Беленький, 1Выпуклый_анализ_1к_маг_АПР

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Выпуклый анализ»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
П р а в ит е л ь с т во Р о с с и йс ко й Фе д е р а ци и
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Ф а ку л ь т е т Б и з н е с - и н фо р м а т ик и
отд. Прикладной м атематики и информатики
Программа дисциплины
Выпуклый анализ
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика»
подготовки магистра
специализация «Анализ и принятие решение»
Автор программы: Беленький Александр Соломонович
Одобрена на заседании кафедры высшей математики на факультете экономики 25.02.2013 г.
Зав. кафедрой
Алескеров Ф.Т.
Рекомендована секцией УМС [Введите название секции УМС] «___»____________ 20 г
Председатель
Утверждена Ученым Советом факультета экономики «___»_____________20 г.
Ученый секретарь
Москва, 2012
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Выпуклый анализ»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает требования к знаниям и
умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления подготовки 010400.68 «Прикладная математика и
информатика»,
обучающихся
по
магистерской
программе
«Математическое
моделирование» по специализации «Анализ и принятие решений», изучающих дисциплину
«Выпуклый анализ».
Программа разработана в соответствии с:
 Образовательным стандартом государственного образовательного бюджетного
учреждения высшего профессионального образования «Государственный
университет – Высшая школа экономики», в отношении которого установлена
категория «Национальный исследовательский университет»;
 Рабочим учебным планом университета подготовки магистра по направлению
010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра,
утвержденным в 2011 г.
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Выпуклый анализ» являются
 дальнейшее развитие у студентов аналитических способностей и системного
мышления, сформированных в результате изучения общеобразовательных и
специальных математических курсов;
 формирование навыков математических рассуждений при анализе и обосновании
утверждений об объектах в конечномерных пространствах;
 знакомство с приложениями дисциплины в математике и в экономике.
3
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Освоить элементы выпуклого анализа, используемые в других математических и
прикладных дисциплинах, изучение которых предусмотрено базовым и рабочим
учебными планами;
 Уметь применять методы выпуклого анализа при анализе проблем и при решении
прикладных задач в экономических и социальных системах;
 Уметь понимать математические рассуждения, использующие технику выпуклого
анализа.
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Компетенция
Общенаучная
Код по
ФГОС /
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
ОНК-1
Способность к анализу проблем
на основе системного подхода
Формы и методы обучения,
способствующие
формированию и развитию
компетенции
Стандартные
(лекционносеминарские)
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Выпуклый анализ»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
Компетенция
Общенаучная
Общенаучная
Общенаучная
Общенаучная
Общенаучная
Общенаучная
Инструментальные
Профессиональные
Формы и методы обучения,
способствующие
формированию и развитию
компетенции
Код по
ФГОС /
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
ОНК-2
Способность перейти от
проблемной ситуации к
математическим формулировкам
прикладных задач
Стандартные
(лекционносеминарские)
ОНК-3
Способность использовать
методы критического анализа,
развития научных теорий,
опровержения и фальсификации,
оценить качество исследований в
некоторой предметной области
Стандартные
(лекционносеминарские)
ОНК-4
Готовность использовать
основные законы
естественнонаучных дисциплин в
профессиональной деятельности,
применять методы
математического анализа и
моделирования, теоретического и
экспериментального
исследования при работе в какойлибо предметной области
Стандартные
(лекционносеминарские)
ОНК-5
Готовность выявить
естественнонаучную сущность
проблем, возникающих в ходе
профессиональной деятельности,
привлечь их для решения
соответствующий аппарат
дисциплины
Стандартные
(лекционносеминарские)
ОНК-6
Способность приобретать новые
знания с использованием научной
методологии и современных
образовательных и
информационных технологий
Стандартные
