Задания №8. Геометрический смысл производной. Касательная Часть 2. Здесь смотрите части 1, 3, 4 В данной статье мы с вами рассмотрим Задачи №8 ЕГЭ по математике, связанные с касательной к графику функции. Задача 1. Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания. Решение: 1). Значение производной в точке касания есть угловой коэффициент касательной. 2). Так как касательная параллельна прямой , их угловые коэффициенты равны. Из п. 1, 2 следует: значение производной в точке касания равно 4. Поэтому находим абсциссу из следующего уравнения: где левая часть – производная функции Откуда Ответ: 4,5. Задача 2. Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания. Решение: Составим уравнение касательной к графику функции точке : Так как уравнение касательной касания), то нам предстоит найти Тогда в (где : – точка Теперь приведем уравнение касательной к виду А так как прямая : и есть касательная к к графику функции в точке , то Откуда Ответ: 0. Замечание. Немного облечим себе задачу на будущее. Хотя вполне можно решать задачи способом, показанным выше (задача 2). Сформулируем условие касания графика функции Пусть – касательная к графику функции и прямой в точке Мы уже знаем, что уравнение касательной к графику функции в точке или, что тоже самое, то – касательная к графику функции и в точке . . . образом: Но если и в точке (точках) , задается следующим Последнее условие можно немного представить по другому с учетом первого: . Итак, можно сказать, что для того чтобы прямая была касательной к графику функции , необходимо и достаточно существование хотя бы одного числа , для которого выполняется система: В дальнейшем, мы будем опираться на этот факт. Задача 3. Прямая функции является касательной к графику . Найдите . Решение: Воспользуемся условием касания графика функции Получаем: и прямой в точке (точках) : Итак, Ответ: 15. Задача 4. Прямая Найдите является касательной к графику функции , учитывая, что абсцисса точки касания больше . Решение: Согласно условию касания графика функции и прямой в точке (точках) имеем: В условии сказано, что абсцисса точки касания положительна, поэтому берем только вариант Откуда . Ответ: -19. Задача 5. На рисунке изображён график функции и касательная к нему . в точке с абсциссой в точке . Найдите значение производной функции . Решение: Согласно геометрическому смыслу производной где – угол наклона касательной к графику функции положительному направлению оси Из прямоугольного треугольника что , проведенной через точку . , помеченного голубым цветом, видно, . Поэтому Ответ: 2. Задача 6. На рисунке изображён график функции и касательная к нему , ,к в точке с абсциссой в точке . Найдите значение производной функции . Решение: Согласно геометрическому смыслу производной , где касательной к графику функции , к положительному направлению оси , проведенной через точку – угол наклона . Видим, что – тупой угол. Рассмотрим угол , смежный углу . В прямоугольном треугольнике Тогда Ответ: -0,25. Задача 7. На рисунке изображен график функции . Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 10. Найдите значение производной функции в точке . Решение: Согласно геометрическому смыслу производной , где касательной к графику функции , к положительному направлению оси , проведенной через точку – угол наклона . Касательная проходит через начало координат и точку Видим, что угол наклона касательной В прямоугольном треугольнике Тогда Ответ: -0,6. . Проведем эту касательную. – тупой угол. Рассмотрим угол , смежный углу .