разрезать квадрат на несколько тупоугольных
треугольников?
5. Можно ли расположить на плоскости 6 точек и соединить их
непересекающимися отрезками так, чтобы каждая точка была соединена
ровно с четырьмя другими?
6. Замостите плоскость одинаковыми 5-угольниками.
7. Докажите, что квадрат можно разрезать на 1989 квадратов.
8. Точка M находится на стороне AB, а точка K – на стороне BC
треугольника ABC. Отрезки AK и CM пересекаются в точке O.
Докажите, что если OM = OK, и равны углы KAC и MCA, то
треугольник ABC – равнобедренный.
9. Построить выпуклый пятиугольник по заданным серединам
сторон.
Системы счисления
1. Перевести число 33 в 5-ричную систему счисления.
2. Выписать все числа от 10 до 30, имеющие в своей записи в системе
счисления с основанием 7 последнюю цифру 4.
3. Перевести число 1000011012 в десятичную систему счисления.
5
8 класс
Мат. индукция
1. Доказать 1 + 2 + 3 + … + n3 = (1+2+…+n)2.
2. На какое число частей рассекают плоскость n прямых общего
положения (т.е. таких, что никакие 3 из них не проходят через одну
точку)?
3
3
3
Делимость
1. Доказать, что число n + 1 не делится на 4 нацело ни при каком
натуральном n.
2. Известно, что одно из натуральных чисел x и y четно, другое –
нечетно. Представить число xy + y в виде разности квадратов двух
целых чисел.
3. Можно ли сдать сдачу в 50 копеек, используя ровно 13 монет по 5
и по 1 копейке?
4. Докажите тождество: [a + 0.5] = [2a] – [a], где [a] – целая часть
числа a, то есть наибольшее целое число, не превосходящее a.
2
Олимпиадные задачи
1. Существует ли четырехугольник со сторонами 1, 2, 4 и 7
сантиметров?
2. Дан равнобедренный треугольник с углом 20 градусов при
вершине. Докажите, что его боковая сторона больше удвоенного
основания.
3. Доказать, что если a + b + c = 0, то a3 + b3 + c3 = 3abc.
4. Каково наибольшее число квартир в 100-квартирном доме, у
которых сумма цифр номера одинакова?
Комбинаторика
1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 0,
2, 4, 5, 7, 8, 9 таких, что:
 число делится нацело на 3;
 в разряде тысяч обязательно стоит «2»;
 частное от деления этого числа на два является четным?
2. Известно, что через каждые две различные точки можно провести
прямую. Дано 10 точек, никакие три из которых не лежат на одной
прямой. Сколько прямых можно провести, соединяя точки попарно?
6
Полиномы
1. Умножить “столбиком”
a)
x3 – 2x2 + x + 3 на x + 1
б)
-x3 – 2x2 + x + 3 на x2 + 2x – 3
в)
2x3 – 3x2 + x + 1 на 2x3 + 2x2 – 3x + 1
2. Разделить “столбиком”
а)
x4 + 3x3 – 13x2 + 3x + 6 на x - 2
б)
x5 – 8x4 + 7x3 – 13x2 – 3x – 2 на x2 – x + 2
в)
x6 – 1 на x – 1.
3. Проверить, является ли x0 корнем p; если да, то найти кратность:
а)
p(x) = x4 – 3x3 + 5x2 – 4x – 1
x0 = 1
3
2
б)
p(x) = x + x – 4x + 6
x0 = -3
в)
p(x) = 2x3 – 7x2 + 4x + 4
x0 = -1
Информатика
1. Зеркало и дверь.
Дверной проем зала во дворце имеет форму прямоугольника M•N.
Королеве привезли зеркало в форме прямоугольного треугольника с
катетами a, b. Определить, смогут ли послушные подданные протащить
зеркало в зал королевы через дверь. Зеркало разрешается вертеть.
Желательно изобразить схему "протаскивания" зеркала в плоскости
дверного проема. Все данные задачи (M, N, a, b не превышают 50).
а) Решить задачу при M=3, N=4, a=4, b=4.
б) Решить задачу при M=3, N=4, a=10, b=20.
в) Написать программу, которая по введенным числам M, N и длинам
катетов a и b зеркала-треугольника выдаёт ответ о том, удастся или нет
протащить зеркало.
Примечание: толщиной зеркала можно пренебречь.
2. Счастливый билет.
По заданному шестизначному числу определить, является ли билет
«счастливым». Требуется 2 варианта: с помощью массивов и с помощью
строк.
3. Элементы последовательности вычисляются по формуле:
an =an-1^(an-2 div an-3).
По заданным a1, a2 и a3 заполните массив из K элементов.
(^ - возведение в степень.)
7
9 класс
1. Построить параллелограмм, у которого середины трех сторон
лежат в заданных точках.
2. Построить треугольник по трем медианам.
Центр масс
1. Пусть АВСD – выпуклый четырехугольник, K, L, M и N –
середины сторон АВ, BС, СD и DА, Докажите, что точка пересечения
отрезков KM и LN является серединой этих отрезков, а также и
серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей.
2. На сторонах АВ, ВС и СА треугольника AВС взяты точки C1 , A1
и B1 так, что прямые CC1 , AA1 и BB1 пересекаются в некоторой точке
О. Докажите, что:
CO CA1 CB1