(лекционносеминарские)
ОНК-7
Способность порождать новые
идеи (креативность)
Стандартные
(лекционносеминарские)
ИК-2
Умение работать на компьютере,
навыки использования основных
классов прикладного
программного обеспечения,
работы в компьютерных сетях,
составления баз данных
Стандартные
(лекционносеминарские)
ПК-1
Способность демонстрации
общенаучных базовых знаний
естественных наук, математики и
информатики, понимание
основных фактов, концепций,
принципов теорий, связанных с
прикладной математикой и
Стандартные
(лекционносеминарские)
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Выпуклый анализ»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
Компетенция
Код по
ФГОС /
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Формы и методы обучения,
способствующие
формированию и развитию
компетенции
информатикой
Профессиональные
Профессиональные
Профессиональные
4
ПК-2
Способность понимать и
применять в исследовательской и
прикладной деятельности
современный математический
аппарат
Стандартные
(лекционносеминарские)
ПК-4
способность критически
оценивать собственную
квалификацию и её
востребованность,
переосмысливать накопленный
практический опыт, изменять при
необходимости вид и характер
своей профессиональной
деятельности
Стандартные
(лекционносеминарские)
ПК-8
Способность решать задачи
производственной и
технологической деятельности на
профессиональном уровне,
включая разработку
математических моделей,
алгоритмических и программных
решений
Стандартные
(лекционносеминарские)
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Для специализации «Анализ и принятие решений» настоящая дисциплина является
дисциплиной по выбору.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
 Математический анализ;
 Многомерная геометрия и линейная алгебра;
 Линейное программирование;
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями:
 Знаниями и определений и формулировок основных теорем перечисленных выше
дисциплин и пониманием предположений, при которых эти теоремы доказаны;
 Навыками решения типовых задач из указанных дисциплин.
Полученные знания потребуются при изучении следующих дисциплин:
 Методы оптимизации;
 Исследование операций;
 Численные методы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Выпуклый анализ»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
5
Тематический план учебной дисциплины
Аудиторные часы
№
Название раздела
Всего
часов
Лекци
и
Практиче
Семин
ские
ары
занятия
Самостоятельная
работа
1. Выпуклые множества, выпуклые
конусы, аффинные множества.
16
4
4
8
2. Теоремы Каратеодори, Радона, Хелли
и их следствия.
26
4
4
18
3. Слабая , строгая, собственная и
сильная отделимость выпуклых
множеств. Теоремы отделимости и их
следствия.
36
6
6
24
4. Некоторые приложения теорем
отделимости в математике и в
экономике. Связь теорем отделимости
с теоремой Хана-Банаха о
продолжении линейного функционала.
14
2
2
10
5. Относительная внутренность
выпуклого множества и собственная
отделимость выпуклых множеств в R n
16
4
4
8
6. Строго и сильно выпуклые функции и
их свойства
16
4
4
8
7. Дифференциальные критерии
выпуклости и сильной выпуклости
функций
22
2
2
18
8. Квазивыпуклые, квазивогнутые и
монотонные функции на выпуклых
множествах в R n , основные теоремы
об экстремумах этих функций и
методы минимизации квазивыпуклых
функций на выпуклом множестве в R n
16
4
4
8
9. Итого
162
30
30
102
6. Формы контроля знаний студентов
Тип контроля
1 год
Форма контроля
3
Параметры **
4
Письменная работа 160
минут
6
Текущий
(неделя)
Контрольная работа
14
Обсуждение пройденного
Письменная работа 80 минут
Еженедельно
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Выпуклый анализ»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
материала с вопросами
Промежуточный
Зачет
Итоговый
Экзамен
8
Защита контрольной работы
с дополнительными
вопросами
Устный экзамен
6.1. Критерии оценки знаний, навыков
Для успешного прохождения контроля студент должен продемонстрировать а)
понимание основных определений и теорем курса; б) умение решать задачи на вычисление и на
доказательство из тех типов задач, которые были разобраны на семинарских занятиях.
Для получения зачета в 3-м модуле необходимо решить не менее 60% задач контрольной
работы.
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
7. Содержание дисциплины
Тема I. Выпуклые множества, выпуклые конусы, аффинные множества.
