Шпоры по физике и химии
advertisement
Вопрос 1.
Физика – наука о наиболее простых и наиболее общих
формах движения материи и их взаимных превращениях;
наука о явлениях природы.
Материальная точка-тело, с массой и размерами которой в
данной задаче можно пренебречь.
Абсолютно твёрдое тело – не может деформироваться,
расстояние между 2 точками или частицами этого тела
постоянно.
Система отсчёта - совокупность системы координат и часов.
Состоит из 3-х частей: 1) тело отсчёта; 2)связанная с этим
телом система координат;3) прибор для измерения
времени (хронометр).
Способы задания движения:
-координатный: это когда движение тела описывается в
координатах ( x=x(t) )
-векторный : задаётся зависимость радиус-вектора от
времени r=x(t)i + y(t)j + z(t)k
Перемещение △ 𝑟 = 𝑟⃗⃗⃗2 − ⃗⃗⃗
𝑟1 Мгн. скор. 𝑣 =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
△𝑠
Ср. скор. ⟨𝑣⟩ = △𝑡 Ускор. 𝑎 =
⃗
𝑑𝑣
𝑑𝑡
Вопрос 2: Виды движений МТ и АТТ: -поступательное;
-вращательное вокруг неподвижной оси; - плоское; движение вокруг неподвижной точки; -свободное
движение.
Число степеней свободы МТ и АТТ.
Виды движений МТ:
прямолинейные(равномерное,
равнопеременное, переменное),
криволинейные (равномерное движение по
окружности, неравномерное движ. по окр.,
движение по параболе, движение по
коническим сечениям).
Для АТТ: все, что и для МТ + поступательное
движение, вращательное движение, плоскопараллельное движение
Кинемат.уравн. для поступат. движ: 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣𝑡
ds=vdt – для равномерн.
s=s0+ vt+at2/2 – равноперемен.
Степени свободы МТ и АТТ: МТ обладает 3-мя
степенями свободы (по осям x, y, z).
АТТ имеет 6 степеней свободы (3 поступат. и 3
вращат.)
Вопрос 3: движ под углом к горизонту
Траектория - парабола. В полете на тело действует
сила тяжести и сила сопротивления воздуха
(пренебрегаем) .
Рассм. движ. тела как 2 одноврем. движ.:
-равномерное движение по горизонтали 𝑥 = 𝑥0 +
𝑣0𝑥 𝑡
𝑣0𝑥 = 𝑣0 𝑐𝑜𝑠𝛼
-равноперем. движ. по вертикали: 𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0𝑦 𝑡 +
𝑔𝑦 𝑡 2
2
𝑣0𝑦 = 𝑣0 𝑠𝑖𝑛𝛼
Вопрос 4: Траектория движения. Криволинейное движение. Нормальное и
тангенциальное ускорения при криволинейном движении.
Траектория – линия, вдоль которой движется тело.
Уравнение траектории движения МТ: y=y(x)
z=z(x)
Форма траектории зависит от вида движения:
Криволинейное движение – это движение, траектория которого представляет собой
кривую линию (например, окружность, эллипс, гиперболу, параболу).
Изменение величины скорости за единицу времени – это тангенциальное ускорение:
𝑎𝜏 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
Тангенциальное ускорение направлено перпендикулярно радиус-вектору и отвечает за
изменение модуля скорости.
Нормальное ускорение - это изменение скорости по направлению за единицу
времени:
𝑎𝑛 =
𝑣2
𝑅
𝑎𝑛 = 𝑤 2 𝑅 − по окружности
Нормальное ускорение направлено вдоль (противоположно) радиус-вектора и
отвечает за изменение направления.
Центростремительное ускорение – это нормальное ускорение при равномерном
движении по окружности.
Полное ускорение при равнопеременном криволинейном движении тела равно:
Вопрос 5: Вращательное движение. Угловая скорость и
угловое ускорение. Кинематические уравнения для
вращательного движения.
Характеристики вращательного движения МТ:
Угловая скорость и угловое ускорение
Вектор угловой скорости 𝜔
⃗ – быстрота изменения угла поворота при вращении МТ:
𝜔
⃗ =
𝑑𝜑
𝑑𝑡
= 𝜑̇⃗ (рад/с)
время полного оборота)
2𝜋
𝑑𝜑
⃗ =𝜔
⃗ 𝑑𝑡 (= 𝑇 ) (2𝜋 − полный оборот, Т −
𝑑𝑡 – время поворота МТ на 𝑑𝜑
⃗
d𝜑
⃗ − угол поворота радиус − вектора.
(По правой руке)
Вектор углового ускорения – изменение 𝜔
⃗ со временем
⃗⃗⃗
𝑑𝜔
𝑑2 𝜑
2
𝛽 = 𝜔̇⃗ = 𝜑̈⃗ =
= 2 (рад/с )
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝜔
⃗ = 𝛽 𝑑𝑡
Кинематический уравнение вращения тела 𝑤 = 𝑤0 + 𝛽𝑡 − ур. угл. скорости.
𝜑 = 𝜑0 + 𝑤0 𝑡 +
𝛽𝑡 2
− ур. угла поворота радиус − вектора.
2
Вопрос
6: Связь между линейными и угловыми
характеристиками МТ и АТТ при их вращении вокруг
точки или оси
связь линейных и угловых характеристик.
Линейные скорости и ускорения точек твердого тела
связаны с угловыми скоростью ω и ускорением β этого
тела.
При вращательном движении тела:
ϑ = ωR − линейная скоросто точки,
ατ = βR − касательное ускорение точки,
αn = ω2 R − нормальное ускорение точки,
α = R√β2 + ω4 − полное ускорение точки.
Связь линейных и угловых величин в векторной форме:
⃗ϑ = [ω
⃗⃗ × r] => 𝜗 = ω r sin α
⃗ ×r] => ατ = β r sin α
ατ = [β
αn = [ω
⃗⃗ × ϑ] => αn = ω2 r sin α
Вопрос 7 Понятия динамики. Три закона Ньютона. Сила, импульс.
Основное уравнение динамики поступательного движения. Силы в
механике.
.
Понятия Д:
Инерция – сво-во тела оставаться в сост. покоя или равном.
прямолинейн. движен., если на него не действ. внешние силы.
Масса – мера инертности тел, проявляется при попытке изменить
их скорость .
свободное движение – движ. тел, на кот. не действ. силы.
импульс –векторная физическая величина, численно равная
произведению массы тела на его скорость 𝑝 = 𝑚𝑣
сила (F) – векторная величина, характериз. внешнее
воздействие на тело, в результ. кот. изменяется скорость тела
или отдельных частей тела (тело деформируется).
1) сила упругости Fупр= -kx (k- коэфф. упруг., х- смещен.), направл.
против смещения.
2)сила рекции опоры N. Направл. перпендикул. к опоре.
3) сила трения Fтр= -µN
𝒎𝑴
4)гравитац. сила 𝑭 = 𝑮 𝟐
𝒓
5)сила тяжести F=mg
𝒅𝒑
= ⃗𝑭 - основное ур-е динамики поступ. движ. (скор. изменен.
импульса равна главному вектору всех внешних сил, действ. на это
тело.
𝒅𝒕
1 з-н Н. : всякое тело сохр. свою скорость постоянной: либо
покоится, либо движ. прямолинейно и равноиерно, если на него не
действуют силы, или равнодействующая сил равна 0.
2 з-н Н. : если на т. действ. сила, то тело движется с ускорением,
прямо пропорц. действ. силе, обратно пропорц. массе тела и
направл. в сторону действ. силы
⃗ = ⃗𝑭;
𝒎𝒂
3 з-н Н.: 2 тела действуют друг на друга силами одной природы,
равными по модулю и противоположными по направлению F1= F2
Вопрос 8: Инерциальные системы отсчета. Собственная и
лабораторные ИСО. Механический принцип
относительности Галилея. Преобразования Галилея.
ИСО – геометрич. сист. отсчёта. (центр – солнце) Лаборат. сист.
отсчёта(ЛСО) – ИСО, оносит. кот. производится наблюден. за
телом.
Мех. принципы относит. Галелея:
1)имеет cкор-ть абсолют. значен.?
2)есть ли в природе абсол. неподвижн. СО?
3)как вычисл. скор-ть при переходе от одной ИСО к другой? →
ПУТЁМ ПРЕОБРАЗОВАН. ГАЛЕЛЕЯ
ИСО К и К’: К – неподвижн. ЛСО; K' – ССО, движ. поступат. с
пост. скор-тью вдоль Ох относ. К. t=t’
1) преобраз. Галелея для корд. и времени: t=0 : начало коорд. 2х ИСО и направл. осей совпад.
t=t’ ; х=х'+vt ; y=y' ; z=z'
𝐝𝐱
2) преобраз. Галелея для скор-тей и ускорений : 𝐯𝐱 = =
𝐝𝐭
′
′
′
𝐯𝐱 + 𝐕 ; 𝐯𝐲 = 𝐯𝐲 ;
𝐯𝐳 = 𝐯𝐳
ускорение одинаково во всех ИСО.
