Олимпиада школьников «Будущее Сибири» — 2012 I этап Физика 8 класс, вариант 1 1. Два бегуна, стартуя одновременно, бегут с постоянными скоростями. У первого бегуна после прохождения им 2/3 пути развязались шнурки на кроссовках. Оставаясь неподвижным, он их завязывал 6 с. А затем побежал с прежней скоростью и финишировал одновременно со вторым бегуном. Через какое время после остановки первого бегуна, второй догнал его? Решение. Пусть v1 — скорость первого бегуна, v2 — скорость второго бегуна. Искомое время после остановки первого бегуна, когда второй бегун догнал его равно: t 2 S 2S 3 v2 3 v1 (1) (4 б.) Так как бегуны пришли к финишу одновременно, но при этом первый бегун затратил на бег на 6 с меньше второго, то можно написать: S S 6 v1 v2 (2) (4 б.) Из равенств (1) и (2) найдём: 2 S S t= 6 4 c . 3 v v 2 2 Ответ: 4 с. (2 б.) 2. Отец решил покачаться на качелях с двумя сыm2 новьями. Старшего сына он посадил напротив се- m1 бя, на одинаковом расстоянии L от центра качелей. На каком расстоянии от центра качелей необходиL L мо посадить младшего сына, чтобы качели находились в равновесии, если известно, что массы отца, старшего и младшего сыновей равны соответственно m1 = 70, m2 = 50 и m3 = 40 кг? Решение. Чтобы качели находились в равновесии, необходимо, чтобы момент сил, действующих на качели, был равен нулю: 1 m1 gL m2 gL m3 gx 0 , (4 б.) где x — искомое расстояние. Выразим отсюда x: x m1 m2 L m3 (4 б.) Подставив численные значения для масс, получим: Ответ: x 1 L. 2 (2 б.) 3. В стакан, в котором было налито 100 г воды при температуре 20°С, бросили кусочек металла массой 200 г, который был предварительно нагрет до температуры 30°С. Определите, какой из металлов (см. таблицу) бросили в стакан, если известно, что установившаяся в стакане температура равна 21,5°С. Теплоёмкость воды 4,2 кДж/(К.кг). Металл Свинец Олово Медь Теплоёмкость, кДж/(К.кг) 0,13 0,23 0,38 Решение. Запишем условие теплового баланса: cВmB T T0B cM mM T T0M 0 (4 б.) Выразим отсюда cM : cM mB T T0B кДж cВ 0,37 mM T0M T К кг (4 б.) По таблице видно, что найденная теплоёмкость соответствует меди. Ответ: медь. 4 Пробковый шарик объёмом V удерживается нитью у дна цилиндрического стакана с водой. Затем нить перерезают, и шарик всплывает. Площадь стакана равна S. Плотность воды равна ρ0. Определите плотность материала шарика, если известно, что после всплывания уровень воды в стакане уменьшился на h. (2 б.) g h S Решение. Пусть H — уровень воды в стакане до того, как нить разрезали. Тогда объём воды в стакане равен: 2 Vв HS V (1) (2 б.) (2) (2 б.) Так как объём воды после разрезания нити не изменился, то: Vв S ( H h) Vпогр , где Vпогр — объём погруженной части шарика. Сравнивая (1) и (2), найдём: Vпогр V Sh (3) (2 б.) Шарик находится в равновесии, поэтому сила тяжести уравновешивается выталкивающей силой Архимеда: Vg 0Vпогр g (4) (2 б.) Из равенств (3) и (4) находим: Ответ: 1 Sh 0 . V (2 б.) 3 Олимпиада школьников «Будущее Сибири» — 2012 I этап Физика 9 класс, вариант 1 1. В стакан, в который было налито 200 г воды при температуре 20°С, бросили кусочек свинца массой 100 г, предварительно нагретый до температуры 100°С. Определите, какая температура установится в стакане. Теплоёмкость воды 4,2 кДж/(К .кг), а теплоёмкость свинца 0,13 кДж/(К.