1. Немного из истории магических квадратов

Гомельская научно-практическая конференция
школьников
по естественнонаучным направлениям
«Поиск»
ГУО «Средняя школа № 10 г. Жлобина»
Научно-исследовательская работа
«Магические квадраты»
Ученицы 7 класса ГУО «Средняя
школа № 10 г. Жлобина»
Яворской Анны
Научный руководитель –
учитель математики ГУО «Средняя
школа № 10 г. Жлобина»
Максимова Ольга Владимировна
Жлобин
Содержание
Введение
3
1. Немного из истории магических квадратов
5
2. Магические квадраты
8
2.1. Магические квадраты 3×3
8
2.2. Способы составления магических квадратов
8
2.3. Магические квадраты нечетного порядка
9
2.4. Магические квадраты четного порядка
10
2.4.1. Четно - четные
10
2.4.2. Четно - нечетные
11
3. Латинские квадраты
14
4. Применение магических и латинских квадратов
15
Заключение
17
Используемая литература
18
Введение
О магических квадратах впервые узнала на уроке математики. Когда была
свободная минутка, наша учительница предлагала заполнить различные магические квадраты. Я решила выяснить их происхождение, почему квадраты называют
магическими, можно ли научиться составлять такие квадраты. Знает ли ктонибудь, кроме учителей математики, о магических квадратах.
Актуальность данной темы заключается в привлечении молодёжи к решению занимательных задач по математике, повышении их интереса к новым и загадочным головоломкам. Одной из самых интересных математических головоломок считаются магические квадраты. В сборниках нестандартных задач по математике часто встречаются задачи на составление магических квадратов. Кроме того, такие задания нередко включают в математические олимпиады, поэтому ребятам, увлекающимся математикой полезно знать способы решения задач такого
типа.
Объектом исследования являются магические квадраты.
Предметом исследования являются магические квадраты, латинские квадраты.
Цель моего исследования – выяснить различные способы составления магических квадратов и изучить области их применения.
Реализация поставленной цели исследования потребовала решения ряда
конкретных задач, а именно:
1.
познакомиться с историей появления магических квадратов;
2.
выяснить виды магических квадратов и способы их заполнения;
3.
выявить области применения магических квадратов.
Я выдвинула гипотезу – думаю, что существуют способы заполнения магических квадратов, изучив которые можно составить магический квадрат любого
порядка.
В своей работе я пользовалась следующими методами:
1.
поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, а
также поиск необходимой информации в сети Интернет;
2.
практический метод составления магических квадратов на основе
полученных знаний;
3.
исследовательский метод при работе с магическим квадратом.
1. Немного из истории магических квадратов
При археологических раскопках в Китае и Индии были найдены квадратные
амулеты. Квадрат разделен на девять квадратиков, в каждом из которых написано
по одному числу от 1 до 9. Замечательно, что суммы чисел в каждой строке, в
каждом столбце и каждой из двух диагоналей были равны одному и тому же числу 15. Такие квадраты стали называть магическими.
Страна, в которой был впервые придуман магический квадрат, точно неизвестна, неизвестен и век, даже тысячелетие нельзя установить точно. Первые
упоминания о магических квадратах были у древних китайцев. Согласно легенде,
во времена правления императора Юй (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой
реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы и эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны
магическому квадрату. Подсчитав количество кружков каждой из фигур, получим
магический квадрат 3×3 (рис. 1).
Рис. 1
В древности магические квадраты очень уважали и приписывали им различные мистические свойства. Говорят, если надо было решиться на какое-то
опасное дело, их с магическими целями рисовали на бумажке и съедали. Такое же
кушанье предлагали в качестве панацеи от всех болезней. Бытовало поверье, что
выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.
В средние века магические квадраты приобрели необычайную популярность. В XI в. о них узнали в Индии, а затем в Японии. Им была посвящена обширная литература. Первым квадратом, придуманным европейцем, считается
квадрат А.Дюрера, изображенный на его знаменитой гравюре «Меланхолия»
(рис.2).
