МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет
имени Н.Г. Чернышевского»
Балашовский институт (филиал)
УТВЕРЖДАЮ:
Директор БИ СГУ
доцент А.В. Шатилова
_________________
«____» ___________ 20____ г.
Рабочая программа дисциплины
Интервальная математика и надежные вычисления
Направление подготовки
44.03.05 Педагогическое образование
(с двумя профилями подготовки)
Профили подготовки
Математика и информатика
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
Очная
Балашов 2014
СОДЕРЖАНИЕ
1. ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ .......................................................... 3
2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ
ПРОГРАММЫ ....................................................................................................... 3
3. КОМПЕТЕНЦИИ ОБУЧАЮЩЕГОСЯ, ФОРМИРУЕМЫЕ В
ПРОЦЕССЕ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ ................................................... 3
ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОБУЧЕНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ .............................. 4
4. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ И ДИСЦИПЛИНЫ ............................... 5
4.1. ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ ................................................................................. 5
4.2. СТРУКТУРА ДИСЦИПЛИНЫ.......................................................................... 6
4.3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ...................................................................... 6
5. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ ПРИ
ОСВОЕНИИ ДИСЦИПЛИНЫ ........................................................................... 7
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ ОСУЩЕСТВЛЕНИИ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА ПО ДИСЦИПЛИНЕ ............................................ 8
6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ. ОЦЕНОЧНЫЕ
СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ,
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ
ДИСЦИПЛИНЫ.................................................................................................... 8
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ............................. 8
ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ И
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ......................................... 10
7. ДАННЫЕ ДЛЯ УЧЕТА УСПЕВАЕМОСТИ СТУДЕНТОВ В БАРС ... 17
8. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ
ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ................................................................. 20
ЛИТЕРАТУРА ПО КУРСУ ................................................................................... 20
Основная литература .............................................................................. 20
Дополнительная литература .................................................................. 20
ИНТЕРНЕТ-РЕСУРСЫ ........................................................................................ 21
ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ........................................................................ 22
9. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ДИСЦИПЛИНЫ.................................................................................................. 22
2
1. Цели освоения дисциплины
Грамотный специалист, связанный с обработкой данных, полученных из
эксперимента, должен иметь представление о причинах возникновения погрешностей при организации расчетов на компьютере и о методах получения
надежного результата. Данный курс позволит студентам осознать важность
интервального подхода и на практике убедиться в надежности интервальных
вычислений.
Целями освоения дисциплины «Интервальная математика и надежные
вычисления» являются:
 овладение основными фактами, идеями и методами интервального анализа на примерах приближенного вычисления интегралов, решения дифференциальных уравнений, решения систем уравнений;
 знакомство с новой технологией научных вычислений с гарантированными двусторонними оценками искомого результата в случае невозможности получения точного значения;
 знакомство со стандартом на научные вычисления, требующего получения двусторонних гарантированных границ;
 развитие способности применять методы интервального анализа в научных исследованиях.
2. Место дисциплины
в структуре образовательной программы
Дисциплина относится к вариативной части профессионального цикла
(Б3+.ДВ4 Дисциплины по выбору) и изучается в течение 7 и 8 семестров. Для
ее освоения студент должен овладеть компетенциями, знаниями и умениями,
сформированными в результате освоения основных математических дисциплин и дисциплин, связанных с информатикой и входящих в вариативную
часть профессионального цикла, таких как «Математический анализ», «Алгебра и теория чисел» «Геометрия», «Дифференциальные уравнения», «Информатика», «Арифметические и логические основы работы ЭВМ», «Алгоритмизация и программирование», «Численные методы».
3. Компетенции обучающегося,
формируемые в процессе освоения дисциплины
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих
компетенций:
а) общекультурных (ОК):
- владения культурой мышления, способности к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения (ОК-1);
3
- способности логически верно строить устную и письменную речь (ОК-6);
б) общепрофессиональных (ОПК):
- осознания социальную значимость своей будущей профессии, обладания
мотивацией к выполнению профессиональной деятельности (ОПК-1);
- способности нести ответственность за результаты своей профессиональной
деятельности (ОПК-4);
в) специальных (СК):
- способности ориентироваться в основных фактах, идеях и методах математики и информатики, использовать научный язык, методологию программирования, современные компьютерные технологии, применять знания
при решении практических задач (СК-1).
