Задачи на максимум

задачи на максимум-минимум
На столе стоит 9 пустых корзин. Каждую минуту Дима выбирает любые 5 из них и кладет
в них по яблоку. Через некоторое время во всех корзинах оказалось различное число
яблок, причем ни одна корзина не осталась пустой. Какое наименьшее число яблок может
быть во всех корзинах в сумме в этот момент?
(ПГТЮМ)
Ответ.45.
Решение.
Пусть общее количество яблок во всех корзинах - S . Т.к. во всех корзинах различное
число яблок, то S  1  2  3  4  5  6  7  8  9  45 . Покажем, как разложить 45 яблок.
В приведенной ниже таблице цифрой 1 обозначены яблоки, положенные в первую минут,
цифрой 2 – во вторую и т.д.
Корзины
К1 К2 К3
К4 К5
К6
К7 К8
К9
9
8
7
6
1
1
1
1
1
9
8
7
2
2
2
2
2
9
8
3
3
3
3
3
9
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
6
6
6
6
7
7
7
8
8
9
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------В каждой клетке треугольной доски (см. рисунок) сидит жук.
Одновременно некоторые из жуков переползают на соседние клетки,
через одну минуту снова некоторые из жуков переползают на
соседние клетки и т. д. Через какое наименьшее время после начала
движения все жуки смогут собраться в одной клетке? Соседними
считаются клетки, имеющие общую сторону.
Ответ. Через 3 минуты.
Решение.
Посмотрим, где будут находиться жуки, сидящие в угловых клетках доски, через 1, 2, и 3
минуты.
2
До начала движения:
3
1
После
начала
движения:
1
2
2 2
2
1
через две минуты:
минуты:
1
1
1
2
1
1
2
2 2
2
через одну минуту:
2
2
3 3
1
через
1
1
1 3
1
2
2 2
2
три
2
1
3
3 3 3
3
3 3 3
1
1
1
2
1
1
3
1 2
1 3
2
1
3
3 3 3
задачи на максимум-минимум
Итак, жуки, сидящие в угловых клетках доски, встретятся не ранее, чем через 3 минуты
(это произойдет в центральной клетке доски). Ясно, что всем остальным жукам
понадобится не более 3 минут, чтобы добраться до центральной клетки. Поэтому
наименьшее время, за которое все жуки смогут собраться в одной клетке составляет 3
минуты.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------На полке стоят 666 книг по черной и белой магии, причем никакие 2 книги по белой магии
не стоят через 13 книг (т.е. между ними не может стоять 13 книг). Какое наибольшее
число книг по белой магии может стоять на полке?
(Московская олимпиада)
Ответ. 336.
Решение.
Разобьем книги на цепочки книг, идущих через 13: 1, 15, 29, …; 2, 16, …; 14, 28, …. Из
того, что 666  14  47  8 следует, что мы получим 8 цепочек по 48 книг и 6 по 47 книг. В
каждой из цепочек, по условию, книги по белой магии не могут быть соседними. Значит, в
любой цепочке длины 48 их наибольшее количество равно 24, и в цепочке длины 47 их
также может быть 24 (цепочка начинается и заканчивается такой книгой). Всего:
14  24  336 книг.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------«Раненая» ладья ходит по горизонтали и по вертикали не более чем на 3 клетки. Какое
наибольшее число «раненых ладей» можно расставить на доске 8 8 так, чтобы ни одна
ладья не била другую?
(Поляков Е.)
Ответ. 16 ладей
Решение.
Заметим, что в каждой строке стоит не более 2 «раненых» ладей. Тогда на всей доске
стоит не более «раненых» ладей.
Приведем пример расстановки для 16 ладей.
л
л
л
л
л
л
л
л
л
л
л
л
л
л
л
л
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Проведите в выпуклом семиугольнике максимальное количество диагоналей так, чтобы
никакие три из них не являлись сторонами одного треугольника, вершины которого
находятся в вершинах исходного семиугольника.
(?)
Ответ. 10.
Решение.
Всего существует 7 различных треугольников, образованных диагоналями.
задачи на максимум-минимум
Одна диагональ входит в один или два треугольника. Чтобы «разбить» 7 треугольников,
нужно убрать минимум 4 диагонали. Иначе разобьется максимум 3  2  6 треугольников
вместо семи. Всего диагоналей 14, следовательно максимально можно провести 10
диагоналей. Легко построить требуемый пример.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------В четырехдневном турнире математических боев принимало участие шесть команд. При
этом никакие две команды не играли дважды друг с другом. Какое наименьшее число
ничьих могло быть в таком турнире, если известно, что все команды набрали различное
число очков? (За победу команде присуждается 2 очка, за ничью – 1 очко, за поражение –
0 очков.)
Ответ. 1 ничья
Решение.
0 ничьих быть не может, т.к. тогда все очки – четные и, следовательно, имеется всего 5
различных значений: 0, 2, 4, 6, 8 (8 очков - максимальное число очков, т.к. турнир шел
всего 4 дня), а команд – 6.
Построим пример с 1 ничьей:
День 1. Первая команда выиграла у второй, третья команда выиграла у четвертой, пятая
команда выиграла у шестой.
