Лекция 7. Понятие о трении

Лекция 7.
Понятие о трении
Трение в машинах играет существенную роль. В передаточных механизмах — фрикционных,
канатных, ременных и др. — передача движения от ведущего звена к ведомому осуществляется
трением. В других случаях трение препятствует движению, поглощая значительную часть
работы движущих сил.
В зависимости от вида относительного движения соприкасающихся тел различают трение
скольжения и трение качения.
Сила трения скольжения
При движении друг относительно друга двух соприкасающихся тел (рис. 138) по поверхности
их соприкосновения возникает касательная реакция, препятствующая движению. Она
называется силой внешнего трения Rf и направлена в сторону, противоположную движению.
Основную зависимость для силы трения скольжения можно выразить формулой:
где f — коэффициент пропорциональности, или коэффициент трения скольжения, зависящий от
рода трущихся тел и физического состояния контактирующих поверхностей; F — сила
нормального давления, прижимающая трущиеся поверхности друг к другу. Таким образом,
сила трения скольжения прямо пропорциональна нормальному давлению и направлена в
сторону, противоположную относительной скорости движения.
Из формулы (167) находим значение коэффициента трения скольжения
f = Rf / F = Rf / Rn ,
где Rn — нормальная реакция.
Коэффициент трения скольжения f является безразмерной величиной.
Обозначив суммарную реакцию сил Rf и Rn через RΣ (рис. 139) и угол между суммарной и
нормальной реакцией через ρ, находим, что коэффициент трения скольжения f является
отношением противолежащего катета Rf к прилежащему Rn в прямоугольном треугольнике и
определяется как тангенс угла ρ, т. е.
Угол ρ называется углом трения, следовательно, коэффициент трения скольжения численно
равен тангенсу угла трения.
Если вокруг оси, перпендикулярной к опорной плоскости, путем вращения вектора полной
реакции RΣ образовать поверхность кругового конуса (рис. 140), то получим так называемый
конус трения с углом при вершине, равным двойному углу трения 2ρ.
Если воздействовать на тело силой FД, расположенной внутри конуса трения, то как бы ни
была велика эта сила, она не сможет вывести тело из состояния равновесия. Это явление носит
название самоторможения.
Сила трения качения
Сопротивление трения качения возникает при перекатывании криволинейных поверхностей
контактирующихся тел.
При перекатывании цилиндра по горизонтальной опорной поверхности (рис. 141) в зоне их
контакта создаются силы реакции. Эти силы распределены неравномерно. Их величина больше
там, где происходит смятие при перекатывании цилиндра (участок СВ) и меньше в зоне
разъединения (участок АС). Вследствие этого нормальная реакция
являющаяся
равнодействующей всех сил реакций, смещается в сторону движения катящегося тела.
Смещение k от линии действия силы тяжести цилиндра численно определяет коэффициент
трения качения, который обозначается через
и измеряется в миллиметрах.
Представим себе, что к цилиндру на некотором расстоянии h над плоскостью качения
приложена сила
под действием которой цилиндр равномерно катится по опорной плоскости.
Составим сумму моментов относительно точки С всех сил, действующих на цилиндр,
(где
— коэффициент трения качения), откуда при
Очевидно, что коэффициент трения качения
имеет размерность длины.
Коэффициент полезного действия
Создавая машину, важно не только обеспечить движение рабочих органов машины,
удовлетворяющих заданному технологическому процессу, но необходимо, чтобы машина
обладала достаточно высоким коэффициентом полезного действия (к.п.д. или КПД).
При наличии сил трения и сопротивления воздуха не вся затраченная работа
используется в
машинах или механических устройствах. Полезная работа
всегда меньше затраченной, т. е.
и их отношение определяет важнейшую технико-экономическую характеристику —
к.п.д.
Как видно из формулы (170), к.п.д. — число отвлеченное, оно также может выражаться в
процентах.
При установившемся движении рабочих органов машины сумма работ всех сил, приложенных
к ним, будет равна нулю, т. е.
(где
—работа вредных сопротивлений), откуда
Подставляя в формулу (170) значение Wa, получим
Так как работа вредных сопротивлений в машине
никогда не может быть равна нулю, то
Следовательно, для увеличения к.п.д. необходимо стремиться к уменьшению вредных
сопротивлений, тогда к.п.д. будет стремиться к единице.
