Муниципальное казенное учреждение «Управление

Муниципальное казенное учреждение
«Управление образования Администрации МО «Баргузинский район»
МБОУ «Баргузинская средняя общеобразовательная школа»
671610, РБ, с .Баргузин, ул.Калинина 51 А; тел.:(30131)41540, 41454; факс (30131)41540
Задачи на построение.
Работу выполнил ученик
8 «а» класса: Кузнецов Андрей
Руководитель проекта:
Суровая О.Г., учитель математики
С. Баргузин
2014 год
1
Введение
Геометрия, несомненно, наиболее конструктивная часть школьной математики.
Большинство школьных задач по геометрии предлагает построить геометрическую
фигуру, изобразить множество точек, удовлетворяющих некоторому условию, выполнить
те или иные геометрические преобразования. Такие задачи даже часто противопоставляют
задачам на вычисление, считая задачи на построение более соответствующими духу
геометрии и ее главной цели – развивать пространственные представления и интуицию,
добиваться отчетливости и строгости в рассуждениях с визуальными образами.
Вполне возможно, что самые древние математические задачи – это геометрические
задачи на построение. Сейчас они могут показаться не очень интересными и нужными, а
кому-то даже надуманными. И действительно, зачем, а главное, где может понадобиться
умение построить, например, правильный семнадцатиугольник или треугольник по трем
медианам, или даже просто сделать построение прямой, параллельной данной с помощью
только циркуля и линейки. С помощью современных технических устройств можно
сделать все эти построения быстро и точно, а кроме того, еще и выполнить те из них,
которые просто невозможно сделать при помощи только линейки и циркуля.
И все же геометрия перестала бы быть геометрией без задач на построение. Ведь
геометрические построения являются весьма значимым элементом изучения геометрии.
В чем особенность этих задач?
Задачи на построение не просты, а единого алгоритма для решения всех таких задач
просто не существует. Каждая задача на построение по-своему уникальна, требует
индивидуального подхода для успешного решения. Именно поэтому научиться решать
задачи на построение достаточно трудно, но возможно.
Суть решения любой задачи на построение состоит в том, чтобы построить
некоторую фигуру, если даны соотношения между ее элементами. Решить задачу – это
значит указать конечную последовательность построений, после выполнения которых,
искомая фигура уже будет считаться построенной в силу аксиом геометрии.
Однако мы наблюдаем крайне редкое использование задач на построение в
школьных учебниках по геометрии, и частое их применение в текстах олимпиадных задач.
Поэтому мной была сформулирована тема работы : Анализ учебников по геометрии 7-9
класс, изучение задач на построение и их систематизация, создание небольшого сборника
задач.
Целью работы является анализ методической литературы на наличие задач,
связанных с построением.
Для реализации поставленных целей решал следующие задачи :
2
1)
Анализ учебников «Геометрия» под редакцией Л.С. Атанасяна,
А.В.Погорелова, И.М. Смирновой.
2)
Изучение типовых задач на построение и их систематизация
3)
Создание сборника и решение задач на построение.
Ход работы:
1 этап: Анализ литературы.
Для анализа учебников по предмету я выбрал методические комплекты под
редакцией Л.С. Атанасяна,по его учебникам занимаются все классы нашей школы;
А.В.Погорелова, был очень популярен еще совсем недавно, И.М. Смирновой, данный
учебник только начинает входить в школы Бурятии и нашего района, так например один
из классов Уринской средней общеобразовательной школы по нему учится третий год.
Главным показателем для сравнительного анализа являлся объем задач на
построение в списке предлагаемых упражнений.
Класс
«Геометрия 79»
«Геометрия 711»
«Геометрия 79»
Л.С.Атанасян
А.В.Погорелов
И.М.Смирнова
7 класс
9,9%
4,6%
8,7%
8 класс
3,2%
4,7%
3,3%
9 класс
4,8%
2,8%
0,9%
Как мы видим процентное содержание данных задач сравнительно невелико.
Получается что самое интересное, то что способствует развитию воображения и
пространственного мышления для нас становиться ограниченным.
2 этап: Изучение типовых задач на построение.
