СПб Государственный Университет Кино и Телевидения

СПб Государственный Университет Кино и Телевидения
Заочный факультет
Кафедра акустики
Я.Ш. Вахитов
Физические основы акустики
Специальность ЗВУКОРЕЖИССУРА
Раздел: «Сложные периодические
колебания и их спектры»
Учебное пособие по
теории раздела и методике
выполнения контрольной работы.
Санкт-Петербург
2010
1. Теоретические предпосылки
Звуковые колебания в процессе звукопередачи или записи подвергаются
обработке с помощью технических средств звукорежиссуры. Целью этой
процедуры является частичное изменение или корректировка субъективных
параметров составляющих звукового ряда – их тембров, громкостей,
доминантных факторов и т.п.
С объективной, т.е. физической, точки зрения звук есть колебания частиц
среды, вызываемые распространяющейся в этой среде звуковой волной. С
субъективной же или психофизической – это слуховой образ, несущий
определенную информацию: семантического (речь), эстетического (музыка)
или комплексного (вокальная речь) характера. Между объективными
параметрами звуковых колебаний и их субъективным отражением в сознании
существует определенная взаимосвязь или корреляция. Основные физические
факторы, отвечающие за создание того или иного субъективного эффекта,
называются физическими коррелятами (ФК) этого субъективного параметра.
Например, ФК высоты звука [1], [2] является частота f1 основного тона
периодического музыкального звука, ФК громкости – энергия звука,
выражаемая его интенсивностью I или звуковым давлением p. И высота, и
громкость
звука
являются
его
количественными
субъективными
параметрами. Существует и качественная субъективная характеристика
звуков – это их тембр [3], определяемый в музыке, как окраска звуков. В
акустике этому важнейшему параметру придается более широкий смысл:
тембром называется субъективная качественная характеристика звука,
определяющая его индивидуальную особенность, т.е. его распознаваемость в
присутствии любых других звуков. Образно говоря, тембр это визитная
карточка конкретного звука.
Изучение физических коррелятов тембра выявило важную особенность
взаимосвязи
физических
параметров
звуковых
колебаний
с
их
субъективными: одни и те же психофизические характеристики звука могут
быть обусловлены разными, иногда несколькими, физическими факторами.
Так тембр звуков, создаваемых инструментами достаточно длительного
(квазистационарного) звучания, зависит от колебательной формы этих
звуков, определяющейся их спектрами [3], [4]. К таким инструментам
относятся, например, струнные смычковые инструменты (при смычковом
возбуждений струны), деревянные и медные духовые и некоторые другие.
Тембр
звуков,
получаемых
от инструментов с
кратковременным
возбуждением (щипком, ударом молоточков и т.п.), зависит не только от
формы самого колебания, но в большой мере - от огибающей колебательного
процесса вовремени, определяющей длительности и формы атаки, стояния
и затухания возбужденного колебания (рис. 1). Однако и в этом случае
важную роль в формировании тембральной характеристики звука выполняет
спектр колебания.
Французский математик Фурье доказал теорему, согласно которой
периодическое колебание любой формы – пилообразной, прямоугольной,
импульсной (рис. 2) – и других, в том числе не поддающихся аналитическому
описанию,
можно
представить
в
виде
суммы
синусоидальных
(гармонических) колебаний
y (t )  Y1 sin(2  f1t  1 )  Y2 sin(2  f 2t  2 )  ... (1)
Yn sin(2  f nt  n ),
называемых гармониками рассматриваемого колебания сложной формы.
Каждая К-я гармоника (первая, вторая, третья и т.д.) характеризуется своей
амплитудой Yk, частотой fk и начальной фазой φк. Частота первой гармоники
(К=1) определяется периодом Т1 рассматриваемого сложного колебания, т.е.
f1 
1
.
T1
(2)
В музыке ее называют частотой основного тона звука, обусловленного
данным сложным колебанием. Частоты остальных гармоник выше частоты
основного тона и отличаются от нее в целое число раз, совпадающее с
номером соответствующей гармоники, т.е. являются целыми кратными
частоты основного тона:
f 2  2 f1 ; f3  3 f1 ; f k  kf1 .
(3)
Частоты основной гармоники f1 и высших fk, записываемые с помощью
символа f, называют циклическими частотами, что соответствует их
физическому смыслу: число циклов полных колебаний, совершаемых в одну
секунду. Поскольку аргументами функций синус и косинус могут быть только
угловые величины, то синусоиды ряда (1) принято представлять в форме
sin k t , где
к  2  f к
(4)
называются угловой (или круговой) частотой соответствующей гармоники.
