010102MFKvlinElS - Санкт-Петербургский государственный

ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
САНКТ – ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
МАТЕМАТИКО-МЕХАНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
УТВЕРЖДАЮ
Принята на заседании
кафедры математической физики
Декан факультета,
профессор
Зав. кафедрой,
профессор
Н.Н. Уральцева
Г.А. Леонов
ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
"Квазилинейные эллиптические системы"
Специальность – 01.01.02 «Дифференциальные уравнения, динамические системы
и оптимальное управление»
Санкт – Петербург
2012 г.
1. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ
Основная задача курса — дать аспиранту общее представление о специфике
исследования проблемы регулярности для эллиптических систем уравнений.
Целью курса является формирование навыков исследования качественных свойств
решений квазилинейных систем уравнений современными методами.
Слушатели курса должны овладеть теоретическими основами современных
методов исследования регулярности квазилинейных эллиптических систем уравнений и
научиться применять полученные знания для исследования конкретных прикладных
задач.
Построение курса подразумевает изучение всех известных на сегодняшний день
методов исследования качественных свойств обобщенных решений краевых задач для
квазилинейных систем уравнений.
2. ОБЪЕМ КУРСА
Продолжительность обучения
Общая трудоемкость
Всего аудиторных занятий
из них: лекций
Самост. работа
2 семестра (1-2 семестр)
68 часов
34 часа
34 часа
34 часа
Изучение дисциплины, формы контроля:
1 семестр:
2 семестр:
лекции – 34 ч.
сам. работа - 34 ч., зачет
3. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
РАЗДЕЛ 1. Введение
Контрпримеры регулярности для линейных и квазилинейных систем уравнений.
Описание возможных сингулярных множеств в терминах хаусдорфовой меры множеств.
Оценка возможных сингулярностей у функций из пространств Соболева.
РАЗДЕЛ 2. Доказательство частичной регулярности методом от противного
Доказательство основной итерационной леммы при условии достаточной
малости нормализованной локальной энергии решения. Теорема о частичной
регулярности решения. Метод компактности.
РАЗДЕЛ 3. Прямой метод исследования регулярности
Обратные неравенства Гельдера. Теорема о повышении степени интегрируемости
функций, удовлетворяющих обратным неравенствам Гельдера с разными носителями.
Обобщение леммы Геринга. Вывод обратных неравенств для градиента обобщенного
решения системы. Метод замораживания коэффициентов при доказательстве частичной
регулярности с использованием теоремы о повышении степени интегрируемости
градиента решения.
РАЗДЕЛ 4. Метод А-гармонической аппроксимации.
Лемма
об
А-гармонической
аппроксимации.
Применение
этой
леммы
к
исследованию регулярности решений линейных систем уравнений. Доказательство
классической
гладкости
решений
краевых
задач
методом
А-гармонической
аппроксимации. Дополнительные оценки типа Кампанато для модельных задач.
Исследование регулярности квазилинейных эллиптических систем этим методом.
Примерный перечень вопросов к экзамену по всему курсу
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Классические контрпримеры регулярности для линейных и квазилинейных систем
уравнений.
Описание возможных сингулярных множеств в терминах меры Хаусдорфа.
Вывод итерационной леммы для решений квазилинейной системы при условии
малой локальной нормализованной энергии решения.
Доказательство частичной регулярности обобщенного решения квазилинейной
системы методом от противного (метод компактности).
Теорема об обратных неравенствах Гельдера с разными носителями, в том числе
лемма об оценке интеграла Стильтьеса.
Вывод обратных неравенств для обобщенного решения системы. Обратные
неравенства в окрестности границы для обобщенных решений задач Дирихле и
Неймана.
Доказательство частичной регулярности прямым методом (метод замораживания
коэффициентов с применением теоремы об обратных неравенствах).
Лемма об А-гармонической аппроксимации.
Доказательство частичной гладкости решения (непрерывности по Гельдеру) для
решений квазилинейных систем с помощью А-гармонической аппроксимации.
Доказательство гладкости градиента решения в окрестности точки непрерывности
с помощью А-гармонической аппроксимации. Уточненные оценки Кампанато для
модельной задачи.
Регулярность решений у границы. Метод А-гармонической аппроксимации.
4. ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. А.А. Архипова . Регулярность решений краевых задач для линейных уравнений и
систем эллиптического типа. Учебное пособие. Изд-во СПбГУ, 1998.
2. Giaquinta M. Multiple integrals in the calculus of variations and nonlinear elliptic systems.
Princeton, 1983
3. Troianiello G.M. Elliptic Differential Equations and Obstacle Problems.NY.1987.
4. Duzaar F., Grotowski J.F. Optimal interior partial regularity for nonlinear elliptic systems:
The method of a-harmonic approximation. Manuscripta Math. V. 103, 2000, 267-298.
5.Kristensen J., Mingione G. The existence of regular boundary points for nonlinear elliptic
systems. J. Reine Angew. Math. V. 602, 2007, 17-58.
Дополнительная
1. Grotowski J.F. Boundary regularity for nonlinear elliptic systems. Calc. Var. Part. Diff.
Equat.,v. 15, 2002, 353-388.
2. Giaquinta M. A counter-example to the boundary regularity of solutions to elliptic quasilinear
systems. Manuscripta Math., v.14, 1978, 217-220.
СОСТАВИТЕЛЬ:
A. A. Архипова,д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры математической физики СПбГУ
РЕЦЕНЗЕНТЫ:
В.Г. Осмоловский, доктор физ-мат наук,профессор
Н.Н. Уральцева, доктор физ.-мат. наук, профессор, завед.кафедрой математической
физики