Математика и спорт

1
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №27»
«Математика и спорт»
Выполнил работу
Цветков Александр, 16 лет,
ученик 10 класса МБОУ «СОШ №27»
г. Пермь, Россия
Руководитель
Кустова Т.С., учитель математики
МБОУ «СОШ №27»
Пермь 2013
2
Оглавление
Стр.
Введение
3
1. Основные понятия математики исследования операций в спорте
5
2. Применение математики в различных видах спорта
8
3. Закономерности математики в спорте
11
Заключение
21
Источники
23
3
Введение
Чем занимаются математики и зачем они вообще нужны? Принято
считать, что математики сутки напролет сидят за письменным столом,
придумывают четырехэтажные формулы и за день изводят по пачке бумаги.
Большинство людей не задумываются, что результаты деятельности
математиков они ежедневно видят вокруг себя. Без математических расчетов
невозможны ни архитектура, ни проектирование техники, ни даже
составление режима работы светофоров на загруженных магистралях.
Математика и спорт, казалось бы, далеки друг от друга. Но это только на
первый взгляд. Математические методы всё шире используются в спорте.
Известно, что методами математической статистики устанавливают
перспективность спортсменов, условия, наиболее благоприятные для
тренировок,
их
эффективность,
обрабатывают
показания
датчиков,
контролирующих нагрузки спортсменов.
Теория
информации
позволяет
оценить
степень
загруженности
зрительного аппарата при занятиях различными видами спорта. Математика
и физика помогают изыскивать наиболее удачные формы гребных судов и
весел.
В то же время занятия спортом благотворно влияют на умственную
деятельность и психику человека, укрепляют его волю.
Цель данной работы – выявить взаимосвязь математики и спорта.
Задачи данной работы:
- Систематизировать и обобщить знания о взаимосвязи математики и
спорта
- Привести примеры применения математики в различных видах спорта
4
- Показать значимость и актуальность этой взаимосвязи на примере
показателей скорости на дистанциях 100 и 500 метров.
В работе использовались следующие методы исследования:
1.
изучение литературы
2.
использование интернет - ресурсов при изучении вопроса
3.
сбор данных
4.
анализ данных
5.
обобщение собранного материала
6.
защита работы.
Данная тема актуальна для меня, как для спортсмена, так как мне важно
систематизировать показатели для набора оптимальной физической формы и
корректировки физических нагрузок в течение учебного года.
5
1. Основные понятия математики и исследования математических
операций в спорте
Математический
материал
зачастую
принимает
чрезвычайно
абстрактную форму, в то же врем абстрактность математики, однако, не
означает её отрыва от материальной действительности. В неразрывной связи
со спортом, музыкой, литературой и многими науками запас количественных
отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, непрерывно
расширяется, и наполняется всё более богатым содержанием. Существует
две математики.
Первая
–
математика,
предметом
изучения
которой
является
искусственные конструкции, созданные математиками в процессе их
свободного творчества.
Вторая
–
изучает
«реальные»
математические
структуры,
существующие независимо от открывших их математиков. Это, так
называемая, прикладная математика. Например: математика в технике,
математика в экологии, математика в архитектуре и в числе их - математика в
спорте. Но результаты прикладной математики дают иногда неожиданные и
важнейшие следствия. Известно, что методами математической статистики
устанавливают
перспективность
спортсменов,
условия,
наиболее
благоприятные для тренировок, их эффективность, обрабатывают показания
датчиков, контролирующих нагрузки спортсменов. Теория информации
позволяет оценить степень загруженности зрительного аппарата при
занятиях различными видами спорта. Математика и физика помогают
изыскивать наиболее удачные формы гребных судов и весел.