кг). Решение. Запишем уравнение теплового баланса: cВmB T T0B cCmC T T0C 0 (4 б.) Выразим отсюда установившуюся температуру T : T cBmBT0B cC mCT0C cBmB cC mC (4 б.) Подставив численные значения, получим: Ответ: T cBmBT0B cC mCT0C 21,2С . cBmB cC mC (2 б.) 2. Четыре одинаковых проводника соединены так, как показано на верхнем рисунке. Затем к имеющимся проводникам добавляют ещё один такой же проводник так, как показано на рисунке. Определить отношение сопротивлений между концами цепей до и после добавления перемычки. Решение. Пусть сопротивление одного проводника равно r, тогда сопротивление между концами цепи до добавления перемычки равно сопротивлению четырёх последовательно соединённых сопротивлений r: R1 4r (1) (4 б.) Сопротивление между концами цепи после добавления перемычки равно сопротивлению последовательно соединённых двух сопротивлений r и сопротивления, равного сопротивлению параллельно соединённых сопротивлений r и 2r: R2 2r 2r r 8 r 2r r 3 (2) (4 б.) 4 Разделив (1) на (2) получим искомое отношение: Ответ: R1 3 . R2 2 (2 б.) 3. Капли воды начали падать с крыши высотой h с малым интервалом времени τ. Определить расстояние между второй и третьей каплей, когда первая коснулась земли. Ускорение свободного падения равно g. Сопротивлением воздуха пренебречь. Решение. Время, за которое первая капля упадёт на землю равно: t0 2h g (2 б.) Вторая капля начинает падать спустя время τ после начала падения первой капли. Высота, на которой будет находиться вторая капля в момент времени t0 : y2 h g 2 t0 2 (3 б.) Аналогичные рассуждения для третьей капли дают: y3 h g 2 t0 2 2 (3 б.) Тогда расстояние между второй и третьей каплей равно: h Ответ: h g g g 2h 2 2 3 t0 t0 2 2 2 2 2 g g 2h 2 3 . 2 g (2 б.) g 4. После того как пролет моста длиной L обруα шился, по берегам реки остались две эстакады с длиной дорожного полотна L1, наклоненного под L L1 углом к горизонту. В момент, когда автомобиль L1 подъехал к началу этого моста у него отказал двигатель. Какова должна быть минимальная скорость автомобиля, чтобы он смог перелететь через разрушенный пролет? 5 Решение. Пусть v0 — скорость автомобиля в момент, когда отказал двигатель, тогда скорость автомобиля в момент, когда он подъедет к разрушенной части моста определяется из закона сохранения энергии: v2 v02 m m mgh , 2 2 где h L1 sin — высота эстакады. (1) (2 б.) (2) Время полёта автомобиля равно: t2 vy v 2 sin g g (3) (2 б.) Для того чтобы автомобиль перелетел через разрушенный пролёт моста, необходимо, чтобы выполнялось неравенство: v xt v t cos L (4) (2 б.) Подставив (3) в (4) получим неравенство: v2 2sin cos L g (1 б.) Учитывая, что 2sin cos sin 2 , а также учитывая равенства (1) и (2) получим: v0 2 gh gL sin 2 (1 б.) Выбирая минимальное значение скорости, находим: Ответ: v0 2 gh gL . sin 2 (2 б.) 6 Олимпиада школьников «Будущее Сибири» — 2012 I этап Физика 10 класс, вариант 1 1. Камень бросают через овраг прямоугольного сечения глубиной 10м. Известно, что когда камень бросают горизонтально, то он попадает в нижний край стенки оврага. Когда бросают под углом 45° к горизонту, то камень попадает точно в противоположный край оврага. Сколько времени летит камень во втором случае? Начальная скорость камня одна и та же. Сопротивлением воздуха пренебречь, ускорение свободного падения g принять равным 10 м/с2. Решение. Когда камень бросают горизонтально, то время полёта камня равно: t1 2h , g (2 б.) где h — глубина оврага. За это время камень пролетает в горизонтальном направлении длину, равную ширине оврага: L = vt1 v 2h g (3 б.) (1) Когда камень бросают под углом 45° к горизонту, то камень попадает точно в противоположный край оврага, т.