Теоретико-множественная топология

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра математического анализа и теории функций
Гайдамак И.В.
Хохлов А.Г.
ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННАЯ ТОПОЛОГИЯ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 01.03.01 «Математика», профиль подготовки
«Вещественный, комплексный и функциональный анализ»
Форма обучения очная
Тюменский государственный университет
2014
Гайдамак И.В., Хохлов А.Г. Теоретико-множественная топология. Учебнометодический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 01.03.01
«Математика», профиль подготовки «Вещественный, комплексный и функциональный
анализ». Форма обучения очная, Тюмень, 2014, 17 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО с учетом
рекомендаций и ПрОП ВО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: Теоретикомножественная
топология
[электронный
ресурс]
/
Режим
доступа:
http://www.umk3plus.utmn.ru, свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического анализа и теории функций.
Утверждено директором Института математики и компьютерных наук.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Хохлов А.Г., к.ф.-м.н., доцент, заведующий кафедрой
математического анализа и теории функций
© Тюменский государственный университет, 2014.
© Гайдамак И.В., Хохлов А.Г., 2014.
1. Пояснительная записка:
1.1. Цели и задачи дисциплины.
Роль топологии в системе университетского образования весьма значительна. Без
привлечения топологических понятий вряд ли возможно построить курсы
математического анализа, дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии,
механики, функционального анализа, теории функций комплексного переменного,
отвечающие современному состоянию этих математических дисциплин. Теоретикомножественная топология нужна не только для того, чтобы объяснить, что такое бутылка
Клейна. Она уже давно является частью общематематического языка и изучает те
свойства геометрических фигур, которые могут быть описаны с помощью понятия
непрерывности. Современная топология находит ряд интересных и важных приложений в
других разделах математики и физики, например, в электромеханике, в теории жидких
кристаллов, в молекулярной биологии, в космогонии и т.д. По словам Р.Куранта:
“Топология, самая юная и самая мощная ветвь геометрии, наглядно демонстрирует
плодотворное влияние противоречий между интуицией и логикой” Топология
Цель курса “Теоретико-множественная топология” – ознакомление с
фундаментальными положениями общей топологии. Сформировать новые элементы
математической культуры, способность понимать и ценить абстрактную аксиоматическую
теорию.
Задачи курса. Расширить математическую культуру студентов. Понятно и точно
говорить о вещах, связанных с идеей непрерывности. Научиться привносить
геометрические образы в любую область математики, как бы далека от геометрии эта
область не была на первый взгляд.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Учебная дисциплина «Теоретико-множественная топология» входит в блок Б1
Дисциплины (модули), является дисциплиной вариативной части.
Требования к входным знаниям и умениям студента – знание математического,
функционального и действительного анализа.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
3.3.
2.3
+
3.2.
2.2.
+
3.1.
2.1.
3.
4.
5.
6.
1.3.
2.
Вариационное
исчисление
Граничные свойства
аналитических функций
Методы оптимизации
Учебная практика
Физика
Пространства
непрерывных функций
1.2.
1.
Наименование
обеспечиваемых
(последующих) дисциплин
1.1.
№
п/п
Таблица 1.
Темы дисциплины необходимые для изучения
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной
образовательной программы.
В результате освоения ОП выпускник должен обладать компетенциями ПК-2, ПК-3.
ПК-2 - способность математически корректно ставить естественнонаучные задачи,
знание постановок классических задач математики.
ПК-4 - способность публично представлять собственные и известные научные
результаты.
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю):
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать: основные понятия, определения и свойства объектов теоретикомножественной топологии, формулировки и доказательства утверждений, методы их
доказательства, возможные сферы их связи и приложения в других областях
математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания.
Уметь: доказывать утверждения теоретико-множественной топологии, решать
задачи теоретико-множественной топологии, уметь применять полученные навыки в
других
областях
теоретико-множественной
топологии
и
дисциплинах
естественнонаучного содержания.
Владеть:
аппаратом
теоретико-множественной
топологии,
методами
доказательства утверждений, навыками применения этого в других областях теоретикомножественной топологии и дисциплинах естественнонаучного содержания.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр 6. Форма промежуточной аттестации – экзамен, контрольные работы.
Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетные единицы, 108 академических
часов, из них 57,75 часа, выделенных на контактную работу с преподавателем (18 часов
лекций, 36 часов практических занятий, 3,75 часа иных видов работ), 50,25 часа,
выделенных на самостоятельную работу.
3. Тематический план.
Таблица 2.
Итого часов по теме
Из них в интерактивной
форме
Итого количество баллов
2.1
Самостоятельная
работа
1.3
Практические
занятия
1.2.
Модуль 1
Предмет топологии. Основные
этапы развития топологии.
Основные сведения из теории
множеств.
Аксиомы счётности, отделимости.
Плотные множества.
Всего
Модуль 2
Малая и большая леммы Урысона.
Лекции
1.1.
Тема
1-2
2
4
6
12
2
0-10
3-4
2
4
5
11
2
0-10
5-6
2
4
6
12
2
0-10
6
12
17
35
6
0-30
2
4
6
12
2
0-10
недели семестра
№
Виды учебной
работы и
самостоятельная
работа, в час.
7-8
2.2.
2.3.
3.1.
3.2.
3.3.
Классификация отображений.
Сравнение топологий.
9-10
Компактность. Метрические
пространства.
Компактность в метрических
11-12
пространствах. Категории.
Теорема Бэра.
Всего
Модуль 3
Произведение топологических
13-14
пространств. Теорема Тихонова.
Топология поточечной и
15-16
равномерной сходимости. Теоремы
Дини и Стоуна-Вейерштрасса.
Связность. Связные подмножества. 17-18
Метризация.Теорема Урысона.
Всего
Иные виды работ
Итого* (часов, баллов):
Из них часов в интерактивной
форме
2
4
5
11
2
0-10
2
4
6
12
2
0-10
6
12
17
35
6
0-30
2
4
6
12
2
0-10
2
4
5
11
2
0-15
2
4
5,25
11,25
2
0-15
6
12
0-40
36
34,25
3,75
108
6
18
16,25
3,75
54
4
14
0-100
18
*с учетом иных видов работ
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Таблица 3.
Итого количество
баллов
ответ на
семинаре
собеседование
№ темы
коллоквиумы
Устный опрос
контрольная
работа
Письменные
работы
0-10
0-10
0-20
0-10
0-10
0-10
0-30
0-10
0-10
0-5
0-25
0-10
0-10
0-10
0-30
0-10
0-10
0-15
0-15
0-40
0–100
Модуль 1
Тема 1.1.
Тема 1.2.
Тема 1.3.
Всего
0-10
0-10
Модуль 2
Тема 2.1.
Тема 2.2.
Тема 2.3.
Всего
0-5
0-5
Модуль 2
Тема 3.1.
Тема 3.2.
Тема 3.2.
Всего
Итого
0-5
0-5
0-10
0-20
0-5
0-5
0-10
0-5
0-5
0-5
0-10
0-20
0-65
5. Содержание дисциплины.
Модуль 1.
Тема 1.1. Предмет топологии. Основные этапы развития топологии
Предмет топологии. Исторические сведения. Основные этапы развития
(исторические сведения). Общие понятия пространства. Равномерность, счётность,
несчётность, мощность множества всех подмножеств данного множества, мощность
континуума. Частично упорядоченные множества и лемма Цорна. Метрические
пространства. Открытые и замкнутые множества. Сходимость. Пополнение.
Примеры.
Тема 1.2. Основные сведения из теории множеств.
Топологические пространства. Операции над открытыми и замкнутыми
множествами. Окрестности, предельные точки. Замыкание. Открытые базы.
Тема 1.3. Аксиомы счётности, отделимости. Плотные множества.
Первая и вторая аксиомы счётности. Аксиомы отделимости: хаусдорфовость,
вполне-регулярность, нормальность. Отделимость замкнутых множеств функциями
и продолжение функций (для метризуемых пространств).
Модуль 2
Тема 2.1. Малая и большая леммы Урысона. Классификация отображений.
Непрерывные отображения метрических и топологических пространств.
