Эконометрика - Учебно-методические комплексы
реклама
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Институт права, экономики и управления Кафедра математических методов, статистики и информационных технологий в экономике Бардасов Сергей Александрович ЭКОНОМЕТРИКА Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 080100.62 «Экономика», очной и заочной формы обучения всех профилей подготовки Тюменский государственный университет 2011 Бардасов С.А. Эконометрика. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов очной формы обучения (бакалавр по направлению подготовки 080100 Экономика). Тюмень, 2011, стр. 67 Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю подготовки. Рабочая программа дисциплины (модуля) опубликована на сайте ТюмГУ: Эконометрика [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3.utmn.ru, свободный. Рекомендовано к изданию кафедрой математических методов, статистики и информационных технологий в экономике. ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Зыков В.В., д.с.н., профессор, зав. кафедрой математических методов, статистики и информационных технологий в экономике © Тюменский государственный университет, 2011 © Бардасов С.А., 2011 1. Пояснительная записка 1.1. Цели и задачи дисциплины (модуля) Цель дисциплины «Эконометрика» – усвоение эконометрических методов и выработка навыков их применения в анализе социально-экономических явлений и процессов. Задачи изучения дисциплины: - изучить теоретические основы эконометрики как науки, появившейся на стыке экономики, математики и статистики; - изучить типичные эконометрические модели и получить навыки работы с ними; - овладение методологией и методикой построения, анализа и применения эконометрических моделей, для анализа состояния и оценки перспектив развития социально-экономических процессов; 1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата Эконометрика относится к профессиональному циклу ООП бакалавриата базовой (общепрофессиональной) части; данная дисциплина опирается на предшествующие ей дисциплины: математический анализ, линейную алгебру, теорию вероятностей и математическую статистику, макроэкономику, микроэкономику. Данная дисциплина является предшествующей для следующих дисциплин: маркетинг, финансы, макроэкономическое планирование и прогнозирование, менеджмент. Теоретические знания и практические навыки, полученные студентами при изучении дисциплины, должны быть использованы в процессе изучения последующих дисциплин по учебному плану, при подготовке курсовых работ и дипломной работы, выполнении научных студенческих работ. 1.3. Компетенции выпускника ООП бакалавриата, формируемые в результате освоения данной ООП ВПО. В результате освоения ООП бакалавриата выпускник должен обладать следующими компетенциями: Выпускник должен обладать следующими общекультурными компетенциями (ОК): - способен понимать сущность и значение информации в развитии современного информационного общества, сознавать опасности и угрозы, возникающие в этом процессе, соблюдать основные требования информационной безопасности, в том числе защиты государственной тайны (ОК-12); - владеет основными методами, способами и средствами получения, хранения, переработки информации, имеет навыки работы с компьютером как средством управления информацией, способен работать с информацией в глобальных компьютерных сетях (ОК-13). В результате освоения дисциплины обучающийся должен: - Знать: методы построения эконометрических моделей объектов, процессов и явлений - Уметь: строить на основе описания ситуаций стандартные теоретические и эконометрические модели; анализировать и содержательно интерпретировать полученные результаты; ситуаций; прогнозировать на основе стандартных теоретических и эконометрических моделей поведение экономических агентов, развитие экономических процессов и явлений на макро- и микроуровне; представлять результаты аналитической и исследовательской работы в виде выступления, доклада, информационного обзора, аналитического отчета, статьи - Владеть: современной методикой построения эконометрических моделей; методами и приемами анализа экономических явлений и процессов с помощью стандартных теоретических и эконометрических моделей 2. Структура и трудоемкость дисциплины. Семестр 4. Форма промежуточной аттестации: экзамен, контрольная работа. Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетных единицы, 144 часа. 3. Тематический план Таблица 1.1. 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 2.1 2.2 2 3 4 5 6 7 8 Модуль 1. Линейная регрессия, обычный и обобщенный методы наименьших квадратов. Предмет и задачи курса. Основные статистические понятия. Условия и теорема 1 2 2 4 8 1 Гаусса-Маркова. Метод наименьших квадратов. Парная линейная регрессия. Анализ, построенной 2, 3 4 4 8 16 3 модели. Множественная линейная регрессия. Анализ 4, 5 4 4 8 16 3 построенной модели. Автокорреляция случайных возмущений 6 2 2 4 8 1 Гетероскедастичность 7 2 2 4 8 1 Мультиколлинеарность 8 2 2 4 8 2 Фиктивные переменные 9 2 2 4 8 1 Всего 18 18 36 72 12 Модуль 2. Нелинейные модели, временные ряды и системы одновременных уравнений Нелинейные модели 10, 11 4 4 8 16 3 Временные ряды. Модели тренда, трендсезонные модели. Динамические 12, 13 4 4 8 16 2 модели. 2.3 Стационарные ряды. Случайные процессы AR, MA, ARMA, ARIMA. 2.4 Системы одновременных уравнений. Всего Итого (часов, баллов): Итого в интерактивной форме Итого количество баллов В том числе в интерактивной форме Итого часов по теме Самостоятельная работа Практические занятия Виды учебной работы и самостоятельная работа, в час. Лекции Тема недели семестра Тематический план (очная форма обучения) 9 0-6 0-10 0-10 0-6 0-6 0-6 0-6 0-50 0-10 0-10 14, 15 4 4 8 16 2 0-10 16, 17, 18 6 6 12 24 5 0-20 18 36 6 18 36 18 36 72 72 144 12 24 24 0-50 0 – 100 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 2.1 2.2 В том числе в интерактивной форме Итого часов по теме Самостоятельная работа Практические занятия Виды учебной работы и самостоятельная работа, в час. Лекции Тема недели семестра Таблица 1.2. Тематический план (заочная форма обучения) 2 3 4 5 6 7 8 Раздел 1. Линейная регрессия, обычный и обобщенный методы наименьших квадратов. Предмет и задачи курса. Основные статистические понятия. Условия и теорема 1 0 0 7 7 0 Гаусса-Маркова. Метод наименьших квадратов. Парная линейная регрессия. Анализ, построенной 1 4 4 10 18 2 модели. Множественная линейная регрессия. Анализ 2 0 0 15 15 0 построенной модели. Автокорреляция случайных возмущений 3 0 0 8 8 0 Гетероскедастичность 4 0 0 8 8 0 Мультиколлинеарность 5 0 0 8 8 0 Фиктивные переменные 5 0 0 8 8 0 Всего 4 4 64 72 2 Раздел 2. Нелинейные модели, временные ряды и системы одновременных уравнений Нелинейные модели 6 2 4 10 16 2 Временные ряды. Модели тренда, трендсезонные модели. Динамические 7 0 0 14 14 0 модели. 2.3 Стационарные ряды. Случайные процессы AR, MA, ARMA, ARIMA. 2.4 Системы одновременных уравнений. Всего Итого (часов) Итого в интерактивной форме 8 0 0 16 16 0 9, 10 0 0 26 26 0 2 6 2 4 8 2 66 130 72 144 2 4 4 Таблица 2. реферат тест Письменные работы контрольная работа ответ на семинаре № темы собеседование Устный опрос Технические формы контроля Информационные системы и технологии Итого количество баллов Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля Модуль 1. Линейная регрессия, обычный и обобщенный методы наименьших квадратов. 1.1 0-1 0-1 0-2 0-1 0-1 0-6 1.2. 0-2 0-1 0-3 0-1 0-2 0-1 0-10 1.3 0-2 0-1 0-3 0-1 0-2 0-1 0-10 1.4 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 0-6 1.5 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 0-6 1.6 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 0-6 1.7 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 0-6 Всего 0-9 0-7 0-12 0-7 0-9 0-6 0-50 Модуль 2. Нелинейные модели, временные ряды и системы одновременных уравнений 2.1 0-2 0-1 0-3 0-1 0-2 0-1 0-10 2.2 0-2 0-1 0-3 0-1 0-2 0-1 0-10 2.3 0-2 0-1 0-3 0-1 0-2 0-1 0-10 2.4 0-5 0-1 0-10 0-1 0-2 0-1 0-20 Всего 0-11 0-4 0-19 0-4 0-8 0-4 0-50 Итого 0-20 0-11 0-31 0-11 0-17 0-10 0 – 100 Таблица 3.1. Планирование самостоятельной работы студентов (очная форма обучения) № 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 2.1 2.2 2.3 2.4 Модули и темы Виды СРС обязательные дополнительные Неделя семестра Объем часов Кол-во баллов Модуль 1. Линейная регрессия, обычный и обобщенный методы наименьших квадратов. Предмет и задачи курса. Решение задач. Основные статистические Подготовка к 4 1 понятия. Условия и теорема опросу Гаусса-Маркова. Метод наименьших квадратов. Решение задач. Парная линейная регрессия. Подготовка к 8 2, 3 Анализ, построенной модели. опросу Множественная линейная Решение задач регрессия. Анализ построенной Подготовка к 8 4, 5 модели. опросу Автокорреляция случайных Решение задач Подготовка к 6 4 возмущений опросу Решение задач. Подготовка к 7 4 Гетероскедастичность опросу Решение задач. Подготовка к 8 4 Мультиколлинеарность опросу Решение задач. Подготовка к 9 4 Фиктивные переменные опросу Всего по модулю 1: 36 Модуль 2. Нелинейные модели, временные ряды и системы одновременных уравнений Решение задач. Подготовка к 10, 11 8 Нелинейные модели опросу Решение задач. Временные ряды. Модели Подготовка к тренда, трендсезонные 12, 13 8 опросу модели. Динамические 0-6 0-10 0-10 0-6 0-6 0-6 0-6 0-50 0-10 0-10 модели. Стационарные ряды. Случайные процессы