Теоретическая механика. Справочник.

Министерство образования Российской Федерации
Томский политехнический университет
___________________________________________________________
«УТВЕРЖДАЮ»
Декан МСФ
Р.И.Дедюх
"
"
2003г.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Основные понятия, законы и формулы. Справочник
Методические указания к решению задач для студентов всех
специальностей
Томск 2004
УДК 531.1.(076)
Теоретическая механика. Основные понятия, законы и формулы. Справочник. Методические указания к решению задач для
студентов всех специальностей. – Томск: Изд–во ТПУ, 2004 – 36с.
Справочник содержит в ограниченном объёме основные
законы и формулы теоретической механики, знание которых
необходимо в рамках программы курса в вузах. Может использоваться студентами при подготовке к коллоквиумам, практическим
занятиям и экзаменам. Полезен учащимся колледжей и техникумов. Предназначен для быстрого нахождения законов и формул, используемых при решении задач по теоретической механике.
Составители:
доц., канд.физ. мат. наук
ст. преподаватель
Рецензент доц., канд. техн. наук
В.А. Дубовик
Л.Г. Жолобова
М.П. Шумский
Методические указания к решению задач рассмотрены и рекомендованы к изданию методическим семинаром кафедры теоретической и прикладной механики
Протокол № 32 от 18 сентября
2003г.
Зав. кафедрой ТПМ
доц., канд. техн. наук
« 16 » октября 2003г.
В.М. Замятин
Одобрено учебно–методической комиссией МСФ.
Председатель учебно–методической комиссии
М.П. Шумский
СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Некоторые математические формулы
◙ Тригонометрические функции и формулы
cos  = b/c;
sin  = a/c;
tg  = a/b;
сos ( 900   ) =  sin  ;
sin ( 900   ) = cos  ;
сos (1800   ) = - cos  ;
sin (1800   ) =  sin  .
◙ Таблица значений тригонометрических функций
0
00
300
450
cos
1
3 /2
2 /2
1/2
0
sin
0
1/2
2 /2
3 /2
1
tg
0
3 /3
1
600
3
900

◙ Два угла равны, если их стороны параллельны, или взаимно
перпендикулярны.
3
◙ Вычисление сторон в треугольнике:
1. прямоугольном по тригонометрическим формулам
a = c sin ,
b = c cos ;
2. произвольном по теореме синусов
а
c
b


sin  sin  sin 
или по теореме косинусов
с =
а 2  b 2  2ab cos  .
◙ Векторное произведение двух векторов а и b – есть вектор c ,
направленный перпендикулярно плоскости векторов a и b в
сторону, откуда виден поворот от a к b на наименьший угол против
хода часовой стрелки и равный по величине площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
 