При выполнении графических работ приходится решать многие задачи на
построение. Наиболее встречающиеся при этом задачи — деление отрезков прямой, углов
3
и окружностей на равные части, построение различных сопряжений прямых с дугами
окружностей и дуг окружностей между собой. Сопряжением называют плавный переход
дуги окружности в прямую или в дугу другой окружности.
Наиболее часто встречаются задачи на построение следующих сопряжений: двух
прямых дугой окружности (скруглением углов); двух дуг окружностей прямой линией;
двух дуг окружностей третьей дугой; дуги и прямой второй дугой.
Построение сопряжений связано с графическим определением центров и точек
сопряжения. При построении сопряжения широко используются геометрические места
точек (прямые, касательные к окружности; окружности, касательные друг к другу). Это
объясняется тем, что они основаны на положениях и теоремах геометрии.
Построение осуществляется циркулем и линейкой. Линейкой можно соединять
любые точки, проводить прямые, отрезки, лучи. Циркулем можно проводить окружность,
любую дугу окружности, т.е. выбирать центр любой и любой радиус. Но, конечно, в
разумных пределах, в пределах чертежа или прибегать к масштабу. Для того чтобы
строить разные задачи, владеть задачами на построение, надо иметь набор опорных
фактов, набор опорных типовых задач на построение. Рассмотрим некоторые из них.
№1 Типовые задачи на построение
Задача 1: от данного луча отложить угол, равный данному углу.
Рисунок
Вот есть луч, вот есть угол А1, и надо на этом луче от точки А отложить угол,
равный данному. Задача несложная, но, тем не менее, владеть ею нужно.
Решение:
1) Окр (А1; А1В1),
2) Окр (А; R=А1В1),
3) Окр (С1; С1В11),
4) Окр (С; С1В11),
ÐВАС=ÐВ1А1С1,
ΔАВС=Δ А1В1С1ÞÐА=ÐА1.
1) Проведем окружность с центром в точке А1 и радиусов А1В1. Взяли центр,
провели окружность. Здесь получили точку В1, здесь получили точку С1.
4
2) И проводим такую же окружность с центром в точке А. Значит, и вторую
окружность точно такого же радиуса, но с центром в точке А. Радиус тот же самый,
подчеркнем R=А1В1. Первым действием мы получили две точки, а здесь мы получили
дугу окружности.
3) Дальше: проводим окружность с центром в точке С1 и радиусом С1В11. Провели
вторую окружность.
4) Проводим такую же окружность, т.е. такого же радиуса с центром в точке С.
Значит, проводим окружность с центром в точке С и того же радиуса С1В1. Провели,
получили точку, точку В.
Утверждаем, что так построенный ÐВАС=ÐВ1А1С1. Почему? Общий принцип, если
мы хотим доказать равенство углов или равенство сторон, лучше всего их заключить в
треугольники и доказать равенство треугольников со всеми вытекающими отсюда
последствиями. Равны ли треугольники АВС, А1В1С1? Равны, конечно. Потому что вот
эти стороны равны, мы проводили окружность и здесь проводили такую же окружность.
Значит, две стороны равны. Мы проводили вторую окружность со вторым радиусом и
здесь проводили вторую окружность с таким же радиусом. В результате имеем равенство
треугольников, а именно: ΔАВС=Δ А1В1С1 по трем сторонам. Третий признак равенства
треугольников. В треугольнике против равных сторон лежат равные углы и, наоборот, т.к.
у нас В1С1=ВС, то и углы равны. Значит, из этого равенства вытекает равенство
углов:ÐА=ÐА1. Итак, мы рассмотрели одну из опорных задач на построение.
Задача 2: построить биссектрису данного угла.
Рисунок
Предположим, есть угол АВС. Надо построить его биссектрису.
Построение:
1) Окр (А; R=АВ)
2) Окр (В; R=ВС),
Окр (С; ВС),
ΔАВР= ΔАСР.
1) Проводим окружность с центром в точке А и выберем какой-нибудь радиус,
например, R=АВ. Провели эту окружность и получили точки В и С, раз мы такой радиус
выбрали. И получили длину ВС.