AR, MA, ARMA, ARIMA. Решение задач. Подготовка к опросу 14, 15 8 0-10 Системы одновременных уравнений. Решение задач Подготовка к опросу 16,17,18 12 0-20 36 72 0-50 0-100 Всего по модулю 2: ИТОГО: Таблица 3.2. Планирование самостоятельной работы студентов (заочная форма обучения) № 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 2.1 2.2 2.3 2.4 Модули и темы Виды СРС обязательные дополнительные Неделя семестра Объем часов Раздел 1. Линейная регрессия, обычный и обобщенный методы наименьших квадратов. Предмет и задачи курса. Работа с Основные статистические Решение задач, работа с источниками в 1 понятия. Условия и теорема учебной литературой Интернет Гаусса-Маркова. Решение задач, работа с Метод наименьших квадратов. Работа с учебной литературой и Парная линейная регрессия. источниками в 2, 3 лекционным Анализ, построенной модели. Интернет материалом Множественная линейная Работа с Решение задач, работа с регрессия. Анализ построенной источниками в 4, 5 учебной литературой модели. Интернет Автокорреляция случайных Решение задач, работа с Работа с источниками в 6 учебной литературой возмущений Интернет Работа с Решение задач, работа с источниками в 7 Гетероскедастичность учебной литературой Интернет Работа с Решение задач, работа с источниками в 8 Мультиколлинеарность учебной литературой Интернет Работа с Решение задач, работа с источниками в 9 Фиктивные переменные учебной литературой Интернет Всего по разделу 1: Раздел 2. Нелинейные модели, временные ряды и системы одновременных уравнений Решение задач, работа с Работа с учебной литературой и источниками в 10, 11 Нелинейные модели лекционным Интернет материалом Временные ряды. Модели тренда, трендсезонные модели. Динамические модели. Стационарные ряды. Случайные процессы AR, MA, ARMA, ARIMA. Системы одновременных уравнений. Работа с источниками в Интернет Решение задач, работа с учебной литературой Работа с источниками в Интернет Работа с источниками в Интернет Решение задач, работа с учебной литературой Решение задач, работа с учебной литературой 10 15 8 8 8 8 64 10 12, 13 14 14, 15 16 16,17,18 26 Всего по разделу 2: ИТОГО: 4. Разделы 7 66 130 дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами № п/п 1. 2. 3. Наименование обеспечиваемых (последующих) дисциплин макроэкономическое планирование и прогнозирование финансы маркетинг Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 2.1 2.2 2.3 2.4 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 4. менеджмент + + + + + + + + + + + 5. Содержание дисциплины. Модуль 1. Линейная регрессия, обычный и обобщенный методы наименьших квадратов. 1.1. Предмет и задачи курса. Основные статистические понятия. Условия и теорема Гаусса-Маркова. Определение эконометрики. Эконометрика и экономическая теория. Эконометрика и статистика. Области применения эконометрических моделей. Генеральная и выборочная совокупность. Функциональная, статистическая и корреляционная связь. Причины обязательного присутствия случайного фактора. Ковариация, дисперсия и корреляция. Выборочный коэффициент корреляции. t - критерий Стьюдента для коэффициента корреляции. Условия Гаусса-Маркова. Теорема Гаусса-Маркова. 1.2. Метод наименьших квадратов. Парная линейная регрессия. Анализ, построенной модели. Теоретическое и эмпирическое уравнение регрессии. Метод наименьших квадратов. Вывод формул для коэффициентов уравнения парной линейной регрессии. Предпосылки метода наименьших квадратов (условия ГауссаМаркова). Интерпретация уравнения регрессии. Оценка статистической значимости коэффициентов парной линейной регрессии: t - критерий Стьюдента. Интервальные оценки коэффициентов линейного уравнения регрессии. Коэффициент детерминации . Оценка статистической значимости уравнения регрессии в целом: F - критерий Фишера. Доверительные интервалы для зависимой переменной. 1.3. Множественная линейная регрессия. Анализ построенной модели. Понятие о множественной регрессии. Классическая линейная модель множественной регрессии (КЛММР). Определение параметров уравнения множественной линейной регрессии методом наименьших квадратов. Применение t - критерия Стьюдента для модели множественной регрессии, доверительные интервалы. Множественный коэффициент детерминации Применение . F - критерия Фишера для модели множественной регрессии. Скорректированный коэффициент детерминации. 1.4. Автокорреляция случайных возмущений Причины и последствия автокорреляции. Критерий Дарбина-Уотсона. Методы устранения автокорреляции. Авторегрессионная схема первого порядка AR(1). Оценка коэффициента авторегрессии. Методы Кохрана-Оркатта и Хилдрета-Лу. Обобщенный метод наименьших квадратов, Формула Эйткена. 1.5. Гетероскедастичность Последствия гетероскедастичности. Обнаружение гетероскедастичности, тест Голдфелда-Квандта. Метод взвешенных наименьших квадратов. Обобщенный метод наименьших квадратов, Формула Эйткена 1.6. Мультиколлинеарность Последствия мультиколлинеарности. мультиколлинеарности. Методы Признаки устранения наличия мультиколлинеарности. Преобразование переменных, процедура последовательного присоединения элементов, процедура последовательного исключениея переменных. Риджрегрессия. 1.7. Фиктивные переменные Количество альтернатив качественной переменной и число фиктивных переменных. Модели с объясняющими фиктивными переменными. Использование фиктивных переменных в анализе сезонных колебаний. Модуль 2. Нелинейные модели, временные ряды и системы одновременных уравнений 2.1. Нелинейная регрессия Степенные модели. Производственная функция Кобба-Дугласа. Обратная модель. Полиномиальная модель. Показательная модель. Выбор модели. Виды ошибок спецификации их обнаружение и корректировка. Исследование остаточного члена модели. 2.2. Временные ряды. Модели тренда, трендсезонные модели. Динамические модели. Основная тенденция развития (тренд) временного ряда и отклонения от нее. Аналитическое выравнивание временного ряда. Прогнозирование на основе моделей временных рядов. Лаги в экономических моделях. Модели с лагами в независимых переменных. Метод последовательного увеличения количества лагов. Преобразование Койка. Полиномиально распределенные лаги Алмон. Авторегрессионные модели. Модель адаптивных ожиданий, модель потребления Фридмена. Модель частичной корректировки. h- статистика Дарбина. 2.3. Стационарные ряды. Случайные процессы AR, MA, ARMA, ARIMA. Стационарные и нестационарные временные ряды. Процесс белого шума. Процессы авторегрессии, скользящего среднего, авторегрессии-скользящего среднего. Процесс авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего. Автокорреляционная и частная автокорреляционные функции процессов. 2.4. Системы одновременных уравнений. Условия идентификации. Рекурсивная система уравнений. Система невзаимосвязанных уравнений. Эндогенные переменные. Экзогенные переменные. Структурные уравнения модели. Уравнения в приведенной форме. Предопределенные переменные. Системы невзаимосвязанных уравнений, рекурсивная система уравнений. Применение обычного метода наименьших квадратов. Косвенный метод наименьших квадратов. Инструментальные переменные. Необходимые и достаточные условия идентифицируемости. Метод наименьших квадратов для рекурсивных моделей. Двухшаговый и трехшаговый методы наименьших квадратов. 6. Планы практических занятий. Модуль 1. Линейная регрессия, обычный и обобщенный методы наименьших квадратов. Тема 1.1. Предмет и задачи курса. Основные статистические понятия. Условия и теорема Гаусса-Маркова. Занятие 1. 1) Расчет дисперсии, стандартного отклонения и коэффициента корреляции. 2) Исследование статистической значимости коэффициента корреляции с использованием t-критерия Стьюдента. 3) Повторение действий с матрицами. Тема 1.2. Метод наименьших квадратов. Парная линейная регрессия. Анализ, построенной модели. Занятие 2. 1) Определение параметров уравнения парной линейной регрессии. Построение графика полученной модели. 2) Расчет остатков и суммы квадратов остатков. 2) Расчет стандартных ошибок параметров. 3) Расчет t-статистик параметров. Исследование статистической значимости параметров. 4) Расчет доверительных интервалов параметров уравнения. Занятие 3. 1) Расчет TSS, RSS, ESS и коэффициента детерминации. 2) Расчет F-статистики для коэффициента детерминации. Исследование статистической значимости коэффициента детерминации и качества подбора уравнения. 3) Точечный прогноз математического ожидания зависимой переменной по уравнению регрессии. 4) Расчет доверительного интервала для математического ожидания зависимой переменной. 5) Расчет доверительного интервала для отдельного значения зависимой переменной. Тема 1.3. Множественная линейная регрессия. Анализ построенной модели. Занятие 4. 1) Определение параметров уравнения множественной линейной регрессии. 2) Расчет остатков и суммы квадратов остатков. 2) Расчет стандартных ошибок параметров. 3) Расчет t-статистик параметров. Исследование статистической значимости параметров. 4) Расчет доверительных интервалов параметров уравнения. Занятие 5. 1) Расчет TSS, RSS, ESS, коэффициента детерминации и скорректированного коэффициента детерминации. 2) Расчет F-статистики для коэффициента детерминации. Исследование статистической значимости коэффициента детерминации и качества подбора уравнения. 3) Точечный прогноз математического ожидания зависимой переменной по уравнению регрессии. 4) Расчет доверительного интервала для математического ожидания зависимой переменной. 