Гомеоморфизм. Непрерывные функции. Непрерывные пути, линейная связность.
Тема 2.2. Сравнение топологий. Компактность. Метрические пространства.
Компактные (бикомпактные) пространства. Непрерывные функции на компактах,
непрерывные отображения компактных пространств. Компакты в евклидовом
пространстве. Канторово совершенное множество. Критерии компактности в
пространстве функций.
Тема 2.3. Компактность в метрических пространствах. Категории. Теорема Бэра.
Локальная компактность. Паракомпактность. Разбиение единицы, подчинение
локально конечному покрытию. Категории. Теорема Бэра.
Модуль 3
Тема 3.1. Произведение топологических пространств. Теорема Тихонова.
Произведение топологических пространств. Произведение компактных пространств.
Теорема Тихонова. Гильбертово пространство, гильбертов параллелепипед.
Метризуемость пространств со второй аксиомой счётности.
Тема 3.2. Топология поточечной и равномерной сходимости. Теоремы Дини и СтоунаВейерштрасса.
Топология поточечной и равномерной сходимости. Теоремы Дини и СтоунаВейерштрасса. Компактификация. Компактификации локально компактных
пространств.
Тема 3.3. Связность. Связные подмножества. Метризация.Теорема Урысона.
Связность и локальная связность. Метризация. Теорема Урысона. Примеры
топологий (метризуемых и неметризуемых) в пространствах функций, нормы в поле
рациональных чисел и пополнения по ним. Способы построения топологических
пространств: подпространства, фактор-пространства (отображения отождествления),
склеивание двух пространств по непрерывному отображению.
6. Планы семинарских занятий.
Модуль 1.
Тема 1.1. Предмет топологии. Основные этапы развития топологии
1) Предмет топологии. Общие понятия пространства. Равномерность, счётность,
несчётность, мощность множества всех подмножеств данного множества, мощность
континуума.
2) Частично упорядоченные множества и лемма Цорна. Метрические пространства.
Открытые и замкнутые множества. Сходимость. Пополнение.
Тема 1.2. Основные сведения из теории множеств.
1) Топологические пространства. Операции над открытыми
множествами.
2) Окрестности, предельные точки. Замыкание. Открытые базы.
и
замкнутыми
Тема 1.3. Аксиомы счётности, отделимости. Плотные множества.
1) Первая и вторая аксиомы счётности. Аксиомы отделимости: хаусдорфовость,
вполне-регулярность, нормальность.
2) Отделимость замкнутых множеств функциями и продолжение функций (для
метризуемых пространств).
Модуль 2
Тема 2.1. Малая и большая леммы Урысона. Классификация отображений.
1) Непрерывные отображения метрических и топологических пространств.
Гомеоморфизм.
2) Непрерывные функции. Непрерывные пути, линейная связность.
Тема 2.2. Сравнение топологий. Компактность. Метрические пространства.
1) Компактные (бикомпактные) пространства. Непрерывные функции на компактах,
непрерывные отображения компактных пространств.
2) Компакты в евклидовом пространстве. Канторово совершенное множество.
Критерии компактности в пространстве функций.
Тема 2.3. Компактность в метрических пространствах. Категории. Теорема Бэра.
1) Локальная компактность. Паракомпактность.
2) Разбиение единицы, подчинение локально конечному покрытию. Категории.
Теорема Бэра.
Модуль 3
Тема 3.1. Произведение топологических пространств. Теорема Тихонова.
1) Произведение топологических пространств. Произведение компактных
пространств.
2) Гильбертово пространство, гильбертов параллелепипед. Метризуемость
пространств со второй аксиомой счётности.
Тема 3.2. Топология поточечной и равномерной сходимости. Теоремы Дини и СтоунаВейерштрасса.
1) Топология поточечной и равномерной сходимости. Теоремы Дини и СтоунаВейерштрасса.
2) Компактификация. Компактификации локально компактных пространств.
Тема 3.3. Связность. Связные подмножества. Метризация.Теорема Урысона.
1) Связность и локальная связность. Метризация. Примеры топологий (метризуемых
и неметризуемых) в пространствах функций, нормы в поле рациональных чисел и
пополнения по ним.