2) Проведем окружность с центром в точке В и радиусом ВС, а также окружность с
центром в точке С и радиусом тем же ВС. Вот проведем одну окружность с центром в
точке В и такую же окружность с центром в точке С. Получим точку пересечения,
5
например, точку Р. И получим равносторонний треугольник. Вот таким радиусом мы
проводили, значит, треугольник равносторонний.
Утверждаем, что АР есть искомая биссектриса. Почему? Опять, чтобы это доказать,
надо интересующие нас углы заключить в некие треугольники, посмотреть, в каких
треугольниках они находятся. Постараться доказать равенство этих треугольников со
всеми вытекающими отсюда последствиями об углах. Действительно, ΔАВР= ΔАСР.
Почему они равны? По трем сторонам. Первые две стороны равны как радиусы, вторые
стороны равны как радиусы, одна сторона общая. В треугольниках против равных сторон
лежат равные углы. Вот одна сторона равна второй стороне, следовательно, этот угол
равен этому углу. И мы действительно имеем дело с биссектрисой. Итак, мы рассмотрели
две опорные задачи на построение. Из набора этих опорных задач вытекает построение
более сложных задач.
3) Доказательство. Надо доказать, что мы построили как раз то, что требуется. Что
доказанная фигура есть не что иное, как та фигура, которая требуется в условии. Что всем
требованиям наша фигура построенная удовлетворяет.
4) Исследование. Имеется ли решение. При каких значениях исходных данных
имеется решение и сколько решений: одно, два или несколько.
В более простых случаях, именно в опорных случаях, которые мы рассмотрели, там
четыре этапа вырождаются в один этап. Но во всех других случаях все это требуется.
Например, стандартная задача на построение треугольника по трем элементам, в ΔABC.
По трем элементам можно построить треугольник? Можно, способ построения не будем
повторять, он известный. Но всегда ли это можно сделать? Нет, не всегда. Нужно, чтобы
самая длинная сторона была бы все же меньше, чем сумма двух других сторон, а<b+c.
Значит, если даны нам три произвольных отрезка и сказано построить треугольник, то
выполняя все четыре этапа построения мы в конце концов натыкаемся на то, что не
каждой тройке отрезков соответствует свой треугольник. Должно выполняться
неравенство треугольника.
Задача 3. Построение перпендикулярных прямых.
Даны прямая и точка на ней. Построить прямую, проходящую через данную точку и
перпендикулярную к данной.
№2 Построение треугольников
Задача №1. Построить треугольник с данными сторонами a, b, c.
6
Построение. С помощью линейки проведем произвольную прямую и отметим на ней
произвольную точку B. Раствором циркуля, равным a, описываем окружность с центром в
точке B и радиусом a. Пусть C – точка ее пересечения с прямой. Далее описываем
окружность с центром в точке B радиуса c и с центром в точке C радиуса b. Пусть A –
точка пересечения построенных окружностей.
Треугольник ABC – искомый.
Задача №2 Построение треугольника по двум сторонам и
углу между ними.
Дано: отрезки a,b,РD
Построить: D ADC, DA=a,DC=b
Построение: На прямой отложим отрезок DA равный а. От прямой DA
отложим РADB=РD. На луче DB откладываем отрезок DС равный отрезку b.
Построим D ADC - искомый.
№3 Деление окружности
Приемы деления окружности на равные части человек использовал с незапамятных
времен. Например, превращение колеса из сплошного диска в обод со спицами поставило
человека перед необходимостью распределить спицы в колесе равномерно. Выполняя
изображение такого колеса, люди искали точные способы с помощью чертежных
инструментов.
С
делением
окружности
неразрывно
связано
построение
правильных
многоугольников. Они встречаются в древнейших орнаментах у всех народов. Люди уже
тогда оценивали их красоту. Кроме того, они видели эти фигуры в природе. Например,
пятиугольник встречается в очертаниях минералов, цветов, плодов, в форме некоторых
морских животных, шестиугольник просматривается в пчелиных сотах и т.д.