c  a, b
или c  a  b ;
c = a b sin  .
◙ Скалярное произведение двух векторов a и b – есть число, равное
произведению модулей этих векторов и косинуса угла между ними.
а , b   a  b cos  , или a  b  a  b cos  .
Операции над силами
◙ Проекции силы на оси координат:
Fx  F  cos  x ;
Fy  F  cos  y ;
Fz  F  cos  z ,
где F – модуль силы,  x ,  y ,  z – углы между направлениями осей
и силой.
4
Пример :  x = 1800 - 300;
 y = 900 - 300 = 600;
Fx  F  cos  x = F cos (1800 - 300)=
= - F cos 300 = -F 3 /2;
Fy  F  cos  y = F cos 600 = F/2.
◙ Сложение сил по правилу параллелограмма.
R  F1  F2 ;
R  F12  F22  2 F1F2  cos  .
Частные случаи:
1.   00 ,
R  F1  F2 ;
2.   1800 , при F2 > F1
3.   900 ,
R  F2  F1 ;
R=
F12  F22 .
◙ Разложение силы, приложенной в точке А, по двум взаимно перпендикулярным направлениям.
Fx  F  cos  ;
Fy  F  sin .
Момент силы относительно точки и оси
◙ Линия действия силы F – это прямая, вдоль которой направлен
вектор силы.
◙ Плечо силы F относительно точки А – есть длина перпендикуляра,
опущенного из точки А на линию действия силы F .
5
Линия действия силы
Плечо силы
◙ Алгебраический момент силы относительно точки А – скалярная
величина mA ( F ), равная произведению модуля силы на плечо,
взятому со знаком плюс или минус. Знак плюс берут, когда сила F
вращает плечо h = AK вокруг точки А против хода часовой стрелки
и знак минус – по ходу часовой стрелки.
mA ( F ) =  F h.
Примеры:
mA ( F ) = + F h = + F AB sin ;
1.
2.
mA ( F ) = mА ( Fy ) + mA ( Fx ) = F sin   b - F cos   a.
◙ Момент силы относительно точки А – есть векторное произведение
векторов r и F .
mA F   r  F ;
m A F  = r·F sin = F h = 2S ∆ ABB/.
6
◙ Момент силы относительно оси z – есть величина, равная проекции
на ось z вектора момента силы относительно любой точки О, принадлежащей данной оси
mz F  = пр.z m0 F  .
◙ Моменты силы относительно координатных осей:
mx F   y  Fz  z  Fy ;
m y F   z  Fx  x  Fz ;
mz F   x  Fy  y  Fx ,
где x , y , z – координаты точки приложения силы; Fx , Fy , Fz –
проекции силы на оси координат.
◙ Момент силы F относительно оси Az численно равен алгебраическому моменту (смотрим навстречу оси) проекции этой силы Fxy
на плоскость, перпендикулярную к данной оси, относительно точки
пересечения (точки А) оси и плоскости
m Az F   m A Fxy .
Момент силы относительно оси Аz
равен проекции момента силы
m A ( F ) относительно точки А на
эту ось.
Пример:
mx ( F )  m0 ( Fyz )  F  cos   a ;
m y ( F )  m0 ( Fxz )  0 ;
m z ( F )  m0 ( Fxy )   F  sin   a .
7
Пара сил
◙ Парой сил называется система, состоящая из двух равных по модулю, противоположных по направлению параллельных сил.
◙ Плоскость, в которой расположена пара сил, называется плоскостью
действия пары.
◙ Плечом пары h называется кратчайшее расстояние между линиями
действия сил, составляющих пару.
Плечо пары.
Плоскость действия пары.
◙ Момент пары – есть вектор, направленный перпендикулярно к
плоскости её действия по правилу правого винта и равный по
величине произведению модуля силы пары на её плечо
М  AB  F ;
M  F  h.
◙ Момент пары – есть свободный вектор.
◙ Теорема о сумме моментов сил, составляющих пару,
m0 ( F )  m0 ( F  )  AB  F  M ,
где О – произвольная точка.
◙ Две пары сил эквивалентны, если равны их моменты M 1  M 2 .
◙ Система пар сил с моментами M k (k = 1,...., n) эквивалентна одной
паре с моментом M   M k .
Приведение системы сил к центру
◙ Лемма о параллельном переносе силы. Силу, не нарушая ее действия на абсолютно твёрдое тело, можно перенести параллельно в
любую точку тела, присоединяя пару сил с моментом, равным
моменту силы относительно этой точки.
◙ Главный вектор системы сил
F =
где Fx =  Fkx ;
 Fk ;
F =
Fy =  Fky ;
8
Fx2  Fy2  Fz2 ,
Fz =  Fkz .
◙ Главный момент системы сил относительно точки О
M 0 =  m0 ( Fk ) ;
M 0  M 02x  M 02y  M 02z ,
где M 0 x =  mx ( Fk ) ; M 0 y =  m y ( Fk ) ;
M 0 z =  mz ( Fk ) .
Вектор M 0 =  r k  Fk , где rk – радиус - вектор, проведенный из
точки О в точку приложения силы.
◙ Теорема Пуансо (основная теорема статики). Произвольная система
сил, действующих на твердое тело, эквивалентна главному вектору
F , приложенному в любой точке О тела (центре приведения), и
паре сил с моментом, равным главному моменту M 0 относительно
этой точки
{ F1 ,..., Fn }
{ F ; M0 } .
◙ Две системы сил эквивалентны тогда и только тогда, когда равны их
главные векторы и главные моменты относительно одной и той же
точки тела.
◙ Зависимость главного момента системы сил от центра приведения
M 0  M 0  m0 ( F ) ,
где m0 ( F ) – момент главного вектора, приложенного в центре O  ,
относительно центра О.
Связи и их реакции
◙ Связь есть ограничение, накладываемое на перемещение тела или
на скорости его точек.
◙ Сила, действующая на тело со стороны связи, называется реакцией
связи.
◙ Аксиома связей. Несвободное твёрдое тело можно считать свободным, если действие связей заменить их реакциями.
◙ Направление реакции совпадает с противоположным действием
препятствия.
9
◙ Виды связей и их реакции.
