Муниципальный этап Всероссийской олимпиады школьников по астрономии (2014 / 2015 учебный год)

Муниципальный этап
Всероссийской олимпиады школьников по астрономии
(2014 / 2015 учебный год)
7-8 классы
ЗАДАНИЯ
1. Назвать все планеты в Солнечной системе в порядке увеличения их массы.
2. Какие тела, принадлежащие Солнечной системе, могут наблюдаться в
созвездии Малой Медведицы?
3. Где на Земле звезды восходят точно вертикально? Где на Земле горизонт может
совпадать с небесным экватором?
4. Какова дальность горизонта на Луне для космонавта ростом 2 м? Нарисуйте
чертеж.
5. Где находится центр масс системы Земля-Луна? Масса Земли в 81 раз больше
массы Луны.
6. Какое расстояние участник астрономической олимпиады в Иркутске
преодолевает за сутки: относительно центра Земли, относительно Солнца,
относительно центра Галактики?
Справочные данные:
Диаметр Луны 3460 км
Диаметр Земли 12750 км
Среднее расстояние от Земли до Луны 384400 км
Муниципальный этап
Всероссийской олимпиады школьников по астрономии
(2014 / 2015 учебный год)
7-8 классы
Рекомендуется оценивать решение по 8-балльной системе (от 0 до 8). В исключительных случаях, при
полном решении с предложением идей, расширяющих и дополняющих задание, может быть
выставлена оценка в 9 баллов.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1. Меркурий, Марс, Венера, Земля, Уран, Нептун, Сатурн, Юпитер. Уран больше Нептуна
по размерам, но меньше по массе. По одному баллу за каждое правильное указание
порядка планеты.
2. Только кометы и астероиды, включая некоторые объекты пояса Койпера. Все остальные
тела Солнечной системы (планеты с их спутниками, карликовые планеты) движутся по
небу вблизи эклиптики. Созвездие Малой Медведицы находится далеко от эклиптики. 2
балла за указание того, что планеты движутся вблизи эклиптики, 2 балла – за указание
того, что Малая Медведица находится далеко от эклиптики. За указание комет – 1 балл,
за астероиды – 1 балл, за учет объектов пояса Койпера – 2 балла.
3. Звезды восходят вертикально на земном экваторе. Горизонт не просто может совпадать,
но всегда совпадает с небесным экватором для наблюдателя, находящегося на северном
или южном полюсе Земли. До 4 баллов за каждую из двух частей ответа.
4. Луч, проведенный из глаза наблюдателя по касательной к поверхности небесного тела,
соприкасается с поверхностью в точке, принадлежащей к горизонту. При этом
касательная перпендикулярна радиусу круга, проведенному в точке касания.
Следовательно, если R – радиус Луны и h – высота космонавта, то по теореме Пифагора
дальность горизонта на Луне составит l=[(R+h)2–R2]1/2. Ввиду того, что величина h много
меньше радиуса Луны R, это выражение допускает приведение к приближенному виду:
l≈(2Rh)1/2. Подстановка чисел дает окончательный ответ: l≈2,6 км. До 3 баллов за
правильное понимание задачи и чертеж (включая определение горизонта через
касательную), до 2 баллов за использование теоремы Пифагора, 1 балл за использование
приближенной формулы, до 2 баллов за правильность вычислений.
5. Центр масс системы тел с массами m1 и m2 находится между ними и делит отрезок,
соединяющий эти тела, в пропорции x1/x2=m2/m1, где x1 и x2 – расстояние от этих тел до
центра масс системы. Следовательно, центр масс системы Земля-Луна находится на
расстоянии 384400:(81+1)=4200 км от центра Земли, внутри нашей планеты, или на
глубине 2175 км под поверхностью Земли. До 3 баллов за знание определения понятия
центра масс, до 3 баллов за понимание того, где какая масса, до 2 баллов за
правильность вычислений.