Планируемые результаты обучения по дисциплине
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
знать:
 интервальные модели неопределенности в математике и прикладных
науках;
 примеры ненадежных вычислений;
 принципы организации интервальных и традиционных вычислений;
 определение операций интервальной арифметики;
 законы интервальной арифметики;
 постулируемые свойства машинной арифметики;
 источники возникновения инструментальной погрешности;
 правила организации интервальных процедур при составлении программ;
 примеры интервальной реализации ненадежных алгоритмов: двустороннюю реализацию решения системы линейных алгебраических
уравнений; двустороннюю реализацию решения задачи Коши; двустороннюю реализацию вычисления определенного интеграла;
 оценку точности интервального расчета;
 возможность использования пересечений для уточнения интервального
результата;
 совмещение интервального расчета с другими видами вычислений;
 стандарт на научные вычисления, требующий получения двусторонних
гарантированных границ;
 основы современных технологий сбора, обработки и представления
информации;
уметь:
 строить интервальные продолжения функций;
 выполнять операции интервальной арифметики как интервальные продолжения арифметических действий;
 использовать законы интервальной арифметики;
4
 получать минимальные машинные интервальные расширения;
 реализовывать интервальную вычислительную систему на каком-либо
языке программирования;
 реализовывать ненадежные алгоритмы в интервальной интерпретации;
 решать интервальные системы линейных алгебраических уравнений;
 находить значение определенного интеграла с двусторонней оценкой;
 находить решение задачи Коши с двусторонней оценкой;
 использовать пересечение оценок для уточнения;
 совмещать интервальный расчет с другими видами вычислений;
 использовать в процессе обучения данной дисциплине разнообразные
ресурсы, в том числе потенциал других учебных предметов;
 использовать современное ППО для автоматизации расчетов и проведения компьютерного эксперимента в области интервального анализа;
владеть:
 навыками решения задач в области интервального анализа;
 навыками работы с программными средствами профессионального
назначения, использующими стандарт на научные вычисления, требующий получения двусторонних гарантированных границ;
 способами ориентации в профессиональных источниках информации
(в том числе журналах, сайтах, образовательных порталах);
 различными средствами коммуникации;
 способами совершенствования профессиональных знаний и умений
путем использования образовательной среды БИ СГУ, региона, области, страны.
приобрести опыт:
 ознакомительного и изучающего чтения специальной литературы;
 написания алгоритмов нечеткой (интервальной) математики, закрепляющих навыки программирования;
 решения задач в области программирования основных алгоритмов
курса.
4. Структура и содержание и дисциплины
4.1. Объем дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 7 зачетных единиц, 252
часа, из них: 108 часов аудиторной работы (36 часов лекций, 36 часов практических занятий, 36 часов лабораторных занятий), 117 часов самостоятельной работы. Дисциплина изучается с 7 по 8 семестр, 8 семестр заканчивается
экзаменом, 7 семестр — зачетом.
5
4.2. Структура дисциплины
3
4
7
1-18
1 Введение
интервальную
организацию
вычислений
в
Промежуточная
аттестация
Всего за семестр
2 Двустороннее решение
задач вычислительной
математики
3 Проблема
грубости
композиционного
интервального расчета
5
72
18/4 18/4
Самостоятельная
работа
2
7
8
9
18
18
Контрольная работа
№ 1, Лабораторные
работы №№ 1-9
Зачет в 7 семестре (тест)
0
72
8
9-16
116
8
17-19
37
Промежуточная
аттестация
27
Всего за семестр
Всего
180
252
3
Формы текущего контроля успеваемости (по
неделям семестра)
Формы промежуточной
аттестации (по семестрам)
Практическая
Работа/иф
1
Лабораторная
Работа/иф
Се
мес
тр
Лекции/иф
Раздел дисциплины
Всего часов
№
п/п
Неделя
семест
ра
Виды учебной работы, включая самостоятельную работу
студентов и трудоемкость (в
часах)/из них в интерактивной форме (иф)
18 18
14/4 14/4
4
4
18
18
18
70
0
29
Контрольные работы
№№ 2-3, Лабораторные работы №№ 10-18
Экзамен в 8 семестре
18
36
18
36
18
36
99
117
4.3. Содержание дисциплины
1. ВВЕДЕНИЕ В ИНТЕРВАЛЬНУЮ ОРГАНИЗАЦИЮ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Интервальные модели неопределенности в математике и прикладных науках.
Представление вещественных чисел машинными. Примеры ненадежных вычислений: вычитание близких значений, неустойчивость рекуррентных вычислений и др. Машинная локализация чисел и множеств. Интервальные и
традиционные вычисления. Элементарная теория погрешностей. Локализующие множества и действия над ними. Интервальные функции. Интервальные продолжения. Операции интервальной арифметики как интервальные
продолжения арифметических действий. Законы интервальной арифметики.
Субдистрибутивность. Интервальные продолжения числовых функций. Интервальные расширения. Минимальные машинные интервальные расширения. Постулируемые свойства машинной арифметики. Формат машинных
чисел. Случаи абсолютно точной арифметики. Инструментальная погрешность. Сохранение монотонности машинными арифметическими операциями. Надежность операции сравнения чисел. Вариант реализации интерваль6
ной вычислительной системы. Стандартные интервальные процедуры типа
«приближенное минимальное расширение + мажоризация». Организация интервальных процедур. Составление программ. Интервальные вычисления и
язык PASCAL-XSC. Построение таблицы функции. Построение таблицы
экранных значений и их коррекция. Пересечение результатов. Примеры интервальной реализации ненадежных алгоритмов. Вычитание близких значений. Неустойчивость рекуррентных вычислений. Функции размытого аргумента. Внешние и внутренние оценки. Интервальное решение уравнений с
одной переменной. Интервальный метод Ньютона.
2. ДВУСТОРОННЕЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. Функции размытого аргумента. Внешние и внутренние оценки. Возможность уточнения оценок экстремумов. Интервальные векторы и матрицы.
Система линейных алгебраических уравнений с интервальными коэффициентами (ИСЛАУ). Двусторонняя реализация решения системы линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса. Пример Райхмана. Итерационные
методы решения ИСЛАУ. Интервальные методы для нелинейных систем
уравнений. Постановки задач. Доказательное решение систем уравнений.