Прикладная математика призвана создавать, изучать, развивать и
совершенствовать методы применения математики к задачам, возникающим
за ее пределами. Специалист по прикладной математике все время имеет
дело с математическими моделями. Важнейшее требование к математической
модели состоит в ее адекватности изучаемому реальному объекту, т. е. в
6
правильном описании объекта по соответствующим характеристикам. Так,
например, строится математическая модель игры в теннис, адекватная игре
по основной характеристике — по изменению счета в гейме (сете). Однако
эта модель не учитывает эмоциональных, психологических факторов и
адаптации к игре противника. Затем эта модель уточняется и вводится еще
одна характеристика — адаптация или обучение в ходе игры. И все же эта
модель остается неадекватной реальному процессу по другим особенностям.
Математическими моделями, цель которых обосновать принятие в
данной ситуации того или иного из возможных решений, занимается
важнейший раздел прикладной математики — исследование операций. Не
так уж часто в результате изучения математической модели удается прийти к
однозначному решению — найти единственное оптимальное решение. В
подавляющем большинстве случаев удается лишь сузить область поиска
оптимальных решений (которых может быть несколько), выделить решения,
близкие к оптимальным, практически равноценные. Однако и это
оказывается успехом, ибо существенно облегчает задачу лица,
ответственного за принятие решений, выбрать какое-либо из них.
Рассмотрим несколько практических задач и перечислим типичные задачи,
которые могут быть рассмотрены методами теории исследования операций.
1. Распределение игровых амплуа в спортивной команде
(баскетбольной, хоккейной и др.), обеспечивающее наибольший эффект в
игре.
2. Системы организации чемпионатов, турниров и кубковых встреч
(шахматных, теннисных, хоккейных и др.), обеспечивающие достижение
определенных целей. Например, для: выявления первого и второго призеров
кубковой встречи (с соблюдением определенных условий). Или, например,
для того чтобы в матче двух шахматных команд обеспечить следующие
естественные условия:
7
- все участники играют одинаковое число партий фигурами каждого
цвета;
- в каждом туре участники обеих команд играют одинаковое число
партий белыми и черными;
Составление для спортсменов диеты, удовлетворяющей требованиям
медиков и, в то же время, наиболее экономной и сохраняющей вес
спортсмена в определенных рамках, а также подборка содержимого рюкзака
с продуктами, обеспечивающая при наименьшем его весе необходимый
рацион.
Таким образом, математика, а с особенности прикладная математика,
объясняет многие последовательности и закономерности в спорте. С
помощью математических моделей могут быть решены практические задачи
в спорте, помогая спортсменам и тренерам достичь наивысших результатов.
8
2. Применение математики в различных видах спорта
Ввиду коммерческих выгод бейсбол издавна привлекал внимание
спортивных и деловых кругов. Именно поэтому был накоплен значительный
объем статистических данных, который позволил некоторым специалистам
сделать заключения о качестве игры команды (среднее число результативных
подач в зависимости от мастерства подающего и ловящего игроков, закон
распределения попаданий и т. п.). Для игры в бейсбол была построена с
помощью теоретико-вероятностного метода Монте-Карло имитационная
модель.
Вслед за этим появились приложения математических методов к
анализу игры в футбол. В одной из работ проанализированы 8373 игры из 56
туров, включенные в таблицу Национальной футбольной лиги США.
Результатом явились существенные указания, касающиеся стратегии
нападающих. Удалось доказать, что оптимальная стратегия в выигрыше
чемпионата по футболу может включать и такой вариант, как поражение в
отдельных матчах. Такая ситуация может возникать, когда команда, уже
обеспечившая себе место в высшей лиге, должна провести еще одну встречу
в своей (низшей) лиге. Однако, в случае победы ей пришлось бы в первом
туре высшей лиги встретиться с весьма сильным противником, в случае
проигрыша — с более слабым.
Подобные ситуации могут быть описаны с помощью марковских цепей;
анализ ситуаций позволяет выдать рекомендации о том, когда следует
стремиться к победе, а когда смириться с поражением.