6. Относительно центра Земли (за счет вращения Земли на широте 𝜙 Иркутска ~50°) –
2𝜋𝑅⊕ cos 𝜙 = 25 730 км), относительно Солнца (за счет движения Земли вокруг Солнца
со скоростью около 30 км/с) – 2,6·106 км, относительно центра Галактики (за счет
движения Солнечной системы вокруг центра Галактики со скоростью 220 км/с) – 1,9·107
км. Если ученик правильно подсчитал скорость вращения Земли на экваторе, ему
выставляется 1 балл, если он заметил, что на широте Иркутска она меньше – еще 1 балл,
если правильно указал широту Иркутска – 1 балл, если подсчитал скорость вращения на
широте Иркутска (с косинусом) – еще 1 балл. За знание скоростей вращения Земли
вокруг Солнца и Солнца вокруг центра Галактики – по одному баллу, за правильные
подсчеты соответствующих перемещений – еще по одному баллу.
Муниципальный этап
Всероссийской олимпиады школьников по астрономии
(2014 / 2015 учебный год)
9-10 классы
ЗАДАНИЯ
1. Какие тела, принадлежащие Солнечной системе, могут наблюдаться в
созвездии Малой Медведицы?
2. Назвать все планеты Солнечной системы в порядке увеличения количества
известных спутников.
3. Короткопериодическая комета совершает оборот вокруг Солнца за 1 год.
Чему равно ее максимально возможное расстояние от Солнца и
максимально возможный эксцентриситет орбиты?
4. Во время экспедиции на небольшой круглый астероид, управляемый
неумелым андроидом, вездеход рванул с места с ускорением a=0,1 м/с2 и,
проехав расстояние s=500 метров, оторвался от поверхности. Чему равен
радиус астероида, если его плотность 𝜌 = 3 т/м3?
5. В максимальной фазе кольцеобразного солнечного затмения 29 апреля 2014
года было закрыто 98,7% диаметра диска Солнца. Определите расстояние от
Земли до Луны в этот момент, если угловой диаметр Солнца dc = 0,5° .
6. Самые маленькие красные карлики имеют температуру поверхности
около 𝑇 = 2600 K и светимость около 𝐿 = 10−3 солнечной. Сравните
их размер с размером Юпитера.
Справочные данные:
Диаметр Луны 3460 км.
Солнечная постоянная (плотность потока излучения на границе земной атмосферы)
𝑗⊙ = 1,388 кВт/м2
Радиус Солнца RC = 696 342 км
Диаметр Юпитера 143 000 км
1 астрономическая единица (а.е.) = 149 597 871 км.
Муниципальный этап
Всероссийской олимпиады школьников по астрономии
(2014 / 2015 учебный год)
9-10 классы
Рекомендуется оценивать решение по 8-балльной системе (от 0 до 8). В исключительных случаях, при
полном решении с предложением идей, расширяющих и дополняющих задание, может быть
выставлена оценка в 9 баллов.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1. Только кометы и астероиды, включая некоторые объекты пояса Койпера. Все остальные
тела Солнечной системы (планеты с их спутниками, карликовые планеты) движутся по
небу вблизи эклиптики. Созвездие Малой Медведицы находится далеко от эклиптики. 2
балла за указание того, что планеты движутся вблизи эклиптики, 2 балла – за указание
того, что Малая Медведица находится далеко от эклиптики. За указание комет – 1 балл,
за астероиды – 1 балл, за пояс Койпера – 2 балла.
2. Меркурий и Венера (0), Земля (1), Марс (2), Нептун (14), Уран (27), Сатурн (63), Юпитер
(67). До 4 баллов за правильную последовательность, до 4 баллов за знание количества
спутников у планет.
3. Поскольку период обращения вокруг Солнца кометы равен периоду обращения Земли, то,
по третьему закону Кеплера, большая полуось орбиты кометы должна быть равна
большой полуоси орбиты Земли (астрономической единице) a=149 957 871 км. Большая
полуось есть полусумма расстояний от центра Солнца в перигелии и афелии (т.е.
наименьшего и наибольшего расстояний, соответственно): a=(rp+ra)/2. Минимальное
расстояние от Солнца не может быть меньше радиуса Солнца RC=696342 км, поскольку
иначе комета врезалась бы в Солнце. Отсюда ответ на первый вопрос задачи: ra=2aRC=299219400 км. Эксцентриситет эллипса равен отношению разности расстояний в
афелии и перигелии к большой оси:
, отсюда максимальное значение эксцентриситета e=0,995.
