Lekciya2

Лекция 2
Принципы построения и постулаты квантовой механики. Операторы физических величин
Как следует из опытов по дифракции микрочастиц, в квантовой механике отсутствует
понятие траектории, т.е. состояние квантовой частицы не описывается заданием координаты и
импульса. Или, другими словами, состояние описывается меньшим, чем в классической
механике, числом параметров. Это приводит к неоднозначности в результатах измерений, что
означает следующее. Пусть мы имеем тождественные квантовые системы, находящиеся в
одинаковых условиях, и одновременно одинаковым прибором измеряем одну и ту же
физическую величину. Результаты таких измерений оказываются, вообще говоря, различными.
Поэтому и предсказания теории могут носить только вероятностный характер. Квантовая
механика, как физическая теория, должна правильно отвечать на правильно поставленный
вопрос: уметь перечислять возможные значения результатов измерений и указывать
вероятности этих значений. Вопрос же, скажем, о том чему равна такая-то величина в такой-то
квантовой системе, вообще говоря, не имеет смысла, поскольку на него «не может ответить
природа» (нет экспериментального ответа, эксперимент дает разные, неопределенные
результаты).
Тем не менее, и в микромире существуют ситуации, когда измерение с достоверностью
приводит к некоторому фиксированному результату. В этом случае говорят, что в этом
состоянии соответствующая физическая величина имеет определенное значение или является
измеримой.
Описанная выше неопределенность результатов измерений физических величин,
характерная для микромира, приводит к тому, что в теории приходится «разрывать» понятия
«состояния» и «наблюдаемых», поскольку они в отличие от классической механики не
тождественны друг другу. В теорию приходится вводить ненаблюдаемые величины,
описывающие состояния квантовых систем (то есть то, какие они), и устанавливать рецепт, как
по состоянию определять возможные значения и вероятности результатов измерений.
Остановимся теперь на утверждениях, которые можно назвать основными принципами
или постулатами квантовой механики.
1. Рассмотрим систему частиц с n степенями свободы. Тогда координаты - это
наблюдаемые и измеримые сколь угодно точно физические величины. r1 , r2 , ..., rn . Состояние
системы описывается некоторой функцией координат (q)  (r1 , r2 , ..., rn ) , которая является
1
комплексной функцией действительного аргумента и называется волновой функцией. При этом
 ( q ) показывает, какова вероятность того, что при измерении координат будут получены
значения координат в интервале от q до q  dq :
dw(q  q  dq )   (q ) dq
2
(1)
Вероятность удовлетворяет условию нормировки:
  ( q)
2
(2)
dq = 1
так как вероятность обнаружить частицу во всем пространстве равна 1. Если
  (q)
2
dq =  (а
такие ситуации имеют место в квантовой механике), то нормировка в обычном понимании
невозможна, и интерпретировать  (q)
2
как вероятность нельзя. В этом случае эта величина,
пропорциональной вероятности. Пусть  ( q ) - конечна во всех точках, тогда отношение двух
интегралов участкам q1q2 и q3 , q4
q2
  (q)
q1
q4
2
dq
(3)
  (q)
2
dq
q3
показывает относительную вероятность нахождения квантовой системы в интервале  q1 , q2  по
сравнению с интервалом  q3 , q4  .
2. Принцип суперпозиции. Если есть два состояния системы с волновыми функциями
1 (q),  2 (q) , то:
 = C1  1  C2   2
(4)
тоже волновая функция возможного состояния системы, где C1 , C2 -произвольные (с точностью
до нормировки) комплексные постоянные. Принцип суперпозиции говорит о том, что
множество волновых функций всех возможных состояний квантовой системы образует
линейное пространство (пространство состояний). Кроме того, из принципа суперпозиции
следует, что уравнение для волновых функций возможных состояний квантовой системы
должно быть линейным.
3. Каждой наблюдаемой физической величине A в квантовой механике ставится в
соответствие некоторый линейный эрмитов оператор A  Aˆ (в квантовой механике принято
обозначать операторы буквами со «шляпками»), который действует в пространстве состояний
2
квантовой системы (то есть на функции координат системы и времени), причем наблюдаемыми
в эксперименте значениями этой физической величины могут быть только собственные
значения an ее оператора. Другими словами, наблюдаемые значения физической величины
определяются из уравнения:
Aˆn  ann
(5)
где  n - собственная функция оператора Â , отвечающая собственному значению an , индекс n
нумерует собственные значения и собственные функции. Отметим, что уравнение (5) должно
решаться в пространстве состояний квантовой системы
4. Квадраты модулей коэффициентов разложения волновой функции квантовой системы
 ( q ) по собственным функциям  n (q) оператора некоторой наблюдаемой величины A
определяют вероятности наблюдения в этой системе различных значений физической величины
A , которыми, как это следует из предыдущего постулата, могут быть только собственные
значения оператора Â .
Смысл этого утверждения заключается в следующем. Как известно (это утверждение
строго доказывается в линейной алгебре), собственные функции любого эрмитового оператора
образуют полную систему функций. Это значит, что любая функция и, в частности, волновая
функция квантовой системы может быть разложена по собственным функциям оператора
физической величины A , то есть может быть представлена в виде
(q)   cn n (q)
(6)
n
где cn - коэффициенты разложения. Рассматриваемый постулат утверждает, что величина | c1 |2
(коэффициент при функции 1 в разложении) определяет вероятность того, что при измерении
физической величины A в квантовой системе, описываемой волновой функцией  ( q ) , будет
получено собственное значение
a1
(соответствующее функции 1 ), | c2 |2
определяет
вероятность собственного значения a2 и т.д. Из этого утверждения, в частности, следует, что
если какая-либо собственная функция  k не представлена в разложении (или, другими словами,
представлена с нулевым коэффициентом), то вероятность обнаружить при измерении
наблюдаемой величины A в состоянии с волновой функцией  ( q ) , что A  ak , равна нулю ( ak
- собственное значение оператора Â , соответствующее собственной функции  k ). Отметим, что
совокупность величин {cn } имеет смысл, аналогичный смыслу волновой функции, но
3
определяет не вероятности различных значений координат, а вероятности различных значений
an величины A (волновая функция в A -представлении).
5. Волновая функция любой физической системы  (q, t ) удовлетворяет уравнению
(которое называется уравнением Шредингера):
i
 (q, t ) ˆ
 H  ( q, t )
t
(7)
где Ĥ - оператор, отвечающий энергии этой системы (оператор Гамильтона или гамильтониан).
6.
Динамическим
переменным
частицы
соответствуют
следующие
операторы.
Координате частицы x - оператор умножения на координату: xˆ (r )  x (r ) . Проекции
импульса на ось x - оператор pˆ x  i  / x , то есть pˆ x (r )  i  (r ) / x . Из приведенных
операторов можно «сконструировать» операторы любых наблюдаемых физических величин,
являющихся функциями координат и импульсов, и, в частности, оператор энергии, о котором
говорится в постулате 5.
Рассмотрим простейшие математические и физические следствия постулатов.
(1) Поскольку собственные функции эрмитовых операторов, отвечающих различным
собственным значениям, ортогональны, то коэффициенты разложения волновой функции  по
собственным функциям  n
представляют собой проекцию состояния 
на базисное,
собственное состояние  n . Действительно, умножая разложение (6) на  n , интегрируя и
*
пользуясь ортонормированностью базисных функций, получим
cn =  n (q )  (q)dq
*
(8)
(2) Коэффициенты разложения нормированной волновой функции по нормированным
собственным функциям нормированы. Действительно,
 (q)(q)dq  c 
*
*
n
n
*
n
(q) (q)dq = cn*  *n (q)  ( q) dq   | cn |2  1
n
(9)
n
(3) Для собственных функций выполнено условие