Вопрос 9:Система материальных точек. Закон
сохранения импульса. Абсолютно упругий и неупругие
удары.
Центр масс (ЦМ) – система МТ(геометр. т.),
характеризующая их движение как целого.
Пусть в сист. кол-во МТ : i=1…n, тогда радиус-вектор
∑𝐧
𝐢=𝟏 𝐦𝐢 𝐫𝐢
ЦМ: 𝐫𝐜 =
; 𝐦𝐢 и 𝐫𝐢 – масса и радиус-вектор.
𝐦
m = ∑ni=1 mi - масса системы . Т.о. скорость ЦМ : 𝐯𝐜 =
𝐝𝐫𝐜
∑𝐧
𝐢=𝟏 𝐦 𝐝𝐫
𝐢+
𝐝𝐭
∑𝐧
𝐢=𝟏 𝐦𝐢 𝐯𝐢
=
=
.
𝐦
𝐦
Импульс ЦМ: 𝐩𝐜 = 𝐦𝐯𝐜 = ∑𝐧𝐢=𝟏 𝐦𝐢 𝐯𝐢 = ∑𝐧𝐢=𝟏 𝐩𝐢
𝐝𝐯
Ур-е движен. ЦМ : 𝐦 𝐜 = ∑𝐧𝐢=𝟏 𝐅𝐢 = 𝐦𝐚𝐜 .
𝐝𝐭
Движен. сист. МТ описыв. движен. ЦМ, на кот. действ.
равнодейств. всех сил , прилож. к сист. Под действ. силы
тяжести: ЦМ тела движется по пораболе, как МТ; другие
тела – по более сложн. траектории.
𝐝𝐭
Билет 10
Механическая работа и мощность
Работа−это количественная характеристика процесса обмена энергией между
взаимодействующими телами. Если тело движется прямолинейно и на него
действует постоянная сила, то работа этой силы равна скалярному
произведению вектора силы на вектор перемещения: A=F△s
2
𝐴 = ∫ 𝐹𝑐𝑜𝑠𝛼𝑑𝑠
1
Для характеристики скорости работы существует мощность. Средняя
мощность равна отношению работы к промежутку времени, в течение
которого эта работа производится: N=A/t
Мгновенная мощность, т. е. мощность в данный момент времени
определяется как:
N
dA
FV
dt
Кинетическая энергия. Теорема об изменении кинетической энергии
кинетическая энергия − это энергия тела, обусловленная его механическим
движением. кинетическая энергия определяется соотношением: K=1/2mV 2
Закон. измен. кинет. энергии:
𝒎𝒗𝟐
𝒅(
) = 𝑭𝒅𝒓
𝟐
Работа внешних сил, приводящих к измен. скорости тела, равна
измен. кинет. энергии тела или сист. тел
Билет 11
Потенциальная энергия. Связь между силой и энергией
потенциального поля. Консервативные и неконсервативные
силы
Все силы в механике делятся на консервативные и неконсервативные силы.
Силы работа которых не зависит от формы траектории, а зависит только от
начального и конечного
положения движущейся точки называются консервативными, а их работа по
замкнутому контуру равна нулю.
Если работа силы зависит от формы траектории, которую описывает точка
приложения силы, то такие силы называются неконсервативными, а их работа
по замкнутому контуру не равна нулю.
Диссипативные силы. К ним относятся, в частности, силы трения и силы
сопротивления среды. Полная работа этих сил является отрицательной.
Понятие потенциальной энергии имеет смысл лишь в том случае, когда на
материальные точки системы действуют только консервативные силы.
Изменение потенциальной энергии системы должно определяться только
работой консервативных сил. Другими словами, работа консервативных сил
при переходе из состояния 1 в состояние 2 равна убыли потенциальной
энергии.
A = −(П2 − П1)
между потенциальной энергией и силой, действующей на материальную
точку, существует определенная взаимосвязь.
П = 𝑚𝑔ℎ − тела, поднятого над землёй
П=𝐺
𝑚𝑀
𝑟
- гравитац. взаимод. 2-х тел. r – расст. между ЦМ
𝑘𝑥 2
П=
− упругого деформ. тела.
2
П
П
П
F
i
j
k gradП
у
z
x
Билет12. Кинетическая и потенциальная энергии.
Закон сохранения механической энергии.
Величину E = К + П называют полной механической
энергией системы.
закон сохранения полной механической энергии: полная
механическая энергия системы, на материальные точки
которой действуют только консервативные силы, с
течением времени не изменяется:
E = const
13. Силы упругости. Упругие деформации. Закон Гука. Потенциальная
энергия в поле упругих сил
Силы упругости – силы, возник. при деформации тела и направл. в сторону,
противоположную движению частиц при деформации.
Упругие деформации – это деформ., кот. полностью исчезают после снятия
нагрузки.
Закон Гука: F=-kx, k – коэффициент упругости.
П=
𝒌𝒙𝟐
𝟐
14. Силы трения. Уравнение динамики поступательного движения при
наличии трения- на примере
Трение – один из видов взаимодействия тел. Оно возникает при
соприкосновении двух тел. Трение, как и все другие виды взаимодействия,
подчиняется третьему закону Ньютона: если на одно из тел действует сила
трения, то такая же по модулю, но направленная в противоположную сторону
сила действует и на второе тело. Силы трения, как и упругие силы, имеют
электромагнитную природу. Они возникают вследствие взаимодействия между
атомами и молекулами соприкасающихся тел..
Сила трения покоя не может превышать некоторого максимального значения
(Fтр)max. Если внешняя сила больше (Fтр)max, возникает относительное
проскальзывание. Силу трения в этом случае называют силой трения скольжения.
Она всегда направлена в сторону, противоположную направлению движения и,
вообще говоря, зависит от относительной скорости тел.
Опыт показывает, что сила трения скольжения пропорциональна силе
нормального давления тела на опору, а следовательно, и силе реакции опоры
Fтр = (Fтр)max = μN.
Коэффициент пропорциональности μ называют коэффициентом трения
скольжения.
Коэффициент трения μ – величина безразмерная. Обычно коэффициент
трения меньше единицы. Он зависит от материалов соприкасающихся тел и от
качества обработки поверхностей. При скольжении сила трения направлена по
касательной к соприкасающимся поверхностям в сторону, противоположную
относительной скорости.
При движении твердого тела в жидкости или газе возникает силa вязкого
трения. Сила вязкого трения значительно меньше силы сухого трения. Она также
направлена в сторону, противоположную относительной скорости тела. При
вязком трении нет трения покоя.
Сила вязкого трения сильно зависит от скорости тела. При достаточно малых
скоростях Fтр ~ υ, при больших скоростях Fтр ~ υ2. При этом коэффициенты
пропорциональности в этих соотношениях зависят от формы тела.
Силы трения возникают и при качении тела. Однако силы трения качения
обычно достаточно малы. При решении простых задач этими силами
пренебрегают.
-сила трения скольжения, качения, покоя.
𝐹 − 𝐹тр = 𝑚𝑎
𝐹тяги − 𝐹тр = 𝑚𝑎
15. Гравитационное взаимодействие. Сила всемирного тяготения. Сила тяжести и
невесомостью. Фундаментальный физический закон Галилея
Все тела, имеющие массу, притягиваются друг к другу.
Масса тела – мера его гравитационного взаимодействия.
Сила тяжести – это сила, с которой Земля притягивает к
себе все тела, находящиеся на поверхности Земли или
вблизи её
Невесомость – состояние, при котором вес тела равен 0.
Тело, движ. только лишь под действием силы тяжести,
наход. в сост. невесомости.
Фунд. физ. закон: все тела в одном и том же поле тяготения
падают с одинак. ускорением g
16.Работа гравитационных сил. Потенциал и напряженность
гравитационного поля. Космические скорости.
Потенциальная энергия тела m(на расстоянии r от М) равна работе
гравит.сил при перемещении m из данной точки в бесконечность(где она
равна нулю)
Потенциальная энергия тела, поднятого над землей, равна разности
потенциальных энергий на высоте h и у поверхности Земли:
Потенциал гравитационного поля массы М в некоторой точке равен
отношению потенц.энергии пробной частицы массой m к массе этой
частицы
П
𝑀
потенц.энергия
𝜑 = 𝑚 = −𝐺 𝑅+𝑟
Напряжённость гравитационного поля 𝑔 =
𝑚
𝐺 𝑟 2 силовая характеристика поля
Космическая скорость (первая v1, вторая v2, третья v3 и четвёртая v4) —
это минимальная скорость, при которой какое-либо тело в свободном
движении с поверхности небесного тела сможет: v1 (круговая
скорость) — стать спутником небесного тела ; v2 (параболическая
скорость, скорость убегания) — преодолеть гравитационное
притяжение небесного тела и уйти на бесконечность; v3 —
покинуть звёздную систему, преодолев притяжение ; v4 —
покинуть галактику. третья и четвертые скорости используются редко.