16 3
2 13
5 10 11 8
9
6
7 12
4 15 14 1
Рис. 2
Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки.
Еще более замечательным является магический квадрат 4-го порядка,
найденный в индийской надписи XI в. до н.э. (рис.3).
7
12
1
14
2
13
8
11
16
3
10
5
9
6
15
4
7 12
2 13
16 3
9 6
7 12
2 13
16 3
9 6
Рис. 3
1
8
10
15
1
8
10
15
14 7
11 2
5 16
4 9
14 7
11 2
5 16
4 9
12
1
3
6
12
13
3
6
1
8
10
15
1
8
10
15
14
11
5
4
14
11
5
4
Этот квадрат сохраняет свойство быть магическим и после того, как его
строки одна за другой перемещаются сверху вниз или столбцы аналогично перемещаются слева направо. Иными словами, если сделать ковер из этих квадратов,
то, вырезав любую его часть из 4 строк и 4 столбцов, получаем снова магический
квадрат.
Получение магических квадратов было популярным развлечением среди
математиков, создавались огромные квадраты, например, 43*43, содержащие чис-
ла от 1 до 1849, причем обладающие помимо указанных свойств магических
квадратов, еще многими дополнительными свойствами. Были придуманы способы построения магических квадратов любого размера, однако до сих пор не
найдена формула, по которой можно было бы найти количество магических квадратов данного размера.
В IXX и XX вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой.
Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры.
2. Магические квадраты
2.1. Магические квадраты 3×3
Полного описания всех возможных магических квадратов не получено и до
сего времени.
Магических квадратов 2×2 не существует. Существует единственный магический квадрат 3×3 (рис. 4а), так как остальные магические квадраты 3×3 получаются из него либо перестановкой строк (рис. 4б) или столбцов (рис. 4в) либо
путем поворота исходного квадрата на 900 (рис 4г) или на 1800 (рис. 4д).
4
9
2
8
1
6
2
9
4
2
7
6
6
1
8
3
5
7
3
5
7
7
5
3
9
5
1
7
5
3
8
1
6
4
9
2
6
1
8
4
3
8
2
9
4
а
б
в
Рис. 4
г
д
С увеличением размеров квадрата (числа клеток) быстро растет количество
возможных магических квадратов такого размера. Например, существует 880 магических квадратов порядка 4 и 275 000 000 магических квадратов порядка 5.
2.2. Способы составления магических квадратов
Общий метод построения квадратов неизвестен, хотя широко применяются
различные частные алгоритмы. Некоторые из них я представляю ниже.
Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата:

нечетный;

четный, порядок которого равен степени числа 2;

четный, порядок которого равен удвоенному нечетному;

четный, порядок которого равен учетверенному нечетному;
2.3. Магические квадраты нечетного порядка
Метод достроения
1). Сначала исходный (пустой) квадрат достраивается до
симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры как показано
0
× 0
× × 0
× 0
0
на рисунке, где ячейки для элементов квадрата обозначены символом 0, а достроенные ячейки - символом ×.
×
0
0
0
0
0
×
2). Полученная на шаге 1 фигура заполняется по косым
×
×
0
0
0
0
0
×
×
×
0
0
0
0
0
×
0
0 ×
0 × ×
0 ×
0
рядам сверху-вниз-направо целыми числами от 1 до 25 в натуральном порядке.
Результат заполнения показан на следующем рисунке:
3). Каждое число, расположенное в фигуре шага 2 вне исходного (закрашенного) квадрата, переносится по вертикали или
горизонтали внутрь исходного (закрашенного) квадрата на число
клеток, равное порядку квадрата – в данном случае на 5 клеток.