Интервальный метод Ньютона, одномерный и многомерный варианты. Методы Кравчика и Хансена — Сенгупты. Понятие о методах распространения
ограничений. Глобальное решение систем нелинейных уравнений. Ограничение области рассмотрения аналитическими и полуаналитическими процедурами. Локализующее интегрирование непрерывных функций. Интегрирование интервальных функций. Явные методы интегрирования обыкновенных
дифференциальных уравнений и систем ОДУ.
3. ПРОБЛЕМА ГРУБОСТИ КОМПОЗИЦИОННОГО ИНТЕРВАЛЬНО РАСЧЕТА. Эффект однократности вхождения аргумента. Ширина локализующего отрезка и точность интервального расчета. Интервальное условие Липшица. Примеры теоретического анализа точности интервального расчета. Точность внешней и внутренней оценки множества значений функции. Проблема уточнения композиционного интервального расширения. Монотонность
по включению в одномерном и многомерном случаях. Использование пересечений. Совмещение интервального расчета с другими видами вычислений.
5. Образовательные технологии,
применяемые при освоении дисциплины
Специфика дисциплины и объем учебного материала предполагают как
традиционную лекционную форму изложения материала, так и использование различных активных и интерактивных форм обучения, причем в интерактивной форме проводится не менее 20% аудиторных занятий. В процессе
7
чтения лекций рекомендуется использовать мультимедийное оборудование
для иллюстрации понятий и фактов из теории и проведения компьютерного
эксперимента с параметрами задач. Для контроля и сопровождения самостоятельной работы студентов рекомендуется использование виртуальной обучающей среды Moodle.
Традиционные образовательные технологии:
– лекции:
– практические занятия;
Активные и интерактивные формы занятий:
– проблемная лекция;
– занятия в форме дискуссий;
– решение кейс-заданий с использованием информационных технологий.
Для обеспечения доступности обучения инвалидам и лицам с ограниченными возможностями здоровья учебные материалы могут быть адаптированы с учетом особых потребностей: в печатных материалах укрупнен шрифт,
произведена замена текста аудиозаписью, использованы звуковые средства
воспроизведения информации.





Информационные технологии, используемые
при осуществлении образовательного процесса по дисциплине
Использование информационных ресурсов, доступных в информационнотелекоммуникационной сети Интернет (см. перечень ресурсов в п. 8
настоящей программы).
Свободно распространяемое (например, free pascal) или лицензионное
программное обеспечение для написания программ на языке высокого
уровня.
Выполнение лабораторных работ в среде табличного процессора Excel
или в Delphi.
Свободно распространяемые ресурсы PASCAL-XSC для написания программ.
Использование Microsoft Office для создания комплексных электронных
документов.
6. Учебно-методическое обеспечение
самостоятельной работы студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
Самостоятельная работа студентов по дисциплине
К самостоятельной работе студентов (СРС) относится: детальная проработка лекций, самостоятельное доказательство указанных преподавателем
теорем, рекомендованной учебной литературы, выполнение домашних заданий, подготовка к контрольным работам, выполнение контрольных работ,
8
решение кейс-заданий, выполнение лабораторных работ. Методические указания для самостоятельного решения и разобранные примеры можно найти в
указанных параграфах рекомендованной литературы. Преподаватель контролирует и оценивает выполнение домашних заданий, контрольных работ,
кейс-заданий, активность на практических и лекционных занятиях проблемного характера. Все виды контроля находят количественное отражение в текущем и итоговом рейтинге студента по дисциплине.
Для контроля текущей успеваемости и промежуточной аттестации используются рейтинговая и информационно-измерительная системы оценки
знаний.
Система текущего контроля включает:
 контроль общего посещения;
 контроль активности студента на занятиях, включая активность при
опросах, проведении проблемных лекций и дискуссий;
 контроль выполнения студентами заданий лабораторных работ;
 контроль знаний, умений, навыков усвоенных в данном курсе в форме
итогового компьютерного тестирования в системе CyberTest
 контроль знаний, умений, навыков усвоенных в данном курсе в форме
письменной контрольной работы.
Компьютерное тестирование представляет собой интерактивное выполнение теста с выбором ответа или вводом ответа в диалоге с компьютером в учебных компьютерных классах. Число вариантов ответов на каждое
задание — не менее 4-х. Рекомендуемое число заданий в тестовом варианте
(индивидуально формируемом случайным образом комплекте вопросов) —
не менее 10 и не более 25 заданий. Продолжительность сеанса тестирования
— не более 90 минут. Рекомендуемое число различных вариантов каждого
вопроса — не менее 3-х. Планируется итоговое тестирование при освоении
модуля.
Самостоятельная работа на практическом занятии предназначена для
оперативного контроля успеваемости, занимает 20-30% времени
практического занятия. Планируется 8 самостоятельных работ при освоении
дисциплины.
Контрольная работа проводится в запланированное время (планируется
3 контрольные работы при освоении дисциплины) и предназначена для оценки знаний, умений и навыков, приобретенных в процессе теоретических и
практических занятий курса.
Лабораторная работа имеет индивидуальный характер. Планируется 18
лабораторных работ при освоении дисциплины.
Оценка за контрольную работу, лабораторную работу или тест
выставляется в соответствии со следующими критериями:
 оценка «отлично» (5 баллов) - 80-100% правильно решенных заданий;
 оценка «хорошо» (4 балла) - 65-79% правильно решенных заданий;
9
 оценка «удовлетворительно» (3 балла) - 50 -64% правильно решенных
заданий;
 оценка «неудовлетворительно» - 49% и менее правильно решенных
заданий.