2) Способы построения топологических пространств: подпространства, факторпространства (отображения отождествления), склеивание двух пространств по
непрерывному отображению.
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не предусмотрены учебным планом ОП.
8. Примерная тематика курсовых работ
Не предусмотрены учебным планом ОП.
обязательные
дополнительные
Количество
баллов
Модули и темы
Объём часов
№
Неделя
семестра
9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы
студентов.
Планирование самостоятельной работы студентов
Таблица 4.
Виды СРС
1-2
6
0-10
3-4
5
0-10
5-6
6
0-10
17
0-30
7-8
6
0-10
9-10
5
0-10
11-12
6
0-10
17
0-30
Модуль 1
Предмет топологии.
1.1. Основные этапы развития
топологии.
Основные сведения из
1.2.
теории множеств.
Аксиомы счётности,
1.3. отделимости. Плотные
множества.
Всего по модулю 1:
Проработка
лекций
Работа с
основной
литературой
Решение
типовых задач
Работа с
дополнительной
литературой
Работа с
Интернетресурсами
Модуль 2
Малая и большая леммы
2.1. Урысона. Классификация
отображений.
Сравнение топологий.
Компактность.
2.2.
Метрические
пространства.
Компактность в
метрических
2.3.
пространствах. Категории.
Теорема Бэра.
Всего по модулю 2:
Проработка
лекций
Работа с
основной
литературой
Решение
типовых задач
Модуль 3
Работа с
дополнительной
литературой
Работа с
Интернетресурсами
Произведение
топологических
3.1.
пространств. Теорема
Тихонова.
Топология поточечной и
равномерной сходимости.
3.2.
Теоремы Дини и СтоунаВейерштрасса.
Связность. Связные
подмножества.
3.3
Метризация.Теорема
Урысона.
Всего по модулю 3:
Иные виды работ
ИТОГО:
Проработка
лекций
Работа с
основной
литературой
Решение
типовых задач
Работа с
дополнительной
литературой
Работа с
Интернетресурсами
13-14
6
0-10
15-16
5
0-15
17-18
5,25
0-15
15,4
3,75
54
0-40
0-100
Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов
Самостоятельная работа призвана закрепить теоретические знания и
практические навыки, полученные студентами на лекциях и практических занятиях,
развить поставленные компетенции. Кроме того, часть времени, отпущенного на
самостоятельную работу, должна быть использована на выполнение домашней работы.
Во время лекционных и практических занятий самостоятельная работа реализуется
в виде решения студентами индивидуальных заданий, изучения части теоретического
материала, предусмотренного учебным планом ОП.
Во внеаудиторное время студент изучает рекомендованную литературу, готовится к
лекционным и практическим занятиям, собеседованиям, устным опросам, коллоквиуму и
контрольным работам. При подготовке можно опираться на конспект лекций и
литературу, предложенную в соответствующем разделе данной рабочей программы. В нем
расположен список основной и дополнительной литературы, а также необходимые
интернет-ресурсы.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Упражнения и задачи для самостоятельного решения.
Показать, что внутренность круга гомеоморфна евклидовой плоскости.
Задача Куратовского. Какое наибольшее число попарно различных множеств можно
получить из одного множества, применяя к нему последовательно две операции:
замыкание и внутренность?
Постройте три открытых множества на прямой, имеющих одну и ту же границу.
Можно ли в таком построении увеличить число множеств?
Показать, что внутренность шара гомеоморфна евклидову пространству.
Показать, что евклидова плоскость гомеоморфна трехмерной сфере с выколотой
точкой.
Доказать, что гомеоморфизм является отношением эквивалентности.
Доказать, что множество всех открытых интервалов на числовой прямой является
топологией. Показать, что эта топология имеет счетную базу.
Докажите, что множество ℚ всюду плотно в ℝ.
Найти int((0,1]  {2}) в ℝ.
Пусть множества А и В таковы, что их объединение и пересечение есть связное
множество. Докажите, что множества А и В тоже являются связными, если каждое
из них: а).открыто; б).замкнуто.
Докажите, что отрезок [a, b] замкнут в ℝ.