За вывод о равенстве большой полуоси кометы одной астрономической единице на
основе III закона Кеплера – 2 балл. За выражение большой полуоси через сумму
расстояний от центра Солнца в перигелии и афелии – 1 балл. За догадку, что
минимальное расстояние от Солнца не может быть меньше радиуса Солнца – 2 балла. За
выражение эксцентриситета через разность расстояний в афелии и перигелии и большую
ось орбиты – 1 балл. За правильные вычисления максимального расстояния – 1 балл. За
правильные вычисления эксцентриситета – 1 балл.
4.
Чтобы вездеход смог оторваться от поверхности астероида, его скорость должна быть
равна первой космической скорости на поверхности этого тела. Для вычисления первой
космической скорости нужно приравнять ускорение свободного падения
центростремительному ускорению
. В этих формулах R – радиус тела,
– его масса. В итоге первая космическая скорость оказывается равной
.
При
равноускоренном
перемещение по формуле равно
движении
скорость
вычисляется
через
(при условии, что начальная скорость равна
нулю, как в нашем случае). Приравнивая выражения для скорости в двух последних
формулах, находим окончательный ответ:
км.
За догадку о том, что скорость вездехода равна первой космической скорости – 2 балла.
За получение выражения для первой космической скорости – 2 балла. За использование
выражения для скорости через перемещение при равноускоренном движении – 2 балла.
За получение правильного аналитического ответа – 1 балл. За правильность вычислений
– 1 балл.
5. В максимальной фазе затмения отношение угловых диаметров дисков Луны и Солнца
составляло dc/dл=0,987. Из условия задачи имеем
=>
;
Используя рисунок и обозначив R физический радиус Луны, находим искомое расстояние
L от Земли до Луны: R / L = sin rл, => L = R / tg rл . При R = 1730 км, dc = 0,5°, sin rл =
0,0043, получаем L = 402 325 км. За правильный чертеж – 2 балла, за выражение
расстояний через физические размеры и угловые размеры – 2 балла, за правильное
выражение видимого размера Луны через видимый размер Солнца – 2 балла, за
правильность вычислений – до 2 баллов.
6. По закону Стефана-Больцмана, плотность потока излучения тела с температурой Т
находится по формуле j=𝜎𝑇4. Для получения светимости звезды эту величину нужно
умножить на площадь излучающей поверхности, т.е. сферы: 𝐿 = 𝜎𝑇4 ×4𝜋𝑅2, где 𝑅 —
радиус звезды. Применяя эту формулу к красному карлику и Солнцу, находим
𝑅 = 𝑅⊙(𝐿/𝐿⊙)1/2(𝑇⊙/𝑇)2. Отсюда радиус красного карлика составляет примерно 0,15
радиуса Солнца, что примерно в 1,5 раза больше радиуса Юпитера. За знание закона
Стефана-Больцмана – до 2 баллов, за умение выражать светимость через плотность
потока излучения – 2 балл, за знание площади сферы – 1 балл, за использование
Солнца для сравнения – 1 балл, за правильность вычислений – до 2 баллов.
Муниципальный этап
Всероссийской олимпиады школьников по астрономии
(2014 / 2015 учебный год)
11 классы
ЗАДАНИЯ
1. Назвать все планеты Солнечной системы в порядке увеличения количества известных
спутников.
2. Один из первооткрывателей закона сохранения энергии Роберт Майер в трактате «Динамика
неба» (1848 г.) высказал гипотезу, что излучение Солнца возникает из-за непрерывного
падения на его поверхность метеоритов. Какая масса метеоритного вещества должна была
бы выпадать на Солнце за год?
3. Спектроскопические наблюдения показывают, что вещество планетарных туманностей
удаляется от центральной звезды со скоростью, прямо пропорциональной расстоянию до
центральной звезды, как показано на рисунке. Объясните это явление и постройте график
этой зависимости для данной планетарной туманности через 10 тысяч лет.