Если в качестве итогового контроля освоения дисциплины (промежуточной аттестации) запланирован зачет, то зачет выставляется, если студент
имеет рейтинг в семестре не менее 50%.
На практическом занятии со студентами подробно рассматриваются типовые примеры по указанной теме, обсуждается ход решения, анализируются
возможные варианты.
Оценочные средства
для текущего контроля успеваемости
и промежуточной аттестации по дисциплине
Контрольная работа № 1
Интервальный и традиционный расчет. Направленное округление
1. Проведите вычисления с использованием операций интервальной арифметики и правил теории погрешностей:
[4; 6]  [3,5; 3, 7] 
[2,1; 2, 7]
.
[2; 4]
2. Вычислите, используя направленное округление в вычислительной системе с тремя знаками после запятой:
[4; 6, 78]  [3,53; 3, 721] 
[2; 7]
.
[1, 2; 4,1]
3. Для данного значения аргумента и данной функции предложите несколько
схем вычисления значений функции и проведите расчеты. Сравните результаты.
x  [1; 3], f ( x)  x5  3x 2  x  1.
x  [2, 7; 3], f ( x)  x  sin x.
Контрольная работа № 2
Построение объединенного множества решений (ОМР) интервальной
системы линейных алгебраических уравнений (ИСЛАУ). Локализация
ОМР итерационными методами
1. Построить объединенное множество решений интервальной системы линейных алгебраических уравнений и найти его интервальную оболочку:
[2; 4]x1  [2; 0]x2  [2; 2],

[1; 0]x1  [2; 4]x2  [2; 2].
2. Локализовать ОМР данной ИСЛАУ итерационным методом.
10
Контрольная работа № 3
Интегрирование интервальных функций. Методы интегрирования
обыкновенных дифференциальных уравнений
3
1. Вычислить определенный интеграл
 x e dx
2 x
интервальным методом тра-
0
пеций.
y  yx  x 2 , y0  [1; 3]. Решить эту задачу одношаговым методом Мура с шагом h  0,1 на отрезке [0; 2].
2. Дана задача Коши:
Лабораторная работа № 1
Примеры ненадежных вычислений
Задание. Проверить ненадежность вычислений при вычитании близких величин, суммировании ряда до машинной стабилизации, накопление ошибок в
рекуррентных вычислениях. Сделать вывод.
Лабораторная работа № 2
Реализация приближенных вычислений
Задание. Используя правила теории погрешностей, организовать процедуры
арифметических операций с получение приближенного значения и абсолютной погрешности и составить программу на паскале вычисления значения
[2,1; 2, 7]
[4; 6]  [3,5; 3, 7] 
.
[2;
4]
данного рационального выражения:
Лабораторная работа № 3
Организация интервальных процедур
Задание. Используя определение интервальных арифметических операций,
организовать процедуры реализации интервальных арифметических операций и составить программу на паскале вычисления значения данного рацио[2,1; 2, 7]
[4; 6]  [3, 5; 3, 7] 
.
[2;
4]
нального выражения:
Сравнить полученный результат с результатом, полученным с помощью теории погрешностей.
Лабораторная работа № 4
Организация интервальных процедур с направленным округлением
Задание. Организовать процедуры интервальных арифметических операций
с направленным округлением определенной длины, проверить их корректность на различных участках множества машинных чисел, вычислить значе[2,17; 2, 73]
ния рационального выражения [4, 23; 6,54]  [3,52; 3, 76] 
при
[2,56; 4, 43]
различной длине направленного округления.
11
Лабораторная работа № 5
Организация минимального интервального расширения
Задание: Организовать процедуры интервальных арифметических операций
с минимальным (в последнем разряде мантиссы) направленным округлением,
составить программу на паскале получения таблицы функции, указанной
преподавателем, с заданным шагом на заданном промежутке.
Лабораторная работа № 6
Организация интервальных расчетов на PASCAL-XSC
Задание. Используя предопределенные интервальные типы, функции и процедуры языка PASCAL-XSC, составить программу таблицы функции, указанной преподавателем, с заданным шагом на заданном промежутке. Сравнить с
результатом предыдущей работы.
Лабораторная работа № 7
Программная реализация интервального метода Ньютона
Задание. Используя процедуры интервальных арифметических операций с
направленным округлением, пересечения локализующих множеств, составить программу на паскале реализация интервального метода Ньютона для
fi ( x)  0 на указанном промежутке:
f1 ( x)  x 4  12 x3  47 x 2  60 x, f 2 ( x)  f1 ( x)  24, f 3 ( x)  f1 ( x)  24,1.
нахождения корней уравнения
x  [3; 8],
Лабораторная работа № 8
Реализация метода Ньютона на PASCAL-XSC
Задание. Составить программу на PASCAL-XSC реализация интервального
метода Ньютона для нахождения корней уравнения
промежутке:
x  [3; 8],
fi ( x)  0 на указанном
f1 ( x)  x 4  12 x3  47 x 2  60 x, f 2 ( x)  f1 ( x)  24, f 3 ( x)  f1 ( x)  24,1.