12.
13.
14.
15.
Докажите, что канторово множество является замкнутым.
Предложите пример несравнимых топологий.
Укажите базу топологии для следующих топологических пространств:
А). Вещественная ось с T1 - топологией.
Б). Луч [0, ] с топологией “лучей”.
Докажите, что все бесконечные арифметические прогрессии, состоящие из
натуральных чисел, образуют базу некоторой топологии в Х.
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам
освоения дисциплины (модуля).
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе
освоения образовательной программы
+
* - дисциплины базовой части
+
+
+
Системы компьютерной математики
Нестандартный анализ
Ряды и интегралы Фурье
+
Уравнения в частных производных
+
Базы данных
+
Теория вероятностей*
Иностранный язык в профессиональной сфере
(английский)
+
Дифференциальная геометрия и топология*
+
+
Объектно-ориентированное программирование
ПК-4
+
Действительный анализ
+
Дифференциальная геометрия и топология*
ПК-2
Объектно-ориентированное программирование
Индекс
компетенции
Иностранный язык в профессиональной сфере
(английский)
2 семестр
Аналитическая геометрия*
Дискретная математика*
1 семестр
Избранные вопросы математики
ПК-2 - способность математически корректно ставить естественнонаучные задачи,
знание постановок классических задач математики.
ПК-4 - способность публично представлять собственные и известные научные
результаты.
Выдержка из МАТРИЦЫ
соответствия компетенции и составных частей ООП
Таблица 5
Б.1. Дисциплины (модули)
Циклы,
дисциплины
3
(модули)
4 семестр
5 семестр
семестр
учебного
плана ОП
+
+
+
+
+
+
+
ПК-4
Системы компьютерной математики
Непрерывные группы
Функции с ограниченной вариацией
Теоретико-множественная топология
Теоретическая механика*
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Карта критериев оценивания компетенций приведена в таблице 6.
Граничные свойства аналитических функций
Б.1. Дисциплины (модули)
+
+
+
+
* - дисциплины базовой части
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных
этапах их формирования, описание шкал оценивания:
+
Выпускная квалификационная работа
Р-адический анализ
7 семестр
История развития математической науки
Пространства непрерывных функций
Теория обобщенных функций
Теория категорий
6 семестр
Физика
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного плана
ОП
Концепции современного естествознания
Уравнения в частных производных
ПК-2
Математическая статистика
Индекс
компетенции
Теоретическая механика*
Таблица 5 - продолжение
Б.3.
ГИА
8 семестр
+
Таблица 6.
Код
компетенции
Карта критериев оценивания компетенций
ПК-2
ПК-4
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
пороговый
(удовл.)
61-75 баллов
базовый (хор.)
76-90 баллов
Знает: основные понятия, определения и
свойства объектов топологии;
постановки классических задач
теоретико-множественной топологии
Знает: методы исследования свойств
объектов топологических пространств в
математически формализованных
задачах
Умеет: пользоваться основными
определениями и понятиями
Умеет: решать задачи теоретикомножественной топологии
Владеет: методами решения
простейших задач на исследование
свойств топологических пространств
Знает: общие сведения о представлении
собственных и известных научных
результатов в рамках изучаемой
дисциплины
Умеет: с помощью справочных
материалов или под руководством
преподавателя публично представлять
известные научные результаты
Владеет: навыками интерпретации
результатов исследования свойств
топологических пространств
Знает: алгоритмы и методы публичного
представления собственных и известных
научных результатов в рамках
изучаемой дисциплины
Умеет: демонстрировать собственные и
известные научные результаты на
уровне не выше студенческих
конференций
Владеет: способами и методами
представления известных научных
результатов в рамках изучаемой
дисциплины
Владеет: методами представления
собственных и известных научных
результатов, решений математических
задач и проблем из различных областей
математики
повышенный
(отл.)