В строительстве широко применяли деление окружности на равные части. Одним из
примеров может служить величественный памятник готической архитектуры – Нотр–Дам
де Пари или Собор Парижской Богоматери (30 метров в длину, 108 – в ширину) который
находится в Париже, на острове Сити. Его строили 94 года. Фасад Собора украшает
удивительный витраж 18 века. Этот витраж в архитектуре называется «роза». Диаметр
розы собора Собор Парижской Богоматери12 метров 90 см.
7
В декоративно-прикладном искусстве дизайнеры, ювелиры с успехом применяли
деление окружности, создавая прекрасные произведения: ордена, медали, монеты,
ювелирные изделия.
При изготовлении многих типичных деталей тоже возникает необходимость в
делении отрезка и окружности на равные части.
Окружность можно разделить на равные части с помощью циркуля. Рассмотрим
несколько построений:
Для того чтобы разделить окружность на восемь равных частей, необходимо
разделить на две равные части дугу, равную 1/4 окружности. Таким образом получим
дугу, равную 1/8 окружности (А4 = A3). Раствором циркуля, равным A3 или А4,
нанесем засечки на окружности, разделив ее тем самым на восемь равных частей.
Последовательно соединив засечки отрезками прямых, получим правильный
восьмиугольник (рис. 64).
Деление окружности на пять и десять равных частей. Построение правильных
пятиугольника и десятиугольника.
Чтобы разделить окружность на пять равных частей, находим середину радиуса
окружности ОА. Приняв точку В за центр, проведем дугу, радиус которой равен длине
отрезка ВС, до пересечения ее с горизонтальным диаметром в точке Е. Отрезок СЕ есть
сторона пятиугольника. Отрезок ОЕ соответствует стороне правильного вписанного
десятиугольника. Отложив величину, равную 1/5 и 1/10 окружности, разделим ее на пять
и десять равных частей. Соединив последовательно засечки (вершины n-угольника)
отрезками прямых, получим правильные пяти- и
десятиугольники (рис. 65).
Деление окружности на три, шесть, двенадцать
равных частей. Построение правильных
многоугольников.
Деление окружности на три равные части
производится следующим образом. Точка С (рис.
66) принимается за центр, из которого проводится
дуга, радиус которой равен радиусу окружности.
Проведенная дуга пересечет окружность в точках 2
8
и 3. Дуги 1-2, 1-3, 2-3 являются третьей частью окружности. Соединив точки 1, 2 и 3,
получим правильный треугольник.
Чтобы разделить окружность на шесть
равных частей, от любой ее точки отложим
отрезки, равные радиусу окружности (R).
Полученные дуги делят окружность на шесть
равных частей. Приняв точки 1, 2, 3, 4, 5, 6 за
вершины шестиугольника, соединим их отрезками
прямых, как показано на рис. 67, а. Таким образом
построим правильный шестиугольник.
Деление окружности на двенадцать равных
частей основано на откладывании от любой ее
точки отрезков, равных половине радиуса окружности (R/2). Полученные дуги
разделят окружность на двенадцать равных частей. Приняв каждую засечку за вершину
двенадцатиугольника и последовательно соединив их, получим правильный
двенадцатиугольник и определение величины радиуса (рис. 67, б).
Нахождение центра дуги
и определение величины
радиуса.
В практике выполнения
чертежей бывает необходимо
найти центр дуги и определить
величину ее радиуса. Для этого
проводят две непараллельные
хорды и восставляют перпендикуляры к их
серединам.
Точка пересечения перпендикуляров (точка
О) есть центр дуги (рис. 68). От центра замеряют
величину радиуса дуги.
9
№4 Скругление углов
Сопряжение двух пересекающихся прямых дугой заданного радиуса называют
скруглением углов. Его выполняют следующим образом (рис. 32). Параллельно сторонам
угла, образованного данными
Рис. 32
прямыми, проводят вспомогательные прямые на расстоянии, равном радиусу. Точка
пересечения вспомогательных прямых является центром дуги сопряжения.
Из полученного центра О опускают перпендикуляры к сторонам данного угла и на
пересечении их получают точки сопряжения А а В.Между этими точками проводят
сопрягающую дугу радиусом R из центра О.