а)
OC1 A1 B B1 A
AO BO CO
AO BO CO





28
б)
OA1 OB1 OC1 OA1 OB1 OC1
Делимость
1. 25 различных натуральных чисел, не превосходящих 1000, таковы,
что произведение любых двух из них является точным квадратом.
Докажите, что все эти 25 чисел сами являются точными квадратами.
2. Возьмем любое натуральное число с нечетным количеством цифр.
Припишем к нему справа точно такое же число. Доказать, что
полученное число делится нацело на 11.
Элементы выпуклого анализа
1. Пусть M и N – середины отрезков АВ и CD. Доказать, что
1
MN  ( AC  BD )
2
2. Найти скалярное произведение векторов a и b, если a имеет
координаты (5, 6), b имеет координаты (-1, 2).
3. Дана трапеция ABCD , AB и CD – основания, AB 12 CD . M –
середина AD , K  BC : BK / KC  1/ 3 . Выразите KM через DA и DC .
8
4. M1, М2, … , М6 – середины сторон выпуклого шестиугольника
А1А2…А6. Докажите, что существует треугольник, стороны которого
равны и параллельны отрезкам М1М2, М3М4, М5М6.
5. Пусть OA  OB  OC  0 и ОА=ОВ=ОС. Докажите, что АВС –
правильный треугольник.
6. Сумма четырёх единичных векторов равна нулю. Докажите, что их
можно разбить на две пары противоположных векторов.
7. Дан вектор а с координатами (a1, a2). Выписать координаты всех
векторов b, перпендикулярных a, причем требуется, чтобы a и b имели
одинаковую длину.
8. Доказать: |a + b|2 + |a – b|2 = 2(|a|2 + |b|2)
9. Известно, что векторы а = (5, 3 – u) и b = (u,12) перпендикулярны
друг другу. Найти u.
10. ABCD – трапеция (основания AD, BC). EAB, AE=EB. KCD,
AK:KD=3:1. PCD, CP:PD=2:1. O – точка пересечения EP и BK.
Выразить AO через AB и AD
11. Дано уравнение прямой L: kx + b = 0. Определить, при каких
условиях на k и b точка (1, 0):
а) будет лежать на прямой L;
б) будет лежать в правой полуплоскости;
в) будет лежать в левой полуплоскости.
12. Заданы общие уравнения прямых, содержащих стороны треx y2 0
x  2y  4  0
угольника АВС: x  y  2  0
Записать условия принадлежности точки (x, y) треугольнику АВС.
13. Написать общее уравнение прямой, параллельной прямой
2x+6y -2=0 и проходящей через точку (3, 3).
14. Написать общее уравнение прямой, перпендикулярной прямой x –
y + 5 = 0 и проходящей через начало координат.
15. Написать общее уравнение средней линии ЕН треугольника АВС
(точка Е лежит на стороне АВ, точка Н лежит на стороне АС). Известно,
что ВС лежит на прямой 2x – y – 5 = 0, координаты точки А(3, 4).
16. Написать общее уравнение высоты АН треугольника АВС, если
координаты вершин А(0; 0), В(4; 2), С(-2; 4).
17. Написать уравнения диагоналей ромба ABCD, если даны
координаты вершины A(-3; 2) и C(7; -6).
18. Найти центр и радиус описанной окружности треугольника АВС,
если координаты вершин: А(-2, 3), В(6, 1), С(6, 3).
9
19. Найти центр и радиус описанной окружности, если даны координаты вершин: А(1; 1), В(7; 1), С(5; 5).
Решение уравнений в целых числах
1. Решить в целых числах уравнения:
1) 2x – 3y = 0
2) 5x – 6y = 4
3) 6x – 9y = 0
5) 6x – 9y = 4
6) Решить в целых числах систему уравнений:
4) 6x – 9y = 3
2 x  3 y  z  2