1
6 × 2
11 0 7 0 3
16 0 12 0 8 0 4
21 × 17 0 13 0 9 × 51
22 0 18 0 14 0 10
23 0 19 0 15
24 × 20
25
Таблица переносов имеет следующий вид:
1 - вниз под 13
21 - вправо за 13
5 - влево перед 13
25 - вверх над 13
2 - вниз под 14
22 - вправо за 14
4 - влево перед 12
24 - вверх над12
6 - вниз под 18
16 - вправо за 8
10 - влево перед 18 20 - вверх над 8
4). Освободившиеся ячейки, заполненные символом ×, должны быть исключены. Оставшиеся внутренние ячейки, заполненные натуральными числами, образуют магический квадрат, представленный следующей таблицей 5×5: сумма чисел в столбцах, строках, диагоналях равна 65.
Метод А.де ла Лубера (французского геометра 17 в.)
Рассмотрим этот метод на примере квадрата 5-го порядка
Число 1 помещается в центральную клетку верхней
строки. Все натуральные числа располагаются в естественном
порядке циклически снизу вверх в клетках диагоналей справа
17 24 1
8
23 5
7
14 16
4
13 20 22
6
15
10 12 19 21 3
11 18 25 2
9
налево. Дойдя до верхнего края квадрата (как в случае числа 1), продолжаем заполнять диагональ, начинающуюся от нижней клетки следующего столбца. Дойдя
до правого края квадрата (число 3), продолжаем заполнять диагональ, идущую от
левой клетки строкой выше. Дойдя до заполненной клетки (число 5) или угла
(число 15), траектория спускается на одну клетку вниз, после чего процесс заполнения продолжается. Сумма чисел в столбцах, строках, диагоналях равна 65.
2.4. Магические квадраты четного порядка
2.4.1. Четно - четные
Порядок которого равен степени числа 2
Этот метод удобно рассмотреть на примере магического квадрата 8-го порядка из натуральных чисел от 1 до 64. Метод включает следующую последовательность шагов.
×
9
1). Исходный квадрат делится на
соответству- 17
ющее число квадратов порядка 4. В данном случае таких ×
×
квадратов будет 4. В каждом подквадрате отмечаются 41
49
диагональные элементы (например, символом ×). Осталь- ×
2
×
×
26
34
×
×
58
3
×
×
27
35
×
×
59
×
12
20
×
×
44
52
×
×
13
21
×
×
45
53
×
6
×
×
30
38
×
×
62
7
×
×
31
39
×
×
63
×
16
24
×
×
48
56
×
ные элементы построчно заполняются порядковыми целыми числами в направлении слева-направо и сверху-вниз. Числа, приходящиеся на выделенные диагональные элементы, должны быть пропущены. Результат заполнения недиагональных элементов квадрата 8-го порядка показан на рисунке.
2). Отмеченные на шаге 1 диагональные элементы 64 2 3 61 60 6 7 57
9 55 54 12 13 51 50 16
квадрата заполняют пропущенными целыми числами в 17 47 46 20 21 43 42 24
порядке возрастания в направлении справа-налево и сни- 40 26 27 37 36 30 31 33
32 34 35 29 28 38 39 25
зу-вверх, а числа, приходящиеся на недиагональные эле- 41 23 22 44 45 19 18 48
менты, должны быть пропущены.
49 15 14 52 53 11 10 56
8 58 59 5 4 62 63 1
Сумма чисел в столбцах, строках, диагоналях равна 260.
Метод Раус – Бола
Он начинается с того, что квадрат заполняется слева направо и сверху вниз
числами от 1 до n2 в их естественном порядке. Затем выполняются перестановки
чисел в некоторых клетках, после чего квадрат становится магическим. Сначала
рассмотрим случай, когда после деления квадрата на четыре равные части, каждая из них становится квадратом
четного порядка. Такой квадрат называется «четный –
четный», Для примера возьмем квадрат 8го порядка. Правила построения четно-четного магического квадрата таковы:
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32
33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54 55 56
57 58 59 60 61 62 63 64
1). Разделить заполненный числами от 1 до 82 квад-
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
рат на четыре равных квадрата порядка 4.
