Муниципальный этап ВсОШ по математике 2013-2014 учебный год

Муниципальный этап ВсОШ по математике 2013-2014 учебный год
Всероссийская олимпиада школьников по математике 2013-14 г.
Хабаровский край
Муниципальный этап
8 класс
8.1. Рассматриваются последовательности из тринадцати идущих подряд натуральных
чисел, таких, что сумма чисел последовательности делится на 17. С какого наименьшего
натурального числа может начинаться такая последовательность?
Решение: Обозначим среднее (седьмое) число последовательности буквой А. Тогда
интересующая нас последовательность имеет вид: А-6, А-5, …, А, …, А+5, А+6. Сумма
этих чисел равна 13А. Для того, чтобы эта сумма делилась на 17, нужно, чтобы А
делилось на 17. Самое маленькое подходящее А=17. Самое маленькое первое число в
нужной последовательности равно 17 - 6=11.
Ответ: 11.
Рекомендации по оцениванию:
1. Любое обоснованное решение, приводящее к верному ответу – 7 баллов,
2. Правильный ответ без обоснования, что это наименьшее из возможных чисел – 4
балла (перебор является обоснованием!),
3. Только ответ без обоснования и без проверки, что он подходит – 0 баллов.
8.2. Сколько квадратов изображено на рисунке?
Решение: На рисунке изображены квадраты размером от 1х1 до 4х4. Каждый квадрат
однозначно определяется своей левой нижней вершиной и длиной стороны. Квадратов со
стороной 1 – 4х4=16, квадратов со стороной 2 – 3х3=9, квадратов со стороной 3 – 2х2=4,
квадрат со стороной 4х4 – один. Всего 16+9+4+1=30.
Замечание: задачу можно решить простым перебором.
Рекомендации по оцениванию:
1.
Любое обоснованное решение, приводящее к верному ответу – 7 баллов,
2.
Правильный ответ без указания, что есть несколько видов квадратов – 4 балла,
8.3. В классе больше 20, но меньше 30 учеников. При этом в классе тех, кто ходит в
шахматный кружок, в 2 раза меньше, чем тех, кто не ходит. А тех, кто ходит в
шашечный кружок, в 3 раза меньше, чем тех, кто не ходит. Сколько учеников в классе?
Решение. Пусть в шахматный кружок ходит x ребят, тогда в него не ходит 2x ребят. Итак,
всего в классе 3x ребят, и количество учеников в классе делится на 3. Аналогично, пусть в
шашечный кружок ходит y ребят, тогда в него не ходит 3y ребят. Итак, всего в классе 4y
ребят, и количество учеников в классе делится на 4. Число учеников в классе делится и на
Муниципальный этап ВсОШ по математике 2013-2014 учебный год
3, и на 4, то есть оно делится на 12. Единственное подходящее число, большее 20 и
меньшее 30, — это 24.
Ответ. 24.
Рекомендации по оцениванию:
1. Обоснованно найден правильный ответ – 7 баллов,
2. Задача не решена, но найдено, что число учеников кратно только 3 или только 4 – 3
балла,
3. Правильный ответ с проверкой, что выполнено условие задачи (покажем, что подойдет
число 24: 8 ходят на шахматы, а 16 не ходят, 6 ходят на шашки, а 18 не ходят) – 6 баллов,
4. Только ответ без проверки – 0 баллов.
8.4. Дан равносторонний треугольник ABC. Сторона BC разделена на три равные части
точками K и L, а точка M делит сторону AC в отношении 1:2, считая от вершины A.
Докажите, что сумма углов AKM и ALM равна 300
Решение: Пусть точка L расположена ближе к вершине C, чем точка K. Тогда MK ‖ AB.
Поэтому треугольник KMC — равносторонний. Его медиана ML является биссектрисой.
Значит, ∠CML=30. Кроме того, ∠AKM=∠BAK. Из равенства треугольников ACL и
ABK следует, что ∠CAL=∠BAK=∠AKM. Тогда из теоремы о внешнем угле
треугольника следует, что AKM+∠ALM=∠CAL+∠ALM=∠CML=30.
Рекомендации по оцениванию:
1. Обоснованное решение – 7 баллов,
2. Доказано, что KMC — равносторонний – 3 балла.
8.5. На городской олимпиаде по математике каждому участнику присваивается шифр —
произвольное число, оканчивающееся номером класса, в котором он учится. В олимпиаде
среди 6 и 7 классов приняли участие 75 детей, и оказалось, что сумма шифров
шестиклассников равна сумме шифров семиклассников. На следующий год в олимпиаде
среди 7 и 8 классов приняли участие эти же 75 ребят. Могли ли суммы шифров этих
теперь уже семи и восьмиклассников опять оказаться равными? Обоснуйте свой ответ.
(Шифры следующего года не связаны с шифрами предыдущего.)
Решение. Предположим, что такое могло случиться. Сумма шифров шестиклассников —
это сумма чисел, оканчивающихся на 6, то есть четных чисел. Поэтому она четна. Тогда и
сумма шифров семиклассников в первый год — четное число. Но это сумма нечетных
чисел (оканчивающихся на 7), поэтому она могла быть четной, только если количество
слагаемых четно. Значит, в первый год количество семиклассников четно, следовательно,
на второй год количество восьмиклассников четно, а количество семиклассников нечетно
(их общее количество 75 —нечетное число). Но тогда на второй год сумма шифров
семиклассников — нечетное число (сумма нечетного числа нечетных слагаемых), а сумма
Муниципальный этап ВсОШ по математике 2013-2014 учебный год
шифров восьмиклассников — четное число, как сумма четных чисел (оканчивающихся на
8). Значит, эти суммы не могли быть равны. Противоречие.
Ответ. Не могли.
Рекомендации по оцениванию:
1. Обоснованное решение – 7 баллов,
2. Доказано, что шестиклассников нечетное количество (или семиклассников четное) — 3
балла.
3. Верный ответ без обоснования — 0 баллов.