Вторая используется в предположении отсутствия каких-либо других
небесных тел
v1 G
M
gR
R
v2 2 gR
v1 v2 2
17.Основные динамические характеристики движения
К основным динамическим характеристикам движения
относят импульс,момент импульса и кинетическую
энергию.
Импульс — векторная физическая величина, равная
произведению массы m тела на его скорость v, направление
импульса совпадает с направлением вектора скорости: p mv
В классической
механике полным импульсом системы материальных
точек называется векторная величина, равная сумме
произведений масс материальных точек на их скорости
Моментом импульса материальной точки относительно
неподвижной точки О называется физическая величина,
определяемая векторным произведением радиус-вектора,
проведенного из О в точку на импульс мт: Lr=[r p]
Модуль вектора момента импульса Lr=rpsina
кинетической энергией называется энергия, которой
обладает тело вследствие своего движения.
Eк= (mv^2) / 2
18.Вращательное движение. Момент импульса Lr и
момент силы М МТ относительно точки. Главный
момент системы сил.
При вращательном движении материальной точки она
описывает окружность. Вращение характеризуется углом
, угловой скоростью
и угловым ускорением
Момент импульса относительно точки равен Lr=[r p],
Модуль вектора момента импульса Lr=rpsina
Момент силы М-физ.величина,определяемая
произведением радиус-вектора на силу M=[r F]
Модуль момента силы: M=rFsina
Гласный момент системы сил-векторная величина,равная
сумме векторов моментов, всех сил в системе относительно
некоторой точки : М = ∑(𝑟⃗𝑖 × ⃗⃗𝐹𝑖 )
19. Момент импульса и момент
силы относительно произвольной
оси.
Мом. имп. системы относит. произв.
оси О2 равен МИ системы относит.
параллельной ей оси О1 (через ЦМ –
это главный МИ), плюс произвед.
массы сист. на квадрат расст. d между
осями d.
𝐼 = 𝐼𝑐 + 𝑚𝑑 2
20. Уравнение моментов. Законы изменения и сохранения
момента импульса при вращении МТ вокруг точки и АТТ,
закрепленного в одной точке
𝑑𝐿
Уравнение моментов:
𝑑𝑡
=𝑀
Cохр. МИ сист. ∑ 𝐿𝑖 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 , если ∑ Мвнешн. = 0
Если момент внешних сил , то получим
закон сохранения момента
импульса.
Если момент внешних
сил, действующих на
механическую систему относительно центра оси равен нулю,
то момент импульса системы относительно этого центра с
течением времени не изменяется.
Можно сказать, что момент силы при вращательном
движении является аналогом силы при поступательном
движении, момент импульса−аналогом импульса.
Законы изменения и сохранения момента импульса
механической системы можно применить и к вращательному
движению твердого тела.
Изменение МИ сист. Т =
𝐼𝑤 2
2
21. Пара сил. Центр тяжести (ЦТ) механической системы
Пара сил — совокупность двух сил, которые приложены к одному абсолютно
твёрдому телу и при этом равны по модулю и противоположны по
направлению.
Пара сил оказывает вращающее действие, которое может быть оценено
моментом пары:
где
h – плечо пары.
Момент пары считается положительным, если силы пары стремятся
повернуть плоскость, в которой они
расположены, против хода часовой
стрелки.
Центр тяжести механической системы
P1=m1g, Р2=m2g
М1=М2
r1(m1g)=r2(m2g)
r1m1=r2m2
22. Вращение АТТ. Основное уравнение (основной закон) динамики
вращательного д вижения АТТ относительно неподвижной оси.
При вращении АТТ вокруг оси точки АТT описывают окружности( их
центры лежат на оси вращения перпенд. к плоскостям окружностей).
Скорости МТ: vi = wR i . Для каждой МТ R i =const . Проекции моментов
импульсов МТ Lri на ось z: Lzi = mi vi R i . vi перпендик. R i .
Lzi паралл. v. Момент импульса АТТ относительно оси z –сумма
моментов импульсов всем МТ. Lz = ∑i mi vi R i =w∑i Izi .
Рассм. АТТ , кот .вращ. отн. неподвижной оси Оz с угловой скоросью w.
Т.к. АТТ представляет систему МТ, то для описания его движения будем
dLz
dLz
использ. dt = Mz, проекция на ось z будет иметь вид: dt = ∑ni=1 Miz,
тогда
L = ∑n (r⃗⃗ xm ⃗⃗⃗⃗⃗
v )
z
i=1
i
i i
z
Izi = mi R2i - момент инерции итой АТТ относительно оси вращения.
Lz = wIz -момент импульса АТТ, вращ. вокруг неподв. оси.
dLz
= Mz : сумма моментов проекций внешних сил.
dt
Lz = wIz ; дифференцируем и получаем: Mz = βz Iz
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - основное уравнение динамики вращательного движения
𝛃𝐳 𝐈𝐳 = 𝐌𝐳
АТТ вокруг неподвижной оси. При одном и том же значении Mz тело с
большим моментом инерции приобретает меньшее угловое ускорение β.
Если сумма проекций моментов на некот.ось =0, то проекция момента
импульса данного тела будет оставаться постоянной-закон сохранения
dLz
проекции момента импульса. dt = 0, отсюда wIz = const. w1 Iz1 = w2 Iz2
23. Закон изменения и сохранения момента импульса МТ и АТТ.
Скамья Жуковского.
Моментом импульса материальной точки А называется относительно
неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
величина, определяемая произведением : L
⃗ ], где r- радиусr = [r x p
вектор, проведённый из точки О в точку А, р-импульс МТ
Модуль Lr = rpsinα = lp, l = sinα-плечо ветора р, длина перпендикуляра
из точки О на прямую вдоль направления р.
1 кг м2
Lr перпенд.r и перпенд. р. [L]= с
Момент импульса АТТ вокруг неподвижной оси z : Lz = ∑ni=1 mi vi x ri .
dLz
= Mz -уравнение динамики вращетельного движения АТТ.
dt
Момент силы Fr отн. точки О-векторное произведение M = [r x Fr ].
Модуль М(модуль моментасилы) : M=rFsinα=lF [M]=1Hм, l-плечо силы.
⃗⃗⃗ = ∑ki=1(r⃗⃗i xF
⃗⃗⃗i ). М характеризует
Сумма моментов всех внешних сил: М
способность силы вращать вокруг оси О, отн. которой определяется М.
dL
∑ni=1 Mi – основное уравнение динамики вращательного движения
=
dt
системы относительно центра.
dL
dL
=
M;
в
замкнутой
системе
момент
внешних
сил
M=0,
= 0, откуда
dt
dt
L=const-закон сохранения импульса.
Продемонстрировать закон сохранения момента импульса можно с
помощью скамьи Жуковского. Пусть человек, сидящий на скамье,
которая без трения вращается вокруг вертикальной оси, и держащий на
вытянутых руках гантели, приведён во вращение с w1. Человек
прижимает гантели-момент инерции системы уменьшается. Момент
внешних сил равен 0, момент импульса системы сохраняется и w2
возрастает. (Io + 2mr12 )w1 = (Io + 2mr22 )w2
24. Момент инерции МТ и АТТ. Теорема Штейнера. Расчет
момента инерции тонкого стержня.
Izi = ∑ mi R i 2 −момент инерции АТТ отн. оси вращ. Z.
Iz = mR2 : момент инерции МТ отн.оси.
Физ.смысл: момент инерции тела явл. Мерой инертности тела
при его вращательном движении, причём момент инертности
любой оси характеризует его независимо от того, покоится тело
или движется. Iz = ∫v r 2 dm
Свойства момента инерции:
1. Теорема Штейнера: Iz = Icz + md2
2. Правило сложения : момент инерции системы отн.некоторой
оси=сумме моментов инерций частей этой системы отн.этой же
оси.
Расчёт момента инерции системы тонкого стержня:
Момент инерции тонкого стержня отн.оси АА’, проходящей
через середину. Длина-l, масса-m.
m
1. Разделим на малые элементы длины dx с массой dm = dx на
l
расстояние x от оси. Момент инерции элемента:dl = dmx 2 =
m 2
x dx
l
l
l
m
2
2. Интегрируем в пределах от 0 до и удваиваем: I = 2 ∫0
ml2
12
2
l
x 2 dx =
Вопрос 25 Работа при вращательном движении.
Кинетическая энергия вращения МТ, системы МТ, АТТ
вокруг оси. Полная кинетическая энергия АТТ. Закон
изменения кинетической энергии при вращательном
движении.