Тип связи
Схема связи
1. Гладкая
опорная
поверхность.
2. Точечная
гладкая опора.
3. Неподвижный шарнир
(А).
4. Подвижный
шарнир
(каток С).
5. Гибкая
связь
(нить, трос,
цепь, ремень).
6. Жёсткий
стержень.
7. Шероховатая поверхность.
10
Направление реакции
Продолжение
8. Сферический шарнир О
и подпятник
А.
9. Жёсткая
заделка в
плоскости
10. Скользящая заделка.
11. Свободная
заделка.
12. Жёсткая
заделка в
пространстве.
Уравнения равновесия тела
◙ Уравнения равновесия произвольной пространственной системы
сил:
1.  Fkx  0;
4.  mx ( Fk )  0;
2.  Fky  0;
5.  m y ( Fk )  0;
3.  Fkz  0;
6.  m z ( F k )  0 .
Здесь Fkx , Fky , Fkz – проекции k - ой силы на оси координат;
mx Fk , m y Fk , mz Fk  – моменты k - ой силы относительно осей
координат.
11
◙ Уравнения равновесия системы сил, лежащих в одной плоскости
XOY:
1.
 Fkx  0;
2.
 Fky  0;
 mA( Fk )  0 ,
3.
где mA( Fk ) – алгебраический момент k - ой силы относительно
произвольной точки А.
◙ Другие формы уравнений равновесия сил, лежащих в одной плоскости XOY:
1.  m A ( Fk )  0;
2.  mB ( Fk )  0;
3.
 mC ( Fk )  0,
где А, В, С – точки, не лежащие на одной прямой.
1.  m A ( Fk )  0 ;
2.  mB ( Fk )  0;
3.
 Fkx  0 ,
при этом ось х не должна быть перпендикулярна прямой АВ.
◙ Уравнения равновесия пространственной сходящейся системы сил:
1.  Fkx  0 ;
◙ Уравнения
2.  Fky  0;
равновесия плоской
3.
 Fkz  0.
сходящейся
системы сил:
1.  Fkx  0;
2.
 Fky  0.
◙ Уравнения равновесия пространственной системы параллельных оси
ОZ сил :
1.  Fkz  0;
2.  m x ( Fk )  0;
3.
 m y ( Fk )  0.
◙ Уравнения равновесия плоской системы параллельных оси ОY
сил:
1.  Fky  0;
2.  m A ( Fk )  0 или
1.  m A ( Fk )  0; 2.
 mB ( Fk )  0 ,
где прямая АВ не параллельна оси У.
12
Сложение параллельных сил и центр тяжести тела
◙ Две параллельные силы F1 и F2 , направленные в одну сторону,
имеют равнодействующую, модуль которой R = F1 + F2, а линия
действия проходит через точку С, определяемую равенством
AC  F1  CB  F2 .
◙ Две параллельные силы F1 и F2 (F2 > F1), направленные в противоположные стороны, имеют равнодействующую, модуль которой
R = F2 - F1, а линия действия проходит через точку С, расположенную вне отрезка АВ со стороны большей силы, определяемую равенством AC  F1  BC  F2 .
◙ Равнодействующая параллельных, равномерно распределённых сил
по отрезку длиной L интенсивности q(Н/м)
R = q · L;
АС = L/2.
◙ Равнодействующая параллельных, линейно распределённых сил по
отрезку длиной L.
R = 1/2 qmax L;
AC = 2/3 L.
13
◙ Центр параллельных сил
rс 
 Fk  rk
 Fk
,
где rc – радиус - вектор центра параллельных сил;
rk – радиус - вектор точки приложения k-ой силы.
◙ Центр тяжести тела сложной формы
rс 
 pk  rk
,
p
 k
где rk – радиусы - векторы центров тяжести частей однородного тела; pk – вес каждой из этих частей.
◙ Статические моменты объема относительно координатных плоскостей YOZ, XOY, XOZ
S yz =
 x dV;
S xz =
(V )
 y dV;
 z dV,
S xy =
(V )
(V )
где х, у, z – текущие координаты; V – объём тела.
◙ Статические моменты площади относительно координатных осей
ОХ, ОУ
S x   yds;
S y   xds ,
(S )
(S )
где S – площадь плоской фигуры.
◙ Центр тяжести объема (однородного тела)
xC  S yz / V ;
yC  S xz / V ;
zC  S xy / V ,
где S yz , S xz , S xy – статические моменты объема ; V – объем тела.
◙ Центр тяжести площади (однородной плоской фигуры)
Sy
S
;
yC  x ,
xC 
S
S
где S y , S x – статические моменты площади; S – площадь плоской
фигуры.
14
Условия равновесия тела при наличии сил трения
◙ Условия равновесия тела на шероховатой поверхности в случае
плоской системы сил
1.
2.
3.
 Fkx  0 ;
 Fky  0 ;
 m A Fk 
 0;
0  FТР.  fN ,
где f – коэффициент трения скольжения; FТР , N – реакции
шероховатой поверхности; точка А – произвольная точка.
◙ Условия равновесия при наличии трения качения в случае плоской
системы сил
1.  Fkx  0 ;
2.  Fky  0 ;
3.  mA( Fk )  0 ;
0  M ТР.   N ;
0  FТР.  fN ,
где FТР. , N , M ТР. – реакции поверхности: сила трения, нормальная реакция, момент трения качения; f – коэффициент трения
скольжения ;  – коэффициент трения качения; точка А – произвольная точка.
КИНЕМАТИКА
Кинематика материальной точки
◙ Мгновенная скорость материальной точки
dr 
V 
r,
dt
где r – радиус - вектор точки.
◙ Проекции и модуль скорости точки
dy
dx
dz
; Vz  ;
Vx  ; V y 
dt
dt
dt
V  Vx2  V y2  Vz2 ,
где х, у, z – декартовы координаты точки, зависящие от времени t.
15
◙ Мгновенное ускорение точки
dV
= V = r .
dt
◙ Проекции и модуль ускорения точки
а x  x; а у  y ; a z  z ;
a
a  a x2  a 2y  a z2 .
◙ Уравнения движения точки в декартовых координатах
x  x(t ); y  y(t ); z  z (t ).
◙ Естесственная система координат (Е.С.К.).
Главная нормаль
Касательная
Бинормаль
Здесь ОМ = S(t) – дуговая координата;  , n , b –орты
касательной, главной нормали, бинормали в данной точке М траек тории.
◙ Скорость точки в Е.С.К.
V = S ,
V = S ·  ;
где V – проекция скорости на касательную к траектории в данной
точке.
◙ Закон движения точки по траектории
S = S(t).
◙ Ускорение точки в Е.С.К.
V2
n,