Нечто подобное авторы имели возможность наблюдать в ходе
некоторых соревнований по теннису. Игрок предпочитал проигрыш (или
отказ от игры) в первом круге с тем, чтобы попасть в «утешительную» часть
турнира, включающую более слабых игроков, и где он мог бы с
определенной гарантией набрать требуемое количество очков (например, для
9
подтверждения разряда). Известны работы, которые посвящены методам
формирования основного состава футбольной команды, определения числа
запасных игроков, оптимизации возрастного состава, с определением циклов
обновления состава команды и т. п.
Имеются
рекомендации
по
созданию
оптимальной
программы
еженедельных тренировок для пятиборцев. Построенная модель включала в
качестве целевой функции линейную зависимость от результатов в каждом
виде пятиборья. В качестве ограничений фигурировали также линейные
зависимости, среди которых — ограничение на общее время (в течение
недели) тренировок спортсмена по всем пяти видам спорта; на объем
скоростных тренировок — он не может быть меньше объема тренировок на
выносливость; на объем тренировок по общей физической подготовке — он
должен превышать объем тренировок по отработке техники и т. п.
Возникшая модель анализировалась методами линейного программирования.
Существует математическая модель соревнования по подъему штанги.
Нарочно упрощенная модель предполагала, что каждый из спортсменов
имеет право попытаться лишь один раз взять вес и лишь один раз пропустить
подход к очередному (или начальному) весу. В рамках этой модели
выявились оптимальные стратегии участников соревнований. Аналогичным
методом может быть проанализирована ситуация, фактически имеющая
место в соревнованиях, когда каждый участник получает право на три
попытки поднять штангу.
Примерно теми же методами можно изучить ситуацию, возникающую в
соревнованиях по прыжкам в высоту и прыжкам с шестом, в которых каждый
из участников имеет право:
а) начать прыжки с любой высоты, но не меньшей, чем фиксированная
«квалификационная»;
10
б) сделать три попытки для преодоления каждой следующей
установленной высоты.
Преодолев некоторую «начальную» высоту (он ее выбирает сам),
спортсмен просит поднять планку и т. д. Ему засчитывается наибольшая из
преодоленных высот, без учета предшествующих попыток. Если спортсмен
начинает выступление с большей начальной высоты, то он экономит силы, и
вероятность взятия следующей высоты увеличивается. Однако в случае
неудачной попытки его результат считается нулевым. Имеется возможность
оценить в вероятностных терминах ожидаемый результат спортсмена в
зависимости от начальной высоты и выдать некоторые рекомендации
относительно оптимальной начальной высоты.
Обобщая все вышесказанное можно сделать вывод, что математическая
статистика играет огромную роль а анализе данных игр, физической форме
спортсменов, математические модели помогают оптимально распределять
соревновательный процесс, не затягивая соревнования и давая возможность
спортсменам и тренерам оптимально спланировать выступления спортсмена
на играх.
11
3. Закономерности математики в спорте
Немало интересных закономерностей математики обнаружили в спорте.
В числе прочего они объяснили, почему левши имеют преимущество при
игре в бейсбол, вывели связь между длиной пятки и спринтерскими
качествами спортсмена, определили идеальную форму шара для гольфа и
разработали наиболее эффективную тактику удара клюшкой.
3.1 Ученые связали длину пятки со спринтерскими качествами
Группа
исследователей
установила,
что
спринтерские
качества
спортсмена зависят от длины его пятки. В своей работе, опубликованной в
журнале The Journal of Experimental Biology, ученые показали, что чем
меньше расстояние между лодыжкой и ахилловым сухожилием, тем
эффективнее используется энергия при беге.
Коротко основные выводы работы приводит журнал New Scientist.
Ахиллово сухожилие расположено на задней стороне лодыжки и соединяет
мышцы икры с пяткой. Исследователи предположили, что эффективность
использования энергии при беге зависит от того, сколько энергии может быть
запасено в сухожилии. Когда нога бегуна ударяется об землю, сухожилие
сокращается, запасая энергию, которая высвобождается при подъеме ноги от
поверхности.