17 18 19 20 21 22 23 24
2). В каждой строке и столбце верхнего левого 25 26 27 28 29 30 31 32
квадрата порядка 4 отметить 2 (8=2×2×2) клетки (всего 8 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48
клеток). Это можно сделать, применив "шахматный" по- 49 50 51 52 53 54 55 56
57 58 59 60 61 62 63 64
рядок.
3). Для каждой из отмеченных клеток отметить
1
56
4). Содержимое каждой из отмеченных клеток пере- 17
40
ставить с содержимым соответствующей центрально- 32
41
симметричной ей клетки.
16
После этих перестановок получится магический 57
симметричную ей относительно вертикальной оси клетку.
63
10
47
26
34
23
50
7
3
54
19
38
30
43
14
59
61
12
45
28
36
21
52
5
60
13
44
29
37
20
53
4
6
51
22
35
27
46
11
62
58
15
42
31
39
18
55
2
8
49
24
33
25
48
9
64
квадрат. Сумма его элементов равна 260.
2.4.2. Четно - нечетные
Диагональный метод.
Рассмотрим теперь случай, когда после деления квадрата на четыре равные
части, каждая из них становится квадратом нечет-
1
ного порядка. Такие квадраты называются «четно – 11
21
нечетными».
31
41
Построение четно-нечетного магического 51
квадрата производится аналогично построению 61
71
четно-четного квадрата, но в этом случае применя- 81
91
ется три типа перестановок чисел в клетках. Для
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9 10
19 20
29 30
39 40
49 50
59 60
69 70
79 80
89 90
99 100
примера возьмем квадрат 10×10.
1). Разделить заполненный числами от 1 до 100 квадрат
+
-
×
+
+
-
×
+
+
-
+
+
на четыре квадрата порядка 5 осями симметрии.
+
2). В левом верхнем квадрате порядка 5 выделить 3
группы клеток, пометив их знаками + (голубой цвет), - (жел-
×
-
×
+
-
×
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
+
тый цвет) и × (розовый цвет) соответственно. В каждой строке
и каждом столбце нужно выделить по 2 [10=2×5=2×(2×2+1)] клетки первой группы. Их можно расставить по главной диагонали и на
ломаной диагонали. Ломаной называется диагональ, которая, дойдя
до края квадрата, продолжается параллельно перво-
1
му отрезку от противоположного края (такую диа- 11
21
гональ образуют заштрихованные клетки на рис.). 31
41
Клетки, симметричные относительно центра квад- 51
рата, называются кососимметричными. Таковы, 61
71
например, клетки a и b. Клеток второго и третьего 81
91
типа надо выделить по одной в каждой строке и
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
9 10
19 20
29 30
39 40
49 50
59 60
69 70
79 80
89 90
99 100
100 99 3 4 5 6 7 8 92 91
каждом столбце. В качестве клеток второй и треть- 11 89 88 14 15 16 17 83 82 20
ей групп можно взять клетки, расположенные на 21 22 78 77 25 26 74 73 29 30
двух других ломаных диагоналях.
3). Для клеток первой группы находим симметричные клетки относительно вертикальной оси,
помечаем их тоже знаком + (голубой цвет), т. е.
клеток, отмеченных знаком + (голубых) будет 10.
4). Содержимое каждой такой отмеченной
клетки обмениваем с содержимым соответствующей ей центрально-симметричной клетки.
5). Содержимое каждой из 5 клеток, отмеченных знаком минус (желтый цвет), обмениваем с содержимым симметричной относительно горизонтальной оси клетки.
