2 - LanCats

2. Анализ теоретического материала
Учебник:
Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. ср. шк./ Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б.
Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2010. Г. 7-9; Глава VI, § 1, п. 48, 50.
Выделим основные дидактические единицы:
- площадь плоской фигуры, в частности, многоугольника;
- единицы измерения площадей;
- аксиомы площади;
-теорема
о
площади
прямоугольника,
свойства
площадей
многоугольников
- метод «разбиения и дополнения».
Основная дидактическая единица темы – площадь плоской фигуры, в
частности,
многоугольника. Площадь плоской
фигуры, в частности,
многоугольника определяется аксиоматически (как действительное число,
удовлетворяющее аксиомам 1-4)
- аксиома 1: площадь каждого многоугольника выражается положительным
числом (SF> 0);
 аксиома 2: Если F = F, то SF = SF - свойство инвариантности площадей
(первое свойство площади);

аксиома 3: S F  F ...  F  S F  S F  ...  S F ,
где F1 + F2 + … + Fn - многоугольник, составленный без перекрытий из
многоугольников F1, F2, …, Fn - свойство аддитивности площадей (второе
свойство площади);
 аксиома 4: SA = a2 , где А – квадрат, сторона которого при выбранной единице
измерения отрезков выражается числом а. (третье свойство площади).
Но в учебнике есть попытка дать описание понятию площади: площадь
многоугольника — это величина той части плоскости, которую занимает
многоугольник, где измерение площади многоугольников проводится
способом разбиения фигуры на квадраты.
Следует отметить, что аналогичными свойствами обладают понятия
«длина», «градусная мера угла», «объем» в силу того, что все перечисленные
выше понятия являются конкретными моделями более общего понятия - меры
множества. Аналогия наблюдается и в описаниях процедур измерения
отрезков, углов, площадей, объемов. В связи с этим, повторение одной и той
же схемы определения этих понятий, введение нового понятия по аналогии с
ранее изученным будет способствовать формированию у учащихся
обобщенного понятия геометрической величины.
2
n
1
2
n
С понятием площади и формулами для вычисления площадей некоторых
многоугольников (треугольник, прямоугольник, квадрат) учащиеся уже
встречались в процессе изучения математики, начиная с третьего класса.
Особое внимание следует уделить рассматриваемой в пункте 50 теореме и её
доказательству. Формула для вычисления площади прямоугольника
выводится на основании свойств площадей.
При доказательстве теоремы о площади прямоугольника учащиеся впервые
встречаются с новым для них методом «разбиения и дополнения», которым
решаются и многие задачи темы. Его сущность состоит: для вычисления
площади некоторой фигуры её пытаются разбить на конечное число таких
фигур, из которых можно было бы составить более простую фигуру, площадь
которой мы находить уже умеем, либо дополнить ее до такой фигуры.
Выделение этого метода и анализ условий его применения будет способствовать осознанию необходимости и сущности дополнительных построений в процессе поиска решения задач, сводящихся к установлению
соотношений между площадями многоугольников. Имеется возможность в
той или иной степени включить школьников в поиск доказательства теоремы.
Логическая организация учебного материала – дедуктивное изложение;
готовность школьников к дедуктивному восприятию – средняя; уровень
строгости доказательства (речь идет о единственной дидактической единице,
подлежащей доказательству на данном уроке – теореме) – средний.
Ядром изучаемой темы являются понятие «площадь многоугольника» и
теорема о площади прямоугольника.
Между дидактическими единицами рассматриваемой темы имеет место
связь: теорема о площади прямоугольника связана со свойствами площадей.
Используется материал предыдущих тем: понятие многоугольника,
квадрата, прямоугольника; признак равенства прямоугольников; работа с
буквенными равенствами, формула квадрата суммы.
Возможна работа по формированию у учеников умения преобразовывать
геометрический материал в математические выражения и выполнять обратное
действие.
В результате изучения темы ученик должен:
- иметь представление о площади многоугольника как о некоторой
величине;
- владеть основными свойствами площадей;
- применять формулы для вычисления площадей квадрата и
прямоугольника;
- применять метод «разбиения и дополнения» к доказательству теоремы о
площади прямоугольника и решению задач.