где  – радиус кривизны траектории в данной точке.
a  S   
16
◙ Касательное и нормальное ускорения точки
V2
– нормальное ускорение;
an 

dV 
a 
 S – касательное ускорение;
dt
a  a n2  a 2 – полное
ускорение.
◙ Поступательное движение твёрдого тела – это такое движение, при
котором любая прямая неизменно связанная с телом, перемещается
параллельно самой себе.
При поступательном движении твёрдого тела скорости и ускорения
всех его точек равны, а траектории точек при наложении друг на
друга совпадают.
Вращательное движение твердого тела
◙ Закон вращательного движения твердого тела
  (t ) .
Здесь  – угол поворота тела.
Угол считается положительным, если
он отсчитывается против хода
часовой стрелки, смотря навстречу
оси z.
◙ Угловая скорость тела
    k ,
где  – алгебраическая угловая скорость (проекция угловой скорос
ти на ось вращения); k – орт оси вращения.
◙ Угловое ускорение тела
    k ,
где  – проекция углового ускорения на ось вращения.
◙ Скорость точки тела
V   h,
где  – модуль угловой скорости; h – расстояние от точки до оси
вращения.
17
◙ Формула Эйлера
V   r ,
где r – радиус - вектор, проведенный из любой точки на оси вращения.
◙ Ускорение точки
a  аn2  a2 ;
a   h ; an   2 h .
◙ Угол наклона ускорения к радиусу вращения точки
а

tg  =  =
.
аn
2
Плоскопараллельное движение твердого тела
◙ Уравнения движения плоской фигуры
x0  f1( t ); y0  f 2 ( t );   f 3 ( t ),
где x0 , y0 – координаты полюса;  – угол поворота фигуры в своей
плоскости вокруг полюса.
◙ Теорема о проекциях скоростей двух точек твердого тела
пр.АВVA  пр.АВVB ,
где V A ,VB – скорости точек А и В.
◙ Скорость любой точки A тела
VA  VB  VAB ;
V AB =   AB ;
V AB =   АВ ,
где VB – скорость полюса; V AB – скорость вращательного движения
точки А вокруг полюса В.
18
◙ Мгновенный центр скоростей (МЦС).
Мгновенным центром скоростей (МЦС) называется точка подвижной плоскости, скорость которой в данный момент времени равна
нулю.
◙ Скорости точек плоской фигуры в любой момент времени распределяются так же, как при вращении фигуры в своей плоскости вокруг
МЦС
V A VB

 ,
AP BP
где АР, ВР – расстояния от точек А, В до МЦС (точки Р); V A , VB –
скорости точек А и В;  – угловая скорость фигуры.
◙ Способы определения мгновенного центра скоростей:
  0; V A  V B .
Здесь Р – мгновенный центр скоростей.
◙ При качении без скольжения плоской фигуры по неподвижному
контуру мгновенный центр скоростей находится в точке касания тел.
V A VO VB


 .
AP OP BP
19
◙ Ускорение любой точки тела
n
a A  aB  a AB
 a AB ;
n

a AB
  2  AB; a AB
   AB.
n
Здесь a B – ускорение полюса; а АВ  а АВ
 а АВ – ускорение вращательного движения точки А вокруг полюса В.
◙ Мгновенный центр ускорений (МЦУ) – точка подвижной плоскости,
ускорение которой в данный момент времени равно нулю.
◙ Ускорения точек плоской фигуры в любой момент времени распределяются также, как при вращении фигуры вокруг МЦУ
аА
а
 В = 4   2 ,
AQ BQ
где AQ, BQ – расстояния от точек А и В до мгновенного центра ускорения.
◙ Положение МЦУ плоской фигуры определяется по ускорениям двух
точек
tg  