Выпуклые множества, выпуклые конусы, аффинные множества. Сумма выпуклых
множеств. Замыкание выпуклого множества. Представление выпуклых множеств, выпуклых
конусов и аффинных оболочек множеств. Выпуклые многогранники, выпуклые многогранные
конусы и их замкнутость. Совпадение аффинных оболочек выпуклого множества и его
замыкания.
Лит-ра: основная: [1] стр. 25-40. [2] стр. 56-64.
Тема II. Теоремы Каратеодори, Радона, Хелли и их следствия.
Представление точек конической оболочки произвольного множества и теорема
Каратеодори. Компактность выпуклой оболочки компактного множества. Теорема Радона и ее
связь с теоремой Каратеодори. Теорема Хелли для конечных семейств подмножеств в R n .
Необходимые и достаточные условия разрешимости конечной системы линейных неравенств.
Некоторые задачи комбинаторной геометрии. Эквивалентность двух определений компактного
множества в R n . Теорема Хелли для бесконечных семейств подмножеств в R n .
Лит-ра: основная: [1] стр. , 34-38, [2] стр. 59-62, [3], стр. 32-36 дополнительная [5] стр.
15-40
Тема III. Слабая, строгая и сильная отделимость выпуклых множеств в R n .
Отделимость выпуклых множеств. Слабая и сильная отделимость выпуклых множеств.
Проекция точки на множество и ее свойства. Необходимые и достаточные условия проекции
точки на множество. Теорема об опорной гиперплоскости. Строгая отделимость точки от
непустого выпуклого замкнутого множества. Достаточные условия строгой отделимости
непустых выпуклых множеств. Строгая отделимость непересекающихся выпуклых
многогранных множеств. Строгая отделимость точки от непустого открытого множества.
Обобщение теоремы об отделимости двух непересекающихся выпуклых множеств на
произвольное конечное число непересекающихся выпуклых множеств. Сильная отделимость
выпуклых множеств. Необходимые и достаточные условия сильной отделимости выпуклых
множеств.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Выпуклый анализ»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
Лит-ра: основная: [1] стр. 46-58, [2] стр. 69-74
Тема IV. Некоторые приложения теорем отделимости и их связь с теоремой ХанаБанаха
Лемма о двух альтернативах и теорема о минимаксе в матричных играх. Теорема о
представлении точек выпуклого компактного множества в R n через крайние точки этого
множества. Лемма Фаркаша и ее следствия. Разрешимость систем линейных уравнений и
неравенств. Выпуклые конусы. Операции над выпуклыми конусами. Конечные выпуклые
конусы и решения однородных систем линейных неравенств. Крайние векторы выпуклых
конусов и крайние решения однородных систем линейных неравенств. Применение леммы
Фаркаша к анализу равновесия в линейных моделях обмена. Функция Минковского и ее
свойства. Терема Хана-Банаха и отделимость выпуклых множеств.
Лит-ра: основная: [2] стр. 74-78, [4] стр. 20-22, 46-54.
Тема V. Относительная внутренность выпуклого множества и собственная
отделимость выпуклых множеств в R n
Относительная внутренность выпуклого множества. Непустота относительной
внутренности непустого выпуклого множества и совпадение замыканий выпуклого множества
и его относительной внутренности. Совпадение относительных внутренностей произвольного
выпуклого множества в R n и его замыкания. Относительная граница множества.
Существование собственной опорной гиперплоскости к множеству в точке его относительной
границы. Необходимые и достаточные условия собственной отделимости двух выпуклых
множеств в R n .
Лит-ра: основная: [2] стр. 63-66, 69-74, [4] стр. 20-22, 46-54.
Тема VI. Строго и сильно выпуклые функции и их свойства. Субдифференциалы
выпуклых функций.
Выпуклые функции. Строго и сильно выпуклые функции. Неравенство Йенсена.
Выпуклость верхней грани функции двух переменных на декартовом произведении выпуклого
и произвольного множества. Достаточные условия выпуклости суперпозиции выпуклых
функций на выпуклом множестве. Достаточные условия выпуклости функции максимума.