3x  2 y  2 z  6
2.Для каждого целого z решите в целых числах уравнение 2x + 3y = 5z.
3.Сколькими различными способами можно расплатиться за
вкуснейшую девяностосемикопеечную жевательную резинку лишь
пятаками да копейками?
4. Решить в целых числах:
а) x 2  y 2  7
в) x 2  xy  x  y  1
б) x 2  xy  2
г) x 2  3xy  4 y 2  2  0
5. Пусть a, b, с – целые, неотрицательные числа такие, что
4a + b + 7c = 365. Найдите все значения, которые может принимать
сумма a + b + c.
6.Решить в целых числах уравнение a) x 2  y 2   1  16 y
2
б) 2 n  7  m 2
7. Дано уравнение в целых числах 1997x+2003y=Axy.
а) Решите уравнение при А=0.
б) Решите уравнение при А=1.
в) Решите уравнение ещё для каких-либо А0, А1.
8. Пусть М – натуральное
М(М+1)(М+2)(М+3) делится на 24.
число.
Доказать,
что
число
9. Пусть а1, а2, …, а7 – целые числа, а b1, b2, …, b7 – те же самые числа,
взятые
в
другом
порядке.
Доказать,
что
число
(а1-b1)(a2-b2) … (a7-b7) является четным.
10
Параметры
1. Найти все а, при каждом из которых общая часть (0, 2] и (a-1, a) является: а)
отрезком, б) интервалом, в) полуинтервалом, г) пустым множеством.
2. (1+a)x2+3ax-1=0. При каких а уравнение имеет единственное решение?
3. x2+2(a+1)x+а+5=0. При каких а уравнение имеет хотя бы один
положительный корень?
4. При каких а из неравенства 1<x≤2 следует неравенство x2-2ax+a<0?
Комбинаторика
1. Сколькими способами можно выбрать два слова (необязательно имеющих смысл в русском языке) из слов, полученных путем перестановок букв
слова «КАРТОТЕКА»?
2. Cколькими способами можно сформировать подарок из пяти предметов,
содержащий 2 блокнота и 3 ручки, если всего имеется 10 блокнотов и 5 ручек?
3. На трех параллельных прямых отмечено некоторое количество точек: на
первой – 10 точек, на второй – 5, а на третьей – всего одна. Множество А есть
множество пятерок точек (из числа отмеченных на трех данных прямых), которые являются вершинами некого пятиугольника (необязательно выпуклого).
Сколько элементов в множестве А?
Информатика
Для награждения победителей школьной олимпиады было закуплено
несколько одинаковых книг и несколько одинаковых калькуляторов. В отчете
написали, что за книги заплатили А рублей, за калькуляторы – С рублей. Книг
купили на Р штук больше, чем калькуляторов. Какое максимальное количество
книг могли закупить? И какое максимальное количество калькуляторов
включала такая покупка?
Примечание: цена книги и калькулятора выражалась целым числом
рублей.
а) Решить задачу для А=1056 рублей, С=56 рублей, Р=6. (Это значит, что
надо ответить на вопрос, можно ли такую покупку осуществить, и, если
ответ положительный, то указать количество купленных книг и
калькуляторов. При этом решение должно быть обоснованным.)
б) Решить задачу для А=16031 рублей, С=56 рублей, Р=11.
в) Написать программу (составить алгоритм), которая по произвольным
натуральным заданным А, С, Р выдает на экран результат решения задачи.
11
10 класс
1. Построить графики функций:
а) y = |2-|x-4||
б) y = (x+2)2 – 4
в) y = x2 – 9x + 3
г) y = |x-5|(5-x)
д) y = |x +6| - |2 – x| e) y = |x2 – 9| + 8 – x2
3
ж) y = | x4| 9
з) 9| x4|
и) 2 
4 x
2
x 9
72x
x3
к) y 
л) y  x3
м) yx
x2
x3
2. Пусть 0<a<b<c<d. Докажите, что уравнение x4 + bx + c = 0 и
уравнение x4 + ax + d = 0 не имеют общих корней.
3. Доказать, что если a2 + b2  2, то a + b  2.
4. Найти действительные решения уравнения:
(x-1)(x-3)(x+5)(x+7) = 297.
5. Найти действительные решения уравнения: (х+2)4 + х4=82.
6. Найти область определения и множество значений функций:
2
2