31
60
50
61
71
81
10
32
42
52
62
72
19
9
10099
11 89
21 22
61 32
60 52
50 42
31 62
71 72
81 19
10 9
33
43
53
63
28
18
93
67 66
44 56
54 46
37 36
27 75
84 85
94 95
93 4
88 84
78 77
33 67
43 44
53 54
63 37
28 27
18 14
3 94
5
16
75
66
56
46
36
25
85
95
65
55
45
35
76
86
96
64
47
57
34
24
87
97
38
48
58
68
23
13
98
39
49
59
69
79
12
2
40
51
41
70
80
90
1
6
15
26
65
55
45
35
76
86
96
7
17
74
64
47
57
34
24
87
97
8
83
73
38
48
58
68
23
13
98
92
82
29
39
49
59
69
79
12
2
91
20
30
40
51
41
70
80
90
1
6). Содержимое каждой из 5 клеток третьей 10099 93 7 5 6 4 8 92 91
11 89 88 84 16 15 17 83 82 20
группы, отмеченной × (розовый цвет) обмениваем с 30 22 78 77 75 26 74 73 29 21
содержимым симметричной относительно верти- 61 39 33 67 66 65 64 38 32 40
кальной оси клетки.
После этих перестановок получится четнонечетный магический квадрат с суммой, равной 505.
60
50
31
71
81
10
52
42
62
72
19
9
48 44
53 54
63 37
28 27
18 14
3 94
56
46
36
25
85
95
55
45
35
76
86
96
47
57
34
24
87
97
43
58
68
23
13
98
49
59
69
79
12
2
51
41
70
80
90
1
3. Латинские квадраты
Латинским квадратом называется квадрат n×n клеток, в которых написаны
числа от 1 до n, притом так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются
все эти числа по одному разу. На рисунке 5а и 5б изображены два таких квадрата3×3. Они обладают интересной особенностью: если один квадрат наложить на
другой, то все пары получившихся чисел оказываются различными (рис.5в). Такие пары латинских квадратов называются ортогональными.
1
2
3
1
2
3
11 22 33
2
3
1
3
1
2
23 31 12
3
1
2
2
3
1
32 13 21
а
б
Рис. 5
в
Впервые задачу отыскания ортогональных латинских квадратов поставил
Л. Эйлер, причём в такой занимательной формулировке: «Среди 36 офицеров поровну уланов, драгунов, гусаров, кирасиров, кавалергардов и гренадеров и, кроме
того, поровну генералов, полковников,
майоров,
капитанов,
поручиков
и
подпоручиков, причем каждый род войск представлен офицерами всех шести рангов. Можно ли выстроить всех офицеров в каре 6 × 6 так, чтобы в любой колонне
и любой шеренге встречались офицеры всех рангов?»
Эйлер не смог найти решения этой задачи. В 1901 г. было доказано, что
ортогональных квадратов 6×6 не существует. В 1959 г. с помощью ЭВМ были
найдены сначала ортогональные квадраты 10×10, потом 14×14, 18×18, 22×22. А
затем было доказано, что для любого n , кроме 6, существуют ортогональные
квадраты n×n.
4. Применение магических и латинских квадратов
Шифрование текстов
Шифруемый текст вписывали в магические квадраты нужного размера в соответствии с нумерацией их клеток. Если затем выписать содержимое такой таблицы по строкам, то получится
шифртекст,
ПРИЛЕТАЮ ВОСЬМОГО
сформированный
16
3
2
13
О
И
Р
М
5
10
11
8
Е
О
С
Ю
магического
9
6
7
12
В
Т
А
Ь
квадрата и его заполнения со-
4
15
14
1
Л
Г
О
П
благодаря
перестановке
букв
исходного сообщения.
Пример
общением показан на рисунке.
Шифртекст, получаемый при считывании содержимого правой таблицы по
строкам, имеет вид: ОИРМ ЕОСЮ ВТАЬ ЛГОП.