91-100 баллов
Виды
занятий
Знает связи и приложения теоретикомножественной топологии в других
областях математического знания и
дисциплинах естественнонаучного
содержания
Умеет: самостоятельно анализировать
свойства объектов теоретикомножественной топологии
Владеет: навыками самостоятельной
постановки задач теоретикомножественной топологии
Знает: алгоритмы и методы публичного
представления собственных и известных
научных результатов для любой
профессиональной аудитории
Умеет: публично представлять
собственные и известные научные
результаты проблемы и их решения в
терминах, понятных для любой
профессиональной аудитории
Владеет: методами представления
собственных и известных научных
результатов, математических задач и
проблем из различных областей
математики, которые требуют некоторой
оригинальности мышления
лекции,
практические
занятия
Коллоквиум,
ответ на
семинаре
лекции,
практические
занятия
лекции,
практические
занятия
лекции,
практические
занятия
Опрос,
контрольная
работа
Контрольная
работа
лекции,
практические
занятия
Контрольная
работа,
собеседование
лекции,
практические
занятия
Контрольная
работа,
опрос
Оценочные
средства
Коллоквиум,
ответ на
семинаре
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы
формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
Перечень типовых заданий контрольных работ и коллоквиумов:
15. Показать, что внутренность круга гомеоморфна евклидовой плоскости.
16. Задача Куратовского. Какое наибольшее число попарно различных множеств можно
получить из одного множества, применяя к нему последовательно две операции:
замыкание и внутренность?
17. Постройте три открытых множества на прямой, имеющих одну и ту же границу.
Можно ли в таком построении увеличить число множеств?
18. Показать, что внутренность шара гомеоморфна евклидову пространству.
19. Показать, что евклидова плоскость гомеоморфна трехмерной сфере с выколотой
точкой.
20. Доказать, что гомеоморфизм является отношением эквивалентности.
21. Доказать, что множество всех открытых интервалов на числовой прямой является
топологией. Показать, что эта топология имеет счетную базу.
22. Докажите, что множество ℚ всюду плотно в ℝ.
23. Найти int((0,1]  {2}) в ℝ.
24. Пусть множества А и В таковы, что их объединение и пересечение есть связное
множество. Докажите, что множества А и В тоже являются связными, если каждое
из них: а).открыто; б).замкнуто.
25. Докажите, что отрезок [a, b] замкнут в ℝ.
26. Докажите, что канторово множество является замкнутым.
27. Предложите пример несравнимых топологий.
28. Укажите базу топологии для следующих топологических пространств:
А). Вещественная ось с T1 - топологией.
15.
Б). Луч [0, ] с топологией “лучей”.
Докажите, что все бесконечные арифметические прогрессии, состоящие из
натуральных чисел, образуют базу некоторой топологии в Х.
Теоретические вопросы к экзамену
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Основные определения. Базы. Сравнение топологий.
Замыкание, внутренность и граница.
Понятие топологического пространства.
Покрытие, подпокрытие, топология. Примеры.
Различные определения топологического пространства. Примеры.
Взаимное расположение точек и множеств в топологическом пространстве.
Теоремы об открытых и замкнутых множествах.
База топологии.
Пространство со счетной базой, примеры. Предбаза топологии.
Метрическое пространство. Определение и примеры.
Связь метрических и топологических пространств.
Подпространство топологического пространства.
Некоторые свойства топологических пространств.
Открытые и непрерывные отображения топологических пространств. Связь между
ними. Примеры.
Гомеоморфизм, примеры.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
Индуцированная топология и фактортопология.
Аксиомы отделимости.
Связность и линейная связность.
Компактные пространства.
Теорема Брауэра.
Лемма Урысона и теорема о метризуемости.
Различные свойства компактных пространств.
Компактность в метрических пространствах.
Критерий компактности в метрических пространствах. Пополнение.
Локальная компактность.
Теорема Тихонова.
10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний,
умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы
формирования компетенций.
Критерии успешности обучения
Количественная итоговая оценка определяется как суммарная характеристика
фактического уровня знаний студента (в баллах) по совокупности всех форм контроля,
предусмотренных по данной дисциплине (максимум – 100 баллов).
Шкала перевода семестровых баллов в оценку
Таблица 7.
Баллы
0 – 60
61 – 75
76 – 90
91 – 100
Экзамен
Неудовлетворительно
Удовлетворительно
Хорошо
Отлично
Неуспевающие студенты или студенты, желающие повысить оценку, должны сдать
экзамен.
