11_Tema_11_urok_4

(Класс 11, модуль XI, урок 4)
Урок 4. Под какими углами синусоида пересекает ось абсцисс?
План урока




4.1. Геометрический смысл касательной к синусоиде
4.2. Уравнения касательных
Тесты
Домашнее задание
Цели урока:
Рассмотреть геометрический подход к понятию касательной к графику функции на
примере синусоиды, с помощью общего уравнения касательной научиться составлять
уравнения касательных к тригонометрическим и обратным тригонометрическим
функциям.
4.1. Геометрический смысл касательной к синусоиде
Рассмотрим окружность радиуса 1 с центром в начале координат и построим

острый угол MOA величиной x радиан, где 0  x  .
2
Проведем MB  OA и NA  OA (рисунок 1). Тогда
BM  sin x, AN  tgx,  AM  x .
Поскольку площадь кругового сектора OAM больше площади треугольника OAM и
меньше площади треугольника OAN , то
sin x x tgx
 

2
2
2
В результате, для 0  x  2 получаем неравенства
sin x  x  tgx
Разделив все части неравенства на положительное число sin x , будем иметь
x
1
1


sin x cos x
Перейдя к обратным величинам, для любого острого угла получим неравенства
sin x
cos x 
 1
(1)
x
Вопрос. Как показать, что 1  2 2  2
(Предполагаемый ответ. Для x 

2 
  1 , откуда
2
4
сразу получается требуемое
неравенства (1) имеют вид
4
после умножения всех частей неравенства на
неравенство).
2
Изобразим часть графика функции y  sin x (рисунок 2). Через начало координат
проведем две прямые y  k1 x и y  k2 x с угловыми коэффициентами k1  1  1n и
k2  1  1n , где n — произвольное натуральное число. Так как
k1  1  k2 
то прямая y  x пройдет через вершину угла между проведенными прямыми при любом
натуральном n (рисунок 2).
Возьмем острый угол xn , для которого cos xn  k1 Тогда для всех x
удовлетворяющих неравенству
0  x  xn 
в силу неравенств (1) будем иметь
sin x
k1  cos xn  cos x 
 1
x
откуда
k1 x  sin x  x
1
Так как k2  1  n  1 , то из этого неравенства следует, что
k1 x  sin x  k2 x
Геометрически это означает, что дуга OA синусоиды на промежутке от 0 до xn лежит
внутри угла между прямыми y  k2 x и y  k1 x (рисунок 2).
В силу нечетности функции sin x дуга синусоиды на промежутке от ( xn ) до 0
также будет лежать внутри угла между прямыми y  k2 x и y  k1 x (рисунок 3).
Увеличивая число n мы можем выбрать угол между прямыми y  k2 x и y  k1 x
сколь угодно малым. Но дуга BOA синусоиды на промежутке от ( xn ) до xn всегда
будет оставаться внутри этого угла. Это доказывает, что прямая y  x является
касательной к синусоиде в точке x  0
Угол между касательной y  x к синусоиде в точке с абсциссой x  0 и осью
абсцисс, отсчитываемый от оси Ox в положительном направлении, называют углом
между синусоидой и осью Ox в точке x  0
Тангенс этого угла равен 1.
Следовательно, синусоида пересекает ось иксов в начале координат под углом 45 .
Это важно
Заметим, что приведенный способ получения касательной к синусоиде в начале
координат существенно зависит от неравенства (1). Поэтому можно считать, что мы в
некотором смысле сначала угадали, какой должна быть касательная, а затем это
доказывали. Нахождение касательных из геометрических соображений является
непростым делом и возможно только в отдельных случаях, причем всегда основано на
некоторых особенностях графика.
Например, если уже известна касательная к синусоиде в начале координат, то из
геометрических соображений нетрудно выяснить, под каким углом синусоида
пересекает ось Ox в точке с абсциссой x   . Для этого заметим, что график функции

sin x симметричен относительно прямой x  , причем точки  0; 0 и  0;   также
2
симметричны относительно этой прямой. Следовательно, касательной к графику
синусоиды в указанной точке является прямая, симметричная прямой y  x