10
x

5
x


3
x

12
x

3
а) y 20
б) y
Теория чисел
Найти две последние цифры числа 131161
2. Докажите, что 119+219+419+519+719+819≡90
1.
Метод интервалов
2x5
1

2
1. x 6x7 x3
x2 5x6
0
4
2
2. x 2x 3
3.
x12
0
3x2x
x32x25
x6
0
3
2
4. x 4x x6
Информатика
1. Перевести введенное натуральное число N , записанное в двоичной
системе, в десятичную систему. Решить задачу для случаев:
а) N<10000,
б) N<109.
12
2. Имеется n различных натуральных чисел ai, 1 ≤ i ≤ n (n ≤ 12,
ai ≤ 10000). Добавить наименьшее возможное количество натуральных
чисел так, чтобы из заданных чисел вместе с добавленными можно
было составить возрастающую арифметическую прогрессию.
Напомним, что последовательность (набор) чисел называют
возрастающей арифметической прогрессией, если каждое последующее
число последовательности отличается от предыдущего на одно и то же
постоянное положительное число, называемое разностью.
Входные данные:
n – количество заданных натуральных чисел,
a1 a2 a3 … an - заданные числа.
Результат :
k – количество добавленных членов последовательности,
b1 b2 b3 … bn+k в – наименьшая последовательность чисел, являющаяся арифметической прогрессией, содержащей заданные числа.
Пример.
Результат
3
0
135
135
3. Однажды Незнайка решил поучиться радиоэлектронике. Он
походил на несколько занятий, и ему, как всегда, стало скучно. Тогда
он забрался в мастерскую к Самоделкину и утащил целый ящик
деталей.
У себя дома похититель разглядел и пересчитал содержимое ящика.
Там оказалось N штук деталей с двумя концами (Незнайка вспомнил,
что их на занятиях называли резисторами), P штук деталей с тремя
концами, называемых ученым Знайкой транзисторами, и еще всего-то
K штук деталей с четырьмя концами. Эти детали Незнайка не помнил,
как называли, но, подглядев в бумажку у того же Знайки, нашел слово
«тиристор». Обезумев от этого богатства, Незнайка решил, повозможности, собрать все детали в один огромный агрегат. Как бы то ни
было, но Незнайка помнил, что соединять можно только по два
свободных конца разных деталей. И нельзя также оставлять торчащие
(не соединенные с чем-то) концы. Больше ничего усвоить Незнайка не
успел, поэтому сразу приступил к работе. Как вы считаете, удастся ли
ему соединить таким образом все детали? Если нет, то какое
минимальное количество деталей останется?
1) Решить задачу для N = 5, Р = 1, К = 0 (То есть ответить на вопрос
задачи и привести пример схемы и рисунки не вошедших в нее деталей.
13
Если лишние детали все же остались, то необходимо доказать, что не
существует другого агрегата, содержащего большее число деталей.)
2) Решить задачу для N = 5, Р = 2, К = 0.
3) Решить задачу для N = 2, Р = 2, К = 1.
4) Написать программу, которая по введенным натуральным N , Р , К
выводит на экран число оставшихся деталей.
Теория вероятностей
1. Бросается 2 игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма
выпавших очков меньше: а) 13; б) 12; в) 6;
г) 2?
2. Трое стреляют в одну и ту же цель. Выписать все события, которые
при этом могут произойти.
3. В группе 21 студент (5 отличников, 10 хорошистов, 6 троечников).
На предстоящем экзамене отличники могут получить только «5»,
хорошисты – с равной вероятностью «4» и «5», троечники – с равной
вероятностью «2», «3» и «4». Для сдачи экзамена приглашаются наугад
3 студента. Найти вероятность того, что они получат оценки: «5», «4»,
«3» (в любом порядке).
Параметры
При каких а корни уравнения (a+1)x2-3ax+4a=0 принадлежат интервалу (2, 5)?
2.
При каких а система неравенств
x≥(y-x)2-3y+2x+a,
y≥(x+y)2-x-2y+a
имеет единственное решение?
1.
Геометрия
В треугольнике АВС известны радиусы вневписанных
окружностей: R1=4, R2=5, R3=20. Найдите r – радиус вписанной в
треугольник АВС окружности.
2.
Постройте с помощью циркуля и линейки треугольник
АВС, если известны медианы АМ, BN и высота СН. В каких
случаях задача имеет единственное решение?
1.
14
11 класс
1. Сравнить числа:
 1971
а) 1968
и 2 1970
б) sin(cos x) и cos(sin x)
2. В треугольнике центр вписанной и описанной окружностей
совпадают. Доказать, что треугольник равносторонний.
2
2
3. Покажите, что уравнение x x  y не имеет целочисленных
решений, кроме x=y=0.
x