Работа , совершаемая всеми приложенными к телу силами,
идет
на изменение его кинетической энергии: δA = dК . Подставим в
последнее
выражение
уравнение (4.9.3 см. ниже)
и
1
1
продифференцируем
dK = d ( Iz ω2 ) = Iz ωdω = Iωdω =
dω
dω
2
2
Iz ω
, учитывая, что
= ε и ωdt = dφ, получим : dK =
dt
dt
Iz εωdt = Mz dφТогда элементарная
работа , совершаемая
силами, приложенными к телу : δA = Mz dφ, и полная работа
φ
при повороте тела на угол φ за время t :A = ∫φ 2 Mz dφ
1
Линейная скорость элементарной массы mi равна υi = ωRi ,
где Ri − расстояние от элементарной массы до оси
вращения. Кинетическая энергия этой элементарной массы
получается
выражением
1
1
K i = mi vi2 = mi ω2 R2i . Кинетическая
энергия
тела
2
2
складывается из кинетических энергий его частей, т.е. K =
1
1
∑ni=1 K i = ∑ni=1 mi ω2 R2i = ω2 ∑ni=1 mi R2i . Так как величина
2
2
n
2
∑i=1 mi R i = I есть момент инерции тела относительно оси
вращения, то кинетическая энергия тела , вращающегося
1
вокруг неподвижной оси K = Iω2 (4.9.3)!!!
2
Кинетическая энергия тела при плоском движении
слагается из энергии поступательного движения со
скоростью , равной скорости центра масс , и энергии
вращения вокруг оси, проходящей через центр масс тела , т.
1
1
е. K = mvc2 + Ic ω2
2
2
Вопрос 26 : Свободные гармонические механические колебания и их характеристики. Математический
и физический маятники.
Гармонические колебания − это периодическое изменение во времени физической величины,
происходящее по закону косинуса или синуса . Уравнение гармонических колебаний имеет вид x=
Acos(ωt + φ0 ) Характеристики: 1) Смещение x − это величина , характеризующая колебания и равная
отклонению тела от положения равновесия в данный момент времени . 2) Амплитуда колебаний А −
это величина , равная максимальному отклонению тела от положения равновесия .
3) Период колебаний T
− это наименьший промежуток времени , через который
система,
совершающая колебания, снова возвращается в то же состояние, в котором она находилась в
начальный момент, выбранный произвольно. Единица измерения [ T ] = 1 с . 4) Частота колебаний ν −
это величина , равная числу колебаний , совершаемых в единицу времени ( за 1 секунду). Единица
1
измерения [ ν ]= 1 Гц. Частота определяется по формуле ν = T 5) Циклическая частота ω − это величина ,
равная числу полных колебаний , совершающихся за 2π секунд . За единицу циклической частоты
принята угловая частота, при которой за время 1 с совершается 2 π циклов колебаний , [ ω]= с -1.
Циклическая частота связана с периодом и частотой колебаний соотношением
2π
ω = 2πν = T 6)Фаза колебаний ωt+φ0 – фаза указывает местоположение колеблющейся точки в данный
момент времени . 7) Начальная фаза φ0 − указывает местоположение колеблющейся точки в момент
времени t=0.
1) Математический маятник − это идеализированная система состоящая из
невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена материальная
точка массой m. Отклонение маятника от положения равновесия будем
характеризовать углом φ , образованным нитью с вертикалью. При
отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный
момент M, равный по величине mglsinφ . Он имеет такое же
направление, что стремится вернуть маятник в положение равновесия .
Следовательно, выражение для вращательного момента имеет вид :
M=mglsinφ. Применим основное уравнение динамики вращательного
движения M=Iε, где I=ml2 – момент инерции материальной точки. Тогда,
учитывая, что угловое ускорение ε =
2
2d φ
ml
= −mglsinφ ⇒
dt2
d2 φ
dt2
d2 φ
dt2
, получим
g
+ l sinφ = 0. Если рассматривать малые
d2 φ
d2 φ
g
колебания, то sinφ ≈φ. Получим dt2 + l φ = 0 ⇒ dt2 + ω20 φ = 0. То есть
при малых колебаниях угловое отклонение математического маятника
g
изменяется по гармоническому закону с частотой ω20 = l ⇒ ω0 =
g
l
√ l Период колебаний математического маятника T = 2π√g
2) Физический маятник − это твердое тело , совершающее под действием силы тяжести колебания
вокруг неподвижной оси, проходящей через точку, не совпадающую с
центром масс тела . При отклонении маятника от положения
равновесия на угол φ возникает вращательный момент, стремящийся
вернуть маятник в положение равновесия . Этот момент равен M =
−mglsinφ. Согласно основному уравнению динамики вращательного
движения получаем
d2 φ
Iε = M ⇒ I dt2 = −mglsinφ где I − момент инерции маятника
относительно оси, проходящей через точку подвеса. Если рассматривать
d2 φ
d2 φ
mgl
малые колебания, то sinφ≈φ. Получим dt2 + I φ = 0 ⇒ dt2 + ω20 φ = 0
То есть при малых колебаниях угловое отклонение физического
mgl
маятника изменяется по гармоническому закону с частотой ω20 = I ⇒
mgl
ω0 = √
I
I
Период колебаний физического маятника T = 2π√mgl
Вопрос 27: Векторная диаграмма и сложение одинаково направленных
гармонических колебаний
Сложение нескольких колебаний одинакового направления
можно изображать графически с помощью метода векторной
диаграммы . Гармоническое колебание может быть
представлено графически с помощью вращающегося вектора
⃗ . Для этого из произвольной точки О , выбранной
амплитуды A
на оси Ох, под углом ϕ 0
, равным начальной фазе колебания, откладывается вектор
амплитуды ⃗A. Модуль этого вектора равен амплитуде рассматриваемого
колебания. Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростью
ω, равной циклической частоте колебаний , то проекция конца вектора
амплитуды будет перемещаться по оси Ох и принимать значения от – А
до + А , а колеблющаяся величина изменяться со временем по закону x =
Acos(ωt + φ0 )
1. Сложение одинаково направленных гармонических
колебаний. Сложим два гармонических колебания
одинакового направления и одинаковой частоты. Смещение
x колеблющегося тела будет суммой смещений x1 и x2 ,
которые запишутся следующим образом:
x1 = A1 cos(ωt + φ1 ) и x2 = A2 cos(ωt + φ2 ) (5.2.1)
Представим оба колебания на векторной диаграмме .
Построим по правилу сложения векторов результирующий
⃗ . Проекция этого вектора на ось Ох равна сумме проекций
вектор А
слагаемых векторов x = х1 + x2 , следовательно, вектор ⃗А представляет
собой результирущее колебание. Определим результирующий вектор
амплитуды ⃗А по теореме косинусов А2 = А12 + А22 − 2А1 А2 cosφ Так как угол
⃗⃗⃗⃗1 и ⃗⃗⃗⃗
между векторами A
А2 равен φ = π − (φ2 −φ1 ), то [π − (φ2 −φ1 )] =
−cos(φ2 −φ1 ), следовательно, результирующая амплитуда колебания будет равна
А2 = А12 + А22 − 2А1 А2 cos(φ2 −φ1 ) Определим начальную фазу
результирующего колебания.
Из рисунка видно , что начальная фаза результирующего колебания
A sinφ1 +A2 sinφ2
tgφ = 1
Таким образом , тело , участвуя в двух гармонических
A1 cosφ1 +A2 cosφ2
колебаниях одного направления и одинаковой частоты , также совершает
гармонические колебания в том же направлении и с той же
частотой .
28) Сложение взаимно перпендикулярных
гармонических колебаний.
Пусть Мт участвует в 2-ух взаимно перпендик.
колеб-ях с одинак-ой ω, ϕ0-разность фаз
x=A1cos(ωt)-без начал. Фазы и y=A2cos(ωt + ϕ0),
x/A1= cos(ωt); ипользуем ф-лу cos суммы 2-ух
углов: y/A2= A1cos(ωt) A1cos(ϕ0)-sin( ωt)sin(ϕ0) ;
После преобраз-я получим ур-е траектории
результир-щего движ-я МТ . В общем случае –
МТ движ-ся по элипсу с произвольно ориентирыми осями: (24) . Рез-т зависит от амплитуды
колебаний и раз-ти фаз между ними. 1.
ϕ0=П/2+Пn(n= 0±2) ; x2/A12+y2/A22=1 а) A1≠ A2МТ движ по элипсу с цкнтром в т-ке x,y=0 ;
A1<A2 б) A1= A2- МТ движ-ся по окруж. С
центром в т-ке x,y=0 2. ϕ0=Пn (n= 0±1) ;
x2/A12+y2/A22 -2xy/ A1 A2=0
Если частоты
складыв-мых взаим. Перпен-ых
кол-ий
различ.,то замкнутая траектория резул-щего
колеб-я
сложна.