5) Расчет доверительного интервала для отдельного значения зависимой переменной. Тема 1.4. Автокорреляция случайных возмущений Занятие 6. 1) Определение параметров уравнения обычным МНК. 2) Расчет статистики Дарбина-Уотсона. 3) Процедура Кохрана-Оркатта. Тема 1.5. Гетероскедастичность. Занятие 7. 1) Нахождение параметров уравнения обычным МНК. 2) Тест Голдфелда-Квандта. 3) Взвешенный метод наименьших квадратов. Тема 1.6. Мультиколлинеарность. Занятие 8. 1) Расчет парных коэффициентов корреляции. 2) Расчет частных коэффициентов корреляции. 3) «Ридж-регрессия». Тема 1.6. Фиктивные переменные. Занятие 9. 1) Расчет параметров модели линейной регрессии, содержащей обычные и фиктивные объясняющие переменные. Модуль 2. Нелинейные модели, временные ряды и системы одновременных уравнений Тема 2.1. Нелинейная регрессия Занятие 10. 1) Оценка параметров гиперболической модели. 2) Оценка параметров степенной модели. Занятие 11. 1) Оценка параметров показательной модели. 2) Оценка параметров полиномиальной модели. Тема 2.2. Временные ряды. Модели тренда, трендсезонные модели. Динамические модели. Занятие 12. 1) Оценка параметров уравнения тренда. 2) Прогнозирование. Доверительный интервал. 3) Моделирование тренда и сезонных колебаний с использованием фиктивных переменных. Занятие 13. 1) Оценка параметров модели с распределенными лагами. Метод последовательного увеличения количества лагов. 2) Полиномиально распределенные лаги Алмон. Тема 2.3. Стационарные ряды. Случайные процессы AR, MA, ARMA, ARIMA. Занятие 14. 1) Вычисление автокорреляционной и частной автокорреляционной функции. Кореллограмма. 2) Оценка параметров процессов AR,MA, ARMA. Занятие 15. 1) Процесс ARIMA. 2.4. Системы одновременных уравнений. Занятие 16. 1) Идентификации системы уравнений. 2) Оценка параметров системы невзаимосвязанных и рекурсивных систем уравнений. Занятие 17. 1) Косвенный метод наименьших квадратов. Занятие 18. 1) Двухшаговый метод наименьших квадратов. 7. Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля). Самостоятельная работа студентов предполагает углубленное изучение студентами теоретического материала по актуальным вопросам дисциплины. Рекомендуется самостоятельное изучение доступной учебной и научной литературы. Самостоятельно изученные теоретические материалы могут быть представлены в виде научных работ, рефератов, контрольных работ, которые затем обсуждаются на практических занятиях. Текущий контроль знаний осуществляется в различных формах и видах, предусмотренных в тематическом плане п.4., табл. 2. При изучении материала следует руководствоваться рабочим планам, методическими рекомендациями, рекомендованной литературой. Для овладения знаниями самостоятельная работа студентов предполагает чтение текста лекций, основной и дополнительной литературы, конспектирование, работу со словарями, справочниками, использование электронных ресурсов. Для закрепления и систематизации материала необходима работа с конспектом лекций, повторение, работа над учебным материалом, составление плана и тезисов ответа, ответы на контрольные вопросы, самотестирование и т.д. Контрольная работа представляется в срок, определенный графиком учебного процесса. С целью итогового контроля знаний проводится экзамен, к которому допускаются студенты, набравшие необходимое количество баллов. Темы контрольных работ: 1. Определение параметров и анализ уравнения парной линейной регрессии. 2. Определение параметров и анализ уравнение множественной линейной регрессии. 3. Автокорреляция случайных возмущений. Тест Дарбина-Уотсона. Процедура Кохрана-Оркатта. 4. Гетероскедастичность случайных возмущений. Тест Голдфелда-Квандта. Метод взвешенный метод наименьших квадратов. 5. Мультиколлинеарность. Частный коэффициент корреляции. регрессия». 6. Процедура последовательного исключения переменных. 7. Процедура последовательного присоединения переменных. 8. Применение фиктивных переменных. «Ридж- 9. Оценка параметров нелинейных моделей сводящихся к линейным. 10. Оценка параметров уравнения тренда. Прогнозирование. 11. Аддитивная модель тренда и сезонных колебаний с применением фиктивных переменных. 12. Мультипликативная модель тренда и сезонных колебаний с применением фиктивных переменных. 13. Модель с распределенными лагами. 14. Авторегрессионная молель. 15. Стационарный временной ряд. Авкорреляционная и частная автокорреляционная функции. 16. Оценка параметров случайных процессов AR, MA, ARMA. 17. Косвенный метод наименьших квадратов. 18. Двухшаговый метод наименьших квадратов. Образцы задач с решениями Задача 1 (парная линейная регрессия). Для анализа зависимости объема потребления Y (ден.ед.) домохозяйства от располагаемого дохода X (ден.ед.) отобрана выборка объема n = 20 домохозяйств, результаты которой приведены в таблице 7.1. Оцените коэффициенты уравнения парной линейной регрессии по методу наименьших квадратов. Проверьте статистическую значимость оценок коэффициентов b0 , b1 теоретических 0 , 1 при уровнях значимости 0,05 . Рассчитайте 95%-е доверительные интервалы для теоретических коэффициентов регрессии. Спрогнозируйте значение зависимой переменной y при x p 160 и рассчитайте 95% доверительный интервал для условного математического ожидания зависимой переменной. Рассчитайте границы интервала, в котором будет сосредоточено не менее 95% возможных значений y при x p 160 . Оцените на сколько единиц в среднем изменится переменная y , если переменная x вырастет на 1 единицу. Рассчитайте коэффициент детерминации R 2 . Рассчитайте F - статистику для коэффициента детерминации и оцените его статистическую значимость. Сделайте вывод о качестве подобранного уравнения. Таблица 7.1 Исходные данные и вспомогательные расчеты № п/п xi yi xi y i xi yˆ i ei y i yˆ i ei 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 106 107 108 109 110 112 113 118 120 122 123 125 128 130 136 138 142 143 148 152 102 102 104 106 108 108 112 114 112 118 120 121 122 127 131 136 134 139 143 142 10812 10914 11232 11554 11880 12096 12656 13452 13440 14396 14760 15125 15616 16510 17816 18768 19028 19877 21164 21584 11236 11449 11664 11881 12100 12544 12769 13924 14400 14884 15129 15625 16384 16900 18496 19044 20164 20449 21904 23104 102,8 103,8 104,8 105,6 106,5 108,4 109,3 114,0 115,8 117,7 118,6 120,5 123,2 125,1 130,7 132,5 136,2 137,2 141,8 145,5 -0,83 -1,76 -0,68 0,39 1,46 -0,40 2,68 0,04 -3,82 0,32 1,40 0,54 1,24 1,90 0,33 3,48 -2,24 1,84 1,20 -3,52 0,69 3,08 0,47 0,15 2,13 0,16 7,16 0,00 14,59 0,10 1,95 0,29 1,55 3,61 0,11 12,08 5,00 3,37 1,43 12,36 2490 2401 302680 314050 2400,0 1,08 70,29 2 2 Решение. Для определения вида зависимости построим корреляционное поле (рис.7.1). По расположению точек на корреляционном поле полагаем, что зависимость между X и Y линейная: Согласно МНК, имеем Y b 0 b1 X n n n n i 1 i 1 i 1 2 y i xi2 xi xi y i b0 i 1 b1 n xi2 xi i 1 i 1 n n n n n i 1 i 1 i 1 2 n xi y i xi y i n n n xi2 xi i 1 i 1 2401314050 2490 302680 20314050 2490 2 4,46; 20302680 2490 2401 0,928. 2 20314050 2490 Рис. 7.1. Зависимость объема потребления Y (ден.ед.) домохозяйства от располагаемого дохода X (ден.ед.) Таким образом, уравнение парной линейной регрессии имеет вид: Yˆ 4,46 0,928 X . Данная прямая линия изображена на корреляционном поле (рис. 7.1). По этому уравнению при x p 160 рассчитаем yˆ p 4,46 0,928 160 152,94 . Дисперсия случайных несмещенной оценкой отклонений D i 2 заменяется ее n 1 n2 2 Se ei2 n 2 y b b x i 0 1 i ni 1 2 . i 1 Тогда оценки дисперсий коэффициентов равны Db1 S b2 1 n S e2 xi x i 1 Db0 S b2 0 S e2 n 2 S e2 n n n n xi2 xi i 1 i 1 n xi2 i 1 n xi x i 1 2 2 S e2 n x 2 x , 2 n S xi2 2 i 1 n n n xi2 xi i 1 i 1 2 S e2 x 2 n x 2 x 2 . Как показывают расчеты (табл. 7.1) n ei2 i 1 n2 70,29 18 тогда стандартная ошибка регрессии равна коэффициентов регрессии 3,91, S e 1,98 . Стандартные ошибки S b0 3,9; S b1 0,03 . Рассмотрим проверку статистической значимости парной линейной регрессии. При проверке гипотезы альтернативной гипотезы H1 : b j 0 , коэффициентов H0 : b j 0 для коэффициентов b0 против и b1 рассчитываются абсолютные величины t -статистик коэффициентов: b b t b0 S 0 , t b1 S 1 . b0 b1 При выполнении исходных предпосылок модели эти дроби имеют распределение Стьюдента с числом степеней свободы n 2 , где n -число наблюдений. Рассчитанное значение t -статистики сравнивается с критическим значением t крит t , n 2 , где - требуемый уровень значимости. Отметим, что 2 в данном случае рассматривается двухсторонняя критическая область. Коэффициент полагается статистически значимым, если абсолютная величина его t -статистики превосходит t крит t , n 2 . 2 4,75 0,926 1,218; t b 30,9 . Получим: t b 0 1 3,9 0,03 0,05 и числе степеней t крит t 0,05 ;18 2,101. Следовательно, значим. статистической Критическое значение при уровне значимости свободы 20 2 18 коэффициент b1 2 статистически незначимости коэффициента Рассмотрим равно b0 Гипотеза о не отклоняется. определение интервальных оценок коэффициентов линейного уравнения регрессии. Доверительные интервалы для коэффициентов имеют вид: b 0 t 2 , n 2 S b0 0 b 0 t 2 , n 2 S b0 . b t , n 2 S b1 1 b1 t , n 2 S b1 1 2 2 Фактически доверительный интервал определяет значения теоретических коэффициентов регрессии 0 и 1, которые будут приемлемыми с надежностью 1 при найденных оценках b0 и b1 . 