№4 Сопряжение дуг окружностей прямой линией
При построении сопряжения дуг окружностей прямой линией можно рассмотреть две
задачи: сопрягаемая прямая имеет внешнее или внутреннее касание. В первой задаче (рис.
33, а) из центра дуги
Рис. 33
10
меньшего радиуса R1 проводят касательную вспомогательной окружности, проведенной
радиусом R — RI. Ее точку касания Коиспользуют для построения точки сопряжения А на
дуге радиуса R.
Для получения второй точки сопряжения А1 на дуге радиуса R1 проводят
вспомогательную линию О1 А1 параллельно О А. Точками A и А1будет ограничен участок
внешней касательной прямой.
Задача построения внутренней касательной прямой (рис. 33, б) решается, если
вспомогательную окружность построить радиусом, равным R + R1,
Сопряжение двух дуг окружностей третьей дугой
При построении сопряжения двух дуг окружностей третьей дугой заданного радиуса
можно рассмотреть три случая: когда сопрягающая дуга радиуса R касается заданных дуг
радиусов R1 и R2 с внешней стороны (рис. 34, а); когда она создает внутреннее касание
(рис. 34, б); когда сочетаются внутреннее и внешнее касания (рис. 34, в).
Построение центра О сопрягающей дуги радиуса R при внешнем касании осуществляется
в следующем порядке: из центра О1радиусом, равным R + R1, проводят вспомогательную
дугу, а из центра O2 проводят вспомогательную дугу радиусом R + R2. На пересечении дуг
получают центр О сопрягаемой дуги радиуса R, а на пересечении радиусом R + R1и R +
R2 с дугами окружностей получают точки сопряжения А и А1.
Построение центра О при внутреннем касании отличается тем, что из центра О1 проводят
вспомогательную окружность радиусом, равным R — R1 а из центра О2 радиусом R —
R2. При сочетании внутреннего и внешнего касания из центра О1 проводят
вспомогательную окружность радиусом, равным R — R1, а из центра О2 — радиусом,
равным R + R2.
геометрические построения - Сопряжение дуги окружности и прямой линии второй
дугой
Здесь может быть рассмотрено два случая: внешнее сопряжение (рис. 35, а) и внутреннее
(рис. 35, б). В том и в другом случае при построении сопрягающей дуги радиуса R центр
сопряжения О лежит на пересечении геометрических мест точек, равно удаленных от
прямой и дуги радиуса R на величину R1.
При построении внешнего сопряжения параллельно заданной прямой на расстоянии R1 в
сторону окружности проводят вспомогательную прямую, а из
центра О радиусом,равным R + R1,— вспомогательную окружность, и на их пересечении
получают точку О1 — центр сопрягающей окружности. Из этого центра
11
радиусом R проводят сопрягающую дугу между точками А и А1,построение которых
видно из чертежа.
Рис. 34
Рис. 35
Построение внутреннего сопряжения отличается тем, что из центра О проводят
вспомогательную дугу радиусом, равным R — R1.
12
геометрические построения - Овалы
Плавные выпуклые кривые, очерченные дугами окружностей разных радиусов, называют
овалами. Овалы состоят из двух опорных окружностей с внутренними сопряжениями
между ними.
Различают овалы трехцентровые и многоцентровые. При вычерчивании многих деталей,
например кулачков, фланцев, крышек и других, контуры их очерчивают овалами.
Рассмотрим пример построения овала по заданным осям. Пусть для четырехцентрового
овала, очерченного двумя опорными дугами радиуса R и двумя сопрягающими дугами
радиуса r , заданы большая ось АВ и малая ось CD. Величину радиусов R u r надо
определить путем построений (рис. 36). Соединим концы большой и малой оси отрезком
AС,на котором отложим разность СЕ большой и малой полуосей овала. Проведем
перпендикуляр к середине отрезка AF, который пересечет большую и малую оси овала в
точках О1 и О2. Эти точки будут центрами сопрягающихся дуг овала, а точка сопряжения
будет лежать на самом перпендикуляре.