- понимать, что введение нового понятия «площадь многоугольника»
осуществляется по аналогии с ранее изученным понятием «длина отрезка»;
- уметь выражать одни единицы измерения площади через другие.
1.
Разработка конспекта урока
Тип урока – Урок изучения нового.
Учебная задача урока:
В совместной деятельности с учащимися ввести понятие площади плоских
фигур, в частности, многоугольника, единицы измерения площадей по
аналогии
с
понятием
длины
отрезка,
доказать
формулу
площади
прямоугольника.
Диагностируемые цели:
В результате урока ученики:
 знают: понятие площади, единицы измерения площадей, обозначение
площади, свойства площадей, формулы площади квадрата и прямоугольника.
 умеют: переводить одни единицы измерения площади в другие, доказывать
формулу площади прямоугольника.
 имеют представление: об измерении площадей многоугольников.
 понимают: что площадь выражается положительным числом; как вычислить
площадь квадрата и прямоугольника; аналогию между измерением площади
многоугольника и измерением длины отрезка.
Методы обучения: эвристическая беседа, репродуктивный, частично –
поисковые.
Форма обучения: фронтальная.
Средства
обучения:
традиционные,
канва-таблица,
палетка,
многоугольников, презентация
Структура урока:
1) Мотивационно - ориентировочный этап (15 минут).
Актуализация
Необходимо повторить:
- свойства длин отрезков;
- перевод одних единиц измерения длин отрезков в другие;
- понятие многоугольника и его виды;
модели
- формулы площади квадрата и прямоугольника.
Мотивация
На данном уроке деятельность учеников нельзя мотивировать с помощью
какой-либо проблемной задачи в явном виде. Поэтому учитель сам разъясняет
учащимся, что понятие площади используется в повседневной жизни и знания
по данной теме необходимы для дальнейшего использования изученного
материала в следующих темах.
Постановка учебной задачи урока
2) Содержательный этап (25 минут).
3) Рефлексивно – оценочный этап (5 минут).
Ход урока:
Ученикам дается предварительное домашнее задание:
1.Построить два отрезка AB = 5 (см) и CD =50 (мм) и сравнить их длины.
2. Разделить отрезок AB = 9 (см) точкой М так, чтобы AM:MB=1:2. Найти
длины отрезков AM и MB
3.Заготовить палетку (прозрачную пленку, разделенную на квадраты со
стороной 1 см).
Мотивационно – ориентировочный этап
I.
1.
Актуализация
К началу урока 2 ученика оформляют на доске решение № 1 и № 2 из
домашнего задания:
№1.
А
В
С
D
AB = CD, т.к. 5см=50мм.
№2.
A
(см)
M
B
AM = 3 (см), MB = 6
Деятельность учителя
- Какие получились отрезки AB и
CD?
- Почему отрезки равны?
- Как вы это получили?
Деятельность учеников
- Равные
- Так как их длины равны.
- Перевели 5 (см) (длина отрезка
AB) в мм, получили 50 (мм), а длина
отрезка CD = 50 (мм).
Отрезки называются равными,
если они могут быть наложены один
на другой так, что концы их
совпадут.
Длины равны.
- Правильно. Но определение
равных отрезков формулировалось
иначе. Какие отрезки по определению
называются равными?
- Что можно сказать о длинах
равных отрезков?
- Какие фигуры на плоскости Две
геометрические
фигуры
называются равными?
называются равными, если их можно
совместить наложением.
- Какие существуют ещё, кроме
рассмотренных в задаче 1, единицы
измерения длин отрезков?
- Внесите это в канву-таблицу.
- Работаем устно. Переведите 10 дм, м, км
(см) в мм, дм, м, км.
- Каким числом выражается длина
отрезка?
мм, дм, см, м, км.
- Запишите это в канву-таблицу.
10 (см) =100 (мм)=1 (дм)=0,1 (м)=
- Что это число показывает?
=0,0001 (км)
Длина отрезка - это положительное
число.
l0
-Итак, мы уже с вами отметили,
Это число показывает сколько раз
что равные отрезки имеют равные отрезок, принятый за единицу
длины. Запишите это свойство в измерения,
укладывается
в
канву-таблицу.
измеряемом отрезке.