2
.
Здесь  – угол между векторами
ускорений точек и линиями, соединяющими их с М.Ц.У. (точкой Q).
Сложное движение точки
◙ Скорость точки при её сложном движении
Va  Vr  Vе ,
где Va , Vr , Vе – абсолютная, относительная и переносная ско
рости.
20
◙ Ускорение точки при ее сложном движении
a a  a r  aе  ac ,
где aa , ar , aе , ac – абсолютное, относительное, переносное, кориолисово ускорения.
◙ Ускорение Кориолиса
ac  2е  Vr  ;

ac  2  е  Vr  sin(  е ,Vr ) .
◙ Правило Жуковского. Для определения направления ускорения
Кориолиса необходимо спроецировать вектор Vr на плоскость,
перпендикулярную оси переносного вращения и повернуть эту
проекцию в указанной плоскости на 900 в сторону переносного
вращения.
Здесь  е – вектор угловой скорости
переносного движения; Vr – относительная
скорость точки; ac – ускорение Кориолиса.
Сложное движение твердого тела
◙ Мгновенная угловая скорость при вращении тела вокруг пересекающихся мгновенных осей с угловыми скоростями  1 и  2
  1   2 .
VM    r .
◙ Пара вращений – есть одновременное вращение тела вокруг двух
параллельных осей с равными по модулю и противоположно напра21
вленными угловыми скоростями  1 и  2 , причём,  1   2 ,
  1   2 .
Результирующим движением твёрдого тела является поступательное
с мгновенной скоростью, равной моменту пары угловых скоростей
V  AB   2 .
◙ При вращении тела вокруг двух параллельных осей с угловыми
скоростями  1 и  2 мгновенная угловая скорость абсолютного
вращения равна геометрической сумме составляющих угловых
скоростей
  1   2 .
◙ В случае одинакового (противоположного  2 >  1 ) направления
вращений  = 1   2 (    2  1 ), а ось абсолютного вращения
делит расстояние между осями составляющих вращений внутренним (внешним) образом на части обратно пропорциональные угловым скоростям
.
AC  1  CB   2 .
22
ДИНАМИКА МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
И ТВЕРДОГО ТЕЛА
Динамика точки
◙ Дифференциальные уравнения движения (Д.У.Д.) точки в декартовой системе координат:
mx 
n
 Fkx ;
my 
k 1
n
 Fky ;
mz 
k 1
n
 Fkz ,
k 1
где m – масса, x, y, z – координаты точки; Fkx , Fky , Fkz – проекции
k-ой силы на оси координат.
◙ Д.У.Д. точки в естесственной системе координат:
n
n
n
dV
V2
  Fkn ;
m
  Fk ; m
0   Fkв ,
 k 1
dt k 1
k 1
где m – масса;  – радиус кривизны; Fk , Fkn , Fkв – проекции силы
на касательную, главную нормаль, бинормаль в данной точке траектории.
◙ Основной закон динамики в неинерциальной системе отсчета
n
m a r   Fi  Fеи  Fcи ,
i 1
где
ar – относительное ускорение точки; Fi – i-тая внешняя си-
ла; Fеи   m aе и Fcи   m ac  2 m (  е  Vr ) – переносная и
кориолисова силы инерции.
Геометрия масс механической системы
◙ Координаты центра масс:
1 n
1 n
xc   mk xk ; yc   mk yk ;
m k 1
m k 1
где m 
n
 mk
1 n
zc   mk z k ,
m k 1
– масса механической системы; xk, yk, zk – координаты
k 1
k-той материальной точки, масса которой mk.
23
◙ Момент инерции относительно оси z
Jz 
n
 mk hk2 ,
k 1
где mk – масса k – той точки; hk – расстояние от этой точки до оси z.
◙ Моменты инерции относительно осей координат Oxyz
J x   mk ( yk2  zk2 ) ;
J y   mk ( z k2  xk2 ) ;
J z   mk ( xk2  yk2 ) ,
где ( yk2  zk2 ) , ( zk2  xk2 ) , ( xk2  yk2 ) – квадраты расстояний k-той
точки системы до осей 0x, 0y, 0z соответственно.
◙ Радиус инерции механической системы относительно оси z
  Jz / m ,
где m – масса системы.
◙ Центробежные моменты инерции относительно осей координат Ox и
Oy, Ox и Oz, Oy и Oz соответственно:
J xy 
n
 mk xk yk ;
k 1
J xz 
n
 mk xk zk ;
k 1
J yz 
n
 mk yk zk ,
k 1
где xk , yk , z k – координаты k – той точки системы с массой m k .
◙ Ось Ox называется главной осью инерции для данной точки механической системы, если
J xz  0 .
J xy  0 ;
Ось материальной симметрии механической системы – главная ось
инерции в любой точке этой оси.