Замкнутые
тракии,прочерчиваемые т-ой, соверш-щей одноврем.
2 взаим. Перпенд-ых колеб-я,наз. Фигурами
Лиссажу. Их вид зависит от амплитуд,частот и
раз-ть фаз.
𝑥 = 𝑎𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡
𝑥2
𝑦2
2𝑥𝑦
{𝑦 = 𝑏𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡 + 𝛼) 2 + 2 − 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑠𝑖𝑛2 𝛼
𝑎
𝑏
𝑎𝑏
29) Дифференциальное уравнение свободных
гармонических механических колебаний и его
решение. Энергия колебаний. Физический
маятник.
𝑥̈ + 2𝛽𝑥̇ + 𝜔02 𝑥 = 0
𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡 + 𝛼 ) − решение.
Энергия
колебаний
равна
сумме
кинетической и потенциальной энергий:
𝐸 = ∑ 𝐾𝑖 + ∑ П𝑖
При гармонических колебаниях полная
механическая энергия системы остаётся
постоянной. При колебаниях происходит
превращение кинетической энергии в
потенциальную энергию, и наоборот.
30) Затухающие гармонические колебания.
Коэффициент затухания и логарифмический
декремент затухания. Время релаксации.
Затух. гармон. колеб.: в реальной колебательной системе
действуют силы трения, которые уменьшают энергию
системы. Из этого следует, что уменьшается амплитуда
колебаний, т.е. колебания являются затухающими.
Коэффициент затухания (β) – физическая величина,
обратная времени, в течение которого амплитуда
уменьшается в e раз.
𝜏 = 𝑁𝑇
𝑇=
𝜏
𝑁
𝛽=
1
𝜏
𝜒=βT=
𝜏
𝜏𝑁
=
1
𝑁
Логарифмический декремент затухания (𝜒) – физическая
величина, обратная числу колебаний, по истечении
которых амплитуда А уменьшается в e раз.
Если 𝜒=0,01, то N=100.
Время релаксации (𝜏) – это время, в течение которого
амплитуда А уменьшается в e раз.
А0
А𝜏
=𝑒
𝛽𝜏
1
= 𝑒 ⟹ 𝛽𝜏 = 1
𝛽=
1
𝜏
31.Вынужденные колебания. Расчёт амплитуды и фазы
Вынужденные колебания – это колебания под воздействием внешней
периодической силы. Внешняя периодическая сила: совершает работу A>0, даёт
поток энергии в колебательную систему(КС), не даёт колебаниям затухать,
несмотря на силу трения, может изменяться во времени по различным законам.
Пусть в КС происходят линейные свободные колебания под действием упругой
силы (пруж. маятник):F(x)= - kx, в системе действует Fòð x .Подействуем на
КС внешней силой: F ( x) F ( x0 ) cos t .Тогда уравнение 2-го закона Ньютона,
учитывая силу трения и приложенную силу имеет вид: mx kx x F ( x0 ) cos t (
0
k
2 )
m
m
Диф. урав-ние вынужденных колебаний:
x 2x 02 x
F0
cos t (
m
-коэффициент
затухания, 0 -собственная частота КС.
Общее решение:
02 2
x1 A0 e t cos( t 0 ) Частное
решение: x2 A cos(t )
x=x1+x2
Определим постоянные А и ϕ. Продифференц. дважды по времени
x V A sin( t ) A cos(t
)
2
x a A 2 cos(t ) A 2 cos(t )
x 2x 02 x
F0
cos t
m
A 2 cos(t ) 2A cos(t
2
) A 02 cos(t )
F0
cos t
m
Воспользуемся векторной диаграммой
Выполним действия по сложению векторов по амплитуде:
По x: Δ= A 02 A 2 A( 02 2 )
По теореме Пифагора:
F0
A (02 2 ) 2 4 2 2
m
x A cos(t )
32. Резонанс механических колебаний
Резонанс - явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при
приближении частоты вынуждающей силы к частоте, равной или близкой к
собственной частоте колебательной системы. 0
ðåç 02 2 2
Aðåç
F0
m
2 02 2
При резонансной частоте амплитуда вынужденных колебаний имеет максимум.
Чем меньше β, тем больше Àðåç . В случае β=0, ðåç 0 и À ðåç , что физически
бессмысленно.
В реальных условиях на осциллятор всегда действуют силы сопротивления среды.
При слабом затухании 0 : ðåç 0 и значение ϕ при резонансе практически
равно
/2.
Если β становится настолько большим, что
0
2
, то выражение для
резонансной частоты становится мнимым. Следовательно, резонанс отсутствует,
амплитуда монотонно уменьшается с увеличением частоты вынуждающей силы.
При
0 амплитуда
достигает статистического отклонения
À0
1 F0 F0
02 m k
-
предельного значения смещения под действием постоянной силы F0 (случай
статистической деформации системы под действием постоянной силы F0 , когда
0 ).
При амплитуда стремится к 0. При большой частоте система не успевает
колебаться и смещения относительно положения равновесия нет.
В случае малого затухания ( 0 ) внешняя сила компенсирует в точке резонанса
силу сопротивления среды, резонансная амплитуда
À ðåç
F0
m
F0
0 m2 QA0 ,где Q -добротность
2 0 2 0
колебательной системы; A0 -
статистическое отклонение. Следовательно, чем больше
Q,
тем больше
A ðåç .
33. Уравнения упругих волн, плоской и сферической. Принцип суперпозиции волн. Фазовая и
групповая скорости
Упругие волны - механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде.
В зависимости от формы волновой поверхности различают:1.плоские волны (волновые поверхности –
параллельные плоскости, 2.сферические волны( волновые поверхности – сферы).Уравнением волны –
называется выражение, которое даёт смещение колеблющейся точки как функцию её координат(x;y;z) и
времени t.
Найдём вид волновой функции, ξ в случае плоской волны предполагая, что колебания носят гармонический
x
характер: A cos(t 0 ) . Пусть 0 0 . Чтобы пройти путь x необходимо время . Уравнение
x
плоской волны: ( x, t ) A cos (t )
2 2
.Отсюда Тогда уравнение
T
k
плоской волны – A cos(t kx) .Если уравнение бегущей плоской волны добавляем в скобках + 0
Введём волновое число k
2
, так как T то k
Уравнение сферической волны:
A
cos(t kr)
r
Принцип суперпозиции (наложения волн): при распространении в среде нескольких волн каждая из них
распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды
равно геометрической сумме смещений частиц.
Любая волна может быть представлена в виде волнового пакета или группы волн.
Фазовая скорость – скорость перемещения в пространстве точек волновой поверхности с фиксированной
t const
фазой (н-р пучность).Фиксируем фазу: t kx const .Положение фазы: x
, скорость её
k
dx
(ôàçîâàÿ )
перемещения:
dt
t
Групповая скорость – определяет скорость переноса энергии и информации.
Связь
u
между
фазовой
и
групповой
скоростью:
d d (u k )
du
du d
du
du
uk
u k(
) u k ( )
u
- формула Рэлея.
dk
dk
dk
d dk
k d
d
k
k
2
.Получаем
34. Волновое уравнение и его решение. Физический смысл волнового
уравнения. Скорость распространения волн в различных средах.
Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном
направлении, будет иметь вид
Волновой вектор − это вектор, равный по модулю волновому числу k и
имеющий направление нормали к волновой поверхности. Перейдем от
радиус-вектора точки к ее координатам x, y, z .
Тогда уравнение (6.3.1) примет вид
Установим вид волнового уравнения. Для этого найдем вторые частные
производные по координатам и времени выражение (6.3.3)
Сложив производные по координатам, и с учетом производной по
времени, получим
Произведем замену
И получим волновое уравнение
35. Звук. Распространение упругих волн в
упругой среде. Характеристики упругих волн.
Стоячие волны. Колебания струны.
Звук-упругие колебания в среде. Характеристики
волны:
Длина волны - это расстояние между двумя
ближайшими горбами или впадинами поперечной
волны, или расстояние между двумя ближайшими
сгущениями или разрежениями продольной волны.
Скорость волны - это скорость распространения
колебаний.Скорость распространения волны и длина
волны зависят от среды, в которой они
распространяются. Наибольшая скорость
распространения волн в твердых телах, наименьшая в газах.
Стоячие волны-результата наложения 2 бегущих на
встречу друг другу волн,если они имеют одинаковые
A,w.
S(x,t)=22𝐴 cos 𝑘𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡-амплитуда стоячей волны
𝜕2 𝑈
2
𝜕 𝑈
𝑎2 2 𝑑𝑥
=
уравнение колебаний струны. Функция
U(x,t) характеризует вертикальное перемещение
струны.