95%-е доверительные интервалы для коэффициентов будут следующими: 4,46 2,101 3,9 0 4,46 2,101 3,9 0,926 2,101 0,03 1 0,926 2,101 0,03 - 3,44 0 12,94 0,863 1 0,989 После проверки значимости каждого коэффициента регрессии обычно проверяется общее качество уравнения регрессии, которое оценивается по тому, как хорошо эмпирическое уравнение регрессии согласуется со статистическими данными. Для принятия гипотезы об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов линейной регрессии коэффициент детерминации R 2 не должен существенно отличаться от нуля. Поэтому для анализа значимости всех коэффициентов регрессии исследуют значимость коэффициента детерминации. Таким образом, коэффициент детерминации R 2 является суммарной мерой общего качества уравнения регрессии, он рассчитывается по формуле R2 y i y y i y n 2 i 1 n 2 n ei2 1 i 1 n i 1 yi y i 1 2 n 1 n ei2 i 1 n 2 n n y i y i i 1 i 1 2 1 e2 n y 2 y 2 . Коэффициент детерминации R 2 определяет долю разброса зависимой переменной, объяснимую регрессией Y на X . В общем случае справедливо соотношение 0 R 2 1. Чем теснее линейная связь между Y и X , тем ближе коэффициент детерминации R 2 к единице. Чем слабее такая связь, тем R 2 ближе к нулю. Отметим, что в случае парной линейной регрессии r 2 R 2 , где r - коэффициент корреляции зависимой и объясняющей переменной. Не следует абсолютизировать высокое значение R 2 , так как коэффициент детерминации может быть близким к единице просто в силу того, что обе исследуемые величины Y и X имеют выраженный временной тренд, не связанный с их причинно-следственной зависимостью. Проверяют гипотезу о статистической значимости коэффициента детерминации R 2 : H 0 : R 2 0, H 1 : R 2 0. Для проверки данной гипотезы часто используется следующая статистика: 2 n m 1 R , F m 1 R2 F- где n - число наблюдений, m - число объясняющих переменных. В случае парной линейной регрессии F R 2 n 2 . 1 R2 Величина F при выполнении предпосылок МНК и при справедливости H 0 имеет распределение Фишера. Показатели F и R 2 равны или не равны нулю одновременно. Для проверки нулевой гипотезы H 0 : F 0, R2 0 при заданном уровне значимости по таблицам критических точек распределения Фишера находится критическое значение гипотеза отклоняется, если т.е. R 2 F крит F ; m; n m 1 . Нулевая 2 F набл F крит . Это равносильно тому, что R 0 , статистически значим. Имеем: n R2 1 n ei2 i 1 n n y i y i i 1 i 1 n n 2 yi y где 2 1 i 1 y 2 1 2 2 ... 2 y 291797 ; 2 n 20 70,29 20 291797 2401 2 0,98 , 2 n 2 0,98 18 R F 882 ; 1 0,98 1 R2 F крит F ;m;n m 1 F 0,05;1;18 4,41 882 , следовательно уравнение значимо. Рассмотрим определение доверительных интервалов для зависимой переменной. Сначала (математического рассмотрим ожидания) уравнение парной регрессии предсказание зависимой среднего значения Пусть построено переменной. y i b0 b1 xi , на основе которого необходимо предсказать условное математическое ожидание M Y X при X xp x p . С заданной надежностью 1 объясняющей M YX переменной x p 0 1 x p имеет вид: x p переменной Y при любом конкретном значении доверительный интервал для 2 0 1 x p b 0 b1 x p t , n 2 S e 2 2 1 x x p b 0 b1 x p t , n 2 S e n n 2 xi x i 1 x x p 1 b b x t S 0 1 p 2 ,n 2 e n n xi x i 1 Пусть , 2 2 b 0 b1 x p t , n 2 S e 2 2 . 2 1 x x p n n xi x i 1 x x p 1 n n xi x i 1 2 2 . x p =160, тогда 2 2,1011,98 2 xi x x x 1 t 2 , n 2 S n n p i 1 1 2490 20 160 2,101 1,98 2 20 n n x i2 n xi n 2 i 1 i 1 1 2490 20 160 2,5 ; b 0 b1 x p 4,46 0,928 160 152,9; 20 314050 20 2490 202 2 152,9 2,5 0 1 x p 152,9 2,5 ; 150,4 0 1 x p 155,4. Рассмотрим предсказание индивидуальных значений зависимой переменной. Пусть нас интересует некоторое возможное значение переменной Y при определенном значении xp y0 объясняющей переменной X . Тогда интервал x x p 1 S 1 b0 b1 x p t , n 2 n n 2 xi x i 1 2 152,9 4,9 2 определяет границы, за пределами которых могут оказаться не более 100 % точек наблюдений значений Y при X x p . Заметим, что данный интервал шире доверительного интервала для условного математического ожидания. Построенные интервалы наиболее узкими будут при удаления xp xp x . По мере от среднего значения доверительные интервалы расширяются. Поэтому необходимо достаточно осторожно экстраполировать полученные результаты на прогнозные области. С другой стороны, с ростом числа наблюдений n эти интервалы сужаются к линии регрессии. Задача 2 (множественная линейная регрессия). Множественная линейная регрессия. Пусть объем предложения некоторого блага Y фирмы линейно зависит от цены X 1 и заработной X 2 сотрудников, производящих данное благо (табл. 7.2). Определим коэффициенты уравнения линейной регрессии. (Здесь предполагается знание матричной алгебры). Таблица 7.2 Данные для множественной линейной регрессии Y X1 X2 20 10 12 35 15 10 30 20 9 45 25 9 60 40 8 69 37 8 75 43 6 90 35 4 105 38 4 110 55 5 Представим данные наблюдений и соответствующие коэффициенты в матричной форме. y1 1 x11 x12 1 y 2 x21 x22 Y , X ... ... ... ... 1 xn1 xn 2 y n ... x1m b0 e1 ... x2m b 1 , B , e e2 ... ... ... ... ... xnm bm e n Вектор-столбец коэффициентов B уравнения множественной линейной регрессии yˆ i b0 b1 xi1 b2 xi 2 ...bm xim находится по формуле: B XT X Матрицы имеют вид: 1 T X Y. 1 1 1 1 1 X 1 1 1 1 1 10 12 20 15 10 35 30 20 9 25 9 45 60 40 8 TX , Y , 69 X 37 8 43 6 75 90 35 4 38 4 105 110 55 5 318 75 10 T X X 318 11862 2116 , 75 2116 627 1 7,310816 0,10049 0,53537 0,10049 0,001593 0,006644 , 0,53537 0,006644 0,043213 639 X Y 23818 , 4077 T 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 T X 10 15 20 25 40 37 43 35 38 55 , 12 10 9 9 8 8 6 4 4 5 b0 95,5 1 T B b1 X T X X Y 0,818 . 7,680 b2 Таким образом, уравнение регрессии имеет вид: Yˆ 95,5 0,818 X 1 7,680 X 2 . Отметим, что в случае двух объясняющих переменных n n n n xi1 xi 2 yi i 1 i 1 n ni 1 n n 2 T T X X xi1 xi1 xi1 xi 2 ; X Y xi1 yi . i 1 i 1 i 1 i 1 n n n n 2 xi 2 xi 2 xi1 xi 2 xi 2 yi i 1 i 1 i 1 i 1 Выборочные дисперсии эмпирических коэффициентов регрессии, имеют вид: n 2 e i 2 2 S b j i 1 z jj S e z jj , n m 1 где z jj - j - ый диагональный элемент матрицы 1 Z X T X , j 0,1,2,..., m. Отметим, что здесь в матрицах X T X и X T X 1 первая строка и столбец обозначены цифрой 0. Имеем: z 00 7,310816; z11 0,001593; z 22 0,043213. Как и в случае парной регрессии, Sbj Sbj 2 называется стандартной ошибкой коэффициента регрессии. Получим: n ei2 i 1 n m 1 Как и в 81,61831; S b 24,4 ; S b 0,361; S b 1,88 . 0 1 2 случае парной регрессии, статистическая значимость коэффициентов множественной линейной регрессии с m объясняющими переменными проверяется на основе t -статистики: t bj , Sbj имеющей в данной ситуации распределение Стьюдента с числом степеней свободы n m 1 ( n — объем выборки, m — количество объясняющих переменных в модели). При требуемом уровне значимости наблюдаемое значение сравнивается t -статистики с критической точкой t , n m 1 2 распределения Стьюдента. Если t t , n m 1 , то коэффициент 2 bj считается статистически значимым. В противном случае t t , n m 1 коэффициент b j считается 2 статистически незначимым (статистически близким к нулю). Это означает, что фактор Xj линейно не связан с зависимой переменной Y . Его наличие среди объясняющих переменных не оправдано со статистической точки зрения. Если коэффициент bj статистически незначим, рекомендуется исключить из уравнения регрессии переменную X j . Это не приведет к существенной потере качества модели, но сделает ее более конкретной. В нашем случае при 0,05 5% t , n m 1 t 0,05 ;7 2,365 . Тогда 2 2 b0 95,5 3,91 ; b1 0,818 2,26 ; b2 7,68 4,09 . t b0 t b1 tb j S b0 24,4 S b1 0,361 S b2 1,88 Таким образом, при уровне значимости 0,05 5% коэффициенты статистически значимо отличаются от нуля, а коэффициент b2 статистически незначим. Коэффициент b0 и b1 b1 становится статистически значимым при 0,058 5,8 %. После определения j j 1,2,..., m точечных теоретического оценок уравнения bj регрессии коэффициентов могут быть рассчитаны интервальные оценки указанных коэффициентов. Доверительный интервал, накрывающий с надежностью 1 неизвестное значение параметра j , определяется неравенством b j t , n m 1 S b j j b j t , n m 1 S b j , 2 где t , n m 1 - 2 критическая точка распределения Стьюдента с числом степеней 2 свободы n m 1 ( n – объем выборки, m – количество объясняющих переменных в модели) и уровнем доверия . При 0,05 5% t , n m 1 t 0,05 ;7 2,365 . 2 интервалы имеют вид: 2 Доверительные 95,5 2,365 24,4 0 95,5 2,365 24,4 0,818 2,365 0,361 1 0,818 2,365 0,361 7,68 2,365 1,88 2 7,68 2,365 1,88 По аналогии с парной регрессией может быть построена интервальная оценка для среднего значения предсказания: T T T T T Yˆ p t 2 ,n m 1 S e X p X X X p M Y p X p Yˆ p t 2 ,n m1 S e X p X X X p 1 Пусть в 1 x p1 60, x p 2 4 , тогда T X p XT X 1 Xp 7,31081 0,10049 0,53537 1 1 60 4 0,10049 0,001593 0,006644 60 0,585 ; 0,53537 0,006644 0,043213 4 Yˆ p 95,5 0,818 60 7,680 15 113,9 ; T t ,n m1 S e X p X T X X p 2,365 81,6 0,585 13,3 ; 1 2 113,9 13,3 M Y p X Tp 113,9 13,3 . При определении доверительного интервала для индивидуальных значений зависимой переменной необходимо произвести замену T T X p X T X X p 1 X p X T X X p 1,585 1,259 . 