Агротехника
Пусть требуется испытать 4 сорта пшеницы на урожайность в данной местности, причем нужно учесть влияние степени разреженности посевов и влияние
двух видов удобрений. Для этого разобьем квадратный
участок земли на 16 делянок. Первый сорт пшеницы по-
11 22 33 44
садили на делянках, соответствующих нижней горизон-
23 14 41 32
тальной полосе, следующий сорт - на четырех делянках,
соответствующих следующей полосе, и т.д. (на рис. сорт
обозначен цветом). При этом максимальная густота посе-
34 43 12 21
42 31 24 13
вов будет на тех делянках, которые соответствуют левому вертикальному столбцу
рисунка (на рис. этому соответствует уменьшение интенсивности цвета). Цифры,
стоящие в клетках рисунка, пусть означают : первая - количество килограммов
удобрения первого вида, вносимого на участок, а вторая - количество вносимого
удобрения второго вида. Эти числа на 1 меньше чисел в ортогональных латинских
квадратах. Заметим, что реализованы все возможные пары сочетаний как сорта и
густоты посева, так и других компонентов: сорта и удобрений первого вида,
удобрений первого и второго видов, густоты и удобрений второго вида.
Использование ортогональных латинских квадратов помогает учесть все
возможные варианты в экспериментах в сельском хозяйстве, физике, химии, технике.
Планирование
Каждая строка соответствует букве класса в параллели пятых классов: 5А,
5Б, 5В, 5Г, 5Д.
Каждый столбец соответствует четверти 1, 2, 3, 4, и пятый – летним каникулам.
n-цифр в первом квадрате L1 – соответ- n-цифр во втором квадрате L2 соответствует мероприятиям, которые прово- ствуют учителям, которые должны продит школа в течение года
водить мероприятие с классом.
1.
посещение музея.
1.
Лидия Ивановна.
2.
литературные встречи.
2.
Вера Петровна.
3.
посещение планетария.
3.
Ирина Дмитриевна.
4.
спортивное мероприятие.
4.
Игорь Алексеевич.
5.
посещение театра.
5.
Мария Сергеевна.
Таким образом, при составлении квадрата L3 (при наложении латинских
квадратов L1 и L2) получаем, что в течение года каждый класс посетит все мероприятия, а каждый учитель имеет равномерную нагрузку в течение года.
1
4
2
5
3
2
5
3
1
4
3
1
4
2
5
L1
4
2
5
3
1
5
3
1
4
2
1
3
5
2
4
2
4
1
3
5
3
5
2
4
1
4
1
3
5
2
L2
5
2
4
1
3
11
43
25
52
34
22
54
31
13
45
33
15
42
24
51
L3
44
21
53
35
12
55
32
14
41
23
Заключение
В работе рассмотрены вопросы, связанные с историей развития одного из
вопросов математики, занимавшего умы очень многих великих людей - магических квадратов. Несмотря на то, что собственно магические квадраты не нашли
широкого применения в науке и технике, они подвигли на занятия математикой
множество незаурядных людей и способствовали развитию других разделов математики. Работая над проблемой заполнения квадратов, я пришла к выводу, что
общий метод построения квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные частные алгоритмы.
В результате работы я подтвердила гипотезу о том, что существуют способы заполнения магических квадратов, изучив которые можно составить магический квадрат любого порядка.
Ближайшие родственники магических квадратов - латинские квадраты
нашли многочисленные применения, как в математике, так и в ее приложениях
при постановке и обработке результатов экспериментов.
Используемая литература
1. Задачи для внеклассной работы по математике в V-VI классах/ Сост.
В.Ю. Сафонова. Под ред. Д.Б. Фукса. – М.: МИРОС, 1998.
2. Климченко Д.В. Задачи для любознательных: Кн. для учащихся 5-6 кл.М.: Просвещение, 1999
3. Шарыгин И. Ф. Шевкин А. В. Подумай и реши: задачи на смекалку.- М.:
ГАЛАС, 1993.
4. www.ru.wikipedia.org
5. www.krugosvet.ru
6. www.mathematik.boom.ru
7. www.pifagor.org