Комбинированный урок по теме теорема пифагораx

Комбинированный урок по теме
«Теорема Пифагора – жемчужина античной математики»
8 класс
Цели урока:
Образовательные –актуализация знаний, умений и навыков, связанных с
темой урока, формирование у учащихся новых понятий и способов действий;
систематизация знаний по теме «Треугольник», отработка умений применять
полученные знания на практике, пропедевтика знаний;
Воспитательные – воспитание познавательной активности и развитие
творческих способностей учащихся, их интереса к предмету, формирование
культуры общения;
Развивающие – развитие логического и продуктивного мышления учащихся,
геометрических ( пространственных) представлений, формирование
математически грамотной речи, сознательного восприятия учебного
материала, накопление исторических знаний по предмету.
Тип урока : комбинированный.
Метод ведения урока : объяснение с привлечением учащихся к обсуждению
отдельных вопросов, решению проблемных ситуаций.
Оборудование: заготовки из цветной бумаги квадрата, плакаты, веревка,
разделенная узлами на 12 равных частей.
План урока.
1. Организационный момент. Сообщение темы урока, его цель.
2. Устная работа. Актуализация знаний, умений, навыков, связанных с
темой урока.
3. Формирование новых знаний.
4. Применение полученных знаний в стандартных ситуациях. Первичное
закрепление знаний.
5. Творческая актуализация знаний. Выполнение опережающего задания.
6. Подведение итогов.
7. Информация о домашнем задании.
Ход урока.
1. Устно .
М
1) Какой треугольник изображен на рисунке ?
( прямоугольный).
2) Назовите катеты и гипотенузу треугольника.
К
В ходе обсуждения вспоминаются определения прямоугольного
треугольника , катета, гипотенузы. Учитель подводит учащихся к
постановке цели урока ( совместно с учениками).
Р
2. Сегодня мы продолжим изучение треугольников. Основная наша цельнаучиться выражать одни элементы треугольника через другие. Какую
задачу мы умеем уже решать ? ( Зная два угла треугольника, мы можем
вычислить его третий угол ). Но очень часто на практике, например, при
измерениях на местности, встречаются ситуации, когда необходимо уметь
выражать сторону треугольника через другие элементы. Начнем с
прямоугольноготреугольника.
Ужасно давно по югу Италии
Одев, хитон и обув сандалии,
Бродил Пифагор – математик-мыслитель,
Чисел властитель, фигур повелитель,
Страны своей древней достойный житель.
Он питался древнегречневой кашей
И пощелкивал древнегрецкими орехами,
И умен был так, что в истории нашей
До сих пор гордятся его успехами.
Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось
бы с теоремой Пифагора. Пожалуй, даже те, кто в своей жизни
навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о
«пифагоровых штанах» - квадрате на гипотенузе, равновеликом двум
квадратам на катетах. Причина такой популярности теоремы Пифагора
триедина : это простота – красота-значимость. В самом деле, теорема
Пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых
начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой.
Но. Кроме того , теорема Пифагора имеет огромное значение : она
применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что
существует около 500 различных доказательств этой теоремы ( так, что
она попала в Книгу рекордов Гиннеса), свидетельствует о гигантском
числе ее конкретных реализаций.
Открытие теоремы Пифагора окружено ореолом красивых легенд.
Прокл, комментируя последнее предложение 1 книги «Начал
Евклида», пишет: «Если послушать тех, кто любит повторять древние
легенды, то придется сказать, что эта теорема восходит к Пифагору;
рассказывают, что он , в честь этого открытия принес в жертву быка».
Впрочем, более щедрые сказители одного быка превратили в одну
гекатомбу, а это уже целая сотня. И хотя еще Цицерон заметил, что
всякое пролитие крови было чуждо уставу пифагорейского ордена,
легенда эта прочно срослась с теоремой Пифагора.
Сегодня теорема Пифагора обнаружена в различных частных задачах
и чертежах: и в египетском треугольнике в папирусе фараона
Аменехмета 1 ( ок. 2000 лет до н.э.) и в вавилонских клинописных
табличках эпохи царя Хаммурапи ( 18 в. до н.э.) и во многих других
трактатах. Несмотря на все это, имя Пифагора, столь прочно
сплавилось с теоремой Пифагора, что сейчас просто невозможно
представить , что это словосочетание распадется. Тоже относится и к
легенде о заклании быков Пифагором.
Сегодня принято считать, что Пифагор дал первое доказательство
этой теоремы. Увы, от этого доказательства также не сохранилось
никаких следов. Поэтому нам ничего не остается, как рассмотреть
некоторые классические доказательства теоремы Пифагора, известные
из древних трактатов, почувствовав первозданную геометрическую
ауру теоремы, проследив нить Ариадны, которая вела древних
мудрецов к истине, а путь этот почти всегда оказывался кратчайшим и
всегда красивым.