𝑑𝑡 2
36. Волновой перенос энергии и его
характеристики: поток, плотность потока,
интенсивность. Вектор Пойтинга.
Количество энергии, переносимое волной через некоторую поверхность в
единицу времени, называется потоком энергии через эту поверхность. Поток
энергии Ф через данную поверхность равен энергии dW переносимой за
время dt Ф=dW/dt
Ф измеряется в ваттах.
Для характеристики распространения энергии в разных точках пространства
вводится векторная величина, называема плотностью потока энергии.
Плотность потока энергии численно равна потоку энергии через единичную
площадку ΔS, помещенную в данной точке перпендикулярно к направлению,
в котором переносится энергия. Направление вектора плотности потока
энергии совпадает с направлением переноса энергии.
Если через площадку ΔS, перпендикулярную к направлению
распространения волны, переносится энергия ΔWза время , то плотность
потока энергии равна Δt
j=ΔФ/ΔS=ΔW/ΔSΔt
Интенсивность волны равна I=<j>=<w>υ=1/2ρA2ώ2υ
υ-фазовая скорость волны
37. Границы применимости классической
механики. Теория относительности.
Постулаты Эйнштейна. Преобразования
Лоренца.
границы применимости кл.мех:
1)кл.мех. оказалась не применима к движению со
скоростями порядка скорости света2)не пригодна к
описанию явл.микромира возникла квантовая мех.,таким образом кл.мех.изучает
медленные движ.макроскопических тел3)в начале 20го
века считали,что скорость света разная в разных ИСО
согласно принципу галилея с`=c-v'.1887 эксперимент
майкельсона и марли опроверг это.Энштейн обобщил
полученные данные и создал теорию относительности(ТО).в
1905 опубликовал специальную ТО:1)предложил отказаться
от представлений об эфире,от сущ. Абсолютной сист.отсчета
2)сформировал 2постулата-в основе СТО3)при v<<c
результат обеих теорий кл.мех и сто одинаков.Осн-ой
объект ТО: св-во пространства и времени.Св-ва
прострт.:простр-во 3-хмерно;пр-во бесконечно.Св-ва
времени:вечность;одномерность и
однонаправленность;необрат-ть.
1й постулат:никакими физ.опытами внутри исо невозможно
установить покоится эта система или движется прямолин.и
равномерно.все з-ны природы одинаковы во всех исо,а их
ур-ния ковариантны
2й постулат:принцип постоянства скорости света,ск.св в
вакууме одинакова во всех исо и не зависит от движения
источника или приемника света.
преобразования Лоренца(ЛК 11,Ф-ЛЫ (1)-(3))
38. Следствия из преобразований Лоренца.
1), одновременные в ИСО К′, не одновременны в ИСО
К. Это явление известно как относительность
одновременности и возникает из-за ограниченности
скорости
распространения
взаимодействий.
2) Сокращение длины движущихся тел. Длиной
движущегося тела в некоторой системе отсчета, по
определению, называется расстояние между двумя
точками этой системы координат, с которыми
совпадают начало и конец тела в один и тот же момент
времени по часам, расположенным в этих же точках
используемой системы. l = х2 − х1 , если t2 = t1 . длина
линейки, измеренная в ИСО К, всегда меньше l0 − так
называемой собственной длины, измеренной в
системе покоя линейки К′.
3) Интервал времени между двумя событиями.
Собственным временем τ0 называется интервал
времени между двумя события-ми, которые
произошли в одной и той же точке собственной
системы: отсчета, связанной с движущимся со
скоростью υ объек-том. Это значит, что в системе К'
время 02tt ′′τ=−определяется при условии, что 2xx′′=, т.
е. события происходя в одной и той же точке системы
К', которая движется равномерно и прямолинейно с
скоростью
39. Теорема сложения скоростей в
СТО.
Формула преобразования скоростей вСТО устанавливает связь
между проекциями скорости точки в двух произвольных
инерциальных системах отсчета. Пусть в системах отсчета K и K /
движение МТ определяется координатным способом
x x(t ), y y(t ), z z (t ) и x / x / t , y / y / t , z / z / (t )
Тогда проекции скоростей
dx
vx
, v y dy , v z dz
dt
dt
dt
и
dx / / dy / / dz /
v
, v y , vz
dt
dt
dt
/
x
Воспользуемся преобразованием Лоренца и продифференцируем
dx
dx / vdt /
v2
1 2
c
,
dy dy / , dz dz / , dt
v x/ v
dx
dx / vdt /
/
dt dt dx / v / c 2 1 v x/ v / c 2
(1)
v2
v2
/
v
1
y
dy
c2
c2
vy
/
dt dt dx / v / c 2 1 v x/ v / c 2
(2)
vx
dt / dx / v / c 2
v2
1 2
c
и получим
dy / 1
v2
dz
c2
vz
dt 1 v x/ v / c 2
v z/ 1
(3)
Выражения 1-3 являются формулами преобразования скоростей
при переходе от одной системы отсчета в другую(релятивистский
закон сложения скоростей).
Если аналогичные действия проделать с обратными
преобразованиями Лоренца, то получим выражение для скоростей
в системе K / скоростей в системе K .
v2
vy 1 2
vx v
c
/
,
v
v x/
y
2
1 vxv / c
1 vx v / c 2
,
v2
vz 1 2
c
v z/
1 vx v / c 2
.
40.
Импульс
механике.
в
релятивистской
В кл.мех. Ньютона импульс определяется
соотношением p=mv (p,v векторы).в релят.мех
.в релятивистской
динамике масса частицы зависит от скорости ее
движения. При υ << c (это соотношение всегда
выполняется в классической механике), получаем m =
m0 = const. m0 − массой покоя частицы, т. е. масса
частицы в собственной системе отсчета.
2. Вар. В классической механике Ньютона импульс определяется
соотношением p m0 v , где m0 =const –маса частицы.
В релятивисткой механике импульс частицы определяется
аналогичным выражением:
p mv, m
m0
1 (v 2 / c 2 )
inv (*)
, где m- релятивистская масса
движущейся часциты, зависит от скорости, т.е.
m const
.
Т. о. определение (*) позволяет сделать вывод: в релятивисткой
динамике масса частицы зависит от скорости её движения. При
v<<c, что всегда выполняется в класической механике, получаем
m m0 const . Величина m0 - масса покоя, т.е. масса в собственной СО.
41. Релятивистские законы Ньютона. Связь между энергией и
импульсом частицы
1) 1-ый з. Ньютона: всякое тело (материальная точка) сохраняет
состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до
тех пор, пока силовое воздействие со стороны других тел не
заставит его изменить это состояние.
1-ый з. Н. инвариантен относительно преобразований Лоренца, т.
к. если тело движется в К’ с v’=const, то его скорость в К будет
v=const.
2-ой з. Ньютона: сохраняет свою классическую формулировку при
условии, что импульс р определяется по формуле
m0 v
dp
d
F.
F
2
2
dt
dt 1 (v / c )
Это релятивистское уравнение ковариантно относительно
преобразований Лоренца. При этом компоненты вектора силы F в
общем случае преобразуются по довольно сложным законам, т. е.
сила F inv . При движении вдоль оси х проекция сил
взаимодействия на ось у связаны соотношением Fy Fy ' 1 (v / c 2 ) .
3-ий з. Ньютона: в релятивисткой динамике справедлив только для
контактных сил. В механике Ньютона для сил, действующих на
расстоянии, предполагается мгновенная передача взаимодействия
без материального посредника. Это несовместимо с
релятивистским положением о том, что максимальная скорость
передачи взаимодействия не может быть больше скорости света в
вакууме. Поэтому для взаимодействия с конечной скоростью
распространения «силового сигнала» третий закон Ньютона в
своей классической формулировке неприменим.
2)
42. Энергия релятивистской частицы. Связь
силы и ускорения. Закон взаимосвязи массы и
энергии. релятивистское выражение для кинетической
энергии
имеет
вид
свободной частицы (при
отсутствии
.полная
внешних
энергия
полей).
. энергия покоя (при υ = 0).
выражение для кинетической энергии можно записать в виде
2
2
К = E − E0 = mc − m0 c .в кл.мех. При υ <<
.
c
.при
малых
скоростях движения материальной точки ее кинетическая энергия,
вычисленная по релятивистской формуле совпадает с выражением
для энергии в классической механике. энергия тела
пропорциональна его релятивистской массе. Всякое изменение
энергии тела сопровождается изменением его релятивистской
массы и, наоборот, всякое изменение релятивистской массы
сопровождается изменением энергии тела
2
ΔE = Δmc .- взаимосвязь релятивистской массы и энергии.