Распределение значений амплитуд Yk и начальных фаз φк зависит от
колебательной формы рассматриваемой кривой, т.е. у колебаний различной
формы, но одинаковых периодов Т1 и пиковых значений Y0, распределения
значений Yk и φк также будут разными. Можно это же выразить по-другому:
соотношение величин амплитуд Yk и начальных фаз φк гармоник ряда (1) при
их суммировании (по мгновенным значениям) определит форму базового
колебания (см. рис. 2).
Разложение сложного колебания на составляющие его гармоники (т.е.
определение их амплитуд и начальных фаз) называется анализом, а
составление его путем сложения гармоник – синтезом этого колебания.
Совокупности амплитуд Yк и начальных фаз φк, выстроенные в
графической или табличной форме в соответствии с частотам fk этих
гармоник,
называются
соответственно
амплитудным
и
фазовым
спектрами базового колебания (см. рис. 2).
Помимо этих спектров на практике (например, в микшерных пультах)
приходится иметь дело с энергетическими спектрами [3], [4].
В музыкальной, речевой и электроакустике, рассматривая спектры
конкретных звуков, обычно имеют в виду амплитудный спектр и не
проявляют интереса к фазовому. Дело в том, что слуховое ощущение тембра
звука формируется именно амплитудным спектром и не зависит от
фазового. Поэтому будущим звукорежиссерам (да и не только им) полезно
усвоить некоторые параметры амплитудных спектров периодических звуков
(в дальнейшем, говоря «спектр», будем иметь в виду именно амплитудную
его часть).
К таким параметрам относятся:
- спектральный шаг f , определяющий плотность спектра; он
равен частоте основного тона или первой гармоники, т.е. f  f1 ;
плотность спектра является обратной величиной f , так что при снижение
частоты тона плотность его спектра возрастет;
- структура спектра: а) количество гармоник в звуке того или иного
музыкального инструмента; б) отсутствие гармоник определенных номеров
(четных или нечетных, кратных по номеру некоторым малым числам,
например, 3, 4, 5 и т.п.);
-
огибающая
спектра
–
линия
(на
рис.
2
–
прерывистая),
показывающая: а) тенденцию и характер изменения амплитуд (или энергии)
спектральных составляющих с частотой; б) наличие или отсутствие
формант (абсолютных или относительных).
В музыкальной литературе вместо термина «гармоники» часто
пользуются термином «обертоны». Следует иметь в виду, во-первых, что
нумерация обертонов не сопрягается с нумерацией гармоник. Например, если
при
используемом
способе
возбуждения
колебаний
музыкального
инструмента реализуются все гармоники, то первым обертоном будет вторая
гармоника, вторым – третья и т.д.. Если же реализуются только те обертоны,
которые соответствуют, к примеру, 3, 5, 7 (т.е. нечетным) гармоникам, то
первым обертоном будет 3-я гармоника, вторым – 5-я, третьим – 7-я и т.д.
(см. рис. 2, б).
И, во-вторых, что всякая гармоника является обертоном, но не всякий
обертон – гармоникой (т.к. у реальных звуков частоты обертонов могут быть
не целыми кратными частоте основного тона f1).
2. Методика графического синтеза несинусоидального
периодического колебания.
На рис. 3 приведены примеры двух колебаний, существенно
отличающихся по форме. Общим для них является то, что их амплитудные
спектры абсолютно одинаковы, т.к. каждое из этих колебаний представляет
собой сумму двух гармоник (1-й и 2-й) с одинаковыми величинами амплитуд
и частот как основных тонов, так и вторых гармоник. Основные тоны
совпадают также и по начальным фазам: у обоих 1  00 . Разница состоит
лишь в фазе вторых гармоник: у первого колебания y1(t) (жирная линия на
рис. 3) начальная фаза 2-й гармоники  2  00 , у второго  2  900 . Как уже
указывалось (см. раздел 1), по слуховому ощущению колебания y1(t) и y2(t)
будут идентичны, хотя формы их существенно отличаются: у y1(t) форма
обладает симметрией (второго рода), у y2(t) – несимметрична.
В данной контрольной работе учащемуся предлагается произвести
синтез форм кривых сложных периодических колебаний,
заданных
амплитудным и фазовым спектрами. Синтез должен быть выполнен
графическим суммированием гармоник заданного колебания по выборкам их
мгновенных значений.
Выбор графической формы синтеза объясняется следующими
методическими факторами.
1. Простотой, обеспечивающей доступность выполнения работы
студентам – заочникам, обучающимися специальности «звукорежиссура», и
имеющими, как правило, невысокий уровень математической подготовки.
2. Наглядностью и убедительностью (при отмеченных в п.1
особенностях тезауруса студентов) результатов контрольной работы в показе
достоверности и практической значимости спектральных представлений
звуков в повседневной работе звукорежиссера по художественной обработке
звуков и корректировке их качественных показателей.