Лабораторная работа № 9
Реализация суммирования рядов на PASCAL-XSC
Задание. Составить программу на PASCAL-XSC реализации интервального
суммирования указанных преподавателем рядов.
Лабораторная работа № 10
Интервальная реализация метода Гаусса
Задание: Используя процедуры интервальных арифметических операций с
минимальным направленным округлением, составить программу на паскале
и на PASCAL-XSC решения ИСЛАУ методом Гаусса. Сравнить результаты.
12
[2; 0]
[1; 0] 
 [5; 5]
 [2; 2] 




 [2; 0] [10;10] [3;  1]   x   [5; 5]  .
 [2;  1] [4;  2] [10;10] 
 [0; 0] 




Лабораторная работа № 11
Интервальная реализация итерационного решения
системы линейных алгебраических уравнений
Задание: Используя процедуры интервальных арифметических операций с
минимальным направленным округлением, составить программу на паскале
и на PASCAL-XSC решения ИСЛАУ методом итераций и методом Зейделя.
[2; 0]
[1; 0] 
 [5; 5]
 [2; 2] 




 [2; 0] [10;10] [3;  1]   x   [5; 5]  .
 [2;  1] [4;  2] [10;10] 
 [0; 0] 




Сравнить результаты с результатами работы № 10.
Лабораторная работа № 12
Интервальная реализация метода прогонки
Задание: Используя процедуры интервальных арифметических операций с
минимальным направленным округлением, составить программу на паскале
и на PASCAL-XSC решения ИСЛАУ методом прогонки.
[2; 0]
[0; 0] 
 [5; 5]
 [2; 2] 




 [2; 0] [10;10] [3;  1]   x   [5; 5]  .
 [0; 0] [4;  2] [10;10] 
 [0; 0] 




Лабораторная работа № 13
Локализующее вычисление определенного интеграла
Задание: Используя процедуры интервальных арифметических операций с
минимальным направленным округлением, составить программу на паскале
3
и на PASCAL-XSC вычисления определенного интеграла
 x e dx
2 x
интер-
0
вальными методами прямоугольников и трапеций.
Лабораторная работа № 14
Локализующее вычисление определенного интеграла
Задание: Используя процедуры интервальных арифметических операций с
минимальным направленным округлением, составить программу на паскале
3
и на PASCAL-XSC вычисления определенного интеграла
2 x
x
 e dx интер0
вальным методом Симпсона. Сравнить с результатом работы № 13.
13
Лабораторная работа № 15
Локализующее вычисление несобственного интеграла
Задание: Используя процедуры интервальных арифметических операций с
минимальным направленным округлением, составить программу на паскале
и на PASCAL-XSC локализующего вычисления несобственного интеграла

x2
1 e x dx .
Лабораторная работа № 16
Интервальная реализация решения задачи Коши
Задание: Используя процедуры интервальных арифметических операций с
направленным округлением, решить задачу Коши в обычной и в интервальной постановке методами Мура, Эйлера и методом двойной аппроксимации.
Сравнить результаты. Составить программу на паскале и на PASCAL-XSC.
 dy
 x 2 y  x,

x [0; 2], h  0, 01; h  0, 0001.
 dx

 y (0)  [2; 2],
Лабораторная работа № 17
Интервальные методы Рунге — Кутты s-го порядка
Задание: Используя процедуры интервальных арифметических операций с
направленным округлением, решить задачу Коши методом Рунге — Кутты 4го порядка. Сравнить результаты программ на паскале и на PASCAL-XSC.
 dy
 x 2 y  x,

x [0; 2], h  0, 01; h  0, 0001.
 dx

 y (0)  [2; 2],
Лабораторная работа № 18
Интервальное решение систем ОДУ
Задание: Используя процедуры интервальных арифметических операций с
направленным округлением, решить задачу Коши для системы ОДУ. Сравнить результаты программ на паскале и на PASCAL-XSC.
 dy
 dx  3 y  z, y (0)  1;1,1 ,
x  [0; 2], h  0, 01; h  0, 0001.

dz
  10 y  4 z, z (0)   2; 2,1 ,
 dx
ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ ОЦЕНКИ ОСТАТОЧНЫХ ЗНАНИЙ
Контрольно-измерительные материалы проверяют остаточные знания
студента. Тестовые задания направлены на применение усвоенных ранее
знаний в типовых ситуациях. При установлении нормы трудности заданий
14
учитывалась форма ТЗ (закрытая, сопоставление), длина последовательности
умозаключений для получения окончательного ответа. Компьютерное тестирование представляет собой интерактивное выполнение теста с выбором ответа или вводом ответа в диалоге с компьютером в учебных компьютерных
классах. Число вариантов ответов на каждое задание — не менее 4-х. Рекомендуемое число заданий в тестовом варианте (индивидуально формируемом
случайным образом комплекте вопросов) — не менее 10 и не более 25 заданий. Продолжительность сеанса тестирования — не более 90 минут. Рекомендуемое число различных вариантов каждого вопроса — не менее 3-х.