Связь силы и ускорения:
m0
Ft
mt продольная масса
3
a
t (1 (v 2 / c 2 )) 2
m0
Fn
mn поперечная масса
1
a n (1 (v 2 / c 2 )) 2
m0
m0
v2
dv
F
F
F
n
n
t
1
3
R
dt
(1 (v 2 / c 2 )) 2
(1 (v 2 / c 2 )) 2
43. Корпускулярно-волновой дуализм. Длина волны де Бройля. Квантование
электронных орбит атома в модели де Бройля. Соотношения
неопределенностей.
Корпускулярно-волновой дуализм. В 1901г. М. Планк сделала допущение о
дискретном хар-ре испускания и поглощения света. Суть гипотезы: излучение
сета может происходить только порциями (квантами) энергия которых
h
пропорциональна частоте излучения E = hν = hω, ℏ = , где ν-частота света, h2π
-34
-34
постоянная Планка(h=6,62∙10 Дж∙с), ℏ=h/2π=1,05∙10 Дж
Свет имеет двойственную природу: в одних экспериментах свет проявляет себя
как поток частиц, в других − как типичный волновой процесс. Двойственная
природа света нашла свое отражение в принципе дополнительности, который был
сформулирован Н. Бором. Он является фундаментальным принципом квантовой
механики. Корпускулярные и волновые свойства света как бы дополняют друг
друга и только вместе дают полное понимание того, что представляет собой свет.
Двойственная природа света получила название корпускулярно-волнового
дуализма.
Длина волны де Бройля. 1924 г. французский физик Луи де Бройль высказал
гипотезу: поскольку свет ведет себя в одних случаях как волна, а в других как
квазичастица, то и материальные частицы должны обладать волновыми
свойствами. Де Бройль предположил, что каждой частице, обладающей
импульсом р, должна соответствовать длина волны, связанная с модулем
импульса р тем же соотношением, что и для фотона, т. е. дебройлевская длина
h
h
волны частицы λБр = =
p
mv
Квантование электронных орбит атома в модели де Бройля. Де Бройль дал физ.
интерпретацию правилу квантования состояния электрона в атоме на основе
представления о волновых св-вах частиц. В применении к орбитальному
движению электрона на стационарной круговой орбите в атоме водорода из
правила квантования: nλn = 2πrn
Соотношения неопределенностей Гейзенберга.
∆x ∙ ∆px ≥ ℏ, ∆y ∙ ∆py ≥ ℏ
∆z ∙ ∆pz ≥ ℏ, ∆t ∙ ∆E ≥ ℏ
Принцип Гейзенберга гласит: любая квантовая система не может находиться в
состояниях, в которых координаты ее центра инерции (для частицы − координаты
частицы) и импульс одновременно принимают вполне определенные значения.
44. Предмет квантовой механики. Волновая функция, ее свойства и
статистический смысл.
1. Первый постулат квантовой механики
Движение микрочастиц в пространстве имеет вероятный (стохастастический) хартер
Согласно корпускулярно-волновому дуализму состав микрочастиц можно было
бы описывать волновыми образованиями, занимающее все пространство или его
небольшие части в виде волн. пакета.
2. Второй постулат квантовой механики
Математический формализм кв. мех. описывает состав микрочастиц заданной
волновой функцией.
(ВФ)-Ψ(x, y, z, t)
Квадрат амплитуды световой волны определяет плотность вероятности попадания
фотона в соответствующую точку пространства.
|Ψ|2 = f(x, y, z)- постулат Борна
Квадрат модуля комплексной волновой функции определяется соотношением
|Ψ|2 = Ψ ∙ Ψ ∗ - статистическая, т. е. вероятностная, интерпретация квадрата
модуля волновой функции.
Вероятность обнаружения частицу в объеме V
p = ∫V |Ψ(x, y, z, t)|2dV
p = ∫V |Ψ(x, y, z, t)|2dxdydz
Вероятность обнаружения частицы в V, где V – это шар радиуса R
R
p = ∫0 |Ψ(xt)|2dx
Свойства Ψ(x, y, z, t):
1) Должна быть конечной (вероятность не может быть больше 1), однозначной
(вероятность не может быть неоднознач.) и непрерывной( вероятность не может
быть изменена скачком)
dΨ dΨ dΨ dΨ
2) произведение
, , ,
– должно быть непрерывным
dx
dy
dz
dt
3) принцип суперпозиций – если физ. величина может находиться в сост. c1 , c2 , cn ,
то
N
Ψ = c1 Ψ1 + c2 Ψ2 + ⋯ = ∑ cn Ψn
n=1
4) Должна быть интегрируема – это условие сводится к условию нормировки
вероятностей. Вероятность найти частицу где-нибудь в объеме V: p = 1
∫−|Ψ(x, y, z, t)|2dV = 1
5) Вид ф-ции находится с помощью с помощью решения спец.
дифференциального ур-ния – ур-ния Шредингера
45. Временное и стационарное уравнение Шредингера.
Решения.
Общее уравнение Шредингера называют также уравнением
Шредингера, зависящим от времени. Оно является
основным уравнением нерелятивистской квантовой
механики.
уравнение
должно
быть
уравнением
относительно волновой функцией Ψ(х, у, z, t). Также это
уравнение должно обладать некоторыми чертами,
присущими волновому уравнению для упругих волн,
поскольку оно призвано учитывать волновые свойства
микрочастиц.
ℏ ∂Ψ
ℏ2
=−
∆Ψ + UΨ
i ∂t
2m
Стационарное уравнение Шредингера. ∆Ψ(x, y, z) +
2m
(E − U)Ψ(x, y, z) = 0
ℏ2
Функции Ψ(x, y, z), являющиеся решениями уравнения,
называются собственными функциями. Уравнения в ряде
случаев имеют решения не при всех значениях энергии Е, а
лишь при определенных ее значениях. Значения энергии Е,
при которых имеет место решение уравнения Шредингера,
называют собственными значениями энергии. Собственные
значения энергии Е могут образовывать как не-прерывный,
так и дискретный ряд значений энергии. В первом случае
говорят о непрерывном, во втором − о дискретном спектре
энергии.
46. Решение уравнения Шредингера для свободной
частицы.
Рассмотрим волновую функцию свободной
микрочастицы, которая имеет определенные значения
импульса р и энергии Е, т. е. движется со скоростью υ,
например, вдоль оси Ох (ру = рz = 0). Так как из опытов
следует, что параллельный пучок элементарных частиц
обладает свойствами плоской волны
распространяющейся в направлении скорости частиц, то
рассмотрим в общем виде плоскую волну
распространяющуюся вдоль Ох. Запишем волновую
функцию свободной частицы в комплексном виде по
аналогии с уравнением плоской волны.
Ψ= Ае−𝑖(𝑤𝑡−𝑘𝑥) =Acos(wt-kx) – isin(wt-kx) (8.6.1)
Преобразуем выражение (8.6.1), используя формулы
взаимосвязи импульса р и энергии Е частицы
(корпускулярных характеристик) с волновым числом k и
циклической частотой ω (с волновыми характеристиками
частицы)
E=ℎ𝜗=ℎ
𝑘=
𝜔
2𝜋
2𝜋
=ℎ
𝜆
⁄𝑝
2𝜋
𝐸 𝐸
⇒ ω=2𝜋 = (8.6.2)
=
2𝜋𝑝
ℎ
ℎ ℎ
𝑝
=
ℎ
(8.6.3)
Подставим (8.6.2−8.6.3) в уравнение (8.6.1) и получим
i
−i
px
Et
h
h
−i
Et
h
Ψ = Ae e
= Ψe
(8.6.5)
Применим к ψ оператор Лапласа и получим уравнение
Шредингера для свободной частицы
2𝑚
Δψ+ 2 𝐾ψ = 0
ℎ
Вопрос 47: Уровни энергии и волновая
функция частицы, находящейся в
прямоугольной потенциальной яме.
Волновая функция и энергия.
48. Квантовый гармонический осциллятор.
Квант. Гарм. Осциллятор - определяется как повед.
частиц m с пот. энергией U(x)=
𝑘𝑥 2
2
Потенциальная энергия такого осциллятора имеет вид
(4.77)
где
- собственная частота классического
гармонического осциллятора. Таким образом, квантовомеханическая задача о гармоническом осцилляторе сводится к
задаче о движении частицы в параболической потенциальной
яме.
В квантовой механике для решения задачи о
гармоническом осцилляторе нужно решить уравнение
Шредингера с потенциальной энергией
(4.78)
Выражая, согласно, энергию осциллятора
получаем
через
,
49. Прохождение частицы через барьер. Туннельный
эффект.
Туннельный эффект (туннелирование) – преодоление
частицей потенциального барьера, когда её энергия Е
меньше высоты барьера U0.
При Е > U0 есть вероятность того, что частица отразится от
барьера и будет двигаться в другую сторону.
При Е < U0 частица окажется в области x > l, где l –
ширина барьера.
Вероятность проникновения электрона через
потенциальный барьер зависит от высоты барьера U0, его
ширины l, где m – масса частицы, E – ее энергия, h –
постоянная Планка (ћ = h/2π).