Используя математическую модель ноги, ученые показали, что
количество
запасаемой
энергии
в
первую
очередь
зависит
не
от
механических свойств сухожилия, а от расстояния от лодыжки до сухожилия.
Чем оно меньше, тем меньше энергии требуется спортсмену для того, чтобы
бежать с той же скоростью.
Чтобы подтвердить свое предположение, авторы работы изучили
физические характеристики 15 профессиональных бегунов. Исследователи
измеряли расстояние от лодыжки до ахиллова сухожилия, а затем определяли
уровень потребления энергии спортсменами при беге на беговой дорожке со
12
скоростью 16 километров в час. Результаты показали, что чем меньше была
"пятка" бегуна, тем меньше кислорода его организм поглощал во время
эксперимента. То есть, спортсмены с "маленьким размером" более
эффективно использовали энергию.
3.2 Ученые доказали преимущества левшей при игре в бейсбол
Левши имеют преимущество при игре в бейсбол. Такое заключение
сделали американские ученые после обработки статистических данных об
игроках и анализа правил этой игры. Пресс-релиз их работы опубликован на
сайте Университета Вашингтона в Сент-Луисе.
Ведущая левая рука дает преимущества как игроку, кидающему мяч
(питчер), так и тому, кто его отбивает (бэттер). Так, если и питчер и бэттер правши, то последнему для того чтобы отбить мяч необходимо следить за
ним глазами, так как мяч появляется из-за левого плеча бэттера. Когда
отбивающий - левша, он видит мяч, брошенный питчером-правшой, гораздо
лучше, так как тот летит прямо на него. По правилам бейсбола, после того
как бэттер отбил мяч, он должен бежать на так называемые базы определенные участки поля, где расположены подушки, до которых бэттер
должен дотронуться. Непосредственно после своего удара он бежит на
первую базу.
Как утверждает Дэвид Питерс (David Peters) из Университета
Вашингтона, если бэттер правша, то после удара по мячу он разворачивается
по направлению к третьей базе. Для того чтобы бежать к первой, он должен
поменять
свое
положение.
Движущая
сила
удара
бэттера-левши
разворачивает его как раз к первой базе. Питрес и коллеги подсчитали, что
выигрыш во времени для бэттера-левши составляет около одной шестой
секунды. Преимущество питчера-левши заключается в следующем: во время
броска он видит бегущих игроков не через плечо, а прямо. Питчер должен
13
видеть игроков противоположной команды, так как они могут попытаться
украсть базу - перебежать на следующую базу в момент подачи. Чтобы не
допустить "воровства", питчер должен кинуть мяч игроку из своей команды,
стоящему на базе.
Косвенным доказательством правомерности теории американских
ученых может служить статистика. Так, левой рукой как основной
пользуются около 10 процентов жителей Земли. В то же время, среди
бейсболистов процент левшей существенно выше - около 25 процентов.
3.3 Маятник признали идеальным игроком в гольф
Идеальный удар клюшкой по шару для гольфа лучше всего описывается
математической моделью маятника. К такому выводу пришел математик,
анализировавший характеристики ударов, выполняемых игроками мирового
класса. Ученый обратил внимание, что при ударе (но не при замахе) клюшка
всегда движется с постоянной скоростью. Кроме того, время, которое длится
удар, не оказывает существенного влияния на скорость шара. Наконец, замах
назад занимает приблизительно в два раза больше времени, чем движение
клюшкой вперед.
Все эти особенности лучше всего описываются поведением маятника,
который колеблется с частотой, в два раза превышающей резонансную для
него. Такая модель хорошо объясняет и другие характерные свойства ударов
в гольфе, например, тот факт, что чем больше замах назад, тем больше будет
скорость клюшки при ударе по шару.
14
По мнению ученого, игроки в гольф инстинктивно подстраивают свои
действия под модель маятника, когда раскачивают клюшку вперед-назад,
примеряясь перед ударом. Таким образом они "входят" в резонансную
частоту.