4. Очень черная экзопланета с радиусом Rp=104 км обращается вокруг солнцеподобной звезды
класса G2, имеющей радиус Rs=106 км. Считая орбиту планеты круговой, определите
максимальное и минимальное расстояние от звезды, допускающее наличие жизни на её
поверхности. Считать, что обязательным условием существования жизни является жидкая
вода. Парниковый эффект атмосферы не учитывать.
5. В ходе термоядерных реакций на Солнце 99,3% массы водорода превращается в гелий,
остальное – в электромагнитную энергию. За какое время на Солнце кончится водород?
6. Наблюдатель заметил в небе метеор, вспыхнувший в точке А с координатами азимут A1 =
14°, высота h1 = 48°, и погасший в точке В с координатами A2 = 32°, h2 = 48° спустя 0,7
секунды. Считая плоскость полёта метеора перпендикулярной лучу зрения наблюдателя,
определите длину яркого трека метеора и скорость движения, если высота загорания
метеора равна 110 км, а проекция середины трека на поверхность Земли находится на
расстоянии 30 км от наблюдателя. Торможением метеорного тела в атмосфере пренебречь.
Справочные данные:
Масса Солнца – 1.99×1030 кг, светимость Солнца 𝐿C = 3.8×1026 Дж/с, радиус Солнца 𝑅C = 696342 км,
массовая доля водорода на Солнце – 70%
Муниципальный этап
Всероссийской олимпиады школьников по астрономии
(2014 / 2015 учебный год)
11 классы
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Рекомендуется оценивать решение по 8-балльной системе (от 0 до 8). В исключительных случаях, при
полном решении с предложением идей, расширяющих и дополняющих задание, может быть
выставлена оценка в 9 баллов.
1. Меркурий и Венера (0), Земля (1), Марс (2), Нептун (14), Уран (27), Сатурн (63), Юпитер (67). До
баллов за правильную последовательность, до 4 баллов за знание количества спутников у планет.
2. Запишем закон сохранения энергии для метеорита, падающего на поверхность Солнца:
где Ek – кинетическая энергия метеорита непосредственно вблизи поверхности Солнца, Ek0 – его
кинетическая энергия вдали на начальном расстоянии от Солнца, r – начальное расстояние
метеорита от Солнца. Поскольку метеориты могут поступать к Солнцу со всего объема
Солнечной системы, а Солнце занимает ничтожную часть этого объема, то величину r можно
принять равной бесконечности. С другой стороны, скорость движения метеорных тел на
большом расстоянии от Солнца должна быть одного порядка с круговой скоростью, т.е.
существенно меньше скорости убегания на поверхности Солнца. По этим причинам в
вышеприведенной формуле слагаемыми в правой части можно пренебречь, и кинетическая
энергия метеорита при ударе о солнечную поверхность составляет
За год на Солнце с метеоритами поступает энергия
где mгод – масса вещества, выпавшая на Солнце за год. Вся эта энергия, согласно гипотезе
Майера, переходит сначала в тепло, потом в солнечное излучение, поэтому она должна быть
равна LCt, где t – продолжительность года, равная 3·107 секунд. Отсюда находим
что составляет 6•1015 кг. Ход решения учащегося может быть отличен от вышеприведенного.
Например, он может указать, что скорости метеоритов при падении примерно равны скорости
убегания на поверхности Солнца, и уже отсюда найти энергию падающего тела. В любом случае,
необходимо указать, что кинетическая энергия падающих метеоритов переходит в энергию
излучения (за это учащийся получает 3 балла) и использовать закон сохранения энергии для
получения выражения для кинетической энергии (3 балла). Дополнительные соображения,
относящиеся к энергии «на бесконечности», оцениваются в 1 балл. Еще 1 балл учащийся
получает за правильный числовой ответ.