Гомогенные функции нескольких переменных. Вогнутость функции Кобба-Дугласа на Rn .
Необходимые и достаточные условия выпуклости дважды непрерывно дифференцируемой
функции одного переменного на числовом интервале. Применение неравенства Йенсена для
доказательства числовых неравенств. Субградиент и субдифференциал выпуклой функции в
точках выпуклого множества. Замкнутость и выпуклость субдифференциала выпуклой
функции и структура субградиента выпуклой дифференцируемой функции во внутренней точке
выпуклого множества. Вычисление субдифференциалов выпуклых функций.
Лит-ра: основная: [2] стр. 86-88, 101-104, [3] стр. 56-64.
Тема VII. Дифференциальные критерии выпуклости и сильной выпуклости функций
Выпуклость дифференцируемой функции на выпуклом множестве. Необходимые и
достаточные условия сильной выпуклости непрерывно дифференцируемой и дважды
непрерывно дифференцируемой функции на выпуклом множестве. Непрерывность выпуклой
функции в точках относительной внутренности выпуклого множества. Ограниченность
множеств Лебега на выпуклом множестве для сильно выпуклых и для непрерывных выпуклых
функций. Применение дифференциальных критериев выпуклости функций к анализу
выпуклости функций нескольких переменных. Субградиент и субдифференциал выпуклой
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Выпуклый анализ»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
функции в точках выпуклого множества. Замкнутость и выпуклость субдифференциала
выпуклой функции и структура субградиента выпуклой дифференцируемой функции во
внутренней точке выпуклого множества. Вычисление субдифференциалов выпуклых функций.
Лит-ра: основная: [2] стр. 89-97
Тема VIII. Квазивыпуклые, квазивогнутые и монотонные функции в R n , основные
теоремы об экстремумах этих функций и методы минимизации квазивыпуклых функций
на выпуклом множестве в R n
Строго и сильно квазивыпуклые функции. Экстремумы квазивыпуклых и квазивогнутых
функций на выпуклых многогранных множествах. Квазивыпукло-квазивогнутые (монотонные)
функции на выпуклых многогранных множествах. Необходимые и достаточные условия
монотонности непрерывной функции на выпуклом многогранном множестве. Конечный метод
отыскания минимума монотонной функции на выпуклом многогранном множестве, имеющем
крайние точки. Конечный метод отыскания минимакса двух монотонных функций на выпуклом
многогранном множестве, имеющем крайние точки. Локально-симплициальные множества и
достаточные условия существования седловой точки функции монотонной по каждому из
векторных переменных на декартовом произведении выпуклых многогранных множеств.
Лит-ра: дополнительная: [6] стр. 15-24; [7], [8], [9]
8. Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
8.1.Тематика заданий текущего контроля
1. Открытые и замкнутые множества в R n . Выпуклые, конические и аффинные оболочки
множеств в R n .
2. Теоремы отделимости и их приложения. Выпуклые функции и их свойства.
Примерные вопросы контрольной работы
1. Пусть А открытое множество в R n . Можно ли утверждать, что выпуклая оболочка А
является открытым множеством в R n ? Пусть А некоторое множество в R n . Можно
ли утверждать, что если выпуклая оболочка А является открытым множеством в R n ,
то А является открытым множеством в R n ?
2. Можно ли утверждать, что два непустых, выпуклых, замкнутых, непересекающихся
множества в R n строго отделимы? Пусть А непустое, выпуклое множество в R n и
точка в не является внутренней точкой А. Можно ли провести через эту точку
гиперплоскость так, чтобы множество А лежало в одном из замкнутых
полупространств, порожденных этой гиперплоскостью?
8.2. Примеры вопросов для оценки качества освоения дисциплины
1. Привести пример конуса А, для которого дважды сопряженный конус не совпадает с А.
2. Доказать замкнутость выпуклого многогранного конуса. Привести пример множества с
пустой внутренностью.
3. Каковы соотношения между слабой, сильной, строгой и собственной отделимостью
выпуклых множеств?