Любая прямая, перпендикулярная к плоскости материальной симметрии, является главной осью инерции для точки пересечения прямой с плоскостью.
◙ Теорема Штейнера – Гюйгенса
J z  J cz  md 2 ,
где J z и J cz – моменты инерции относительно оси z и параллельной
ей, центральной оси cz; m – масса системы; d – расстояние между
осями.
24
◙ Осевые моменты инерции однородных пластинок массой m.
Jx
Jy
Jz
mR 2
2
mR 2
4
mR 2
4
mR 2
mR 2
2
mR 2
2
m( R 2  r 2 )
2
m( R 2  r 2 )
4
m( R 2  r 2 )
4
m( a 2  b 2 )
3
mb 2
3
ma 2
3
z
o
O
y
R
x
Диск
z
O
R
y
x
Обруч
z
R
r
rκκ
y
r
x O
Кольцо
z
a
a
b
y
b
x
Прямоугольник
25
Продолжение
z
y
x
a
a
ma 2
3
0
ma 2
3
ma 2
3
0
ma 2
3
Стержень
z
y
x
a
Стержень
Меры движения механической системы
◙ Количество движения механической системы
Q
n
 mkVk
k 1
 mVc ,
где m – масса системы; Vc – скорость центра масс системы.
◙ Проекции количества движения системы на оси координат:
Qx  m xc ; Q y  m y c ; Q z  m zc ,
где xc , yc , zc – координаты центра масс.
◙ Кинетический момент (главный момент количеств движений)
системы относительно точки
K0 
n
n
k 1
k 1
 m0 ( mk Vk )   rk  mk Vk ,
rk – радиус-вектор k-ой точки, проведенный из точки O;
где
mkVk – количество движения k-ой точки.
◙ Кинетический момент относительно неподвижной точки при произвольном движении системы
K0  K Сr  С  mVC ,
где K Сr – кинетический момент относительно центра масс относительного движения по отношению к центру масс;  С – радиус26
вектор центра масс, проведенный из точки O; mVC – количество
движения системы.
◙ Кинетический момент относительно оси вращения твердого тела
K z  J z z .
Здесь J z – момент инерции относительно оси вращения тела;  z –
проекция угловой скорости на ось вращения (алгебраическая угловая
скорость).
◙ Кинетический момент относительно осей Ox и Oy, перпендикулярных оси вращения z твердого тела:
K x   J xz z ; K y   J yz z ,
где J xz , J yz – центробежные моменты инерции.
◙ Кинетический момент относительно неподвижной точки A при движении тела в плоскости материальной симметрии OXY (плоской фигуры)
K A  mA ( mVc )  J zc  z  m( xc y c  xc yc )  J zc z ,
где xc , yc – координаты центра масс; J zc – момент инерции тела относительно центральной оси, перпендикулярной плоскости движения; m – масса тела.
◙ Кинетическая энергия механической системы (теорема Кёнига)
1
T  mVC2  TCr ,
2
n mV r 2
1
2
r
где mVC – кинетическая энергия центра масс; TC   k – ки2
k 1 2
нетическая энергия относительного движения; Vkr – скорость k-ой
точки по отношению к осям Кёнига.
◙ Кинетическая энергия при вращательном движении тела
1
T  J z 2 ,
2
где J z – момент инерции тела относительно оси вращения;  – угловая скорость тела.
◙ Кинетическая энергия при плоском движении тела
1
1
T  mVC2  J zc 2 ,
2
2
где m – масса тела; VC – скорость центра масс; J zc – момент
инерции относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости движения;  – угловая скорость тела.
27
Работа и мощность
◙ Элементарная работа силы
d A  F  dr  FS  dS  F  dS  cos  ,
где FS – проекция силы на направление перемещения точки приложения силы;  – угол между направлениями силы и перемещения.
◙ Работа переменной силы на конечном перемещении
A   FS dS   F cos  dS .
S
S
◙ Элементарная работа пары сил (момента)
d A  M Z d ,
где MZ – проекция момента пары сил на ось вращения; d – положительное приращение угла поворота тела.
◙ Работа пары сил на конечном повороте тела

A   M Z d .
0
◙ Работа пары сил с постоянным моментом MZ = const
A  M Z ,
где  – угол поворота тела в положительном направлении.
◙ Мощность силы
N  F  V  F  V  cos  ,
где  – угол между направлениями силы и скорости точки приложения силы.
◙ Мощность пары сил (момента)
N  M Z Z ,
где Z – проекция угловой скорости на ось вращения.
◙ Мощность пары сил (момента), выраженная через обороты в минуту
n об/мин.
N