Рис. 36
геометрические построения - Лекальные кривые
Лекальными называют плоские кривые, вычерченные с помощью лекал по
предварительно построенным точкам. К лекальным кривым относят: эллипс параболу,
гиперболу, циклоиду, синусоиду эвольвенту и др.
Эллипс представляет собой замкнутую плоскую кривую второго порядка. Она
характеризуется тем, что сумма расстояний от любой ее
13
Рис. 36
Рис. 37
точки до двух точек фокусов есть величина постоянная, равная большей оси эллипса.
Построить эллипс можно несколькими способами. Например, можно построить эллипс по
его большой АВ и малой CD осям (рис. 37, а). На осях эллипса как на диаметрах строят
две окружности, которые можно разделить радиусами на несколько частей. Через точки
деления большой окружности проводят прямые, параллельные малой оси эллипса, а через
точки деления малой окружности — прямые, параллельные большой оси эллипса. Точки
пересечения этих прямых и являются точками эллипса.
Можно привести пример построения эллипса по двум сопряженным диаметрам (рис. 37,б)
MN и KL. Сопряженными два диаметра называют, если каждый из них делит пополам
хорды, параллельные другому диаметру. На сопряженных диаметрах строят
параллелограмм. Один из диаметров MN делят на равные части; на такие же части делят и
стороны параллелограмма, параллельные другому диаметру, нумеруя их, как показано на
14
чертеже. Из концов второго сопряженного диаметра KL через точки деления проводят
лучи. В пересечении одноименных лучей получают точки эллипса.
Параболой называют незамкнутую кривую второго порядка, все точки которой равно
удалены от одной точки — фокуса и от данной прямой — директрисы.
Рассмотрим пример построения параболы по ее вершине О и какой-либо точке В (рис.
38, а). С этой целью строят прямоугольникОABC и делят его стороны на равные части, из
точек деления проводят лучи. В пересечении одноименных лучей получают точки
параболы.
Можно привести пример построения параболы в виде кривой, касательной прямой с
заданными на них точками А и В (рис. 38, б).Стороны угла, образованного этими
прямыми, делят на равные части и ну-
Рис. 38
меруют точки деления. Одноименные точки соединяют прямыми. Параболу вычерчивают
как огибающую этих прямых.
Гиперболой называют плоскую незамкнутую кривую второго порядка, состоящую из двух
веток, концы которых удаляются в бесконечность, стремясь к своим асимптотам.
Гипербола отличается тем, что каждая точка ее обладает особым свойством: разность ее
15
расстояний от двух данных точек-фокусов есть величина постоянная, равная расстоянию
между вершинами кривой. Если асимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны, она
называется равнобокой. Равнобокая гипербола широко применяется для построения
различных диаграмм, когда задана своими координатами одна точка М (рис. 38, в). В этом
случае через заданную точку проводят линии АВ и KL параллельно координатным осям.
Из полученных точек пересечения проводят линии, параллельные координатным осям. В
их пересечении получают точки гиперболы.
Рис. 39
Рис. 40
Циклоидой называют кривую линию, представляющую собой траекторию точки А при
перекатывании окружности (рис. 39). Для построения циклоиды от исходного положения
точки А откладывают отрезок АА], отмечают промежуточное положение точки А. Так, в
пересечении прямой, проходящей через точку 1, с окружностью, описанной из
центра О1, получают первую точку циклоиды. Соединяя плавной прямой построенные
точки, получают циклоиду.
геометрические построения
Синусоидой называют плоскую кривую, изображающую изменение синуса в зависимости
от изменения его угла. Для построения синусоиды (рис. 40) нужно разделить окружность
на равные части и на такое же количество равных частей разделить отрезок прямой АВ =
16
2лR. Из одноименных точек деления провести взаимно перпендикулярные линии, в
пересечении которых получают точки, принадлежащие синусоиде.
Рис. 41
Эвольвентой называют плоскую кривую, являющуюся траекторией любой точки прямой
линии, перекатываемой по окружности без скольжения. Построение эвольвенты
выполняют в следующем порядке (рис. 41): окружность делят на равные части; проводят
касательные к окружности, направленные в одну сторону и проходящие через каждую
точку деления; на касательной, проведенной через последнюю точку деления окружности,
откладывают отрезок, равный длине окружности 2лR, который делят на столько же
равных частей. На первой касательной откладывают одно деление 2лR/n , на второй — два
и т. д.
