2 тур - задачиx

Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?»
Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска
II Ижевский командный турнир математиков
2 тур, 30 января 2010 г., 6 класс, лига А
1. . Король решил проверить, кто из его мудрецов умнее и сообщил им, что сейчас он
загадает три натуральных числа (не обязательно различных), после мудрецу М сообщит их сумму, а мудрецу П – их произведение, а их задача – угадать эти числа.
Так и сделали. Мудрец М произнес: «Если бы я точно знал, что твое число больше
моего, я бы сразу же назвал три загаданных числа». И тут мудрец П заметил: «а мое
число меньше твоего», после чего назвал королю три загаданных числа. Какие?
2. Кресла на трибуне стадиона расставлены в виде прямоугольной решетки. В каждом вертикальном ряду сидит 6 юношей, а в каждом горизонтальном – 8 девушек. 33
кресла свободны. Сколько на трибуне вертикальных и горизонтальных рядов, если
всего мест на трибуне не больше 500?
3. A — натуральное число. После того как его разделили с остатком на все числа,
меньшие его, и сложили остатки, получилось A. Чему равно A?
4. Каждый ученик класса занимается в двух кружках, и для каждых трех учеников
есть кружок, в который они ходят вместе. Докажите, что имеется кружок, в котором
занимаются все ученики.
5. Палиндромическим разбиением натурального числа N называется запись этого
числа в виде суммы натуральных слагаемых N = a+b+c+…+c+b+a, например, 16=16,
16=2+12+2 и 16=7+1+1+7 —палиндромические разбиения числа 16. Докажите, что
у числа 20 количество палиндромических разбиений больше 1000.
6. Назовите два числа, записываемые с помощью одной цифры и обладающие следующими свойством: сумма чисел равна их произведению.
Числа состоят из не менее чем двух цифр. Например (если бы это
было верно), 22+222=22·222.
7. Каждую сторону куба разбили пополам. Точки деления ( в том
числе и вершины куба) соединили отрезками, и на каждом отрезке
отметили красным цветом его середину. Сколько разных красных точек получилось?
8. Имеется 9 монет, 8 из них — настоящие, которые весят одинаково и одна фальшивая, более легкая. Есть также двое чашечных весов, одни из которых точные, а другие — грубые. Грубые весы всегда показывают равновесие, если на их чашки положено по равному числу монет. Вначале неизвестно, какие именно весы точные. Как
за три взвешивания найти фальшивую монету?
9. В наборе гирек, где гирек больше 10, любые пять гирек тяжелее любых четырех.
Верно ли, что любые четыре тяжелее любых трех?
10. Петя и Вася по очереди по очереди расставляют различные
числа в таблице 4×4(число можно ставить в любую клетку). Когда все клетки заполнены, в каждой строке подчеркивают
наибольшее число. Петя хочет, чтобы подчеркнутые числа стояли в разных столбцах, а Вася старается ему помешать. Кто сможет добиться своей цели, если начинает Вася?
Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?»
Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска
II Ижевский командный турнир математиков
2 тур, 30 января 2010 г., 6 класс, лига Б
1. Можно ли расставить по кругу 7 целых неотрицательных чисел так, чтобы сумма
каких-то трех расположенных подряд чисел была равна 1, каких-то трех подряд расположенных — 2, …, каких-то трех подряд расположенных — 7?
2. Король решил проверить, кто из его мудрецов умнее и сообщил
им, что сейчас он загадает три натуральных числа (не обязательно различных), после мудрецу М сообщит их сумму, а мудрецу П –
их произведение, а их задача – угадать эти числа. Так и сделали.
Мудрец М произнес: «Если бы я точно знал, что твое число больше моего, я бы сразу же назвал три загаданных числа». И тут
мудрец П заметил: «а мое число меньше твоего», после чего
назвал королю три загаданных числа. Какие?
3. A — натуральное число. После того как его разделили с остатком на все числа, меньшие его, и сложили остатки, получилось A. Чему равно A?
4. Оказалось, что в классе каждый имеет не больше двух врагов. Докажите, что учитель может разбить класс на три команды так, чтобы в каждой команде не было врагов.
5. Вася написал олимпиаду, состоящую из 5 задач, каждая из которых оценивалась
максимум 10 баллами. При этом за 1 и 2 задачи он получил в сумме столько же баллов, сколько в сумме за 4 и 5 задачи и больше, чем в сумме за 2, 3 и 4 задачи. Какое
максимальное количество баллов мог набрать Вася?
6. Владелец антикварного магазина один прекрасный
день выставил на прилавок целый набор стародавних
механических игрушек: самосвалов, экскаваторов и
тракторов. Все игрушки делились на два набора. Первый состоял из одного трактора, трёх экскаваторов и семи самосвалов и стоил 140$. Второй
состоял из одного трактора, четырёх экскаваторов и десяти самосвалов,
его цена 170$. Хватит ли покупателю 100$, если он захочет купить трактор и экскаватор?
7. Можно ли разрезать прямоугольник 5×8 на фигурки вида и прямоугольники 1×3 таким образом, чтобы были фигуры обоих видов?
8. Можно ли расположить шесть точек на плоскости так, чтобы любые три из них являлись вершинами равнобедренного треугольника?