*
n
(q) n (q) =  (q  q)
(10)
n
которое называется условием полноты системы собственных функций.
(4) Среднее значение результатов многих измерений физической величины f равно
f =  * (q) fˆ  (q)dq
где fˆ - оператор физической величины f .
4
(11)
(5) Если волновая функция квантовой системы  ( q ) совпадает с одной из собственных
функций оператора некоторой физической величины, то при измерении этой физической
величины в таком состоянии с достоверностью будет получено единственное значение. Это
значит, что данная физическая величина имеет определенное значение в таком состоянии.
Все вышеприведенные утверждения буквально сформулированы для операторов,
имеющих дискретный спектр собственных значений. Для операторов с непрерывным спектром
собственных значений все, сказанное выше, остается в силе, с некоторыми дополнениями и
изменениями:
Пусть есть физическая величина f , обладающая непрерывным спектром собственных

значений. Тогда собственные функции
f
(q ) можно отметить индексом
f , который
пробегает непрерывный ряд значений.
Берем произвольную нормированную функцию  (q):

функции по собственным функциям
f
  ( q)
2
dq = 1 . Разложение этой
(q ) есть в этом случае не разложение не в ряд, а
разложение в интеграл:
 (q ) = a( f ) f (q)df
(12)
где a ( f ) - коэффициенты разложения, имеющие смысл амплитуд вероятности, то есть
 a( f )
2
df = 1 . Аналогично прежнему
a ( f ) =  *f (q)  ( q) dq
Но!
Собственные
функции

f
(q )
оказываются
(13)
ненормируемыми
(хотя
ортогональными). Проверим это:
 ( f ) f  (q) = df a
 ( f ) dq *f ( q)  f  ( q) =  ( f  f ) (14)
a( f ) =  *f (q) (q)dq = dq *f df a
то есть a ( f ) = a( f ) в точке f  = f Рассмотрим условие нормировки:

*
n
(q) f  (q)dq =  ( f  f )
(15)
Видим, что собственные состояния ортогональны (при f  f    ( f  f ) = 0 ); но при f = f 
интеграл равен  . Говорят, что волновые функции нормированы на  -функцию. Условие
полноты собственных функций оператора, имеющего непрерывный спектр собственных
значений, имеет вид

f
(q) *f (q)df =  (q  q)
5
(16)