3.4 Корейские ученые изобрели идеальный шар для гольфа
Корейские ученые просчитали, каким образом необходимо изменить
поверхность шара для игры в гольф для того, чтобы он чаще попадал в
лунки. Об открытии исследователей сообщает журнал New Scientist.
Поверхность обычного шара для гольфа покрыта ямками. Они необходимы
для того, чтобы шар лучше "держал" направление, в котором его ударили. В
ямках
задерживается
воздух,
и
образующаяся
невидимая
оболочка
уменьшает колебания шара при полете. Кроме того, оболочка усиливает
подъемный эффект при ударе с закручиванием шара. Однако стандартная
поверхность имеет существенный недостаток: если клюшка заденет ямку,
расположенную не по центру, шар с большой вероятностью отклонится от
заданного направления.
Группа ученых из Сеульского национального института разработала
новый вариант поверхности шара, который, по словам авторов изобретения,
лишен описанного недостатка. Вместо ямок исследователи предлагают
нанести на шар желобки, которые поделят его поверхность на сегменты
различной формы (расположение желобков приведено на иллюстрации к
новости). Желобки создают воздушную оболочку по тому же принципу, что
и ямки. Однако площадь поверхности, занимаемая желобками, меньше, чем
площадь, на которой находятся ямки. Поэтому, как утверждают создатели
нового шара, вероятность попасть клюшкой в "неправильный" желобок
меньше, чем в "неправильную" ямку. Степень отклонения шара от заданного
15
направления при попадании в ямку или лунку при этом не сравнивается.
Правила игры в гольф не предъявляют конкретных требований к
поверхности шара. Так что если новый вариант действительно окажется
более точным, возможно, в будущем внешний вид шаров этой очень
популярной игры изменится. Авторы исследования уже подали патентную
заявку на свое изобретение.
3.5 Математика и атлетика.
В данном виде спорта, крайне важны арифметические расчеты при
разбеге прыгуна в длину для максимально четкого попадания «шиповкой» на
планку отталкивания.
Так же крайне важным арифметическим попаданием является степень
упругости шеста у прыгунов в высоту.
3.6 Математика и шахматы
У математики и у шахмат много родственного. Выдающийся математик
Г.
Харди,
проводя
параллель
между
этими
видами
человеческой
деятельности, заметил, что решение проблем шахматной игры есть не что
иное, как математическое упражнение, а игра в шахматы – это как бы
насвистывание математических мелодий. Формы мышления математика и
шахматиста довольно близки, и не случайно математики часто бывают
способными шахматистами. Шахматные фигуры, доска и сама игра часто
используются для иллюстрации разнообразных математических понятий и
задач. Шахматный король гроссмейстер Михаил Таль в детстве был потрясен
доказательством теоремы, которую нерадивые школьники произносят так:
«Пифагоровы штаны во все стороны равны». Нарисуем на шахматной доске
квадрат (Рис. 1). Доска разбивается на пять частей – сам квадрат и четыре
одинаковых прямоугольных треугольника. А теперь посмотрим на рисунок 2.
здесь те же четыре треугольника, а вместо одного квадрата уже два, но
меньшего размера. Треугольники на обоих рисунках одни и те же, а, значит,
16
их площади равны. Следовательно, равную площадь занимают и оставшиеся
части доски: на первом рисунке один квадрат, на втором – два. Поскольку
большой квадрат построен на гипотенузе прямоугольного треугольника, а
маленькие – на его катетах, получаем, что квадрат гипотенузы равен сумме
квадратов катетов.
3.7 Математика и лыжи
При планировании тренировочного процесса, в обязательном порядке
производится математический расчет различных видов тренировок. Не
проводя математического моделирования той или иной тренировки, нельзя
давать нагрузку спортсмену, так как в процессе учитываются: рост, вес,
возраст, частота сердечных сокращений в минуту, показатели артериального
давления, степень подготовленности спортсменов и многое другое. Только
правильно спланированный и примененный тренировочный план не наносит
вреда
здоровью
спортсмена
и
позволяет
им
приобрести
хорошую
физическую форму и добиться значимых спортивных результатов.