x
x
10

3
10
4. Найти множество значений функции f
.
5. Сколько корней имеет уравнение х4–4х+1=0?
6. Составить уравнения окружностей, касающихся двух прямых
7x – 5y – 5 = 0 и x + y +13 = 0, причем одной из них в точке М(1, 2).
7. Периметр равнобочной трапеции, описанной около круга, равен P.
Найти радиус этого круга, если острый угол при основании равен .
8. Решить систему для всякого параметра а:

sin
xsin
ya2

sin
ycos
xa

9. Изобразить на плоскости множество точек, координаты которых
удовлетворяют неравенству |x – y| + |x – 1| < 1.
10. Найдется ли такое натуральное число n, что 5n-1 делится
на 31997?



sin
2
x

2
sin
4
x

3
cos
2
x

32
11. Решить неравенство 3
2
12. Составить уравнения касательных к кривой y = x – 4x + 3,
проходящих через точку М(2, –5). Сделать чертеж.
13. Даны координаты двух вершин треугольника А(2, –1), В(–3, 5) и
координаты точки пересечения медиан этого треугольника М(1, 1).
Найти координаты вершины С.

СЛАУ
Решить систему уравнений
6x1+4x2+5x3+2x4+3x5 = 1
3x1+2x2+4x3+x4+2x5 = 3
3x1+2x2–2x3+x4 = –7
9x1+6x2+x3+3x4+2x5 = 2
15
 