M Z n,
30
где  = 3,14; n об/мин – положительная частота вращения тела.
28
◙ Связь между силой поля и потенциальной энергией материальной
точки, помещенной в силовое поле
П
П
П
i
j
k ),
x
y
z
где i , j , k – орты координатных осей.
F   grad П   (
◙ Потенциальная энергия материальной точки в данном положении
силового поля
П=А,
где А – работа сил поля при перемещении точки из данного положения в положение, принятое за ноль потенциальной энергии.
◙ Потенциальная энергия тяжелого тела в поле силы тяжести в случае
направления оси Oz вверх
П = mgz,
где m – масса; g – ускорение свободного падения; z – координата
центра тяжести.
◙ Потенциальная энергия упругодеформированной пружины
П c
2
.
2
Здесь с – жёсткость пружины;  – деформация.
П = 0 при недеформированном положении пружины.
Общие теоремы динамики
◙ Теорема об изменении количества движения системы в интегральной и дифференциальной формах
n
t
n
dQ
e
 F   Fke ,
dt
k 1
Q  Q0    Fke dt ;
k 1 t0
где Q и Q0 – количество движения системы в моменты времени t и
t 0 ; Fke – внешняя сила, приложенная к k-ой точке; F e – главный
вектор внешних сил.
29
◙ Теорема о движении центра масс
dV
m c  Fe,
dt
где m – масса всей системы; Vc – скорость центра масс; F e – главный вектор внешних сил.
◙ Дифференциальные уравнения движения центра масс системы:
m xc  Fxe ; m yc  Fye ; m zc  Fze ,
где xc , yc , zc – координаты центра масс; Fxe , Fye , Fze – проекции
главного вектора внешних сил на оси координат.
◙ Теорема об изменении кинетического момента относительно неподвижной точки и центра масс системы
e
;
K A  M A
K С  M Сe ,
e
где M A
и M Сe – главные моменты внешних сил относительно неподвижной точки А и относительно центра масс.
◙ Теорема об изменении кинетического момента относительно подвижной точки
K  M e  V  m V ,
A
A
A
C
где VA и VC – скорости точки А и центра масс; m – масса системы.
◙ Теорема об изменении кинетической энергии системы в интегральной и дифференциальной формах
dT
 Ne  Ni,
dt
где Aе и Ai – сумма работ внешних и внутренних сил; N е и N i –
сумма мощностей внешних и внутренних сил; T0 – начальная кинетическая энергия системы.
T  T0  Ae  Ai ;
Уравнения простейших движений твёрдого тела
◙ Дифференциальные уравнения поступательного движения тела:
m xc  Fxe ; m yc  Fye ; m zc  Fze ,
где Fxe , Fye , Fze – проекции главного вектора внешних сил на оси
координат.
30
◙ Дифференциальное уравнение вращательного движения
J z   
тела
n
 mz ( Fke )  M zе ,
k 1
где J z – момент инерции тела относительно оси вращения;  –
угол поворота тела; M zе – главный момент внешних сил относительно оси вращения.
◙ Уравнения для определения динамических реакций подшипников
при вращении тела:
X AD  X BD  mYC   mX C 2 ;
YAD  YBD  mYC 2  mX C  ;
aYAD  bYBD  J yz 2  J xz ;
a AD  bX BD  J xz 2  J yz  ;
Z AD  0 .
Здесь а = ОА, b= OB – расстояния от начала координат до опор; m –
масса тела; J yz , J xz – центробежные моменты инерции; ,  – угловая скорость, угловое ускорение тела; xC, yC – координаты центра
масс.
◙ Дифференциальные
m xC 
n

k 1
e
Fkx
;
уравнения
m yC 
n

k 1
плоского
e
Fky
;
J Cz   
движения
тела:
n
 mCz ( Fke ) ,
k 1
где xC, yC – координаты центра масс;  – угол поворота тела; J Cz –
момент инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости
e
e
движения и проходящей через центр масс; Fkx
– проекции
, Fky
внешних сил Fke на оси координат.
31
Метод кинетостатики
◙ Сила инерции точки
F и   ma ,
где m – масса точки; a – ускорение точки.
◙ Проекции силы инерции точки на оси координат
Fxu   m x ;
Fyu   m y ;
Fzu   m z ,
где x, y, z – координаты точки.
◙ Касательная и нормальная составляющая силы инерции точки вращающегося тела
Fu   ma ; Fnu   man ;
2
V
 mh 2 ,
F  m V  mh ; Fnu  m

