Спецкурс ДГП - Высшая школа экономики

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Спецкурс «Дискретные группы преобразований» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и
010100.68 «Математика» подготовки магистра
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет Математики
Программа дисциплины Спецкурс «Дискретные группы преобразований»
для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Автор программы Шварцман Осип Владимирович, д ф-м н, профессор, [email protected]
Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2013 г.
Председатель С.М. Хорошкин
Утверждена УС факультета математики
Ученый секретарь Ю.М. Бурман
«___»_____________2013 г.
Москва, 2013
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Спецкурс «Дискретные группы преобразований» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и
010100.68 «Математика» подготовки магистра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления
010100.68 «Математика» подготовки магистра.
Программа разработана в соответствии с:
 ОС НИУ ВШЭ;
 Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62 «Математика»
подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика» подготовки
магистра, специализации Математика, утвержденными в 2013 г.
2
Цели освоения дисциплины
Цели освоения.
1. Знакомство с понятием дискретной подгруппы топологической группы
2.Научиться основным приемам работы с дискретными группами преобразований
3. Знакомство с основными фактами 2- и 3-кристаллографии в пространствах постоянной
кривизны
3
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать определения дискретной подгруппы топологической группы, дискретной группы
преобразований, фундаментальной области, однородного разбиения пространства,
области Вороного-Дирихле.
 уметь пользоваться теоремой Бибербаха и теоремой Пуанкаре
 Иметь навыки (приобрести опыт) исследования дискретных подгрупп топологических
групп и дискретных групп преобразований.
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Компетенция
умение
формулировать
результат
Код по
ФГОС/
НИУ
ПК-3
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Правильно воспроизводит чужие
результаты
Правильно формулирует
собственные результаты
Формы и методы обучения,
способствующие
формированию и развитию
компетенции
Компетенция формируется в
любом сегменте учебного
процесса
Формируется в процессе
сдачи решений задач.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Спецкурс «Дискретные группы преобразований» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и
010100.68 «Математика» подготовки магистра
Компетенция
Код по
ФГОС/
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
умение строго доказать
утверждение
ПК-4
Воспроизводит доказательства
стандартных результатов,
услышанных на лекциях
Оценивает строгость и
корректность любых текстов по
дискретным группам
преобразований
умение грамотно
пользоваться языком
предметной области
ПК-7
Владеет профессиональной
лексикой в области теории
дискретных групп преобразований
понимание корректности
постановок задач
выделение главных
смысловых аспектов в
доказательствах
4
ПК-10
ПК-16
Понимает постановки главных
задач дискретных топологических
подгрупп и дискретных групп
преобразований
Адекватно оценивает корректность
использования тех или иных
математических гипотез
Может сначала изложить план
доказательства теоремы, а затем
изложить любую его часть в
деталях.
Понимает методы и конструкции,
использованные в доказательстве.
Формы и методы обучения,
способствующие
формированию и развитию
компетенции
Изучение базового курса
За счет повышения общефизической и
математической культуры в
процессе обучения
Продумывание и повторение
услышанного на семинарах
и лекциях. Беседы с
преподавателями во время
консультаций.
Продумывание базовых
понятий курса
Вырабатывается в процессе
решения задач,
самостоятельного чтения.
Продумывание ключевых
моментов лекций.
Вырабатывается путем
рассказа преподавателю
доказательств и ответов на
его вопросы.
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу специальных дисциплин и блоку дисциплин по
выбору. Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах: Геометрия, Анализ,
Алгебра.