Экзаменационные билеты включают два теоретических вопроса по курсу
дисциплины за семестр.
Критерии оценивания ответа на теоретический вопрос:
«Отлично» ставится в случае, если:
- ответ содержит глубокое знание излагаемого материала;
- студент ответил на дополнительные или уточняющие вопросы по тематике,
указанной в билете.
При этом допускаются незначительные неточности и частичная неполнота ответа
при условии, что в процессе беседы экзаменатора с экзаменуемым последний
самостоятельно делает необходимые уточнения и дополнения.
«Хорошо» ставится в случае, если
- ответ содержит в целом правильное, но не всегда точное и аргументированное
изложение материала.
- недостаточно полно раскрыто содержание вопроса, и при этом в процессе беседы
студент не смог самостоятельно дать необходимые поправки и дополнения, или не
обнаружил какое-либо из необходимых для раскрытия данного вопроса умение.
«Удовлетворительно» ставится в случае, если:
- в ответе допущены значительные ошибки, которые при наводящих вопросах
экзаменатора были частично исправлены;
- студент испытывает затруднения с использованием научно-понятийного аппарата и
терминологии дисциплины;
- в ответе не раскрыты некоторые существенные аспекты содержания.
«Неудовлетворительно» ставится в случае, если:
- в ответе допущены значительные ошибки, которые студент не смог исправить даже
с помощью наводящих вопросов экзаменатора;
- студент путает термины и не владеет научно-понятийным аппаратом курса.
- все формулировки ответа не соответствуют поставленным вопросам;
11. Образовательные технологии.
При изучении дисциплины используются сочетания видов учебной работы с
методами и формами активизации познавательной деятельности бакалавров для
достижения запланированных результатов обучения и формирования заявленных
компетенций.
Лекционные занятия проводятся с использованием наглядных пособий и
раздаточных материалов. Целью лекций является изложение теоретического материала и
иллюстрация его примерами и задачами. Основным теоретическим положениям
сопутствуют пояснения об их приложениях к другим разделам математики.
При проведении практических занятий используются индивидуальные и
групповые формы работы; работа в малых группах; выполнение заданий в паре;
взаимопроверка выполненных задач. Во время лекционных занятий ведется активный
диалог со слушателями, используется проблемное изложение материала.
Принципами организации учебного процесса являются: активное участие
слушателей в учебном процессе; проведение практических занятий, определяющих
приобретение навыков решения практических задач; приведение примеров применения
изучаемого теоретического материала к реальным практическим ситуациям.
В учебном процессе применяются активные и интерактивные формы обучения.
Они включают в себя методы, стимулирующие познавательную деятельность
обучающихся и вовлекающие каждого участника в мыслительную и поведенческую
активность.
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).
12.1 Основная литература:
1. Зверович, Э.И. Вещественный и комплексный анализ [Электронный ресурс]: учебное
пособие в 6 частях / Э.И. Зверович. - Минск : Вышэйшая школа, 2006. - Ч. 1. Введение
в анализ и дифференциальное исчисление. - 320 с. - Режим доступа:
http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=234982 (дата обращения: 13.10.2014).
12.2 Дополнительная литература:
1. Александров, П.С. Очерк основных понятий топологии [Электронный ресурс] /
П.С. Александров, В.А. Ефремович. - б.м. : ОНТИ НКТП СССР, 1936. - 95 с. - Режим
доступа:
http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=235299 (дата
обращения:
13.10.2014).
2. Бурбаки, Н. Общая топология. Основные структуры [Электронный ресурс] /
Н. Бурбаки; под ред. Д.А. Райков; пер. С.Н. Крачковский. - 3-е изд. - М.: Изд-во
"Наука",
1968.
275
с.
–
Режим
доступа:
http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=112130 (дата обращения: 12.10.2014).
3. Бурбаки, Н. Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с ними
группы и пространства [Электронный ресурс] / Н. Бурбаки; под ред. Д.А. Райков; пер.
4.
5.
6.