1 1 После проверки значимости каждого коэффициента регрессии обычно проверяется общее качество уравнения регрессии. Для этой цели, как и в случае парной регрессии, используется коэффициент детерминации: 2 yi y n R2 i 1 n yi y i 1 2 n 1 n ei2 i 1 yi y i 1 n 2 1 n ei2 i 1 n n y i y i i 1 i 1 n 2 2 Как отмечалось, в общем случае 0R 2 1. Чем ближе этот коэффициент к единице, тем больше уравнение регрессии объясняет поведение Y . Поэтому естественно желание построить регрессию с наибольшим 2 R . Рассматривают также скорректированный (исправленный) коэффициент детерминации: n 2 R 1 ei2 n m 1 i 1 n y i y n 1 2 1 1 R2 n n m 1 1 i 1 1 1 R2 , nn 1k . где n - количество наблюдений, m - число объясняющих переменных, k m 1 - число параметров уравнения регрессии. С ростом значения m скорректированный коэффициент детерминации растет медленнее, чем (обычный) коэффициент детерминации. Доказано, что R 2 увеличивается при добавлении новой объясняющей переменной тогда и только тогда, когда t -статистика для этой переменной по модулю больше единицы. Поэтому добавление в модель новых объясняющих переменных осуществляется до тех пор, пока растет скорректированный коэффициент детерминации. Обычно приводятся данные как по 2 2 R , так и по R , являющиеся суммарными мерами общего качества уравнения регрессии. Однако не детерминации. следует абсолютизировать Существует специфицированных моделей, достаточно имеющих значимость примеров высокие коэффициентов неправильно коэффициенты детерминации. Поэтому коэффициент детерминации рассматривается лишь как один из ряда показателей, который нужно проанализировать, чтобы уточнить строящуюся модель. После оценки индивидуальной статистической значимости каждого из коэффициентов регрессии обычно анализируется совокупная значимость коэффициентов. На практике чаще вместо указанной гипотезы проверяют тесно связанную с ней гипотезу о статистической значимости коэффициента детерминации 2 R : H 0 : R 0, 2 H 1 : R 0. 2 Для проверки данной гипотезы используется следующая F -статистика: n m 1 . F R 2 m 1 R 2 При выполнении предпосылок МНК построенная F -статистика имеет распределение Фишера с числами степеней свободы Поэтому, если при требуемом 1 m, 2 n m 1. уровне значимости , F набл F ; m; n m 1 , где F ; m; n m 1 - критическая точка распределения Фишера, то H 0 отклоняется в пользу H 1 . Это означает, что объясненная дисперсия существенно больше остаточной дисперсии, следовательно, уравнение регрессии достаточно качественно отражает динамику изменения зависимой переменной Y . Если F набл F ; m; n m 1 , то нет оснований для отклонения H 0 . Значит, что объясненная дисперсия соизмерима с дисперсией, вызванной случайными факторами. Это дает основание считать, что совокупное влияние объясняющих переменных модели несущественно, следовательно, общее качество модели невысоко. Коэффициент детерминации равен n 2 R 1 n ei2 i 1 n 2 i 1 n 2 0,936 . n yi yi i 1 n m 1 0,936 7 F R 2 51,2 . 1 R m 0,064 2 2 Тогда критических точек распределения Фишера найдем По таблицам F 0,05;2;7 4,74 ; F 0,01;2;27 9,55 . Поскольку F набл 51,2 > F крит как при 5%-м, так и при 1%-м уровне значимости, то гипотеза H 0 в обоих случаях отклоняется в пользу H 1 . Это означает, что объясненная дисперсия существенно больше остаточной дисперсии, следовательно, уравнение регрессии достаточно качественно отражает динамику изменения зависимой переменной Y . Задача 3 (автокорреляция случайныхвозмущений). Пусть имеются следующие условные данные ( X - объясняющая переменная, Y - зависимая переменная, табл. 7.3). Таблица 7.3 Исходные данные (условные, ден.ед.) t X Y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 8 6 12 11 17 15 20 16 24 22 28 26 34 31 Рассчитать статистику Дарбина-Уотсона. Сделать вывод о наличии гетероскедастичности. Для анализа коррелированности случайных отклонений используют статистику Дарбина—Уотсона DW , рассчитываемую по формуле T et et 1 DW t 2 2 T et 2 . t 1 Общая схема критерия Дарбина—Уотсона следующая: 1. По построенному эмпирическому уравнению регрессии yˆ t b0 b1 xt1 b2 xt 2 ...bm xtm определяются значения отклонений et yt yˆ t для каждого наблюдения t , t 1,..., T . 2. По формуле (34) рассчитывается статистика DW . 3. По таблице критических точек Дарбина- Уотсона определяются два числа dl и du и осуществляют выводы по правилу: 0 DW d l - существует положительная автокорреляция, d l DW d u - вывод о наличии автокорреляции не определен, d u DW 4 d u - автокорреляция отсутствует, 4d u DW 4 d l - вывод о наличии автокорреляции не определен, 4d l DW 4 - существует отрицательная автокорреляция. Линейное уравнение регрессии, определенное по исходным данным, имеет вид Yˆ 2,09 2,014 X . Рассчитаем статистику Дарбина-Уотсона (табл. 7.4): Таблица 7.4 Расчетная таблица xt yt yˆ t et yt yˆ t et 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 8 6 12 11 17 15 20 16 24 22 28 26 34 31 273 4,104 6,118 8,132 10,146 12,16 14,174 16,188 18,202 20,216 22,23 24,244 26,258 28,272 30,286 32,3 273,03 -1,104 1,882 -2,132 1,854 -1,16 2,826 -1,188 1,798 -4,216 1,77 -2,244 1,742 -2,272 3,714 -1,3 -0,03 1,218816 3,541924 4,545424 3,437316 1,3456 7,986276 1,411344 3,232804 17,77466 3,1329 5,035536 3,034564 5,161984 13,7938 1,69 76,34294 2 et et 1 et et 12 2,986 -4,014 3,986 -3,014 3,986 -4,014 2,986 -6,014 5,986 -4,014 3,986 -4,014 5,986 -5,014 8,916196 16,1122 15,8882 9,084196 15,8882 16,1122 8,916196 36,1682 35,8322 16,1122 15,8882 16,1122 35,8322 25,1402 272,0027 Значение статистики Дарбина-Уотсона равно DW 272,0027 3,56 . 76,34294 Поскольку при 5% уровне значимости 4 d l 4 1,077 2,923 и при 1% уровне значимости 4 d l 4 0,811 3,189 , то при обоих уровнях значимости имеется отрицательная автокорреляция остатков. Возможным методом устранения автокорреляции остатков является итеративный процесс, называемый методом Кохрана–Оркатта. Опишем данный метод на примере парной регрессии. 1. Оценивается регрессия по МНК, т.е. находится уравнение Yˆ b0 b1 X и определяются остатки et yt yt , t 1,2,..., T . 2. Оценивается коэффициент авторегрессии случайных возмущений ~ T T T t 2 t 2 t 2 T 1 et et 1 et et 1 T T t 2 T 1 et21 et 1 t 2 2 T T T 1 et et 1 et e1 et eT t 2 t 1 t 1 2 T T 2 2 T 1 et eT et eT t 1 t 1 T 14 61,1128 0,03 1,104 0,03 1,3 14 76,34294 1,69 0,03 1,3 2 0,821. 3. Рассчитываются «новые» значения переменных y t y t y t 1 , xt xt xt 1 , t 2,3,..., T , * 2 2 * x1 x1 1 , y1 y1 1 4. Определяются коэффициенты уравнения Значения вычисляются * b0 b0 1 ~ ,b1 оценки * yˆ t b*0 b1 x*t . подставляются в Yˆ b0 b1 X . Вновь et yt yˆ t , t 1,2,...,T отклонений t и вновь вычисляется статистика Дарбина-Уотсона. Полагая, что остаток остатка et линейно зависит от предыдущего значения et 1 и, оценивая коэффициент , получим Таблица 7.5 Расчетная таблица 2 t et et et et 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Итого -1,104 1,882 -2,132 1,854 -1,16 2,826 -1,188 1,798 -4,216 1,77 -2,244 1,742 -2,272 3,714 -1,3 -0,03 1,218816 3,541924 4,545424 3,437316 1,3456 7,986276 1,411344 3,232804 17,77466 3,1329 5,035536 3,034564 5,161984 13,7938 1,69 76,34294 -2,07773 -4,01242 -3,95273 -2,15064 -3,27816 -3,35729 -2,13602 -7,58037 -7,46232 -3,97188 -3,90905 -3,95782 -8,43821 -4,8282 -61,1128 T T ~ T T 1 et et 1 et et 1 t 2 T t 2 t 2 T t 2 T 1 et21 et 1 t 2 2 T T T 1 et et 1 et e1 et eT t 2 t 1 t 1 2 T 2 T 2 T 1 et eT et eT t 1 t 1 T 14 61,1128 0,03 1,104 0,03 1,3 2 14 76,34294 1,69 0,03 1,3 0,821. При такой оценке рассчитаем по приведенным выше формулам значения * * xt , y t . Таблица 7.6 Расчетная таблица 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 8 6 12 11 17 15 20 16 24 22 28 26 34 31 * * xt yt xt yt 1,294 2,821 4,642 6,463 8,284 10,105 11,926 13,747 15,568 17,389 19,21 21,031 22,852 24,673 24,494 3,881 10,463 12,568 16,926 20,852 26,031 28,957 32,315 32,42 37,136 41,704 46,062 48,988 55,346 58,914 Определим параметры преобразованной модели обычным методом наименьших квадратов. Получим * yˆ t b*0 b1 x*t 2,902 2,098 x*t , тогда исправленные y t 0 1 xt t оценки коэффициентов исходного уравнения * будут равны (первоначальные оценки равны 2,902 b 1,59, b1 2,098 b0 0~ 1 1,821 b0 2,09, b1 2,014 ). Мы выполнили один цикл процедуры Кохрана-Оркатта. Если необходимо сделать прогноз на период T 1 , то применяют формулу yT 1 b0 b1 xT 1 ~ eT , где используются параметры, полученные после последней итерации. Задача 4 (гетероскедастичность). Пусть имеются условные данные, выстроенные в порядке возрастания объясняющей переменной x (табл. 7.7). Таблица 7.7 Исходные данные для исследования гетероскедастичности X Y X Y X Y 1 6 11 23 21 49 2 8 12 26 22 41 3 11 13 36 23 55 4 9 14 22 24 42 5 15 15 34 25 58 6 12 16 29 26 71 7 15 17 36 27 53 8 22 18 34 28 48 9 20 19 48 29 70 10 27 20 40 30 46 Уравнение регрессии, построенное по всем исходным данным, имеет вид yˆ 3,8 1,92 x . Для оценки гетероскедастичности применим тест ГолдфелдаКвандта. Разобьем упорядоченные данные на три группы в соотношении 11, 8, 11. Уравнение регрессии, построенное по первым 11 данным, имеет вид yˆ 3,6 1,95 x , сумма квадратов остатков равна S1 57,07 . Уравнение регрессии, построенное по последним 11 данным, имеет вид yˆ 15,7 1,45 x , сумма квадратов остатков равна S 3 924,40 . F - статистика равна F 1050,01 / 36,22 16,2 , что превосходит табличные значения при уровнях значимости 5% и 1% . Следовательно, имеется гетероскедастичность остатков. Рассчитаем в примере квадраты остатков с использованием всех исходных данных 2 ei yi 3,81,92 xi . Полученные результаты представим 2 на графике (рис. 7.2). Согласно рис. 7.2, будем полагать, что дисперсия остатков пропорциональна x 2 . В этом случае разделим уравнение новые