Демонстрационный вариант теста
1. Известно, что размеры прямоугольной комнаты, измеренные с помощью
рулетки с делениями по 1 см, равны 10,09 м и 5,21 м. Площадь комнаты, записанная со всеми верными цифрами и одной запасной, выраженная в м 2,
равна
1) 52,5689
2) 52,6
3) 53
4) 52,57
2. Пусть c  a  b, и приближённое число c  23,58 записано со всеми верными цифрами. Предельная абсолютная погрешность  a числа a равна
0,001. Тогда предельная абсолютная погрешность b числа b не может быть
больше …
1) 0,004
2) 0,009
3) 0,001
4) 0,005
3. Пусть c  a  b, и приближённое число c  103,8 записано со всеми верными цифрами. Предельная абсолютная погрешность b числа b равна
0,001. Тогда в записи приближенного числа a  231,45897 количество верных цифр не менее …
1) 8
2) 5
3) 6
4) 4
4. Числа 0,273 , 2,73 , 27,3 , 273 выражают в метрах длину листа бумаги,
высоту комнаты, длину спортивного зала и расстояние между двумя автобусными остановками соответственно и записаны только с верными цифрами. Какое измерение произведено более качественно?
1) Все одинаково
2) Первое
3) Четвёртое
4) Первое и третье
5. Сумма [−3; 5] + [−8; −2] равна
1) [−3; 5] ∪ [−8; −2]
2) [−11; 3]
3) [−8; 5]
4) [−3; −2]
6. Произведение [−3; 5] ∙ [−8; −2] равно
1) [−3; 5] ∪ [−8; −2]
2) [−11; 3]
3) [−40; 24]
4) [24; −10]
7. Частное [−3; 5]: [−8; −2]
1) равно [−2,5; 0,375]
2) не определено
3) равно [−40; 24]
4) [−2,5; 1,5]
8. Интервальное решение уравнения [1; 2]𝑥 + [2; 5] = [7; 21] равно
1) [5; 8]
2) [−3; 5]
3) [2; 9,5]
4) [1; 19]
9. Решение уравнения [1; 2]𝑥 + [2; 5] = [7; 21], найденное методом исключения, равно
15
1) [5; 8]
2) [−3; 5]
3) [2; 9,5]
4) [1; 19]
10. Объединенное множество решений уравнения [1; 2]𝑥 + [2; 5] = [7; 21]
равно
1) [5; 8]
2) [−3; 5]
3) [2; 9,5]
4) [1; 19]
Методическое обеспечение
№ вопроса
№ прав. ответа
1
2
2
1
3
4
4
1
5
2
6
3
7
4
8
1
9
3
10
4
Контрольные вопросы по курсу
1. Интервальные модели неопределенности в математике и прикладных
науках.
2. Представление вещественных чисел машинными.
3. Примеры ненадежных вычислений.
4. Машинная локализация чисел и множеств.
5. Локализующие множества и действия над ними.
6. Интервальные функции. Интервальные продолжения.
7. Операции интервальной арифметики как интервальные продолжения
арифметических действий.
8. Законы интервальной арифметики.
9. Интервальные продолжения числовых функций.
10.Интервальные расширения. Минимальные машинные интервальные расширения.
11.Постулируемые свойства машинной арифметики. Формат машинных чисел.
12.Случаи абсолютно точной арифметики. Инструментальная погрешность.
13.Сохранение монотонности машинными арифметическими операциями.
14.Реализация интервальной вычислительной системы. Стандартные интервальные процедуры типа «приближенное минимальное расширение +
мажоризация».
15.Организация интервальных процедур. Составление программ.
16.Построение таблицы функции.
17.Пересечение результатов.
18.Пример интервальной реализации ненадежных алгоритмов: вычитание
близких значений.
19.Пример интервальной реализации ненадежных алгоритмов: неустойчивость рекуррентных вычислений.
20.Функции размытого аргумента. Внешние и внутренние оценки. Возможность уточнения оценок экстремумов.
21.Построение ОМР ИСЛАУ.
22.Двусторонняя реализация решения системы линейных алгебраических
уравнений методом Гаусса.
23.Двусторонняя реализация решения системы линейных алгебраических
уравнений итерационным методом.
16
24.Эффект однократности вхождения аргумента. Ширина локализующего
отрезка и точность интервального расчета.
25.Интервальное условие Липшица.
26.Примеры теоретического анализа точности интервального расчета. Точность внешней и внутренней оценки множества значений функции.
27.Проблема уточнения композиционного интервального расширения.
28.Монотонность по включению в одномерном и многомерном случаях. Использование пересечений.
29.Локализующее вычисление интегралов.
30.Интервализация остатка квадратурной формулы.
31.Интервальные аналоги методов прямоугольников.
32.Интервальный аналог метода трапеций.
33.Интервальный аналог метода Симпсона.
34.Интервальная постановка задачи Коши.
35.Методы Мура.
36.Методы Рунге-Кутты.
37.Совмещение интервального расчета с другими видами вычислений.
38.Вычислительные системы и среды со встроенными интервальными процедурами.
7. Данные для учета успеваемости студентов в БАРС
Таблица максимальных баллов по видам учебной деятельности
1
Семестр
7
8
2
Лекции
7
7
3
4
5
6
7
8
Автоматизиро- Другие виды
Лабораторные Практические СамостоятельПромежуточванное тести- учебной деязанятия
занятия
ная работа
ная аттестация
рование
тельности
36
36
8
8
22
28
0
0
0
0
27
21
9
Итого
100
100
Программа оценивания учебной деятельности студента
7 семестр
Лекции
Посещаемость, опрос, активность и др. за один семестр – от 0 до 7 баллов.