3. Итак, как же звучала формулировка теоремы во времена Пифагора.
Сформулировать и рассмотреть простейшее доказательство этой теоремы
нам поможет простой лист бумаги квадратной формы.
Учащимся предлагается сложить лист бумаги так, чтобы
образовалась мозаика равнобедренных треугольников.
Рассмотрим один из образовавшихся треугольников.
Назовите гипотенузу и катеты этого треугольника. Обведите квадрат,
построенный на гипотенузе. Сколько треугольников он содержит ?
А теперь обведите квадраты , построенные на катетах. Сколько
треугольников содержит каждый такой квадрат ? А вместе ? Какой вывод
можно сделать ?
Мы сейчас рассмотрели простейшее доказательство теоремы, которое
получается в случае равнобедренного прямоугольного треугольника.
Вероятно, с него и начиналась теорема. И формулировалась она так:
Квадрат , построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника,
равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах.
А что означает, что многоугольники равновелики ? (Они имеют
одинаковую площадь). И тогда мы можем перейти к современной
формулировке теоремы Пифагора.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме
квадратов катетов.
Докажем эту теорему, используя алгебраический метод. Рассмотрим
прямоугольный треугольник с катетами а,в и гипотенузой с. Докажем, что
с2=а2+в2.
Достроим прямоугольный треугольник до квадрата со стороной (а+в), так как
показано на рисунке
а
в
а
в
Площадь S этого квадрата равна (а+в)2 . С другой стороны, этот квадрат
составлен из четырех равных прямоугольных треугольников ( треугольники
равны по двум катетам), площадь каждого из которых равна 1/2ав , и
квадрата со стороной с, поэтому
S=4. 1/2ав+с2 = 2ав +с2.
Таким образом, (а+в)2= 2ав+с2.
Откуда с2=а2+в2. Теорема доказана.
Итак, мы доказали, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы
равен сумме квадратов катетов. А чтобы запомнить это было легче, я вам
предложу стихотворение
Если дан нам треугольник
И ,притом, с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдем:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находимИ таким простым путем
К результату мы придем!
4. Устно.
1) Составьте по рисунку, используя
Теорему Пифагора, если это возможно,
8см
х
верное равенство.
Вычислите длину гипотенузы.
М
6см
2)Найдите катет прямоугольного треугольника.
5 см
К
Р
4 см
5. Теорема Пифагора – одна из главных теорем геометрии. Значение ее
состоит в том , что из нее или с ее помощью можно вывести большинство
теорем геометрии. Кроме того, она помогает решить многие практические
задачи. Вот и я вам сейчас предложу решить одну из задач.
Задача. Землемеры Древнего Египта для построения прямого угла
пользовались бечевкой, разделенной узлами на 12 равных частей.
Покажите, как они это делали .
При обсуждении решения акцентируется внимание на то, что
обучающиеся используют еще не доказанный факт , о том, что если в
треугольнике квадрат длины одной стороны равен сумме квадратов длин
двух других сторон, то этот треугольник прямоугольный. Далее внимание
учеников обращается на задачу №2 устной работы и делается
предположение, что верна теорема, обратная теореме Пифагора ( будет
доказана на следующем уроке ).
При решении этой задачи вы получили прямоугольный треугольник со
сторонами 3, 4, 5 ед., его называют «египетским треугольником». О нем
упоминается в папирусе, который историки относят приблизительно к 2000 г.
до н.э.
6. Часто математики записывали свои задачи в стихотворной форме. Вот
одна из задач индийского математика 12 века Бхаскары:
На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал. И угол прямой течением реки его ствол составляет.
Запомни теперь, что в том месте река
В четыре лишь фунта была широка
Верхушка склонилась у края реки.
Осталось три фунта всего от ствола .
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: у тополя как велика высота ?
Эту задачу я вам предлагаю в качестве домашнего задания.
7.Итог урока подводится совместно с учащимися. Что повторили, узнали
нового… Итак, сегодня на уроке мы повторили определения, связанные с
прямоугольным треугольником, увидели и сами прикоснулись к частицам
богатств, скрытых в жемчужине античной математики – теореме Пифагора.
Не случайно на обложке последнего издания Математического
энциклопедического словаря» рисунок из древнекитайского доказательства
теоремы Пифагора воспроизведен золотыми линиями в качестве символа
математики.
Пребудет Вечной истина, как скоро
Все познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
Верна, как и в его далекий век.
Спасибо за урок!