переменные y*i y i 0 1 xi i yi * 1 и оценив коэффициенты , xi xi xi на x . Определив Рис. 7.2. Зависимость квадратов остатков от значений объясняющей переменной. n b1 i 1 n n * *2 * xi xi x*i yi i 1 i 1 i 1 1,89, 2 n n n x*i 2 x*i i 1 i 1 y*i n n b0 n n * * * n xi yi xi y*i i 1 i 1 i 1 4,1, 2 n n n x*i 2 x*i i 1 i 1 получим уравнение получим модель * yˆ i 4,10 x*i 1,89 . Возвращаясь к исходным переменным, yˆ 4,10 1,89x . Отметим, что для прогнозирования следует использовать формулу Гольдбергера, а не уравнение yˆ 4,101,89 x . Задача 5 (мультиколлинеарность). Исходные данные представлены в таблице 7.8. r x1 x2 0,999 , Коэффициент что корреляции свидетельствует объясняющих переменных. о объясняющих сильной переменных мультиколлинеарности Таблица 7.8. Данные для исследования мультиколлинеарности гребневым методом x1 x2 y 1 2 7 4 7 5 5 3 4 8 1,4 3,1 10,3 6 10,6 7,6 7,4 4,4 5,8 11,9 7 12 32 20 32 25 224 15 20 37 Диагональные элементы обратной матрицы Z X T X 1 , которые связаны со стандартными ошибками коэффициентов уравнения регрессии, равны z 00 0,56337 , z11 18,04253, z 22 8,05556 Рассмотрим «гребневой метод» («ридж-регрессия») устранения мультиколлинеарности. Метод был предложен А. Э. Хоэрлом в 1962 году и X X близка к вырожденной. К диагональным элементам матрицы X X добавляют некоторое небольшое число (от 0,1 до применяется когда матрица T T 0,4). При этом получают смещенные оценки параметров уравнения. Но стандартные ошибки таких оценок в случае мультиколлинеарности ниже ошибок даваемых обычным методом наименьших квадратов. Прибавим 0,4 к диагональным элементам матрицы T X X : 68,5 10,4 46 T X X 46 258,4 384,5 . 68,5 384,5 573,55 Тогда получим элементы обратной yˆ 2,63 1,37 x1 1,95 x2 . Диагональные уравнение матрицы значительно снизятся и z 00 0,45264, z11 1,57796, z 22 0,70842 , стандартных ошибок коэффициентов. что приводит будут равны к снижению Задача 6 (фиктивные переменные). Имеются следующие данные ( X стаж работы (лет), Y -зарплата (ден. ед.), D - пол работника (1- женщины, 0мужчины), табл. 7.9). Качественный признак (пол работника) имеет две альтернативы, следовательно, будем использовать одну бинарную переменную. Таблица 7.9 Данные для исследования зарплаты от пола работника Y 10000 7178 7720 7808 8488 8375 8828 5743 9143 8967 8149 8010 6776 9383 7670 7897 9622 9622 7292 8551 X 16 2 2 3 25 15 16 0 33 29 3 16 0 19 1 2 32 21 0 34 D 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 В случае двух объясняющих переменных X и D имеем: n n n xi Di i 1 i 1 n 20 269 12 n n T x i2 x i D i 269 6561 79 ; X X x i i 1 i 1 i 1 n n 79 12 n 12 2 Di xi Di Di i 1 i 1 i 1 n yi ni 1 165222 T X Y x i y i 2409103 . i 1 n 93650 Di y i i 1 Произведя вычисления, получим эмпирическое уравнение регрессии yˆ 7505,4 60,68x 100,7D . Следовательно, с увеличением стажа работы на 1 год зарплата увеличивается на 60,68 ден.ед., зарплата женщин в среднем меньше чем у мужчин на 100,7 ден.ед. Задача 7 (нелинейная регрессия). Пусть имеются следующие данные (табл. 7.10). Таблица 7.10 Данные для анализа степенной модели X 5 6 7 4 8 1 3 10 9 2 Y 3,2 3,5 3,7 3,0 3,7 1,6 3,0 4,0 3,9, 2,5 Если построить линейную модель, то получим результат, представленный на рис. 7.3. Рис 7.3. Линейная модель Пусть некоторая экономическая зависимость моделируется формулой (степенная зависимость от X ) Y 0 X 1 e , где 0 è 1 — параметры модели (т.е. константы, подлежащие определению), - случайный член. Такая модель не является линейной функцией относительно X . Стандартным и широко используемым подходом к анализу функций данного рода в эконометрике является логарифмирование. Прологарифмировав обе части, имеем логарифмическую модель: ln Y ln 0 1ln X , которая является линейной в логарифмических переменных. После замен ln 0 *0 , Y ln Y , X ln X модель примет вид * Y 0 1 X Если рассмотреть степенную модель и прологарифмировать обе переменные, то получим результат, представленный на рис. 7.4. Рис 7.4. Степенная модель (линейная в логарифмах). Таблица 7.11 Расчетная таблица для определения параметров степенной модели x 5 6 7 4 8 0,5 3 10 9 2 n y x* ln x y* ln y 3,2 3,5 3,7 3 3,7 1,6 3 4 3,9 2,5 1,6094 1,7918 1,9459 1,3863 2,0794 -0,6931 1,0986 2,3026 2,1972 0,6931 14,411 x 1,1632 1,2528 1,3083 1,0986 1,3083 0,47 1,0986 1,3863 1,361 0,9163 11,363 *2 2,5903 3,2104 3,7866 1,9218 4,3241 0,4805 1,2069 5,3019 4,8278 0,4805 28,131 * x y * 1,872 2,2446 2,5459 1,523 2,7206 -0,326 1,2069 3,1921 2,9904 0,6351 18,605 n n 2 * * * xi xi x*i y i i 1 i 1 i 1 i 1 0,700051, b*0 2 n n 2 n x*i x*i i 1 i 1 n n n n x*i y*i x*i y*i i 1 i 1 i 1 0,3027, e0,700051 2,0139. b1 b 0 2 n n 2 n x*i x*i i 1 i 1 y*i n Задача 8 (линейный тренд). Имеются данные (табл. 7.12) о реальном доходе фирмы за ряд лет. Таблица 7.12 Реальный доход фирмы Год t 2001 1 2002 2 2003 3 2004 4 2005 5 2006 6 2007 7 2008 8 2009 9 2010 10 yt (млн. руб.) yt Год t yt 50,3 58,4 56,3 57,6 63,8 68,8 75,4 80,1 85,0 84,4 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 92,8 99,7 112,1 116,1 117,9 121,8 124,1 124,8 124,6 137,2 Исходные данные и результат моделирования показаны на рис. 7.5. Рис. 7.5. Реальный доход фирмы (линейный тренд) Проведем аналитическое выравнивание ряда тренда 0 1t t . yt с помощью линейного Заменив x на t , рассчитаем коэффициенты yˆ t b0 b1t по формулам для случая парной эмпирического уравнения линейной регрессии n n yt b0 t 1 t2 t 1 n n t 1 t 1 t t yt n n n t2 t n n n t 1 t 1 t 1 n t yt t yt n n n t2 t t 1 2 43,25, t 1 t 1 b1 b0 , b1 i 1 2 4,696. n n yt b0 t 1 t2 t 1 n n t 1 t 1 t t yt n n n t2 t 43,25, t 1 t 1 b1 2 n n n t 1 t 1 t 1 n t yt t yt n n n t2 t 2 4,696. i 1 t 1 В результате получим уравнение линейного тренда yˆ t 43,25 4,696 t . В случае линейного тренда yˆ t b0 b1t интервальный прогноз на глубину (на шагов вперед по времени) имеет вид yt yˆ t n y n b0 b1 n t ,n2 t 1 2 2 n2 , 2 1 n t n n 2 t t t 1 где t ,n 2 - критерий Стьюдента. 2 Произведем интервальный прогноз на 5 лет вперед n 20 5 25 : y 25 2013 год 43,25 4,696 25 2,101 2 327,07 1 25 10,5 160,7 5,4 18 20 665 Сумма квадратов остатков рассчитывается аналогично случаю парной линейной регрессии n et2 t 1 n 2 yt yˆ t 327,07. t 1 Задача 9 (модель Ш. Алмон). Имеются следующие данные ( x - доход, ден. ед., y - расход на потребление некоторого блага; табл. 7.13). Таблица 7.13 Расчетная таблица Условное время x y z0 z1 z2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 11,4 11,8 7,1 10,4 7,5 14 9,9 14,4 9 9,4 14,9 15,3 12,8 14,8 9,6 18 11,3 9,8 13,2 14 12,5 13 11,5 13,8 13,8 15,9 14 13,3 15,7 16,9 16,5 17,6 15,3 18,1 16,8 14,8 40,7 36,8 39 41,8 45,8 47,3 42,7 47,7 48,6 52,4 57,8 52,5 55,2 53,7 48,7 64,9 60 49,6 60,2 60,4 76,2 67,5 70,6 60,7 73,3 88,1 86,3 77,6 81,6 76,1 156,9 145 113 137,6 133,4 180 155,7 175 133,5 159,5 208,1 203,7 184 189,6 169,7 Пусть число лагов равно трем и веса в модели Алмон подчиняются полиному второй степени, т.е. yt 0 xt 1 xt 1 2 xt 2 3 xt 3 t , i 0 1i 2 i2 . Тогда модель примет вид: yt 0 zt 0 1 zt1 2 zt 2 t , z t 0 x t x t 1 x t 2 x t 3 , z t1 x t 1 2 x t 2 3 x t 3 , z t 2 x t 1 4 x t 2 9 x t 3 . После оценки параметров получим эмпирическое уравнение регрессии yˆ t 2,2 0,4994 zt 0 0,2374 zt1 0,03646 zt 2 , следовательно i 0,4994 0,2374i 0,03646i 2 Возвращаясь к исходным переменным, получим: yˆ t 2,2 0,499 xt 0,298 xt 1 0,170 xt 2 0,1152 xt 3 Задача 10 (идентификация уравнений). Y 1t 12 Y 2t 13 Y 3t 10 11 X 1t 1t , Y 2t 21 Y 1t 20 22 X 2(t 1) 2t , Y 3t 32 Y 2t 30 31 X 1t 33 X 3(t 1) 3t , где Y 1t объем продукции; Y 2t стоимость основных производственных фондов; X 1t поставки сырья; X 2(t 1) объем инвестиций в предыдущем году; X 3(t 1) количество работающих в предыдущем году. Запишем модель в виде: Y 1t 12 Y 2t 13 Y 3t 10 11 X 1t 1t , Y 2t 21 Y 1t 20 22 X 2t 1 2t , Y 3t 32 Y 2t 30 31 X 1t 33 X 3t 1 1t . Исследуем идентифицируемость первого уравнения. В него не входят переменные X 2t 1 , X 3t 1 . Матрица A1 параметров при этих переменных имеет вид: 0 A1 0 22 . 33 Определитель равен A1 22 33 0 , следовательно, ранг A1 равен 2. Модель состоит из трех уравнений (содержит три эндогенные переменные), поэтому выполняется условие rang A1 2, m-1 3 1 2, rang A1 m-1; d 1 2, m 1 2, d 1 m 1. Таким образом, первое уравнение системы однозначно идентифицируемо. Рассмотрим идентифицируемость второго уравнения. В него не входят переменные Y 3t , X 1t , X 3t 1 . Матрица A 2 имеет вид: 0 A 2 1 13 11 . 31 33 Эта матрица имеет ранг равный 2, если не равен нулю хотя бы один из определителей 13 11 13 0 11 0 , , 1 31 1 33 31 33 был отличен от нуля. Очевидно, что это условие выполняется. Второе уравнение неоднозначно идентифицируемо, так как rang A2 2, m-1 3 1 2, rang A2 m-1; d 2 3, m 1 2, d 2 m 1. Исследуем третье уравнение. В нем отсутствуют переменные Матрица Y 1t , X 2t 1 . A 3 параметров при этих переменных имеет вид: 0 1 . A3 21 22 Определитель равен A3 22 0 , следовательно, rang A3 2, m-1 3 1 2, rang A3 m-1; d 3 2, m 1 2, d 3 m 1. Третье уравнение однозначно идентифицируемо. Таким образом, все уравнения и модель в целом идентифицируемы. Существует возможность оценить параметры модели. Задача 11 (косвенный метод наименьших квадратов). Процедура метода состоит из следующих этапов. 1. Структурная модель B Yt Γ Xt εt сводится к приведенной форме 1 1 Yt Π Xt ηt , где Π B Γ, ηt B εt . 