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении
следующих дисциплин: Топология, Комплексный анализ.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Спецкурс «Дискретные группы преобразований» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и
010100.68 «Математика» подготовки магистра
5
Тематический план учебной дисциплины
Лекции
Семинары
Практические
занятия
1 семестр
Дискретные группы преобразований
метрических пространств
Фундаментальные области дискретных
групп преобразований
Основы комбинаторной теории
дискретных групп преобразований
90
14
32
6
58
8
14
4
10
14
6
8
4
Плоские кристаллографические группы
12
4
8
5
6
Решетки
Теоремы Бибербаха на евклидовой
плоскости и в евклидовом пространстве
12
24
4
8
8
16
2 семестр
Склейки и дискретные группы
Основы алгебраической теории фуксовых
групп
Основы геометрической теории фуксовых
групп
Подгруппы модулярной группы
Арифметика фуксовых групп
Итого:
90
18
18
40
8
8
50
10
10
18
8
10
22
14
180
12
4
72
10
10
108
1
2
3
1
2
3
4
5
6
Формы контроля знаний студентов
Тип
контроля
Текущий
(неделя)
Итоговый
Форма
контроля
Контрольная
работа
Зачет
Экзамен
1
*
1 год
2 3
*
4
v
v
1
2 год
2 3
Параметры **
4
письменная работа,
80 мин.
письменная работа,
240 мин
письменная работа,
240 мин
2 контрольные работы
Критерии оценки знаний, навыков
На зачете и экзамене студент должен продемонстрировать хорошее умение применять
знания, полученные в курсе, к несложным
конкретным задачам, которые относятся как
непосредственно к теории Тейхмюллера, так
и связанных с ней разделами анализа,
гиперболической геометрии и двумерной топологии.
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
6.1
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Спецкурс «Дискретные группы преобразований» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и
010100.68 «Математика» подготовки магистра
Содержание дисциплины
7
1. Раздел 1 Дискретные группы преобразований метрических пространств
№
Тема
1.
Эквивалентность различных определений дискретности
[1],
Дискретные подгруппы групп Ли и дискретные группы
преобразований однородных пространств [1]
Итого:
2.
Самостоя
тельная
работа
Всего
часов
Лекции
6
2
4
8
4
4
14
6
3
8
Всего
часов
Лекци
и
семинары
Самостоят
ельная
работа
7
2
5
7
2
5
14
4
семинары
Раздел 2 Фундаментальные области дискретных групп преобразований
№
Тема
3.
Фундаментальные области Вороного-Дирихле [2]
4.
Фундаментальные политопы Вороного-Дирихле для 2- и
3-евклидовых решеток [3]
Итого:
3
10
Раздел 3 Основы комбинаторной теории дискретных групп преобразований
№
Тема
5.
Образующие и соотношения .Свободные группы и
свободные произведения[1]
Пинг-понг лемма и ее применения [1,3]
6.
Итого:
семина
ры
Самост
оятель
ная
работа
Всего
часов
Лекци
и
8
4
4
6
2
4
14
6
3
8
Раздел 4 Плоские кристаллографические группы
№
7.
Тема
. Теорема Бибербаха на плоскости [1]
8.
Узоры Мориса Эшера [3]
Итого:
семина
ры
Самостоятельная
работа
Всего
часов
Лекци
и
6
2
4
6
2
4
12
4
8
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Спецкурс «Дискретные группы преобразований» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и
010100.68 «Математика» подготовки магистра
Раздел 5 Решетки
№
9.
10.
Тема
Пространство решеток как факторпространство
специальной линейной группы. Топология Шаботи.[1]
Классификация плоских решеток.[1]
Итого:
семина
ры
Самостоятельная
работа
Всего
часов
Лекци
и
6
2
4
6
2
4
12
4
8
Раздел 6. Теоремы Бибербаха на евклидовой плоскости и в евклидовом пространстве
№
11.
12.
13.
Тема
Доказательство теорем Бибербаха на евклидовой
плоскости
.[3]
Доказательство теорем Бибербаха в евклидовом
пространстве [3]
Плоские римановы многообразия и теоремы Бибербаха
[3].
Итого:
Самостоятельная
работа
Всего
часов
Лекци
и
6
2
4
12
4
8
6
2
4
24
8
16
семинары
Раздел 7. Склейки и дискретные группы
№
Тема
14.
Склейки.Когда склейка метрического пространства
приводит к метрическому пространству? [1,3,]
Теорема Пуанкаре .Плитки Пуанкаре.
[1,3]
Группы Кокстера на сфере, евклидовой плоскости.
[1,3].
15.
16.