3 этап: Создание сборника и решение задач на построение.
Задачи на построение являются традиционными задачами в курсе геометрии.
Разработкой методов решения этих задач математики занимаются ещё со времён
Древней Греции. Математики школы Пифагора (VI в. до н. э.) решили довольно сложную
задачу построения правильного пятиугольника. В течение многих веков учёные проявляли
живейший интерес к задачам на построение. Интерес к этим задачам обусловлен не
только их красотой и оригинальностью методов решения, но и большой практической
ценностью. Проектирование строительства, архитектура, конструирование различной
техники основаны на геометрических построениях. Задачи на построение могут
способствовать пониманию учащимися происхождения различных геометрических
фигур, возможности их преобразования – всё это является важной предпосылкой
17
развития пространственного мышления школьников. Они сильно развивают логическое
мышление, геометрическую интуицию, а также такие качества личности, как внимание,
настойчивость и целеустремленность, инициативу, изобретательность,
дисциплинированность, трудолюбие. Задачи на построения не просты. Не существует
единого алгоритма для решения таких задач. Каждая из них по-своему уникальна, и
каждая требует индивидуального подхода для решения.
1. На данной прямой отметьте две точки так, чтобы расстояние между ними было вдвое
больше данного отрезка
2.Постройте окружность данного радиуса, которая проходит через данную точку М и
центр которой лежит на данной прямой а (М € а)
3.Постройте окружность данного радиуса R, которая проходит через данную точку М и
центр которой лежит на данной окружности (точка М не принадлежит данной
окружности)
4.На сторонах угла ВАС найдите точки, удалённые от точки М на заданное расстояние а
(рис. 82). Рассмотрите возможные случаи в зависимости от длины отрезка а.
5.На сторонах угла ВАС постройте точки, удалённые от
точки М на заданное расстояние b (рис.84). Рассмотрите
возможные случаи в зависимости от длины отрезка b.
6.Даны острый угол MNK и тупой угол ABC. От стороны
AB во внутреннюю область угла ABC отложите угол,
равный углу MNK.
7.Постройте отрезок, соединяющий средины двух данных отрезков.
8.Начертите произвольный остроугольный треугольник
ABC и постройте точку пересечения высоты BD и
биссектрисы AL этого треугольника.
9.От данного луча отложите угол, равный ¼ данного угла.
10. Начертите произвольный остроугольный треугольник
ABC и постройте точку пересечения высоты AD и медианы BM этого треугольника.
18
11.От данного луча отложите угол, который в полтора раза
больше данного угла.
12.Постройте точку, равноудалённую от точек А и В
удалённую от точки С на расстояние, равное PQ (рис.87).
Выясните число решений этой задачи в зависимости от
расположения данных точек и длинный отрезка PQ.
13. С помощью циркуля и линейки постройте точку M,
такую, чтобы она была удалена от точки А на расстояние, равное PQ, и так, чтобы
<МЕО=<MFO (OE=OF) (рис.88). Выясните число решений
этой задачи в зависимости от длины отрезка PQ.
Заключение
Гипотеза о малом объеме насыщения школьного курса геометрии задачами на
построение подтвердилась. В ходе исследовательской работы были выделены несколько
типовых задач. А так же в дополнение к задачам, представленным в учебнике создан
небольшой сборник для 7, 8 классов, содержащий только задачи на построение циркулем
и линейкой.
19
Литература.
1. Учебник по геометрии 7-9 класс. Атанасян Л.С.
2. Геометрия. Погорелов
3. Геометрия. Смирнов
Интернет ресурсы:
1. http://www.granitvtd.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=16&Itemid=6
2. http://900igr.net/datas/geometrija/Delenie-na-ravnye-chasti/0009-009-DELENIEOKRUZHNOSTI-na-4-i-8-ravnykh-chastej.jpg
3. http://www.math.ru/dic/59
4. http://www.fxyz.ru/формулы_по_геометрии/плоские_фигуры/круг_и_окружность/
20