Потенциальная и кинетическая энергия
Существуют две основные формы механической энергии: потенциальная энергия, или энергия
положения, и кинетическая энергия, или энергия движения. Чаще всего приходится иметь дело
с потенциальной энергией сил тяжести. Потенциальной энергией силы тяжести материальной
точки или тела в механике называется способность этого тела или точки совершать работу при
опускании с некоторой высоты до уровня моря (до какого-то уровня). Потенциальная энергия
численно равна работе силы тяжести, произведенной при перемещении с нулевого уровня до
заданного положения. Обозначив потенциальную энергию
получим
где G — сила тяжести точки (или тела); Н — высота центра тяжести от нулевого уровня.
Кинетическая энергия определяется способностью движущегося тела (или точки) совершать
работу. Для материальной точки кинетическая энергия численно равна полупроизведению ее
массы на квадрат скорости, т. е.
Потенциальная и кинетическая энергия также измеряются в единицах работы:
Всякое твердое тело или механическая система состоит из множества отдельных материальных
точек. Поэтому кинетическую энергию твердого тела или какой-либо механической системы
можно представить как сумму кинетических энергий всех точек, образующих тело или систему.
Обозначив кинетическую энергию тела или системы
получим
где dm — элементарная масса точки; v — скорость этой точки.
Моменты инерции некоторых однородных тел
Момент инерции массы любого тела
Установим единицу измерения момента инерции
Приведем формулs (без выводов) для вычисления моментов инерции простейших тел
относительно некоторых осей.
1.
Для однородного стержня относительно оси z, перпендикулярной к оси стержня и
проходящей через его конец (рис. 144, а),
где m — масса стержня; l — длина стержня.
Для однородного стержня относительно оси zо (рис. 144, а), проходящей через его центр
тяжести,
2.
Для однородного цилиндра (рис. 144, б)
где m — масса цилиндра; D — диаметр цилиндра.
Для окружности или тонкого кольца, если пренебречь его толщиной (рис. 144, в),
Основное уравнение динамики для вращательного движения твердого тела
Определим зависимость между приложенными к вращающемуся телу силами и сообщаемым
ему угловым ускорением ε (рис. 145).
Рассмотрим элементарную частицу тела dm и приложим к ней нормальную и касательную
составляющие силы инерции. Приложив силы инерции ко всем частицам тела, получим
уравновешенную систему сил. Применим к этой системе уравнения равновесия.
Алгебраическую сумму вращающихся моментов внешних сил
оси вращения у обозначим
относительно
.
Нормальные силы инерции пересекают ось вращения и не создают относительно нее момента.
Касательные силы инерции создают моменты относительно оси вращения. Плечом касательной
силы инерции
каждой точки является соответствующий радиус
.
Направление суммарного момента этих сил противоположно направлению углового ускорения
ε и вращающего момента
, так как касательная сила инерции любой точки направлена
противоположно ее касательному ускорению. Значение касательной силы инерции точек
вращающего тела определяется по формуле
Составим уравнение моментов относительно оси вращения у:
Откуда
Подставив значение
, получим
Вынесем значение углового ускорения г за знак суммы как величину, одинаковую для всех
точек тела, получим
.
Множитель при ε — знакомая нам величина; это момент инерции тела относительно оси у
Окончательно получим
Это основное уравнение динамики для вращательного движения твердого тела. Произведение
момента инерции тела на его угловое ускорение равно сумме моментов всех сил относительно
оси вращения. Из уравнения (183) следует, что
Чем больше момент инерции тела, тем больший вращающий момент следует приложить для
сообщения телу определенного углового ускорения ε . Поэтому момент инерции массы можно
рассматривать как меру инертности твердого тела во вращательном движении аналогично
тому, как масса служит мерой инертности материальной точки или тела при поступательном
движении.
Упражнение
1. Вычислите изменение кинетической энергии точки массой 20 кг, если ee скорость
увеличилась с 10 до 20 м/с.
2. Как изменится кинетическая энергия прямолинейно движущейся точки, если ее скорость
увеличится в два раза?
А. Увеличится в два раза.
Б. Увеличится в четыре раза.
3. Чему равна работа силы, приложенной к прямолинейно движущемуся телу массой 100 кг,
если скорость тела увеличилась с 5 до 25 м/с?