Итого:
семина
ры
Самост
оятель
ная
работа
Всего
часов
Лекци
и
4
2
2
10
4
6
4
2
2
18
8
10
Всего
часов
Лекци
и
4
2
2
10
4
6
4
2
2
Раздел 8. Основы алгебраической теории фуксовых групп
№
Тема
17.
Кокомпактные фуксовы группы состоят из
гиперболических движений .Элементарные фуксовы
группы. [3]
Лемма Сельберга для фуксовых групп.
Конгруэнц-подгруппы модулярной группы [3]
Конгруэнц-проблема и ее отрицательное решение для
модулярной группы [3].
18.
19.
семина
ры
Самост
оятель
ная
работа
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Спецкурс «Дискретные группы преобразований» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и
010100.68 «Математика» подготовки магистра
Итого:
10
18
8
Всего
часов
Лекци
и
4
2
2
10
4
6
4
2
2
18
8
10
Всего
часов
Лекци
и
7
4
3
8
4
4
Раздел 9. Основы геометрической теории фуксовых групп
№
Тема
20.
Группы Кокстера на плоскости Лобачевского
[1].
Канонический
фундаментальный
4gугольник
кокомпактной фуксовой группы без кручения [1,3]
Фуксовы группы конечного кообъема. Каспы.[1,2].
21.
22.
Итого:
семина
ры
Самост
оятель
ная
работа
Раздел 10 Подгруппы модулярной группы
Самост
оятель
ная
работа
№
Тема
23.
Геометрия подгрупп модулярной группы [1,]
24.
Алгебра подгрупп модулярной группы [1,3]
25.
Свободные подгруппы конечного индекса в модулярной
группе [1,].
7
4
3
Итого:
22
8
10
Всего
часов
Лекци
и
7
2
5
7
2
5
14»
4
10
семина
ры
Раздел 11 Арифметика фуксовых групп
№
Тема
26.
Группы единиц кватернионных алгебр [2]
27.
Конструкции арифметических фуксовых групп
.[2]
Итого:
7.1
Тематика заданий текущего контроля
Образец контрольной работы
семина
ры
Самост
оятель
ная
работа
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Спецкурс «Дискретные группы преобразований» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и
010100.68 «Математика» подготовки магистра
1.Может ли коммутатор двух параболических движений гиперболической плоскости быть
эллиптическим движением?
2.Найти индекс коммутанта модулярной группы.
3.Является ли коммутант модулярной группы свободной подгруппой?
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену) по всему курсу или к каждому
промежуточному и итоговому контролю для самопроверки студентов.
1.Что такое дискретная группа преобразований?
2. Что такое кокомпактная дискретная группа преобразований?
3. Существует ли на евклидовой плоскости не кокомпактная дискретная группа движений
конечного объема?
4. Что такое плитка?
5. Верно ли, что любые две подгруппы конечного индекса в модулярной группе [1,5]
соизмеримы?
6. Как вычислить объем треугольной группы Кокстера?
7. Тот же вопрос для конгруэнц-подгруппы модулярной группы.
7.2
Примеры заданий итогового контроля
Образец задания письменного экзамена
1. Приведите пример выпуклого многоугольника, который служит фундаментальной областью
для двух различных дискретных компактных групп движений евклидовой плоскости (не
забудьте все объяснить!).
2. Может ли выпуклый 8-угольник служить фундаментальной областью для группы
параллельных переносов евклидовой плоскости на векторы решетки $L$ ранга 2? (Если ответ "да",
то приведите пример, если "нет", то приведите доказательство.
3 Привести пример двух несоизмеримых треугольных гиперболических групп Кокстера?
4.Может ли фундаментальная группа замкнутой поверхности содержать свободную подгруппу
конечного индекса?
7.3
Основная литература
[1] Бердон А. Геометрия дискретных групп. Москва: Наука,1986.
[2] Каток С.Б.. Фуксовы группы. МЦМНО, 2005
7.4
Дополнительная литература
[3] Зайцев З.З. Введение в теорию дискретных групп преобразований, Иркутск,1977