Последовательности
2n
монотонной?
n!
3n2
a

2. Является ли последовательность n
ограниченной?
2n2
3. Найти наибольшие и наименьшие члены последовательности
1) an =8n – n2 – 5;
2) an =2n + 32/n
1. Является ли последовательность an 
Теория вероятностей
1. Бросают 2 игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма
выпавших очков меньше: а) 13; б) 12; в) 6; г) 2?
2.Трое стреляют в одну и ту же цель. Выписать все события, которые
при этом могут произойти.
3. В группе 21 студент (5 отличников, 10 хорошистов, 6 троечников).
На предстоящем экзамене отличники могут получить только «5»,
хорошисты – с равной вероятностью «4» и «5», троечники – с равной
вероятностью «2», «3» и «4». Для сдачи экзамена приглашаются наугад
3 студента. Найти вероятность того, что они получат оценки: «5», «4»,
«3» (в любом порядке).
Пределы
Вычислить:
Информатика
1. «Расшифровка»
Компания по защите интеллектуальной собственности решила
повысить уровень защищенности своих операционных систем путем
шифрования всех сообщений, передаваемых внутри ее локальных сетей.
Любое допустимое в компании сообщение представляет собой строку S
= s1s2…sn, состоящую исключительно из букв латинского алфавита.
Шифрование сообщения осуществляется в K фаз. На каждой фазе
строка S заменяется строкой, в которой сначала располагаются все
буквы строки S, стоявшие на позициях с номерами, являющимися
простыми числами (первый блок), а затем – все остальные буквы
16
(второй блок). Напомним, что число называется простым, если оно –
натуральное и имеет ровно два различных натуральных делителя.
Относительный порядок букв в каждом из двух блоков остается
неизменным. Например, строка S = abcdefgh на первой фазе шифруется
в строку S = bcegadfh. Если осуществляется вторая фаза шифрования, то
строка примет вид S = ceafbgdh. После передачи зашифрованного
сообщения по сети оно должно быть дешифровано, чтобы получатель
смог прочитать исходную запись.
Требуется написать программу, осуществляющую дешифрование
пришедшей по сети строки.
Технические требования:
Ввод данных из текстового файла input.txt. Вывод данных в
текстовый файл output.txt.
Ограничение по времени тестирования: 1 секунда на один тест
Формат входных данных:
Первая строка содержит натуральное число K (K ≤ 100). Далее строка, которая содержит сообщение S после K фаз шифрования,
состоящая из n ( 1 ≤ n ≤ 250) букв латинского алфавита.
Формат выходных данных:
В файл вывести только одну дешифрованную строку S.
Пример:
Входной файл
Выходной файл
2
ABCDEFGH
CEAFBGDH
1
ABACABA
BAAAACB
2. «Орнамент».
Фирма Motor готовится к выпуску очередной партии джинсов. На
них будет вышиты специальные самоподобные орнаменты. Для
ускорения процесса разработки фирма обращается к участникам
олимпиады с заказом: помочь вычислить размеры орнаментов и их
длину.
Орнамент строится следующим образом.
Дизайнеры разрабатывают шаблон, который представляет собой
ломаную на плоскости с концами A(0, 0) и B(1, 0), со сторонами,
параллельными осям координат.
Затем берется единичный квадрат с вершинами (0,0), (1,0), (1,1),
(1,0).
17
Шаг 1
Накладываем шаблон на нижний отрезок, совмещая начала и концы с
учетом направлений. Затем каждый отрезок квадрата заменяем
шаблоном, повернутым против часовой стрелки так, чтобы концы
шаблона совпали с концами отрезка.
Шаг 2
Сдвигаем
шаблон
вдоль
всей
границы
получившегося
многоугольника. При этом каждый отрезок границы заменяем на
шаблон размера соответствующего данному отрезку.
Задания
1. Требуется для шаблона, приведенного в примере и для заданного
количества шагов n
A) нарисовать получающийся орнамент-многоугольник;
B) найти его длину, то есть периметр многоугольника;
C) найти его ширину, то есть максимум разности абсцисс точек
многоугольника.
2. Пусть шаблон – это ломаная с вершинами:
(0, 0), (0.35, 0), (0.35, -0.25), (0.65, -0.25), (0.65, 0), (1, 0).
А) Найдите длину и ширину орнамента, если число шагов n=3.
Б) Выведите формулу длины и ширины орнамента с этим шаблоном
для произвольного натурального n.
3. Напишите программу, которая для заданного числа шагов n, числа
вершин в шаблоне m и последовательности координат (xi,yi) вершин
шаблона (1≤i≤m) выводит на экран длину и ширину соответствующего
орнамента-многоугольника. Точность ответа должна быть не меньше
двух знаков после запятой. Если Ваша программа еще и выводит
18
рисунок орнамента, то жюри это непременно учтет.
Примечание. Можно считать, что любой орнамент – ломаная без
самопересечений.
Комбинаторика
1. Сколько диагоналей имеет выпуклый 8-угольник?
2. Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных
книг. Сколькими способами это можно сделать?
3. Имеется 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами можно
выбрать 7 шаров, чтобы среди них было ровно 3 черных?
Параметры
1. Расположите в порядке возрастания числа 1, 4 и корни уравнения
x2-2ax+2a2-4a+3=3.
2. При каких целых отрицательных n функция f(x)=cos(7nx) sin(25x/n2)
является периодической с периодом T=7π?
19