относительно прямой x  , то есть прямая y    x . Угловой коэффициент прямой
2
равен ( 1) , а это означает, что синусоида пересекает ось Ox в точке с абсциссой x  
под углом 135o .
Общий способ нахождения касательных к графику функции основан на понятии
производной, и еще раз рассматривается в следующем пункте.
4.2. Уравнения касательных
Напомним, что в общем случае для функции f ( x) , дифференцируемой в точке с
абсциссой x  a , существует касательная в соответствующей точке графика, причем
уравнение касательной имеет вид
(2)
y  f (a )  f ' (a )  ( x  a ) .
'
В результате, если известна производная f ( x ) , то нахождение касательных
значительно упрощается. В частности, для основных тригонометрических и обратных
тригонометрических функций производные известны и приводятся в следующей
таблице.
f ( x)
f ' ( x)
sin x
cos x
cos x
 sin x
tgx
arcsin x
1
cos 2 x
1

sin 2 x
1
arccosx
1  x2
1
ctgx

arc tgx
1  x2
1
1  x2
1

1  x2
arcctgx
Пример 1. Для составления уравнения касательной к графику функции f ( x)  arcsin x в
точке с абсциссой

3
f ( )  1: 1  
2

получаем
x
3
2
сначала вычисляем
f(
3
3 
)  arcsin
 , затем
2
2
3
2
3
'
2

  2 . После этого подставляем в уравнение (2) касательной и

y

3
 2  (x 
3
).
2
Пример 2. Для составления уравнения касательной к графику функции f ( x)  arc tgx в

f ( 3)  arc tg 3  , затем
точке с абсциссой x  3 сначала вычисляем
3
2
1
f ' ( 3)  1: 1  3  . После этого подставляем в уравнение (2) касательной и
4
получаем

 
y

1
  ( x  3) .
3 4
Проверь себя. Под какими углами синусоида пересекает ось абсцисс?
Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.
Какая прямая симметрична прямой y  2 x  1 относительно начала координат?
 1. y  2  ( x  1)
 2. y  2 x  1
 3. y  2 x  1
 4. y  2 x  1
(Правильный вариант: 2)
Какая прямая симметрична прямой y 
1
x  1 относительно прямой x  1 ?
2
1
2
1
 2. y  x  2
2
1
 3. y  1  x
2
1
 4. y  2  x
2
(Правильный вариант: 4)
 1. y  x  1
Какая прямая является касательной к графику функции
3
абсциссой x 
?
4
2
2
3
 1. y  1 

 (x  )
2
2
4
2
2
3
 2. y  1 

 (x  )
2
2
4
2
2
3
 3. y  1 

 (x  )
2
2
4
2
2
3
 4. y  1 

 (x  )
2
2
4
(Правильный вариант: 2, 3)
f ( x)  sin x  1 в точке с
Какая прямая является касательной к графику функции f ( x)  arcsin( x  1) в точке с
3
абсциссой x  ?
2
 2
3
 1. y    ( x  )
6
2
3

2
3
 (x  )
6
2
3
 2
3
 3. y    ( x  )
3
2
3

2
3
 4. y  
 (x  )
3
2
3
(Правильный вариант: 1)
 2. y 

Проверь себя. Под какими углами синусоида пересекает ось абсцисс?
Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.
Какие из указанных прямых являются касательными к графику функции sin x ?
 1. y  x  2
 2. y  x  
 3. y  x  
 4. y  x  2
(Правильные варианты: 1, 4)
Какие из указанных прямых являются касательными к графику функции sin 2x ?
 1. y  2 x  2
 2. y  2 x  
 3. y  2 x  
 4. y  2 x  2
(Правильные варианты: 1, 4)
Известно, что прямая с уравнением y   x является касательной к графику функции
sin( x ) . Какие из указанных прямых также являются касательными к графику этой
функции?
 1. y    ( x  1)
 2. y    ( x  2)
 3. y    (1  x )
 4. y    (2  x )
(Правильные варианты: 2, 3)
Известно, что прямая с уравнением y  2 x  1 

является касательной к графику
2
функции tgx . Какие из указанных прямых также являются касательными к графику этой
функции?
5
 1. y  2 x  1 
2
3
 2. y  2 x  1 
2
 3. y  2 x  1 

2
3
 4. y  2 x  1 
2
(Правильные варианты: 1, 2, 3)
Домашнее задание
    
1. Докажите, что для любого угла x из множества   ; 0    0;  выполняются
 2   2
неравенства
sin x
cos x 
 1
x
2. Докажите, что прямая y  1 является касательной к графику функции y  sin x в точке

x .
2
3. Найдите уравнение касательной к графику функции y  sin x :
а) в точке x  2 ;
б) в точке x  3 ;
4. Найдите уравнение касательной к графику функции y  cos x :
а) в точке x  0 ;
б) в точке x  2 
5. Найдите угол между касательными к графику функции y  sin x в точках x  0 и
x  
6. Найдите, под каким углом график функции y  tgx пересекает ось Ox в начале
координат.
7. Найдите уравнение касательной к графику функции y  tg 2 x в точке x  0
Рисунки (названия файлов)
Рисунок 1. – 11-12_4.CDR
Рисунок 2. - 11-12_5.CDR
Рисунок 3. - 11-12_6.CDR