День 2. Первая команда выиграла у третьей, вторая команда выиграла у пятой, четвертая
команда выиграла у шестой.
День 3. Первая команда выиграла у четвертой, вторая команда выиграла у шестой, третья
команда выиграла у пятой.
День 4. Первая команда выиграла у пятой, вторая и четвертая команды сыграли вничью,
третья команда выиграла у шестой.
В итоге первая команда набрала 8 очков, вторая – 5, третья – 6, четвертая – 3, пятая – 2,
шестая – 0 очков.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Клетчатый прямоугольник
2002 2003 разрезали по линиям сетки тремя
прямолинейными разрезами на несколько прямоугольников. Для каждого из этих
прямоугольников нашли периметр. Затем все периметры сложили. Найдите наибольшее
возможное значение получившейся суммы.
Ответ. 20028.
Решение.
Посмотрим, как могут располагаться три прямолинейных разреза относительно сторон
данного прямоугольника. Возможны 4 случая:
а)
б)
в)
г)
2003
2003
2003
2003
2002
Рассмотрим первый случай.
P1  22003  a  2003  b  2003  c 
2002
2002
2003
a
 2003  2002  a  b  c)  20028
b
c
2002-a-b-c
задачи на максимум-минимум
Остальные случаи рассматриваются аналогично.
P2  20022 , P3  20026 , P4  20024 .
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Дана прямоугольная таблица, состоящая из 52 клеток. Некоторые клетки таблицы
закрашены, причем для каждой закрашенной клетки половина соседних с ней клеток
также закрашена. Определите наибольшее возможное число закрашенных клеток.
(Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону).
Ответ. 34 клетки.
Решение.
Таблица может иметь размеры: 1 52 , 2 26 и 413 . Рассмотрим каждый из этих
случаев.
1) Таблица 1 52 .
Ясно, что крайние клетки не могут быть покрашены. Пусть покрашена некоторая не
крайняя клетка. Тогда покрашена также одна из соседних с ней клеток. Таким образом,
закрашенные клетки разбиваются на пары и каждую пару закрашенных клеток
«обрамляют» незакрашенные. Пусть пар закрашенных клеток n . Тогда
2n  n  1  52
3n  51
n  17 .
Т.е. закрашенных клеток – 34. Нетрудно привести соответствующий пример.
2) Таблица 2 26 .
Клетка, принадлежащая границе таблицы может быть окрашена только тогда, когда она и
одна из соседних с ней клеток являются угловыми. Отсюда наибольшее число
закрашенных клеток в таблице 2 52 равно 4.
3) Таблица 413 .
Поскольку ни одна из клеток «границы» не может быть окрашена, то все окрашенные
клетки лежат внутри таблицы. А их не более чем 22.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Конструктор состоит из нескольких палочек одной длины. Известно, что используя все
палочки конструктора можно составить или несколько одинаковых треугольников, или
несколько одинаковых квадратов так, что никакая палочка не будет входить в 2 фигуры
одновременно. Определить наименьшее возможное число палочек. (Ломать палочки
запрещается).
Ответ. 12 палочек.
Решение.
Число палочек, удовлетворяющих условию задачи, кратно 4. Рассматривая отдельно числа
4, 8 и 12 убеждаемся, что наименьшее возможное число палочек равно12.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Дан решетчатый параллелепипед (см. рисунок), где длина каждого отрезка равна 1 см. В
точке A сидит таракан. Какое наибольшее расстояние он может пройти по пути в точку
B , не проходя ни через какую точку дважды?(?)
задачи на максимум-минимум
B
A
Ответ. 18.
Решение.
Покрасим A в черный цвет. Вершины, в которые можно попасть из A - в белый цвет,
далее, вершины, в которые можно попасть из белых – снова в черный цвет. Вершина B черная.
Каждый ход меняет цвет вершины. Поскольку за несколько ходов цвет не изменился ( A и
B - черные), то число ходов – четно. Число ребер, связывающих 20 точек
последовательно, равно 19. Отсюда – максимальная длина пути – 18. Легко построить
нужный пример.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Какое наименьшее число коней можно расставить на шахматной доске так, чтобы в
любом квадрате 3 × 3 была хотя бы одна клетка, которую бьет какой-нибудь конь?
(Устинов А.В.)
Ответ. 2.
Решение.
Покажем, что одного коня не достаточно. Разделим доску на 4 квадрата 4 × 4. Тогда в
квадрате, диагонально противоположном тому, в котором находится конь, можно
выделить квадрат 3 × 3, в котором ни одна клетка не будет бита. Видно, что двух коней
достаточно.
К К
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------В таблице 4  4 расставлены числа 1, 0, -1 так, что сумма чисел в любом квадрате 3 3
равна нулю. Какая наибольшая сумма чисел может быть во всей таблице? (ПГТЮМ)
Ответ. 6.
Решение.
Покажем, что добиться суммы, большей 6 невозможно. Предположим, что такая таблица
существует. Выберем какую-нибудь таблицу 3 3 . Т.к. сумма чисел в ней равна нулю, то
чтобы общая сумма превосходила 6, необходимо, чтобы в оставшихся 7 клетках стояли 1.