3. Аналитически закон расширения планетарной туманности выражается в виде v = kr, где v –
скорость, r – расстояние от центра, k – коэффициент пропорциональности. Это напоминает закон
Хаббла v = Hr, и интерпретация должна быть аналогичной: вещество планетарной туманности
выброшено из центральной звезды. Время движения выброшенного вещества, оно же возраст
планетарной туманности, вычисляется по формуле t=r/v, откуда t=1/k. Для туманности, график
расширения которой приведен на рисунке в условии задачи, k = 20 км/с на 1 св. год, что
соответствует возрасту 15 тысяч лет. Через 10 тысяч лет возраст туманности составит 25 тысяч
лет, т.е. коэффициент k будет равен 12 км/с на 1 св. год. Соответствующий график приведен
пунктиром. За указание аналогии с законом Хаббла – 1 балл, за объяснение линейности
зависимости между скоростью и расстоянием – 2 балла, за вычисление возраста туманности,
график которой приведен в условии – 1 балл, за вычисление k через 10 тысяч лет – 2 балла, за
построение графика, соответствующего этому возрасту – 2 балла.
4.
Предполагаем, что солнцеподобная звезда имеет температуру фотосферы, примерно как у
Солнца (Тs = 6000 К). Согласно закону Стефана-Больцмана, суммарная мощность излучения с
поверхности звезды определяется формулой
; Обозначив r радиус
орбиты планеты, выразим плотность потока излучения q на орбите планеты
Излучение падает только на освещённую половину планеты, потому суммарная мощность J,
передаваемая ей, определяется соотношением
Т.к. по условию планета является
очень черной,
можно считать её абсолютно чёрным телом. Тогда условие энергетического
равновесия запишется следующим образом
поверхности
планеты
,
откуда
.
находим
; где
Приравнивая
эффективную
- мощность излучения, уходящего с
выражения
температуру
для
,
получим
поверхности
планеты
Подставляя сюда найденное выше значение q, получим
. Жидкая вода, необходимая для наличия жизни, существует
при диапазоне значений температуры Tp от 273K до 373K. Подставляя численные значения,
получаем: rmin = 129,3×106 км и rmax = 241,5×106 км. Применение закона Стефана-Больцмана – 2
балла, учет того, что свет падает только на освещённую половину планеты – 1 балл, применение
условия энергетического баланса – 3 балла, за правильность вычислений – до 2 баллов.
5. В ходе термоядерных реакций в энергию излучения превращается 𝜂 ≈ 7·10−3 массы водорода. На
водород приходится примерно 0,7 массы Солнца. Таким образом, полная энергия, которая может
выделиться в ходе термоядерных реакций синтеза гелия, составляет 𝑊 = 𝜂 × 0.7𝑀·𝑐2 ≈ 9·1043
Дж. Разделив эту величину на светимость Солнца, получаем, что водорода хватит примерно на 𝑡
= 𝑊/𝐿 = 7·109 лет. За знание сути термоядерных реакций на Солнце и формулы Эйнштейна – до
3 баллов, за правильное использование справочных данных – до 3 баллов, за правильность
вычислений – до 2 баллов.
6. Поскольку плоскость полёта метеора перпендикулярна лучу зрения наблюдателя, => луч зрения
наблюдателя упирается в центр метеорного трека. В итоге имеем картину, изображённую на
рисунке:
В соответствии с рисунком, наблюдатель, находящийся в точке О, смотрит на центральную точку
С метеора АВ, находящегося на высоте h. Так как координаты h1 и h2 одинаковы, => метеор
двигался параллельно земной поверхности. Луч зрения OC образует с плоскостью горизонта угол
α. Отрезки метеорного трека АС и ВС равны между собой, поэтому отрезки ОА и ОВ также
равны и образуют с лучом зрения ОС равные углы β. Проекция угла зрения OC на плоскость
горизонта ОК есть d = 30 км по условию. Зная азимуты начала и конца трека метеора найдём его
угловую длину l.
= 18°; откуда
Зная высоту метеора h и расстояние d
до точки K, определяем расстояние l′ до точки С метеора вдоль луча зрения, используя теорему
Пифагора
= 114 км. Имея это значение, можем определить истинную длину
трека метеора L. Поскольку точка С делит трек метеора пополам, получаем
Скорость V определим из соотношения V=L/t. Таким
образом, ответ – L = 36 км, V = 51,4 км/с.
За понимание параллельности метеорного трека горизонту – 1 балл; за понимание того, что луч
зрения упирается в центр метеорного трека – 1 балл; за наличие чертежа – 1 балл. До 4 баллов за
общий ход решения, 1 балл – за правильность вычислений.