Параллельно с этим при выполнении процедуры графического синтеза
решается ряд учебных задач общего характера:
а) понимание смысла дискретизации во времени аналогового сигнала
при переходе к цифровой форме его представления;
б) способ и критерии дискретизации (теорема Котельникова),
практическое выполнение процедуры дискретизации;
в) освоение методики суммирования синусоидальных сигналов по
мгновенным значениям.
Успешная реализация поставленных методических и педагогических
задач
возможна
лишь
при
полностью
самостоятельном,
т.е.
без
компьютера, выполнении студентом всех графических процедур, которые
должны быть выполнены вручную, на миллиметровой бумаге.
Пояснительные тексты и таблицы оформляются компьютерной
печатью или аккуратно в рукописном виде, на листах формата А4.
Титульный лист выполняется чертежным шрифтом или компьютерной
печатью.
Персональное задание представляет собой табличную форму спектров
двух синтезируемых колебаний, каждое – в двух вариантах:
Вариант1. Построить формы двух колебаний, имеющих одинаковые
амплитудные, но разные фазовые спектры.
Вариант2. Построить формы двух колебаний имеющих одинаковые
фазовые, но разные амплитудные спектры.
Порядок выбора персональных вариантов из таблиц поясняется ниже.
На рис. 4 представлены описываемые в пунктах а, б, в и г этапы
построения суммарной кривой.
а) В выбранных масштабах вычерчиваются одна под другой все три
указанные в табличном задании гармоники. Рекомендуемые угловые
масштабы зависят от номера заданной в таблице высшей гармоники: если
задана 5-я гармоника – масштаб 1,2 0/мм; 4-я – 1,5 0/мм; 3-я – 2 0/мм (углы
указаны для основного тона, так что для последующих гармоник они должны
умножаться на номер гармоники). Амплитуды Yк заданы в микрометрах
(мкм), их следует строить в масштабе 1 мкм на мм.
б) Далее тонкими (не контрастными) линиями нанести сетку
дискретизации вычерченных ранее гармоник по координате α. Согласно
теореме Котельникова при достаточно большом количестве гармоник шаг
дискретизации ∆α может быть выбран из условия    / 2n [1] (стр. 14),
где n – номер высшей гармоники. В нашем случае из-за малого числа
гармоник это условие следует несколько усилить, уменьшив его вдвое, т.е.
считать
 

4n .
(5)
В результате этих действий мы произвели графическую дискретизацию
всех гармоник с выбранным шагом ∆α, т.е. представили аналоговые кривые
1-й, 2-й и 3-й гармоник выборками дискретных значений yк(i) их мгновенных
смещений (k – номер гармоники, i – номер шага дискретизации).
в) Путем суммирования полученных в пункте (б) (при каждом i)
мгновенных значений yк(i) всех гармоник, получаем значения yi искомого
результирующего колебания. Примеры такого суммирования (для двух
точек) приведены на рис. 4.
В
выполняемой
работе
учащемуся
надлежит
графически
проиллюстрировать (на рисунке, подобном рис. 4) процедуру суммирования
в 6-8ми реперных точках (т.е. точках перегибов, максимумов, минимумов,
прохождения через ноль и т.п.), доказав тем самым достоверность
полученной кривой. Результаты (для реперных точек!) следует представить в
виде табл.1:
Табл. 1
Суммирование значений yк(i) в реперных точках (РП)
номера реперных точек
i
y1(i)
значения в РП y1(i)
y2(i)
значения в РП y2(i)
y3(i)
то же y3(i)
y(i)
суммы yк(i) в РП
3. Оформление работы и выбор варианта задания
В соответствии со спектрами, выбираемыми из таблиц персональных
заданий (табл. 2) по шифру (номеру зачетной книжки) учащегося (см. ниже),
выполненная контрольная работа должна содержать два графических
построения и пояснительную записку к ним.
В каждом задании даны: номера трех гармоник k, амплитудный
спектр Yк (т.е. амплитуды гармоник) и фазовый спектр φк (т.е. начальные
фазы гармоник). В вариантах с нечетными номерами таблиц (спектров)
предусматривается
построение
двух
колебаний,
характеризующихся
одинаковыми амплитудными, но разными фазовыми спектрами – φА и φВ
(принимается φА=0). В вариантах с четными номерами таблиц (спектров)
синтезируемые
колебания
задаются
двумя
разными
амплитудными
спектрами, но одним и тем же – фазовым.
Структура пояснительной записи включает введение, описание
процедур построения (с графическими иллюстрациями типа рис. 4, с
расчетными
таблицами
сопоставительным
типа
анализом
табл.
1
полученных
для
РТ),
заключение
результатов,
с
оглавление
(помещаемое в начале записки) и титульный лист.
