Теория для решения задач № 16 по планиметрии ЕГЭ 2016 Для решения задач по стереометрии необходимо знать формулы площадей фигур и формулы объѐмов тел. Необходимая теория: теорема Пифагора теорема косинусов определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса в прямоугольном треугольнике формулы площадей треугольника отношение площадей подобных фигур Теорема Пифагора В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Теорема косинусов Теорема: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 cos 𝛼 𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑐 cos 𝛽. 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 cos 𝛾. Зная две стороны треугольника и угол между ними, мы всегда можем найти третью сторону. Если нам будут известны все три стороны треугольника, то всегда можно найти любой угол: cos 𝛼 = cos 𝛽 = cos 𝛾 = 𝑏2 +𝑐 2 −𝑎2 2𝑏𝑐 𝑎2 +𝑐 2 −𝑏2 2𝑎𝑐 𝑎2 +𝑏2 −𝑐 2 2𝑎𝑏 , , . Понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса в прямоугольном треугольнике Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла. Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов. Катет 𝑎, лежащий напротив угла 𝛼, называется противолежащим (по отношению к углу𝛼). Другой катет 𝑏, который лежит на одной из сторон угла 𝛼, называется прилежащим. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего 𝑎 катета к гипотенузе: sin 𝛼 = 𝑐 Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к 𝑏 гипотенузе:cos 𝛼 = 𝑐 Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение 𝑎 противолежащего катета к прилежащему:𝑡𝑔𝛼 = 𝑏 Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего 𝑏 катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу): 𝑐𝑡𝑔𝛼 = 𝑎 Таким образом, зная два-три элемента в прямоугольном треугольнике, мы всегда сможем найти все остальные его элементы (углы и стороны). Отношение площадей подобных фигур Отношение площадей двух подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. 𝑆1 = 𝑘2 𝑆2 То есть, при изменении (увеличении или уменьшении) всех линейных размеров фигуры в k раз, отношение площади полученной к площади исходной фигуры будет равно 𝑘 2 . По соотношению сторон треугольники разделяются на разносторонние и равнобедренные (в том числе и равносторонние). По величине наибольшего угла треугольники на остроугольные, прямоугольные и тупоугольные. разделяются Признаки равенства треугольников: 1. По двум сторонам и углу между ними: 2. По стороне и двум прилежащим к ней углам: 3. По трем сторонам: Признаки подобия треугольников: 1. , если 2. , если 3. , если . . . Средняя линия - отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Медиана - отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Биссектриса - отрезок, выходящий из вершины треугольника и делящий угол пополам. Биссектриса угла треугольника делит его противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Высота - отрезок, выходящий из вершины треугольника и перпендикулярный противоположной стороне. Срединный перпендикуляр - прямая, проведенная через середину стороны треугольника, перпендикулярная к этой стороне. Четыре замечательные точки треугольника: 1. Точка пересечения медиан (медианы ∆ пересекаются в одной точке). 2. Точка пересечения биссектрис - центр вписанной окружности (биссектрисы ∆ пересекаются в одной точке). 3. Точка пересечения высот (высоты ∆ пересекаются в одной точке). 4. Точка пересечения срединных перпендикуляров - центр описанной окружности (срединные перпендикуляры ∆ пересекаются в одной точке).