С.Н. Крачковский. - М.: Изд-во "Наука", 1969. - 392 с. - Режим
доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=112132 (дата
обращения:
12.10.2014)
Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа : [учеб.] / Г. М. Фихтенгольц. 7-е изд., стер. - Санкт-Петербург : Лань. - (Учебники для вузов. Специальная
литература). - Ч. 1. - 2005. - 448 с.
Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа : [учеб.] / Г. М. Фихтенгольц. 7-е изд., стер. - Санкт-Петербург : Лань. - Ч. 2. - 2005. - 464 с.
Элементарная топология / О.Я. Виро, О.А. Иванов, Н.Ю. Нецветаев, В.М. Харламов. М. : МЦНМО, 2010. - 368 с. - ISBN 978-5-94057-587-0 ; То же [Электронный ресурс]. –
Режим доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=64196 (дата обращения
13.10.2014).
12.3 Интернет-ресурсы:
1.
Наглядная топология В.Г. Болтянский, В.А. Ефремович
http://math.ru/lib/book/djvu/geometry/boltiansky-nagl-topo.djvu
2.
Наглядная топология. В.В.Прасолов http://math.ru/lib/book/pdf/prasolov/pra.pdf
3.
Литература по математике: http://window.edu.ru/library?p_rubr=2.2.74.12
4.
Литература по топологии: http://math.ru/lib/cat/top
5.
Дж.Келли Общая топология http://pskgu.ru/ebooks/dkellitop.html
13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень
программного обеспечения и информационных справочных систем (при
необходимости).
В организации
учебного процесса
необходимыми
являются средства,
обеспечивающие аудиовизуальное восприятие учебного материала (специализированное
демонстрационное оборудование):
 доска и мел (или более современные аналоги),
 слайдопроекторы или мультимедийные проекторы,
 компьютеры (для передачи, поиска, изучения материала, для контроля знаний и
др.).
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины
(модуля).
Лекционные и практические занятия проводятся в специализированных аудиториях,
оснащённых мультимедийной техникой. Допускается использование интерактивной
доски.
15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля).
Дисциплина «Теоретико-множественная топология» содержит 3 модуля, которые
изучаются 1 семестр. Каждый модуль имеет определенную логическую завершенность по
отношению к установленным целям и результатам обучения.
При изучении дисциплины применяется рейтинговая технология обучения, которая
позволяет реализовать непрерывную и комплексную систему оценивания учебных
достижений студентов. Непрерывность означает, что текущие оценки не усредняются, а
непрерывно складываются на протяжении всего семестра. Комплексность означает учет
всех форм учебной и творческой работы студента в течение семестра.
Рейтинг направлен на повышение ритмичности и эффективности самостоятельной
работы студентов. Он основывается на заинтересованности каждого студента в получении
более высокой оценки знаний по дисциплине.
Принципы рейтинга: непрерывный контроль и получение более высокой оценки за
работу, выполненную в срок.
Рейтинг включает в себя три вида контроля: текущий, промежуточный и итоговый
по дисциплине. Текущий контроль – это опросы на семинарах по пройденным темам.
Опросы проводятся на каждом семинаре по содержанию лекционного материала, а также
по базовым знаниям, полученным на практических занятиях. Промежуточный контроль –
это проверка знаний студентов по разделу программы, проводится в виде регулярных
контрольных мероприятий или коллоквиумов. Итоговый контроль по дисциплине – это
проверка уровня учебных достижений студентов по всей дисциплине за семестр.
По всем трем формам контроля студент имеет возможность набрать до 100 баллов
включительно. Критерии перевода суммарного количества баллов в оценку можно найти в
п.10.4 данной рабочей программы.
Успешное освоение дисциплины невозможно без непрерывной самостоятельной
работы. В течение семестра необходимо не только изучать лекционный материал и
готовиться к контрольным мероприятиям и устным опросам, но и решать практические
задания, выполнять упражнения. Примеры задач и упражнений приведены в разделе 9
(Упражнения и задачи для самостоятельного решения). Результаты решения задач и
выполнения упражнений, а также возникшие трудности студент может обсудить с
преподавателем на практическом занятии либо в консультационные часы.