Во введении даются краткие сведения по теории с формулировкой
основных понятий и информационных параметров спектров периодических
сигналов (понятий амплитудных и фазовых спектров, их структуру,
спектрального шага и плотности спектра, огибающей, формант и др.)
Текст ПЗ может быть печатным или рукописным, на листах формата
А4. Эскизы построений выполняются на листах миллиметровки формата А3А4 (см. рис. 4), обязательно вручную. Компьютерное выполнение
чертежей и расчетов считается не самостоятельным и КР не
зачитывается.
При брошюровке КР следует выполнять требования стандарта:
вставные листы (например, с чертежами) должны быть сложены так, чтобы
их края не выступали за пределы стандартного листа текста (А4).
При построении формы
результирующего
колебания расчетные
точки должны
соединяться плавными
кривыми линиями, без
изломов и «рыхлостей».
Табл. 2*/
Индивидуальные задания по контрольной работе.
№М
к
00, 25
01, 26
02, 27
03, 28
04, 29
мм
0
мм
0
мм
0
мм
0
мм
0
Yк
φк(в)
Yк
φк(в)
Yк
φк(в)
Yк
φк(в)
Yк
φк(в)
1
50
00
50
900
50
1800
50
1350
50
00
2
50
450
46
1350
42
1350
42
1800
38
900
3
50
900
42
1800
38
900
46
900
42
1800
№М
05, 30
06, 31
07, 32
08, 33
09, 34
1
46
450
42
00
46
900
38
1800
42
1350
2
50
1350
46
450
42
00
42
900
48
1800
4
42
1800
50
1350
50
450
46
00
50
900
№М
10, 35
11, 36
12, 37
13, 38
14, 39
1
50
00
50
450
50
1350
50
1800
50
900
3
50
450
46
900
42
1800
42
1350
38
00
4
50
1350
42
00
38
900
46
450
42
1800
№М
15, 40
16, 41
17, 42
18, 43
19, 44
1
46
1350
42
00
46
900
38
450
38
1800
3
50
450
46
900
42
1800
50
1350
46
00
5
42
00
50
450
50
1350
46
1800
50
900
№М
20, 45
21, 46
22, 47
23, 48
24, 49
1
50
00
50
1350
50
1800
50
900
50
00
4
38
900
42
1800
42
1350
46
1350
50
450
5
42
1800
46
900
38
900
42
1800
50
900
*/
Примечания и пояснения.
1. №М означает «номер матрикула» (зачетной книжкой). Имеются в
виду две последних цифры номера.
2. Если указанные две цифры превышают цифру «49», номер варианта
задания выбирается путем вычитания цифры 49 из №М. Например, если две
последние цифры шифра равны 85, то номер варианта КР будет 85-49=35.
3.
Если
четность
полученной
цифры
совпадет
с
четностью
календарного года выполнения КР, то для КР используются значения Yк и
φк(в) из таблицы, обозначенной найденным номером (в нашем примере №36). При этом значения фазовых углов φк(а) всех гармоник следует принять
равными нулю (в нашем примере φ1, φ3 и φ4).
4. Если не совпадет, то следует использовать два варианта значений Yк
(из своей таблицы и следующей за ней, в нашем примере №36 и №37), а
значения φк(в) – из своей таблицы.
Пояснительная часть должна завершаться разделом «Заключение», в
котором на основе сравнительного анализа полученных двух кривых должны
быть сделаны выводы о влиянии на форму кривой и на восприятие
отображаемого его звука произведенных изменений амплитудных или
фазовых спектров (с указанием характера и причин этих изменений,
например, изменения пиковых значений, количества переходов через нуль в
пределах периода, характера симметрии и др.).
Подписи к рисункам.
Рис. 1. Огибающая во времени периодического звукового колебания: τА, τС,
τЗ – соответственно длительности его атаки (нарастания), стояния («тела»
звука) и затухания (спада).
Рис. 2. Формы периодических колебаний и их спектры (в табличной и
графической форме)
Т1 – период сложного колебания, Y0 – его пиковое (наибольшее за период)
значение, τ – длительность импульса, к – номер гармоники, Yк и φк – амплитуда и
начальная фаза гармоники с номером к, Ак=Yк/Y1 – относительная амплитуда этой
гармоники.
Рис. 3. Иллюстрация различия формы периодических колебаний, имеющих
одинаковые периоды и амплитудные спектры.
Рис. 4. Методика построения сложного колебания сложением его гармоник,
задаваемых амплитудным и фазовым спектрами.
Вахитов Я.Ш. дисц. «Музыкальная акустика» специальность
«Звукорежиссура»
Методическое пособие по выполнению контрольных работ заочниками
4 и 3У курсов. Июнь 2010 г. Гл.1, § 1.1.