2. Параметры приведенной формы оцениваются классическим методом наименьших квадратов ˆ T X T X X T Y , Π 1 где ˆ10 ˆ11 ˆ12 ˆ ˆ 20 ˆ 21 ˆ 22 Π ... ... ... ˆ m0 ˆ m1 ˆ m 2 1 x11 x12 1 x 21 x 22 X ... ... ... 1 x n1 x n 2 y11 Y y 21 ... y n1 ... ˆ1k ... ˆ 2 k ... ... ... ˆ mk ... x1k ... x 2 k ... ... ... x nk y12 ... y1m y 22 ... y 2 m ... y n2 ... ... ... y nm матрица оценок параметров приведенной формы Π ; матрица наблюдений экзогенных и предопределенных переменных модели; матрица наблюдений взаимосвязанных эндогенных переменных модели. 3. Оценка параметров структурной формы находится в результате решения системы уравнений: ˆΠ ˆ Γ ˆ, Β где B̂ - матрица оценок параметров при переменных Y ; Γ̂ - матрица оценок параметров при переменных X. Рассмотрим модель (табл. 10.1): K t 12 Z t 10 11 I t 1t , Z t 21 K t 20 22 P t 2t , где Kt стоимость основных фондов (эндогенная переменная); Zt количество работающих (эндогенная переменная); It объем инвестиций (экзогенная переменная); Pt объем продукции (экзогенная переменная). Таблица 7.14 Исходные данные для косвенного метода наименьших квадратов t Kt Zt It Pt 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 73 76 76 82 82 72 72 74 74 78 4,0 4,1 4,2 4,5 4,5 4,0 4,3 4,4 4,4 4,6 2,1 2,5 2,4 2,7 2,7 1,9 1,6 1,8 1,7 2,0 32 34 35 38 39 33 32 34 35 37 Определим параметры приведенной формы модели. Соответствующие матрицы имеют вид: 73 76 76 82 82 Y 72 72 74 74 78 4,0 1 2,1 32 21,4 349 10 4,1 1 2 , 5 34 T 21,4 47 ,3 752 ,7 , X X 1 2,4 35 4, 2 349 752 ,7 12233 4,5 1 2,7 38 26,5391 1,9934 - 0,8798 1 2,7 39 4,5 1 T , X , 1,9934 1,1638 0,1285 X X , 4,0 1 1 , 9 33 - 0,8798 - 0,1285 0,03309 4,3 1 1,6 32 43 759 1 1,8 34 4, 4 T X Y 1636 92,11, 4, 4 1 1,7 35 26566 1504 4,6 1 2,0 37 30,649 1,3121 ˆ 30,649 3,2009 1,1003 ˆ 3,2009 0,3578 , Π . Π 1 , 3121 0 , 3578 0 , 1076 1,1003 0,1076 T Таким образом, приведенная модель после оценивания имеет вид: Kˆ t 30,649 3,2009 I t 1,1003 Pt , Zˆ t 1,3121 0,3578 I t 0,1076 Pt . Матрицы Β и Γ структурной формы модели имеют вид 1 11 0 12 , Γ 10 Β 0 1 21 20 22 Для нахождения оценок коэффициентов структурной модели решим систему уравнений : 1 b12 30,649 3,2009 1,1003 c10 c11 0 , 0 1 1,3121 0,3578 0,1076 c 22 b 21 c 20 1 b12 30,649 3,2009 1,1003 c10 c11 0 , 1 1,3121 0,3578 0,1076 c 20 0 c 22 b 21 где 22 , b12 , b21 , c10 , c 20 , c11 , c 22 оценки параметров 12 , 21 , 10 , 20 , 11 , соответственно. Умножая матрицы, получим: 30,649 1,3121b12 c10 , 3,2009 0,3578 b12 c11 , 1,1003 0,1076 b12 0, 30,649 b21 1,3121 c20 , 3,2009 b 0,3578 0, 21 1,1003 b21 0,1076 c22 . Решение имеет вид: b12 10,23; c11 6,86; c10 17,23; b21 0,1118; c 20 4,738; c 22 0,2306. В окончательном виде оценка структурной модели имеет вид: Kˆ t 10,23 Z t 17,23 6,86 I t , Zˆ t 0,1118 K t 4,738 0,2306 P t . Образцы тестовых заданий Задание 1 Коэффициент корреляции двух переменных X и Y равен -1. Это значит, что а) между переменными отсутствует всякая зависимость; б) между переменными имеется нелинейная зависимость; в) между переменными имеется прямая линейная зависимость; г) между переменными имеется обратная линейная зависимость. Задание 2 Коэффициент корреляции двух переменных X и Y равен 0,8. Чему будет равен коэффициент корреляции, если все значения обеих переменных умножить на -10. а) -0,8; б) 0,8; в) -8; г) 8. Задание 3 Как изменится ковариация двух переменных X и Y , если все значения обеих переменных вырастут в n раз? а) не изменится; б) вырастет в n раз; в) вырастет в n 2 раз; г) предсказать изменение ковариации невозможно. Задание 4 Как изменится коэффициент детерминации в случае парной линейной регрессии, если у всех значений зависимой переменной поменять знаки а) будет равен 0; б) изменит знак на противоположный; в) не изменится; г) предсказать изменение невозможно. Задание 5 Значения переменных X и Y , равны соответственно: X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Тогда без вычислений можно утверждать, что коэффициент корреляции этих переменных равен а) -1; б) 0; в) 1; г) . Задание 6 Как изменятся стандартные ошибки коэффициентов линейной регрессии, если значения случайного члена во всех наблюдениях вырастут в n раз (при постоянстве остальных величин)? а) не изменятся; б) вырастут в n раз; в) вырастут в n 2 раз; г) уменьшатся в n раз. Задание 7 Как изменится коэффициент b1 в уравнении парной линейной регрессии yˆ b0 b1 x , если все значения объясняющей переменной вырастут в n раз при неизменных значениях зависимой переменной? а) не изменится; б) уменьшится в n раз; в) вырастет в n раз; г) вырастет в Задание 8 n 2 раз. Количество коэффициентов уравнения множественной линейной регрессии, число наблюдений, количество объясняющих переменных, если матрица 13 61 71 88 61 399 383 513 T , X X 71 383 519 589 88 513 589 808 равно а) 3, 16, 4; б) 4, 16, 3; в) 3, 13, 4; г) 4, 13, 3. Задание 9 Чему равны коэффициент корреляции, коэффициент детерминации 2 R и F- статистика в случае прямой строгой функциональной линейной зависимости y от x ? а) 1, 0, ; б) 1, 1, ; в) 1, 1, 0 ; г) 0, 1, . Задание 10 Статистика Дарбина-Уотсона DW =2, тогда а) автокорреляция остатков отсутствует; б) имеется положительная автокорреляция остатков; в) имеется отрицательная автокорреляция остатков; г) определенного вывода о корреляции остатков сделать нельзя. Задание 11 За шесть лет имеются поквартальные данные некоторого показателя, который подвержен сезонным колебаниям (соответствующим кварталам), и линейно растет с ростом объясняющей переменной. Сколько «фиктивных» переменных необходимо ввести в модель для изучения сезонных колебаний? а) 3; б) 4; в) 5; г) 6. Задание 12 В распределении Койка делается предположение, что коэффициенты при лаговых значениях объясняющей переменной с возрастанием номера лага: а) возрастают в геометрической прогрессии; б) убывают в геометрической прогрессии; в) возрастают в арифметической прогрессии; г) убывают в арифметической прогрессии. Задание 13 Если объясняющие переменные сильно коррелируют между собой, то имеется а) гетероскедастичность; б) гомоскедастичность; в) мультиколлинеарность; г) автокорреляция. Задание 14 Построена Коэффициент корреляции определитель матрицы а) -1; модель Y b0 b1 X 1 b 2 X 2 e . переменных X 1 и X 2 равен точно 1. Тогда эмпирическая rX T X X 1X 2 равен: б) 0; в) 1; г) . Задание 15 При расчете коэффициентов уравнения регрессии yˆ b0 b1 x допущена ошибка при определении коэффициента вычислен правильно). В результате получили оказалась равной была b 0 (коэффициент b1 b0 4 . Сумма остатков ei yi yˆ i 30 . Правильное значение коэффициента 30 30 i 1 i 1 b 0 равно: а) 3; б) 4; в) 5; г) 6. Задание 16 Лагированные значения эндогенных переменных и экзогенные переменные называются: а) предопределенными переменными; б) фиктивными переменными; в) инструментальными переменными; б) замещающими переменными. Задание 17 Имеются два качественных признака: тип потребительского поведения и сезон года (номер квартала). Согласно первому признаку все домашние хозяйства делятся на три социально-экономические страты: «низкодоходные», «среднедоходные», «высокодоходные». Согласно второму признаку имеются четыре квартала (сезона). Сколько фиктивных переменных следует ввести в модель? а) 4; б) 5; в) 6; г) 7. Задание 18 Долю дисперсии, объясняемую уравнением регрессии, в общей дисперсии зависимой переменной характеризует: а) коэффициент детерминации; б) коэффициент корреляции; в) коэффициент эластичности; г) коэффициент корреляции рангов. Задание 19 Коэффициент корреляции двух переменных близок к -1. Это означает, что изменение одной из переменных является причиной изменения другой переменной. а) да; б) нет; в) определенного вывода сделать нельзя. Задание 20 Величина, показывающая на сколько процентов изменится зависимая переменная, если объясняющая переменная вырастет на один процент называется коэффициентом: а) регрессии; б) детерминации; в) корреляции; г) эластичности. Задание 21 Коэффициент корреляции между зависимой и объясняющей переменной в случае парной линейной регрессии равен 0,9. Какой процент вариации зависимой переменной в случае парной линейной регрессии объясняется вариацией объясняющей переменной? а) 0,9%; б) 9%; в) 81%; г) 90%. Задание 22 Для анализа значимости оценок коэффициентов линейной регрессии применяется: а) F -статистика; б) t -статистика; в) DW -статистика; г) h -статистика. Задание 23 Если дисперсия оценки имеет наименьшее значение по сравнению с дисперсией любой другой альтернативной оценки, то оценка называется: а) эффективной; б) несмещенной; в) асимптотически эффективной; г) состоятельной. Задание 24 Какое соответствует уравнение в случае имеющимся парной выборочным линейной данным y 0 1 x или эмпирическое y b0 b1 x e ? а) теоретическое; регрессии лучше теоретическое б) эмпирическое; в) оба уравнения одинаково хороши; г) определенного вывода сделать нельзя. Задание 25 Суть метода наименьших квадратов состоит в минимизации а) суммы квадратов коэффициентов регрессии; б) суммы квадратов значений зависимой переменной; в) суммы квадратов оценок случайных отклонений; г) суммы квадратов отклонений точек эмпирического и теоретического уравнений регрессии. Задание 26 Рассматриваются две нелинейных модели Y 0 x1 (1) Y 0 x 1 (2) Можно привести к линейному виду а) обе модели; б) только модель (1); в) только модель (2); г) ни одну из моделей. Задание 27 При гетероскедастичности остатков применение обычного метода наименьших квадратов приведет к тому, что: а) оценки коэффициентов будут смещенными; б) оценки будут эффективными; в) дисперсии оценок будут рассчитываться со смещением; г) выводы, полученные на основе t и F статистик будут надежными. Задание 28 Какая из ниже перечисленных моделей является авторегрессионной? а) yt 0 xt 1 xt 1 ... k xt k t ; б) yt xt yt 1 t ; в) y t 0 xt 1 t ; г) y t 0 t 1 t 2 ... k t k t . Задание 29 Исходя из структурной формы системы одновременных уравнений, получают приведенную форму данной системы, коэффициенты которой оценивают обычным методом наименьших квадратов. Затем по коэффициентам приведенной модели рассчитывают оценки параметров структурной модели. Такой порядок действий называется: а) обычным методом наименьших квадратов; б) двухшаговым методом наименьших квадратов; в) трехшаговым методом наименьших квадратов; г) косвенным методом наименьших квадратов. Задание 30 Уравнения, в которых отражена схема определения переменных называются: а) уравнениями-тождествами; б) уравнениями в приведенной форме; в) поведенческими уравнениями системы; г) структурными уравнениями модели. Темы рефератов: эндогенных 1. Множественная регрессия. Фиктивные переменные при исследовании качественных признаков. Кусочно-линейные модели для исследования, например, структурных изменений. 