Критерии оценивания:
 количество посещенных студентом лекций, выраженное в процентах,
умножается на 5 баллов. Таким образом, посещаемость за семестр оценивается от 0 до 5 баллов;
 активность студента за семестр на занятиях, включая активность при
опросах, проведении проблемных лекций и дискуссий, оценивается от 0
до 2 баллов.
Лабораторные занятия
Каждая лабораторная работа оценивается в 4 балла.
17
Критерии оценивания: процент выполненных заданий каждой лабораторной
работы умножается на 4.
Практические занятия
Посещаемость, опрос, активность и др. за один семестр – от 0 до 8 баллов.
Критерии оценивания:
 количество посещенных студентом практических занятий, выраженное в
процентах, умножается на 2 балла. Таким образом, посещаемость за семестр оценивается от 0 до 2 баллов;
 активность студента за семестр на практических занятиях, включая активность при работе у доски, опросах, дискуссиях, оценивается от 0 до 3
баллов;
 активность при выполнении домашних заданий оценивается за семестр от
0 до 3 баллов.
Самостоятельная работа
1.
Самостоятельная работа № 1 (от 0 до 3 баллов).
2.
Самостоятельная работа № 2 (от 0 до 3 баллов).
3.
Контрольная работа № 1 (от 0 до 10 баллов).
4.
Самостоятельная работа № 3 (от 0 до 3 баллов).
5.
Самостоятельная работа № 4 (от 0 до 3 баллов).
Критерии оценивания:
процент выполненных заданий каждой контрольной или самостоятельной
работы умножается на максимальное количество баллов за работу.
Автоматизированное тестирование
Не предусмотрено.
Другие виды учебной деятельности
Не предусмотрены.
Промежуточная аттестация
23-27 баллов – ответ на «отлично»;
18-22 баллов – ответ на «хорошо»;
13-17 баллов – ответ на «удовлетворительно»;
0-12 баллов – неудовлетворительный ответ.
Таким образом, максимально возможная сумма баллов за все виды учебной
деятельности студента за 7 семестр составляет 100 баллов.
Пересчет полученной студентом суммы баллов по дисциплине в зачет
50-100 баллов
«зачтено»
меньше 50 баллов
«не зачтено»
18
8 семестр
Лекции
Посещаемость, опрос, активность и др. за один семестр – от 0 до 7 баллов.
Критерии оценивания:
 количество посещенных студентом лекций, выраженное в процентах,
умножается на 5 баллов. Таким образом, посещаемость за семестр оценивается от 0 до 5 баллов;
 активность студента за семестр на занятиях, включая активность при
опросах, проведении проблемных лекций и дискуссий, оценивается от 0
до 2 баллов.
Лабораторные занятия
Каждая лабораторная работа оценивается в 4 балла.
Критерии оценивания: процент выполненных заданий каждой лабораторной
работы умножается на 4.
Практические занятия
Посещаемость, опрос, активность и др. за один семестр – от 0 до 8 баллов.
Критерии оценивания:
 количество посещенных студентом практических занятий, выраженное в
процентах, умножается на 2 балла. Таким образом, посещаемость за семестр оценивается от 0 до 2 баллов;
 активность студента за семестр на практических занятиях, включая активность при работе у доски, опросах, дискуссиях, оценивается от 0 до 3
баллов;
 активность при выполнении домашних заданий оценивается за семестр от
0 до 3 баллов.
Самостоятельная работа
1. Самостоятельная работа № 5 (от 0 до 3 баллов).
2. Самостоятельная работа № 6 (от 0 до 3 баллов).
3. Контрольная работа № 2 (от 0 до 8 баллов).
4. Самостоятельная работа № 7 (от 0 до 3 баллов).
5. Самостоятельная работа № 8 (от 0 до 3 баллов).
6. Контрольная работа № 3 (от 0 до 8 баллов).
Критерии оценивания:
процент выполненных заданий каждой контрольной работы или теста умножается на максимальное количество баллов за контрольную работу или тест.
Автоматизированное тестирование
Не предусмотрено.
Другие виды учебной деятельности
Не предусмотрено.
19
Промежуточная аттестация
18-21 баллов – ответ на «отлично»;
13-17 баллов – ответ на «хорошо»;
9-12 баллов – ответ на «удовлетворительно»;
0-8 баллов – неудовлетворительный ответ.
Таким образом, максимально возможная сумма баллов за все виды учебной
деятельности студента за семестр составляет 100 баллов.
Пересчет полученной студентом суммы баллов по дисциплине в оценку
85-100 баллов
«отлично»
65-84 балла
«хорошо»
40-64 балла
«удовлетворительно»
меньше 40 баллов
«неудовлетворительно»
8. Учебно-методическое и информационное
обеспечение дисциплины
Литература по курсу
Основная литература
1. Интервальная математика и надежные вычисления [Электронный ресурс] :
метод. указания к курсу для студентов направления 010500 "Прикладная математика и информатика" / Федер. гос. бюджет. образоват. учреждение высш.
проф. образования "Саратовский государственный университет имени Н. Г.
Чернышевского", Балаш. ин-т (фил.) ; авт.-сост. М. А. Ляшко. - Балашов : [Б.