9. В наборе 10 гирек, при этом любые три гири тяжелее любых двух. Верно ли, что
любые две тяжелее любой гири?
10. Петя и Вася по очереди по очереди расставляют различные числа в таблице
4×4(число можно ставить в любую клетку). Когда все клетки заполнены, в каждой
строке подчеркивают наибольшее число. Петя хочет, чтобы подчеркнутые числа стояли в разных столбцах, а Вася старается ему помешать. Кто сможет добиться своей
цели, если начинает Петя?
Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?»
Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска
II Ижевский командный турнир математиков
2 тур, 30 января 2010 г., 7 класс, лига А
1. Сумма 100 целых чисел равна нулю. Докажите, что из них можно по крайней мере
99 способами выбрать два числа, сумма которых положительна.
2. Кресла на трибуне стадиона расставлены в виде прямоугольной
решетки. В каждом вертикальном ряду сидит 6 юношей, а в каждом
горизонтальном – 8 девушек. 33 кресла свободны. Сколько на трибуне вертикальных и горизонтальных рядов, если всего мест на трибуне не больше 500?
3. Каждый ученик класса занимается в двух кружках, и для каждых трех учеников
есть кружок, в который они ходят вместе. Докажите, что имеется кружок, в котором
занимаются все ученики.
4. Палиндромическим разбиением натурального числа N называется запись этого
числа в виде суммы натуральных слагаемых N = a+b+c+…+c+b+a, например, 16=16,
16=2+12+2 и 16=7+1+1+7 —палиндромические разбиения числа 16. Докажите, что
у числа 20 количество палиндромических разбиений больше 1000.
5. Имеется 9 монет, 8 из них — настоящие, которые
весят одинаково и одна фальшивая, более легкая. Есть
также двое чашечных весов, одни из которых точные,
а другие — грубые. Грубые весы всегда показывают
равновесие, если на их чашки положено по равному
числу монет. Вначале неизвестно, какие именно весы
точные. Как за три взвешивания найти фальшивую
монету?
6. Найдите, чему равно значение выражения
1
1+
+
1
1
2+
1
3+
1
4+⋯.+
2010
1
2+
.
1
1
3+
1
4+⋯.+
2010
7. На доске написано несколько вещественных чисел, сумма которых равна 2010.
Все отрицательные числа стерли. Докажите, что сумма оставшихся чисел равна полусумме модулей первоначальных чисел, увеличенной на 1005.
8. В какое наименьшее количество цветов можно покрасить все натуральные числа
так, чтобы любые два натуральных числа, отличающиеся в 4 или 8 раз, были покрашены в разные цвета?
9. Рассмотрим точки числовой прямой 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... Найдите наименьшее возможное значение l, при котором пятью отрезками длины l можно покрыть все эти
точки.
10. В треугольнике ABC точки D и E – середины сторон AB и AC соответственно. Сторона BC равна трети периметра. Докажите, что биссектрисы углов BDE и CED пересекаются на стороне BC.
Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?»
Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска
II Ижевский командный турнир математиков
2 тур, 30 января 2010 г., 7 класс, лига Б
1. Можно ли расставить по кругу 1000 целых неотрицательных чисел так, чтобы среди сумм каких-то трех расположенных подряд чисел были все числа от 1 до 1000?
2. Король решил проверить, кто из его мудрецов умнее и сообщил им, что сейчас он загадает три натуральных числа (не обязательно различных), после
мудрецу М сообщит их сумму, а мудрецу П – их произведение, а их задача – угадать эти числа. Так и сделали. Мудрец М произнес: «Если бы я точно знал, что
твое число больше моего, я бы сразу же назвал три
загаданных числа». И тут мудрец П заметил: «а мое
число меньше твоего», после чего назвал королю три
загаданных числа. Какие?
3. Решите уравнение: 1-(2-(3-(...2008-(2009-(2010-x))...))) = 1000.
4. Назовите два числа, записываемые с помощью одной цифры и обладающие следующими свойством: сумма чисел равна их произведению. Числа состоят из не менее
чем двух цифр. Например (если бы это было верно), 22+222=22·222.
5. Вася написал олимпиаду, состоящую из 5 задач, каждая из которых оценивалась
максимум 10 баллами. При этом за 1 и 2 задачи он получил в сумме столько же баллов, сколько в сумме за 4 и 5 задачи и больше, чем в сумме за 2, 3 и 4 задачи. Какое максимальное количество баллов мог набрать Вася за эту олимпиаду?
6. Из чисел от 1 до 9998 выкинули два с суммой 9999. Докажите, что оставшиеся
числа можно разбить на 2 группы с равными суммами.
7. На доске написано несколько вещественных чисел, сумма которых равна 2010.
Все отрицательные числа стерли. Докажите, что сумма оставшихся чисел равна полусумме модулей первоначальных чисел, увеличенной на 1005.
8.
Можно ли расположить шесть точек на плоскости так, чтобы любые
три из них являлись вершинами равнобедренного треугольника?
9. В наборе из 33 гирек любые пять гирек тяжелее любых четырех. Верно ли, что любые четыре тяжелее любых трех?
10. В треугольнике ABC точки D и E – середины сторон AB и AC соответственно. Сторона BC
равна трети периметра. Докажите, что биссектрисы углов BDE и
CED пересекаются на стороне BC.