- Проверим решение задачи № 2 из
- Равные отрезки имеют равные
домашнего задания. Чему равны длины.
длины отрезков AM и MB?
- Как вы это получили?
AM = 3 (см), MB = 6 (см).
- Разделили отрезок AB на 3 части
Так как у нас АМ : МВ = 1 : 2, то на
- Выразите АВ через АМ и МВ
АМ придется одна часть то есть он
- Какой вывод можно сделать?
будет равен 3 (см).
Теперь найдем отрезок МВ:
МВ=АВ – АМ. Тогда МВ=9–3=6 (см).
- Запишите это свойство в канву- АВ = МВ + АМ
таблицу.
Если
отрезок
составлен
из
нескольких отрезков, то его длина
равна сумме длин этих отрезков.
Мотивация
- Отрезок – это часть прямой. Мы
с вами работаем на плоскости.
Плоские фигуры – это части
плоскости.
Поэтому
можно
предположить, что измеряются не
только отрезки, но и фигуры на
плоскости,
в
частности,
многоугольники.
Какие фигуры, в частности, Треугольник,
прямоугольник,
многоугольники вы знаете?
трапеция, квадрат, ромб …
(Затем
учитель
показывает
ученикам
модели
квадрата,
прямоугольника, треугольника и
трапеции)
- У плоских фигур измеряются их
площади. В повседневной жизни вам
приходится
измерять
площадь
комнаты, площадь садового участка,
площадь стены и др.
- Формулы площадей каких фигур
- Формулы площади квадрата и
вы уже знаете? Назовите их.
прямоугольника. Sкв = а2, Sпр= ab
- А знаете ли вы формулы
Нет
площадей
треугольника,
параллелограмма, круга и др. плоских
фигур?
- Зарождение геометрических знаний,
связанных с измерением площадей,
теряется в глубине тысячелетий.
Измерение площадей является одним
из самых древних разделов
геометрии. В частности, название
“геометрия” означает “землемерие”,
т.е. связано именно с измерением
площадей. Основы этой науки были
заложены в Древнем Египте, где
после каждого разлива Нила
приходилось заново производить
разметку участков, покрытых
плодоносным илом, т. е. вычислять
их площади.
У древних египтян площади
прямоугольников, треугольников и
трапеций вычислялись по точным
правилам, площадь произвольного
четырехугольника – по
приближенному правилу, как
произведение полусумм пар
противоположных сторон a, c и b, d.
Все такие задачи возникли из
практики землемерия. Вавилоняне,
как и египтяне, измеряли большей
частью простейшие фигуры,
встречающиеся при межевании
земель, возведении стен и насыпей,
строительстве плотин и каналов и т.п.
- Итак, площадь фигуры на
плоскости – это аналог длины отрезка
на прямой.
Учебная задача урока
Поэтому, сегодня на уроке мы по
аналогии с длиной отрезка изучим
понятие площади плоской фигуры, в
частности многоугольника и выявим
её свойства.
Содержательный этап
Записывается тема урока «Площадь многоугольника»
- Вернемся к заполнению нашей
канвы – таблицы. Заполнять будем
второй столбец по аналогии с
первым. Запишите заголовок второго
столбца: Площадь многоугольника.
- В каких единицах измеряется
площадь фигуры?
- Запишите это в канву – таблицу.
- Т.е. площади фигур измеряются
квадратами, со стороной равной
единице измерения отрезков.
- Работаем устно. Переведите 100
(см2) в мм2, дм2, м2, км2.
- Каким инструментом можно
измерять площади фигур?
- Каким образом
происходит
измерение площади с помощью
палетки?
мм2, см2, дм2, м2, км2
100(см2)=100000(мм2)=1(дм2)=
=0,01 (м2)=0,00000001 (км2)
Площади фигур можно измерять с
помощью палетки.
Измерение площади с помощью
палетки происходит следующим
образом: накладывается палетка на
фигуру так, чтобы две из сторон этой
фигуры (для треугольника возможно
одна) совпали с линиями сетки.
- Чему равна площадь фигуры?
Площадь фигуры приблизительно
равна числу полностью уложившихся
в неё квадратных сантиметров.