и.], 2011. - 14 с. – Режим доступа: http://library.sgu.ru/cgibin/irbis64r_91/cgiirbis_64.exe?C21COM=F&I21DBN=LINK&P21DBN=http://li
brary.sgu.ru/uch_lit/473.pdf . – Загл. с экрана.
Дополнительная литература
1. Алефельд, Г. Введение в интервальные вычисления [Электронный ресурс] :
Пер. с англ. / Г. Алефельд, Ю. Херцбергер. – М.: Мир, 1987. – 360 с. – Режим
доступа: http://www.nsc.ru/interval/Library/InteBooks/AlefeHerz.pdf. – Загл. с
экрана.
2. Добронец, Б.С. Интервальная математика [Электронный ресурс] : учеб.
пособ. / Б. С. Добронец, Краснояр. гос. ун-т. – Красноярск : Изд. центр Краснояр. гос. ун-та, 2004. – 216 с. – Режим доступа:
http://www.nsc.ru/interval/Library/InteBooks/InteMath.pdf . – Загл. с экрана.
20
3. Двусторонние численные методы [Текст] / Б. С. Добронец, В. В. Шайдуров. –
Новосибирск : Наука, Сиб. отд-ние, 1990. –208 с.
4. Жолен, Л. Прикладной интервальный анализ [Текст] / Л. Жолен, М. Кифер,
О. Дидри, Э. Вальтер. – М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований,
2005. – 468 с.
5. Калмыков, С. А. Методы интервально анализа [Текст] / С. А. Калмыков, Ю.
И. Шокин, З.Х. Юлдашев. – Новосибирск: Наука, 1986. – 224 с. URL:
http://www.nsc.ru/interval/index.php?j=Library/InteBooks/index
6. Кулиш, У. Достоверные вычисления. Базовые численные методы [Текст] / У.
Кулиш, Д. Рац, Р. Хаммер, М. Хокс. Пер. с англ. – М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005. – 496 с. – (Компьютерные математические вычисления).
7. Меньшиков, Г.Г. Интервальный анализ и методы вычислений [Текст] : конспект лекций. Выпуски 1-9 / Г. Г. Меньшиков. – С.-Петербург: Из-во СпГУ,
1996 - 99.
1.
2.
3.
4.
5.
Интернет-ресурсы
Интервальный анализ и его приложения [Электронный ресурс]. –
URL: http://www.nsc.ru/interval/ Этот веб-сайт содержит информацию и
ссылки по различным аспектам интервального анализа и его приложений
внутри самой математики и на практике. Разделы сайта «Программное
обеспечение»,
«Электронная
библиотека»,
«Научная
жизнь»,
«Образование», «Приложения», «Интерактивный решатель» содержат все
необходимое для освоения данной дисциплины и решения прикладных
задач с нечеткими входными данными.
Образовательный математический сайт [Электронный ресурс]. – URL:
http://www.exponenta.ru
Содержит
материалы
по
работе
с
математическими пакетами Mathcad, MATLAB, Mathematical Maple и др.,
методические разработки, примеры решения задач, выполненные с
использованием математических пакетов. Форум и консультации для
студентов и школьников.
Электронная библиотека СГУ
[Электронный ресурс]. – URL:
http://library.sgu.ru/
Cайт Института прикладной математики (II) ун-та г. Карлсруэ
[Электронный ресурс]. – URL: http://www.uni-karlsruhe.de/~iam/lehrstuhl2e.html . На сайте размещен ряд материалов, посвященных концепции достоверных вычислений и ее воплощению в соответствующее программное обеспечение: специальный раздел содержит сведения о языке PASCAL-XSC.
PASCAL-XSC [Электронный ресурс]. – URL: http://www.xsc.de
21
Программное обеспечение
1. Программное обеспечение компьютеров: MS Office или Ореn Office;
2. Среда виртуального обучения Moodle;
3. Электронная среда создания, редактирования и проведения тестов
CiberTest.
4. Свободно распространяемые ресурсы PASCAL-XSC для написания программ.
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины
 Библиотека с информационными ресурсами на бумажных и электронных носителях.
 Стандартно оборудованная лекционная аудитория № 35 для проведения интерактивных лекций: видеопроектор, интерактивная доска,
компьютер, обычная доска, пластиковая доска.
 Компьютерные классы с доступом к сети Интернет (аудитории №№
24, 25).
 Офисная оргтехника.
Рабочая программа дисциплины «Интервальная математика и
надежные вычисления» составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО
по направлению подготовки 44.03.05 «Педагогическое образование (с двумя
профилями подготовки)» и профилям «Математика» и «Информатика»
(квалификация (степень) «бакалавр») и требованиями приказа Министерства
образования и науки РФ № 1367 от 19.12.2013 г. о порядке организации и
осуществления образовательной деятельности по образовательным
программам высшего образования — программам бакалавриата, программам
специалитета, программам магистратуры.
Программа разработана актуализирована в 2014 г. (одобрена на
заседании кафедры математики, протокол № 3 от «17» октября 2014 года).
Автор:
к.ф.-м.н. доцент
Ляшко М.А.
Зав.кафедрой математики
к.ф.-м. н. доцент
Ляшко М.А.
Декан факультета МЭИ
к.п.н. доцент
(факультет, где разрабатывалась программа)
Кертанова В.В.
Декан факультета МЭИ
к.п.н. доцент
(факультет, где реализуется программа)
Кертанова В.В.
22