3.8 Моё исследование
Рассмотрим на примере моих результатов забегов на 100 и 500 метров,
зафиксированных в течение года, планирование тренировочных процессов и
распределение нагрузки в учебном году.
17
Месяц,
Результат на Результат на Состояние
год
100 м, сек.
Сентябрь
13,2
500 м, сек.
102
2012г
Декабрь
13,5
108
2012г
Физическая форма
здоровья
Здоров,
Хорошая
много
физическая форма,
физических
подготовка
сил.
межсезонье.
Простудные
Удовлетворительная
заболевания,
физическая форма,
снижение
снижение
иммунитета
физических
в
нагрузок
Февраль
13,3
104
2013г
Восстановлен Хорошая
ие
после физическая форма
болезни
Май
12,5
92
2013г
Здоров
Отличная
физическая форма,
набранная за сезон
Средний
13,12
101,5
результат
На основе полученных данных построим график скоростей:
18
120
100
80
60
40
20
ай
.1
3
.1
3
м
м
ян
ар
в.
13
12
я.
но
се
н.
12
0
дистанция 100 м
дистанция 500 м
Таким образом, анализируя полученные сведения, можно сделать вывод,
что к концу учебного года мной была набрана отличная физическая форма и
установлены личные рекорды на дистанциях 100 и 500 метров. В течение
года, в связи с перенесенными простудными заболеваниями, были
скорректированы
физические
нагрузки
в
сторону
уменьшения,
что
отразилось на показателях скорости в середине учебного года. К
следующему учебному году я постараюсь оставаться в такой же физической
форме, а также займусь укреплением иммунитета.
19
Заключение
Не зря говорят, что математика – это царица наук. Математика нужна в
любом виде спорта. Тренер без математики не вырастит спортсменачемпиона. В современной экономике спорта довольно широко используется
математический аппарат – анализируются графики различных зависимостей,
выводятся математические формулы, проводится математическая обработка
статистических данных. Кто с детских лет занимается математикой –
воспитывает в себе настойчивость, развивает внимание, тренирует мозг и
упорство в достижении цели.
Математика, а в особенности прикладная математика, объясняет многие
последовательности и закономерности в спорте. С помощью математических
моделей могут быть решены практические задачи в спорте, помогая
спортсменам и тренерам достичь наивысших результатов.
Математическая статистика играет огромную роль а анализе данных игр,
физической
форме
спортсменов,
оптимально
распределять
математические
соревновательный
модели
процесс,
не
помогают
затягивая
соревнования и давая возможность спортсменам и тренерам оптимально
спланировать выступления спортсмена на играх.
Немало интересных закономерностей математики обнаружили в спорте.
В числе прочего они объяснили, почему левши имеют преимущество при
игре в бейсбол, вывели связь между длиной пятки и спринтерскими
качествами спортсмена, определили идеальную форму шара для гольфа и
разработали наиболее эффективную тактику удара клюшкой.
На примере моих результатов забегов на 100 и 500 метров,
зафиксированных в течение года, можно сделать вывод, что к концу
учебного года мной была набрана отличная физическая форма и установлены
личные рекорды на дистанциях 100 и 500 метров. В следующем учебном
году я буду планировать физические нагрузки с учетом полученных данных.
20
Считаю, что научно – исследовательская работа выполнена в полном
объеме,
а
полученные
данные
будут
использованы
теоретической, но и в практической работе со спортсменами.
не
только
в
21
Интернет-ресурсы:
http://www.princetennis.ru/tennis01/matematika-v-sporte.php
http://www.sportradar.ru/article/math-in-sports.html
http://lenta.ru/news/2008/10/13/heel/
http://lenta.ru/news/2008/07/09/lefthand/
http://lenta.ru/news/2009/03/13/pendulum/
http://lenta.ru/news/2008/12/15/golf/