-Каким числом выражается площадь Площадь многоугольника - это
фигуры?
положительное число.
- Запишите это в канву – таблицу.
S > 0.
- Что это число показывает?
Это число показывает сколько раз
квадрат, принятый за единицу
измерения,
укладывается
в
измеряемой фигуре.
Измерим с помощью палетки
площади
различных
фигур
(прямоугольника
и
двух
треугольников).
- Какой вывод можно сделать о
Равные многоугольники имеют
площадях равных многоугольников? равные площади.
- В учебнике это называется
первым
свойством
площади
многоугольника, запишите его в
канву – таблицу.
Измерим площадь трапеции с
помощью
палетки.
Разрежем
трапецию
на
несколько
многоугольников.
Измерим
полученные части и сравним их с
площадью исходной трапеции.
- Какой вывод можно сделать?
- В учебнике это называется вторым
свойством площади многоугольника.
Запишите в канву-таблицу.
Измерим
палеткой
площадь
квадрата. Теперь вычислим площадь
по известной нам формуле.
- Сравним полученные площади.
- Какой вывод можно сделать?
- Запишите в канву-таблицу.
Если многоугольник составлен из
нескольких многоугольников, то его
площадь равна сумме площадей этих
многоугольников.
Sкв = а2, где а – сторона квадрата.
Площади равны.
Площадь квадрата равна квадрату его
стороны.
формулу S=ab
- Давайте вспомним
площади прямоугольника.
- В 5 классе вы её доказывали
только для прямоугольника с целыми
длинами сторон. Поэтому сейчас мы
её
докажем
для
любого
прямоугольника.
Делается заголовок: «Теорема о
площади прямоугольника».
-Сформулируем эту теорему.
- Под канвой - таблицей, запишите
формулировку этой теоремы.
- Проведем доказательство этой
теоремы.
Постройте
произвольный
прямоугольник ABCD. Запишем
условия теоремы.
Теперь
перейдем
к
доказательству.
Поиск доказательства (ученики
рассуждают
под
руководством
учителя устно)
- Площадь какого многоугольника
мы умеем находить?
- По какой формуле она
вычисляется?
- Воспользуемся этой формулой
для доказательства нашей теоремы.
- Достроим прямоугольник ABCD
со стороной AB=a и стороной AD=b
- Площадь прямоугольника равна
произведению его смежных сторон.
Дано: ABCD – прямоугольник,
AB=a, CD=b.
S – площадь АВСD.
Доказать: S= ab.
- Площадь квадрата.
S=a2.Площадь
квадрата
квадрату его стороны.
равна
до квадрата со стороной (a+b)
следующим образом: продолжим
сторону AB на b и отметим точку К,
сторону АD на a и отметим точку Е.
Проведем через точку K прямую,
параллельную стороне АЕ и через
точку Е прямую, параллельную
стороне АK. Эти прямые пересекутся.
Обозначим точку пересечения за L.
Мы получили квадрат AKLE, со
стороной
(a+b),
т.к.
это
прямоугольник, у которого все
стороны
равны
(a+b).
Теперь
продолжим
сторону
CD
прямоугольника
ABCD
до
пересечения
со
стороной
KL.
Обозначим точку пересечения за М и
продолжим
сторону
BC
прямоугольника
ABCD
до
пересечения
со
стороной
LE.
Обозначим точку пересечения за F.
Получили два квадрата DCFE, KMCB
и два равных прямоугольника ABCD,
MLFC. DCFE – прямоугольник, у
которого все стороны равны а, KMCB
- прямоугольник, у которого все
стороны равны b, прямоугольник
MLFC равен прямоугольнику ABCD,
т.к. элементы одного прямоугольника
соответственно равны элементам
другого прямоугольника.
- Чему равна площадь квадрата
AKLE?
(a+b)2.
- Как еще можно найти площадь
этого квадрата?
- Можно воспользоваться вторым
свойством площади многоугольника:
если многоугольник составлен из
нескольких многоугольников, то его
площадь равна сумме площадей этих
многоугольников.
- Из каких фигур составлен квадрат
- Из двух квадратов DCFE, KMCB
AKLE?
и двух равных прямоугольников
ABCD, MLFC.