4. Доказать лемму Фаркаша как следствие теоремы отделимости (какой?) Доказать теорему о
неотрицательных решениях системы линейных неравенств как следствие леммы Фаркаша.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Выпуклый анализ»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
5. Доказать теорему Радона. Доказать теорему Хелли для бесконечных семейств множеств.
6. Привести пример сильно выпуклой функции. Почему выпуклая функция оказывается
непрерывной в точках относительной внутренности выпуклого множества? Дать
геометрическое «обоснование» этого свойства выпуклой функции.
7. Вычислить субградиент функции нормы вектора в точке х=0. Доказать замкнутость и
выпуклость субдифференциала выпуклой функции.
8. Каковы необходимые и достаточные условия монотонности непрерывной функции на
полиэдральном множестве?
9. Где достигается минимакс двух функций, монотонных на полиэдральном множестве?
10. Привести пример экстремальной задачи экономического содержания с монотонной целевой
функцией.
8.3.Примеры заданий итогового контроля
1. Доказать теорему Радона.
2. Какая из теорем отделимости в R n эквивалентна теореме Хана-Банаха? Ответ
обосновать.
3. Является ли функция квадрат нормы вектора сильно выпуклой функцией? Ответ
обосновать.
9. Порядок формирования оценок по дисциплине
Оценки за работу на семинарских и практических занятиях преподаватель выставляет в
рабочую ведомость. Накопленная оценка по 10-ти балльной шкале за работу на семинарских
занятиях определяется перед промежуточным или итоговым контролем - Оаудиторная.
Оценки за работу студента по обсуждению пройденного материала как форме
самостоятельной работы преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка
по 10-ти балльной шкале за самостоятельную работу определяется перед промежуточным или
итоговым контролем – Осам. работа.
Накопленная оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему
контролю следующим образом:
Отекущий = 0,6·Оаудиторная + 0,4·Осам. работа .
Способ округления накопленной оценки текущего контроля производится по правилам
арифметики округления.
Результирующая оценка по прохождению промежуточного контроля в форме зачета
выставляется по следующей формуле, где Озачет – оценка за работу непосредственно на зачете:
Опромежуточный = 0,6·Озачет + 0,3·Одз + 0.1·Отекущий .
Способ округления накопленной оценки промежуточного контроля производится по
правилам арифметики округления.
Результирующая оценка за итоговый контроль в форме экзамена выставляется по
следующей формуле, где Оэкзамен – оценка за работу непосредственно на экзамене:
Оитоговый = 0,5·Оэкзамен + 0,2·Окр1 + 0,2·Окр2 + 0,1· Отекущий.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Выпуклый анализ»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
Способ округления накопленной оценки итогового контроля производится по правилам
арифметики округления.
На пересдаче студенту не предоставляется возможность получить дополнительный балл
для компенсации оценки за текущий контроль.
В диплом выставляется результирующая оценка по учебной дисциплине, которая
формируется по следующей формуле:
Одисциплина = 0,3·Опромежуточный + 0,7·Оитоговый .
Способ округления результирующей оценки по учебной дисциплине производится по
правилам арифметики округления.
10.Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Основная литература
1. Рокафеллар Т., Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973
2. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. М.: Наука, 2008
3. Никайдо Х., Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1972
4. Пшеничный Б.Н., Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980
5. Данцер Л., Грюнбаум Б., Кли В., Теорема Хелли и ее приложения. М. Мир, 1968
Дополнительная литература
6. Б.Т. Поляк, Введение в оптимизацию. М.: Наука 1980
7. A.S. Belenky, Minimax problems with monotone functions on polyhedral sets, Automation and
Remote Control, 43, (1982), N10, 1304-1314.
8. A.S. Belenky, Minimization of a monotone function on a polyhedral set, Automation and Remote
Control, 43, (1982), N9, 1190-1197.
9. A.S. Belenky, Minimax planning problems with linear constraints and methods for their solving,
Automation and Remote Control, 42, (1981), N10, 1409-1419.
Автор программы: _____________________________/ А.С. Беленький/
Подпись обязательна.