2. Множественная регрессия. Частная корреляция. Пошаговый отбор переменных при спецификации модели. 3. Спецификация регрессионной модели. Исключение существенных переменных. Включение несущественных переменных. 4. Регрессионные модели со стохастическими объясняющими переменными. Метод инструментальных переменных. 5. Инструментальные переменные в регрессионном анализе. Состоятельность оценок при их включении в модель. Двухшаговый метод наименьших квадратов. Тест Хаусмана. 6. Системы одновременных уравнений. Структурная и приведенная формы эконометрической модели. Косвенный метод наименьших квадратов. 7. Оценивание системы одновременных уравнений. Двухшаговый метод наименьших квадратов. Пример: модель Клейна. 8. Временные ряды. Модели распределенных лагов: полиномиальная и геометрическая. 9. Временные ряды. Динамические модели. Авторегрессионная модель при наличии автокорреляции ошибок. Оценивание. Методы инструментальных переменных и максимальногоравдоподобия. 10. Понятие и обзор моделей Бокса–Дженкинса (AR, AM, ARMA, ARIMA). 11. Модели бинарного выбора. Особенности оценивания параметров в логит- и пробит-моделях. 12. Фиктивные переменные в пространственных и динамических регрессионных моделях. Интерпретация коэффициентов при фиктивных переменных. Ошибки спецификации. 13. Модель предложения и спроса на конкурентном рынке как пример системы одновременных уравнений. Основные структурные характеристики модели. 14. Производственная функция Кобба-Дугласа. Как оценивать параметры производственной функции Кобба-Дугласа по пространственной и временной информации? 15. Временные ряды. Методы экспоненциального сглаживания. Контрольные вопросы к экзамену: 1. Несмещенность оценки. 2. Эффективность оценки. 3. Состоятельность оценки. 4. Выборочная ковариация и ее свойства. 5. Выборочная дисперсия и ее свойства. 6. Коэффициент корреляции. 7. Вывод выражений для коэффициентов регрессии парной линейной регрессии методом наименьших квадратов. 8. Интерпретация линейного уравнения регрессии. 9. Стандартные ошибки коэффициентов регрессии. 10. Условия Гаусса - Маркова. Формулировка теоремы Гаусса - Маркова. 11. t - тесты для коэффициентов регрессии. 12. Коэффициент детерминации. 13. F - тест на качество оценивания. 14. Линеаризация уравнения y a b . x 15. Линеаризация уравнения y a xb . 16. Линеаризация уравнения y a ebx . 17. Вывод коэффициентов множественной линейной регрессии. 18. Множественная регрессия в нелинейных моделях. Производственная функция Кобба - Дугласа. 19. Стандартные ошибки коэффициентов множественной регрессии. 20. t - тесты и доверительные интервалы параметров уравнения в случае множественной регрессии. 21. Коэффициент детерминации в случае множественной регрессии. Скорректированный коэффициент детерминации. 22. F - тест в случае множественной регрессии. 23. Гетероскедастичность случайных возмущений. 24. Обнаружение гетероскедастичности (тесты Парка, Спирмена, ГолдфелдаКвандта). 25. Устранение (смягчение) гетероскедастичности. Метод взвешенных наименьших квадратов. 26. Автокорреляция случайных возмущений. Возможные причины автокорреляции. 27. Обнаружение автокорреляции. Критерий Дарбина - Уотсона. 28. Метод Кохрана-Оркатта. 29. Метод Хилдрета-Лу. 30. Последствия мультиколлинеарности. Методы обнаружения мультиколлинеарности. 31. Частные коэффициенты корреляции. 32. Процедура последовательного присоединения элементов. 33. Объясняющие фиктивные переменные. 34. Сравнение двух регрессий. Тест Чоу. 35. Фиктивные переменные в сезонном анализе. 36. Уравнение линейного тренда и оценка его значимости. 37. Точечный и интервальный прогноз среднего и индивидуальных значений ряда на следующий период. 38. Полиномиальный тренд. Подбор порядка полинома с помощью метода последовательных разностей. 39. Процесс авторегрессии. 40. Процесс скользящего среднего. 41. Процесс авторегрессии – скользящего среднего. 42. Процесс авторегрессии и проинтегрованного скользящего среднего. 43. Распределение Койка. 44. Полиномиально распределенные лаги Алмон. 45. Модель потребления Фридмена. 46. Тест Чоу на устойчивость регрессионной модели. 47. Модель адаптивных ожиданий. 48. Модель частичной корректировки. 49. Проверка идентификации уравнений модели системы одновременных уравнений. Приведенная форма модели. 50. Модель Кейнса. 51. Косвенный метод наименьших квадратов. 52. Двухшаговый метод наименьших квадратов. 53. Трехшаговый метод наименьших квадратов. 54. Инструментальные переменные. 8. Образовательные технологии. В соответствии с требованиями ФГОС ВПО направлению подготовки бакалавров экономики, реализация компетентносного подхода предусматривает широкий спектр использования в учебном процессе активных и интерактивных форм проведения занятий, комплексный разбор конкретных ситуаций с целью выявления и выбора альтернатив решения проблем, иные тренинги в сочетании с внеаудиторной работой с целью формирования и развития профессиональных навыков обещающихся. На лекциях по данной дисциплине рекомендуется применение основных таблиц, схем и рисунков, предусмотренных содержанием рабочей программы, а также компьютерных презентаций и другое. Семинарские занятия предусматривают сочетание индивидуальных и групповых форм работы. 9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля). 9.1. Основная литература: 1. Бородич С.А. Эконометрика.- Мн.: Новое знание, 2001. 2. Доугерти К. Введение в эконометрику. - М.: ИНФРА-М, 1997. 3. Эконометрика. Под ред. Члена-корреспондента Российской Академии наук И.И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2001 4. Практикум по эконометрике. Под ред. Члена-корреспондента Российской Академии наук И.И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2001. 5. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов / Под. ред. проф. Н.Ш. Кремера.- М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003.- 311 с. 9.2. Дополнительная литература: 1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. Учебник для вузов.- М.: ЮНИТИ, 1998. 2. Маленво Э. Статистические методы эконометрии /Пер. с фр.: Вып.1.М.: финансы и статистика, 1975. 3. Джонстон Дж. Эконометрические методы.- М.: Статистика, 1980. 4. Дубров А.М., Мхитарян В.С., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы: Учебник.- М.: Финансы и статистика, 1998. 5. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс.- М.: Дело, 1997. 6. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ.- М.: «Диалектика», 2007. 7. Тихомиров Н.П., Дорохина Е.Ю. Эконометрика.- М.: «Экзамен», 2007. 9.3. Программное обеспечение и Интернет – ресурсы: 1. Математические и статистические функции Microsoft Office Excel и пакет анализа данных. 2. «Квантиль» - международный электронный журнал по эконометрике. Издается на русском языке. Электронный адрес: http://quantile.ru 3. Электронную версию учебника Суслов, В.И. Эконометрия: Учебник / В.И.Суслов, Н.М.Ибрагимов, Л.П.Талышева, А.А.Цыплаков / Новосибирск: Из-во СО РАН, 2005. – 744 http://econom.nsu.ru/oldeconom/lib/NFPK с. можно найти на сайте 4. Сайт http://crow.academy.ru/econometrics/, посвященный эконометрике, создан на экономическом факультете МГУ и содержит много полезных материалов и ссылок. 5. На сайте А.Цыплакова http://econom.nsu.ru/ef/tsy/ecmr – можно найти много полезной информации и ссылок по вопросам эконометрики. 6. На сайте http://www.statsoft.ru/home/textbook/default.htm расположен электронный учебник по статистике, подготовленный компанией StatSoft. 7. Следующие два сайта полезны в качестве источников данных: официальный сайт Госкомстата – http://www.gks.ru, и сайт Центрального банка РФ – http://www.cbr.ru. 10. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля). Компьютер, проектор, интерактивная доска. Дополнения и изменения к рабочей программе на 201 / 201 учебный год В рабочую программу вносятся следующие изменения: _________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ _______________________________________________ Рабочая программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры ____________________ « »_______________201 г. Заведующий кафедрой ___________________/___________________/ Роспись Ф.И.О.