- Площадь каких из этих фигур мы
- Мы можем найти площади
можем найти,
а какие из них квадратов DCFE, KMCB, а площади
неизвестны?
прямоугольников приняты за S.
- Выразим площади квадратов
DCFE, KMCB через их стороны и
(a+b)2= a2+ b2+S+S
составим равенство.
- Раскроем скобки.
a2+ 2ab+b2= a2+ b2+2S
- В обеих частях равенства есть
- Да.
одинаковые члены?
- Какие?
a2 и b2
- Тогда мы можем их вычесть из
каждой части равенства.
- Что получится?
2S = 2ab
- Теперь разделим обе части на 2.
S = ab
- Теорема доказана.
- Теперь оформим доказательство
теоремы в канву-таблицу.
Что
мы
сделали
с 1)Достроили прямоугольник ABCD
прямоугольником?
до квадрата AKLE со стороной (a+b)
Каким образом?
следующим образом:
1. продолжим сторону AB на b и
отметим точку К, сторону АD на a и
отметим точку Е.
2. Проведем через точку K прямую,
параллельную стороне АЕ и через
точку Е прямую, параллельную
стороне АK. Эти прямые пересекутся
в точкеL.
3.
- Чему равна площадь полученного
квадрата?
- Как еще можно найти площадь
квадрата?
- Что получим, выразив площади
квадратов DCFE, KMCB через их
стороны,
а
площади
равных
прямоугольников заменив на S?
- Какое равенство получим?
- Что получим после раскрытия
скобок?
CD  KL  M
BC  LE  F
2) SAKLE=(a+b)2 (по 3 свойству
площади)
3) SAKLE =SABCD+SDCFE+SMLFC+SKMCB
(по 2 свойству площади)
4) SAKLE =a2+ S +b2+ S (по 1 свойству
площади)
5) (a+b)2=a2+ S +b2+ S
6) a2+ 2ab+b2= a2+ b2+2S
S = ab
- Решим следующие задачи
(одного ученика к доске, остальные в
тетрадях)
№ 457
Найдите сторону квадрата, площадь
которого равна площади
прямоугольника со сторонами 8 м и
18 м.
№455
Пол комнаты, имеющий форму
прямоугольника со сторонами 5,5 м и
6 м, нужно покрыть паркетом
прямоугольной
формы.
Длина
каждой дощечки паркета равна 30 см,
а ширина — 5 см. Сколько
потребуется таких дощечек для
покрытия пола?
№457 Дано: АВСD- прямоугольник,
EFGH- квадрат
Sкв=Sпр ,
АВ=а=8(м), АD=b=18(м),
Найти FE=с-?
Решение:
1)Sпр= ab, Sпр=8•18=144(м2)
2)Sкв=Sпр, Sкв=с2, с2=144, с=12(м)
Ответ: с=12(м).
№455
Дано: 2 прямоугольника:
ак=5,5(м), bк=6(м),
ап=30(см), bп=5(см)
Найти: n- кол-во плиток.
Решение:
Найдем площадь каждой плитки:
Sпл=30•5=150 (см2)
Найдем
площадь
пола:
2
2
Sпол=5,5•6=33(м )=330000(см )
Переведем м2 в см2
33(м2)=330000(см2)
Sпол=330000(см2)
Sпл/ Sпол=330000/150=2200 (плиток)
Ответ: 2200 плиток
Рефлексивно – оценочный этап
- Какова была цель урока?
- По аналогии с длиной отрезка
изучить понятие площади плоской
фигуры, в частности многоугольника
и выявить её свойства.
- Достигли мы её?
- Да.
- Как мы её достигли?
- Мы ввели понятие площади
многоугольника,
сформулировали
свойства площади многоугольника по
аналогии со свойствами длин
отрезков и доказали формулу
Сформулируйте
площади.
свойства
- Сформулируйте теорему о
площади прямоугольника.
- Как мы её доказали?
- Хорошо, теперь запишите
домашнее задание:
1) По теории: §1, п.48,п.50. Выучить
канву-таблицу.