где h – расстояние от точки до оси вращения тела;  и  – абсолютные значения угловой скорости и углового ускорения тела.
◙ Принцип Даламбера. При движении механической системы в кажu
дый момент времени главный вектор F e и главный момент M 0e
внешних сил уравновешиваются соответственно главным вектором
F и и главным моментом M 0и сил инерции
F е  F и  0 ; M 0е  M 0и  0 .
◙ Силы инерции при поступательном движении тела
F и   m aС ; M Си  0 ,
где m – масса тела; aС – ускорение центра масс; M Cu – главный
момент сил инерции относительно центра масс.
◙ Силы инерции при вращательном движении тела вокруг центральной главной оси инерции Cz
u
u
F u  0 ; M Cx
 0;
 0 ; M Cy
и
M Cz
  J z  z ; M Cu  J z ,
где  z – проекция углового ускорения на ось z,
M Cu – модуль главного момента сил инерции.
32
◙ Силы инерции при плоском движении тела в плоскости материальной симметрии XOY
u
M Cx
0;
u
M Cy
 0;
u
MC
 J C ;
u
M Cz
  J C z ;
F и   m aС ;
F u  maС .
Элементы аналитической механики
◙ Виртуальные (возможные) перемещения точек механической системы – воображаемые бесконечно малые перемещения, допускаемые
связями из данного положения системы при неизменном времени.
◙ При стационарных связях виртуальные перемещения точек системы
пропорциональны возможным скоростям этих точек
 rA V A AP


,
 rB V
BP
B
где точка Р – мгновенный центр скоростей;
 rA и  rB виртуальные перемещения по
модулю точек A и B; VA и VB – возможные
скорости этих точек.
◙ Принцип виртуальных перемещений (принцип Лагранжа). Необходимое и достаточное условие равновесия механической системы с
идеальными, стационарными, удерживающими и голономными связями
 AF 
n
 Fk   rk
k 1
0,
где  AF – работа активных сил Fk на любом виртуальном перемещении k-той точки.
33
◙ Общее уравнение динамики (принцип Даламбера-Лагранжа). Из
всех перемещений точек системы, допускаемых идеальными и удерживающими связями, действительным является то, для которого в
каждый момент времени на любом виртуальном перемещении выполняется равенство
 AF   AF и 
n

k 1
Fk  rk 
n
 Fku   rk
0,
k 1
где  AF и  AF и – работы активных сил и сил инерции на виртуальном перемещении точек  rk .
◙ Уравнения Лагранжа 2-го рода механических систем с идеальными,
удерживающими и голономными связями
d T
T
(
)
 Qi,
dt qi
qi
( i = 1,..., s.).
Здесь q1 ,..., q s ; q1 ,..., q s – обобщённые координаты и обобщённые
скорости; s – число степеней свободы системы; T  T ( qi , qi , t ) – кинетическая энергия; Qi – обобщённые силы.
◙ Обобщённые силы вычисляются по одной из формул
r
Qi   Fk  k ;
qi
k 1
n
AFi
;
Qi 
q i
i
NF
П
; Qi  
.
Qi 
qi
qi
Здесь AFi и N Fi – соответственно работа и мощность активных сил
на виртуальном перемещении qi  0 (q j i  0) ; П – потенциальная
энергия системы; rk ( q1 ,..., q s ; t )  радиус-вектор k–той точки.
34
СОДЕРЖАНИЕ
СТАТИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА
Стр.
Некоторые математические формулы……………………………………3
Операции над силами………………………………………………….......4
Момент силы относительно точки и оси…………………………………5
Пара сил…………………………………………………………………….8
Приведение системы сил к центру………………………………………..8
Связии их реакции…………………………………………………………9
Уравнения равновесия тела………………………………………………11
Сложение параллельных сил и центр тяжести тела……………………13
Условия равновесия тела при наличии сил трения……………….........15
КИНЕМАТИКА
Кинематика материальной точки………………………………………..15
Вращательное движение твёрдого тела…………………………...…....17
Плоскопараллельное движение твёрдого тела………………………....18
Сложное движение точки……………………………………………......20
Сложное движение твёрдого тела……………………………….………21
ДИНАМИКА МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ И ТВЁРДОГО ТЕЛА
Динамика точки…………………………………………………….........23
Геометрия масс механической системы………………………………..23
Меры движения механической системы……………………….......…..26
Работа и мощность……………………………………………………….28
Общие теоремы динамики……………………………………………….29
Уравнения простейших движений твёрдого тела……………………...30
Метод кинетостатики………………………………………….................32
Элементы аналитической механики…………………………………….33
35
Теоретическая механика
Основные понятия, законы и формулы. Справочник
Методические указания к решению задач для студентов всех
специальностей
Составители:
Дубовик Вадим Андреевич.
Жолобова Людмила Георгиевна.
Подписано к печати
Формат 60*84/16. Бумага офсетная.
Печать RISO. Усл. печ. л
, Уч.-изд. л. ,
Тираж
экз. Заказ
. Цена свободная.
Издательство ТПУ. 634050, Томск, пр. Ленина, 30.