е.: L = vcos(45°)t2 2 vt2 2 (3 б.) (2) Из равенств (1) и (2) следует: Ответ: t2 2 h 2c. g 2. Камень массы m, привязанный к нити, движется по окружности радиуса R. Определите натяжение нити в нижней точке траектории, если известно, что в верхней точке траектории натяжение нити было равно Т. Ускорение свободного падения равно g. (2 б.) g R Решение. 7 Скорость в нижней точке vн связана со скоростью в верхней точке vв законом сохранения энергии: mvв2 mvн2 2mgR , 2 2 (1) (2 б.) Запишем второй закон Ньютона для камня в верхней и нижней точках траектории, учитывая, что центростремительное ускорение связано со скоростью соотношением: v2 aцс R (2 б.) В верхней точке сила натяжения T и сила тяжести направлены в одну сторону и сообщают камню центростремительное ускорение: vв2 T mg m R (2) (2 б.) В нижней точке сила натяжения Tн и сила тяжести направлены в противоположные стороны, поэтому: vн2 Tн mg m R (3) (2 б.) Вычитая (3) из (2), получим: Tн T 2mg m 2 vн vв2 R Используя равенство (1), окончательно получим: Tн T 6mg Ответ: Tн T 6mg . (2 б.) 3. Пять одинаковых проводников соединены так, как показано на верхнем рисунке. Затем к имеющимся проводникам добавляют ещё два таких же проводника, как показано на рисунке. Определить отношение сопротивлений между концами цепей до и после добавления перемычек. Решение. Пусть сопротивление одного проводника равно r, тогда сопротивление между концами цепи до добавления перемычек равно сопротивлению пяти последовательно соединённых сопротивлений r: R1 5r (1) (2 б.) 8 Сопротивление между концами цепи после добавления перемычек можно представить как три последовательные сопротивления: два сопротивления треугольников и одно сопротивление проводника: R2 r 2 R (2 б.) (2) Сопротивление треугольника равно сопротивлению параллельно соединённых сопротивлению одного и двух проводников: R 2r r 2 r 2r r 3 (3) (2 б.) (4) (2 б.) Подставляя (3) в (2), найдём, что: 2 7 R2 r 2 r r 3 3 Разделив (1) на (4), окончательно находим: Ответ: R1 15 . R2 7 (2 б.) 4. Цилиндрический снежный ком радиуса r0 начинает скатываться со снежной горы высотой h и наклоном α. Определить радиус получившегося снежного валика, если считать, что за один оборот на ком налипает снег толщиной Δr (Δr<<r0). h α Решение: Известно, что на ком налипает снег толщиной Δr . Ком скатывается с горки, проходя расстояние: l h sin (2 б.) Площадь поперечного сечения слоя налипшего снега равно: S l r h r sin (1) (3 б.) Таким образом, площадь поперечного сечения снежного кома увеличится на эту величину и станет равным: r 2 r02 S . (2) (3 б.) Здесь r — искомый радиус. Подставив (1) в (2), найдём: 9 Ответ: r r02 h r . sin (2 б.) 10 Олимпиада школьников «Будущее Сибири» — 2012 I этап Физика 11 класс, вариант 1 1. Шесть одинаковых проводников соединены так, как показано на верхнем рисунке. Затем к имеющимся проводникам добавляют ещё два таких же проводника, как показано на рисунке. Определить отношение сопротивлений между концами цепей до и после