2) Задачи:
№449: Найдите площадь квадрата,
если его сторона равна:
а) 1,2 (см)
б) ¾ (дм)
№450: Найдите сторону квадрата,
если его площадь равна:
б) 2,25 (дм²)
№451: Площадь квадрата равна 24
(см²). Выразите эту площадь:
а) в квадратных миллиметрах
б) в квадратных дециметрах
№452: Пусть а и b – смежные
стороны прямоугольника, а Ѕ – его
площадь. Вычислите:
а) Ѕ, если а=8,5 (см), b=3,2 (см)
в) b, если а=32 (см),
Ѕ=684,8 (см²).
№445: Вырежьте из бумаги два
равных прямоугольных треугольника
и
составьте
из
них:
а)
равнобедренный
треугольник;
б)прямоугольник; в) параллелограмм,
отличный
от
прямоугольника.
Сравните
площади
полученных
фигур.
площади прямоугольника.
Равные многоугольники имеют
равные площади.
Если многоугольник составлен из
нескольких многоугольников, то его
площадь равна сумме площадей этих
многоугольников.
Площадь квадрата равна квадрату его
стороны.
Площадь
прямоугольника
равна
произведению его смежных сторон.
Мы доказали теорему, используя
свойства площади.
Домашняя работа:
№449
а) а=1,2 (см)
=а²
=(1,2 (см))²=1,44 (см²)
б) а=3/4 (дм)
=(3/4(дм))²=9/16 (дм²)
№450
б)
=2,25 (дм²)
=а², а=
а=
=1,5 (дм)
№451
а) 24(см²)=(24·100)(мм²)=2400(мм²)
б) 24(см²)=(24/100)(дм²)=0,24(дм²)
№452
а) а=8,5 (см), b=3,2 (см)
8,5 (см)·3,2(см)=27,2(см²)
в) а=32 (см),
684,8 (см²)
b= 684,8 (см²) / 32 (см)=21,4 (см)
№445
Дано:
Прямоугольные треугольники
Составить:
1)прямоугольник
2) параллелограмм
3)равнобедренный треугольник и
сравнить
площади
полученных
фигур.
1)
2)
3)
Площади этих фигур равны сумме
площадей треугольников (свойство 2)
и площади всех фигур равны между
собой (по свойству 1).
Приложение 2. Канва-таблица (раздаточный материал для учеников)
Длина отрезка
1.Единицы измерения:
1. Единицы измерения:
2. Длина отрезка - это
2.
3.Равные отрезки
3.
4.Если отрезок составлен из
нескольких отрезков, то
4.
5.
Теорема:
Приложение 3. Канва-таблица заполненная
Длина отрезка
1.
Единицы измерения:
мм, см, дм, м, км ...
Площадь многоугольника
1. Единицы измерения:
мм2, см2, дм2, м2, км2 ...
Длина отрезка - это
положительное число.
l0
3.
Равные отрезки имеют равные
длины.
4.
Если отрезок составлен из
нескольких отрезков, то его длина
равна сумме длин этих отрезков.
2. Площадь многоугольника - это
положительное число.
S 0
3. Равные многоугольники имеют
равные площади.
4. Если многоугольник составлен из
нескольких многоугольников, то его
площадь равна сумме площадей этих
многоугольников.
5. Площадь квадрата равна квадрату
его стороны.
S  a 2 , где а – сторона квадрата
2.
Теорема о площади прямоугольника: Площадь прямоугольника равна
произведению его смежных сторон.
Дано: ABCD – прямоугольник,
AB=a, CD=b.
Доказать: S  ab
Доказательство:
1) Достроим прямоугольник ABCD до квадрата AKLE со стороной (a+b) следующим
образом:
1. продолжим сторону AB на b и отметим точку К, сторону АD на a и отметим точку
Е.
2. Проведем через точку K прямую, параллельную стороне АЕ и через точку Е прямую,
параллельную стороне АK. Эти прямые пересекутся в точкеL.
CD  KL  M
3.
BC  LE  F
2) SAKLE=(a+b)2 (по 3 свойству площади)
3) SAKLE =SABCD+SDCFE+SMLFC+SKMCB (по 2 свойству площади)
4) SAKLE =a2+ S +b2+S(по 1 свойству площади)
5) (a+b)2=a2+ S +b2+ S
6) a2+ 2ab+b2= a2+ b2+2S
S = ab