В таблице 3 3 , сдвинутой по диагонали на одну клетку относительно выбранной ранее,
будет содержаться по крайней мере 5 из семи единиц, т.е. ее сумма не может быть
нулевой.
Пример для суммы, равной 6, дается следующей таблицей.
задачи на максимум-минимум
1
1
0
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
0
1
1
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------На окружности отмечено несколько черных и несколько белых точек. Нарисовали все
возможные треугольники с вершинами в отмеченных точках. Оказалось, что вершины
каждого такого треугольника окрашены в разные цвета. Какое наибольшее число точек
может быть отмечено на окружности?
Ответ. 4.
Решение.
Точек каждого цвета отмечено не более двух, иначе найдутся три точки одного цвета,
образующие треугольник, что противоречит условию. Таким образом, всего отмечено не
более 2×2=4 точек. Пример с четырьмя отмеченными точками приведен на рисунке.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Какое наибольшее количество цветков может быть в букете, если известно, что он
составлен из красных, белых и желтых цветков, причем известно, что любые 12 цветков
букета содержат хотя бы один красный, два белых и три желтых цветка?
(ПермьГО)
Ответ. 15.
Решение.
Пусть в букете a красных, b белых и c желтых цветков. Т.к. любые 12 цветков букета
содержат красный цветок, то b  c  11 , аналогично, a  c  10 и a  b  9 . Сложив все эти
неравенства, получим: 2a  2b  2c  30 , т.е. a  b  c  15 . Таким образом, наибольшее
количество цветков в букете – 15. Например, 4 красных, 5 белых и 6 желтых.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Найдите наименьшее натуральное число такое, что если между его цифрами вставить
знаки умножения (возможно, только один), то результатом вычисления окажется число
2004.
Ответ. 3346 (334 × 6 = 2004)
Решение.
задачи на максимум-минимум
2004 = 1 × 2004 = 2 × 1002 = 3 × 668 = 4 × 501 = 6 × 334 = 12 × 167 = 2 × 6× 167 = 3 × 4 ×
167.
Отсюда уже легко найти ответ. Добавление единицы, как множителя, увеличивает число
цифр искомого числа, а, следовательно, увеличивает и само число.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Какое наибольшее количество уголков вида
, состоящих из трех квадратов
1 1 , можно поместить в прямоугольнике 5  7 ? (Уголки можно поворачивать и
переворачивать, но нельзя накладывать друг на друга).(Московская олимпиада)
Ответ. 11.
Решение.
Площадь уголка равна 3, а площадь прямоугольника – 35, поэтому в прямоугольнике не
может поместиться 12 уголков. Нетрудно привести пример размещения в прямоугольнике
11 уголков.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
В каждой клетке треугольной доски (см. рисунок) сидит жук.
Одновременно все жуки переползают на соседние клетки, через одну
минуту снова все жуки переползают на соседние клетки и т. д. Найдите
наименьшее возможное число клеток, в которых через некоторое время смогут оказаться
все жуки. Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону.
(Устинов А.В.)
Ответ. 2.
Решение.
Докажем, что в одной клетке жуки собраться не смогут. Покрасим клетки доски в черный
и белый цвета так, чтобы любые две соседние клетки были покрашены в разные цвета.
Если изначально жук находится на клетке белого (черного) цвета, то он переползает на
клетку черного (белого) цвета. Так как сначала жуки находятся и на белых и на черных
клетках, то в любой момент времени жуки также будут находиться на клетках двух
цветов, следовательно, они никогда не окажутся на одной клетке. Несложно привести
пример, когда все жуки соберутся в двух клетках.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------На 22 карточках написаны натуральные числа от 1 до 22. Из этих карточек составили 11
дробей. Какое наибольшее число этих дробей могут иметь целые значения?
(Московская олимпиада)
Ответ. Десять дробей.
Решение.
Покажем, что больше 10 дробей, равных целым числам, получить нельзя. Рассмотрим
простые числа 13, 17 и 19. Они могут дать целое число только при делении на 1. Поэтому
даже если одно из чисел 13, 17, 19 поделено на 1, то оставшиеся два «испортят» по
задачи на максимум-минимум
крайней мере одну дробь. Всего же дробей 11. Следовательно, больше десяти дробей,
равных целым числам, получить нельзя.
Пример десяти дробей:
4 12 14 15 16 18 20 21 22 13
, , , , , ,
, ,
, .
2 6 7 5 8 9 10 3 11 1
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Люся задумала целое число от 1 до 10. Леня может спросить, делится ли это число на
некоторое натуральное а . За какое минимальное число вопросов Леня наверняка сможет
узнать, какое число задумала Люся?(Юрасов Дима)
Ответ. За 4 вопроса.
Решение. Если Люся задумала 1, то Лене, чтобы это угадать, придется получить ответ
«нет» на вопросы о делимости задуманного числа на 2, 3, 5 и 7. Т.е. меньше, чем за 4
вопроса, сделать это нельзя. Нетрудно показать, что 4 вопросов достаточно.