добавления перемычек. Решение. Пусть сопротивление одного проводника равно r, тогда сопротивление между концами цепи до добавления перемычек равно сопротивлению шести последовательно соединённых сопротивлений r: R1 6r (1) (2 б.) Сопротивление между концами цепи после добавления перемычек можно представить как четыре последовательные сопротивления: два сопротивления треугольников и два сопротивления проводников: R2 2r 2 R (2) (2 б.) Сопротивление треугольника равно сопротивлению параллельно соединённых сопротивлению одного и двух проводников: R 2r r 2 r 2r r 3 (3) (2 б.) (4) (2 б.) Подставляя (3) в (2), найдём, что: 2 10 R2 2r 2 r r 3 3 Разделив (1) на (4), окончательно находим: Ответ: R1 9 . R2 5 (2 б.) 2. Капли воды падают с крыши высотой h с малым интервалом времени τ. Определите расстояние между двумя соседними каплями в момент, когда первая из них коснулась земли. Ускорение свободного падения равно g. Сопротивлением воздуха пренебречь. Решение. Время, за которое первая капля упадёт на землю равно: 11 t0 2h g (1) (3 б.) Вторая капля начинает падать спустя время τ после начала падения первой капли. Высота, на которой будет находиться вторая капля в момент времени t0 : y2 h g 2 t0 2 (3 б.) Тогда расстояние между первой и второй каплей равно: h y2 y1 y2 h g 2 t0 (2) 2 Подставив (1) в (2), получим: 2 g 2h g 2 h h gh 2 g 2 g 2 Ответ: h gh . 2 (4 б.) 3. Пробковый шарик объёмом V и плотностью ρ удерживается нитью у дна цилиндрического стакана с водой. Затем нить перерезают, и шарик всплывает. Насколько изменится уровень воды в стакане, если площадь стакана равна S. Плотность воды равна ρ0. Решение. S Пусть H — уровень воды в стакане до того, как нить разрезали. Тогда объём воды в стакане равен: Vв HS V (1) (1 б.) Так как объём воды после разрезания нити не изменился, то: Vв S ( H h) Vпогр , (2) (1 б.) где Vпогр — объём погруженной части шарика, а h — изменение уровня воды в стакане. Сравнивая (1) и (2), найдём: Vпогр V Sh (3) (2 б.) Шарик находится в равновесии, поэтому сила тяжести уравновешивается выталкивающей силой Архимеда: Vg 0Vпогр g (4) (2 б.) Из равенств (3) и (4) находим: 12 V h 1 0 S (5) Так как ρ0>ρ (иначе шарик бы не всплывал), то выражение (5) отрицательно, а это означает, что уровень воды уменьшится. (2 б.) Ответ: уровень воды уменьшится на h 1 V . 0 S (2 б.) 4. Имеются два одинаковых клина массы m с углом при основании α. Первый клин положили на g Fmin — ? гладкую горизонтальную поверхность, а другой μ m положили сверху на первый (см. рис.). Опредеα лите минимальную горизонтальную силу, которую нужно приложить ко второму клину, чтобы он начал скользить. Коэффициент трения между клиньями μ, μ> tgα. Решение. Выберем оси так, как показано на рисунке. Запишем второй закон Ньютона для верхнего клина в проекции на оси OX и OY, учитывая, что в момент начала скольжения Fтр N (1 б), а ускорения верхнего и нижнего клиньев одинаковы и равны a (1 б): F mg Fтр α N Fтр N y x OX: F N sin N cos ma (1) (2 б.) OY: N cos mg N sin 0 (2) (2 б.) Запишем второй закон Ньютона для нижнего клина в проекции на ось N sin N cos ma OX: (3) (2 б.) Решая систему уравнений (1), (2) и (3), найдём: 2mg (sin cos ) F (cos sin ) Отметим, что при ctg и выбранном направлении силы скольжение невозможно. 2mg (sin cos ) , ctg . (cos sin ) Ответ: F (2 б.) 13