Коэффициент прозрачности потенциального барьера:
−2l√2m(U − E)
x=
ћ
50. Молекулярная физика, макросистемы и положения МКТ.
Идеальный
газ.
Эргодическая
гипотеза.
Постоянные
в
молекулярной
физике.
Основное
уравнение
молекулярнокинетической теории – вывод.
Основа молекулярной физики – молекулярно-кинетическая теория.
Молекулярная физика изучает свойства макроскопических систем –
все тела, состоящие из огромного числа непрерывно движущихся
молекул, так как с помощью только законов динамики нельзя объяснить
свойства макросистем.
Методы изучения:
1) Термодинамический метод – использование опытных фактов, на их
основе устанавливаются физические закономерности.
2) Статистический метод – использование теории вероятности (наука о
случайных событиях # скорость молекулы, ее энергия и координаты).
Положения МКТ:
1) Идеальный газ состоит из частиц, атомов или молекул, которые
находятся в непрерывном движении.
2) Размеры молекул малы, по сравнению с расстояние между ними.
3) Атомы и молекулы идеального газа взаимодействуют только за счет
упругих столкновений друг с другом.
4) При отсутствии внешних сил молекулы идеального газа распределяются
равномерно по всему объему.
5) Движение атомов или молекул описывается законами Классической
механики.
Идеальный газ – газ, потенциальной энергией взаимодействия молекул
которого можно пренебречь.
Законы идеального газа – изопроцессы – опытные законы, связывающие
термодинамические параметры p, V, T газа с неизменной массой,
находящегося в термодинамическом равновесии:
1) Закон Бойля – Мариотта (изотермический T = const) – pV=const
2) Закон Гей – Люссака (изобарный p = const) – V/T = const
3) Закон Шарля (изохорный V = const) – p/T = const
4) Закон Клапейрона – Менделеева – объединенный газовый закон для всех
изопроцессов –
5) Закон Авогадро – 1 моль любого ИГ при одинаковых давлении и
температуре занимают одинаковый объем.
6) Закон Дальтона – давление смеси газов равно сумме парциальных
давлений.
7) Нормальные условия : T = 273 K, p = 1.013*105 Па (1 атм)
Эргодическая гипотеза: в состояния термодинамического равновесия
все физические величины, для описания 1 частицы идеального газа,
усредняются по N частицам: < v >= ∑N
i=1 v⁄N
1. Средняя арифметическая скорость
2. Средняя квадратичная скорость
3. Наиболее вероятная скорость
Постоянные в молекулярной физике:
1) Число Авогадро – 6,02*1023 моль-1
2) Постоянная Больцмана – K = 1.38*10-23 Дж/K
3) Универсальная газовая постоянная – R = K*Na = 8.31 Дж/К
Вывод основного уравнения кинетической теории.
Основное уравнение МКТ – устанавливает связь между между давление
p (термодинамический параметром) и средней кинетической скоростью
Екин теплового движения молекул.
Екин = m*v2/2
Импульс частиц : P(N) = 2mvN = 2mv(1/6*n*v*∆t*∆S)
Сила : F = ∆P(N)/∆t = 1/3*n*m*v2
Давление: p = F/S = 1/3*n*m*v2
Основное уравнение МКТ: p = 2/3*n*Екин
51.Степени свободы молекул. Закон Больцмана о равномерном
распределении энергии по степеням свободы. Внутренняя энергия
идеального газа.
Число степеней свободы механической системы – число независимых
параметров, которые задают состояние этой системы.
Для того чтобы однозначно указать положение материальной точки в
пространстве в любой момент времени, необходимо знать три координаты. Таким
образом, молекула одноатомного газа имеет три степени свободы. Молекулу
двухатомного газа можно рассмотреть как совокупность двух материальных
точек. Помимо трех степеней свободы газ имеет еще две степени свободы
вращательного движения. Так же и с трехатомным – 3 степени свободы для
поступательного движения и 3 степени свободы для вращательного.
Для реальных молекул следует учитывать также степени свободы колебательного
движения.
Закон Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням
свободы.
<Екин> = 3/2*K*T – средняя энергия поступательного движения для одноатомной
молекулы (3 степени свободы). Энергия, распространяющаяся по каждой степени
свободы равна:
<Екин> = 1/2*K*T
Потому можно предположить, что на каждую степень свободы приходится
энергия 1/2*K*T. С учетом всех видов степеней свободы (поступательных,
вращательных, колебательных) можно записать закон Больцмана о
равномерном распределении энергии по степеням свободы:
<Екин> = i/2*K*T, i = iпост + iвращ +2* iколеб
Внутренняя энергия идеального газа.
Внутренняя энергия идеального газа, содержащего N не взаимодействующих друг
с другом молекул, определяется на основании классического закона Больцмана о
равномерном распределении энергии по степеням свободы его молекул.
Идеальный газ имеет iN степеней свободы, поэтому (R = kNa):
U = iN kT⁄2 = imRT/2μ
52. Эффективный диаметр, средние длина и время
свободного пробега, число столкновений в единицу
времени для молекул идеального газа.
Молекулы газа, находясь в тепловом движении,
непрерывно сталкиваются друг с другом. Под
столкновением молекул подразумевают процесс
взаимодействия между молекулами, в результате которого
молекулы изменяют направление своего движения.
Минимальное расстояние d, на которое сближаются при
столкновении центры двух молекул, называется
эффективным диаметром молекулы. Величина
σ = πd2
называется эффективным сечением молекулы.
Эффективный диаметр молекул зависит от их энергии
молекул, а, следовательно, и от температуры. С
повышением температуры эффективный диаметр молекул
уменьшается.
Число соударений с молекулами, происходящих за время t,
равно количеству
молекул, центры которых попадают внутрь ломаного
цилиндра
длины l =< vотн > t .
среднее число столкновений за секунду: < z >= √2πd2 <
𝑣>𝑛
Средняя длина свободного пробега − это среднее
расстояние, которое проходит молекула между двумя
последовательными столкновениями:
l
<𝑣>
ℷ=
=
<𝑧> <𝑧>
53. Законы идеального газа, адиабатический процесс – вывод
уравнения Пуассона.
1)закон Бойля-Мариотта: для данной массы газа при постоянной
температуре произведение давления газа на его объем есть
величина постоянная: pV = const.
2) закон Гей − Люссака: объем данной массы газа при
V
постоянном давлении изменяется линейно с температурой. =
T
const
3) закон Шарля: давление данной массы газа при постоянном
P
объеме изменяется линейно с температурой. = const
T
4) закон Авогадро: моли любых газов при одинаковых
температуре и давлении занимают одинаковые объемы. При
нормальных условиях этот объем равен 22,41 · 10−3В одном моле
различных веществ содержится одно и тоже
число молекул, равное постоянной Авогадро: NA = 6,02 · 1023
моль−1
5) закон Дальтона: давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений входящих в нее газов.
Адиабатическим называется процесс, протекающий без
теплообмена с окружающей средой. Определим уравнение,
связывающее параметры идеального газа при адиабатическом
процессе. Так как по условию δQ = 0, то первое начало
термодинамики можно записать в следующем виде
δA = −dU
PV γ = const - уравнение Пуассона(γ − адиабатическая
постоянная)
54. Политропический процесс – вывод уравнения
состояния.
Рассмотренные изохорный, изобарный, изотермический и
адиабатический процессы происходят при постоянной
теплоемкости. Процесс, при котором теплоемкость тела
остаётся постоянной называется политропическим. Таким
образом, условие, которое выполняется в ходе
политропического процесса, заключается в том, что C =
const.
n
pV = const - уравнение политропы (n = (
C−CM
p
C−CM
p
))
55. Термодинамика. Термодинамические система и
параметры,
термодинамическое
равновесие.
Равновесный процесс. Внутренняя энергия – функция
состояния.
Термодинамика — раздел физики, изучающий
соотношения и превращения теплоты и других
форм энергии. Термодинамическая система –
совокупность тел, которые рассматриваются
термодинамическим методом при условии, что эта
совокупность отделена от окружающей среды (окр.средавсе то, что находится за пределами системы) реальной или
вымышленной границей раздела. Термодинамические
параметры- макросвойства, которые можно измерить
опытным путем и определяют свойства системы (V, P, T,
хим. состав). Термодинамическое равновесие- это такое
состояние системы, которое остается неизменным во
времени при одновременной неизменности параметров окр.
среды. Равновесный тепловой процесс — тепловой
процесс, в котором система проходит непрерывный ряд
бесконечно близких равновесных термодинамических
состояний. Равновесный тепловой процесс
называется обратимым, если его можно провести обратно
и в телах, окружающих систему, не останется никаких
изменений. Функция состояния – это такое св-во системы,
изменение которого (∆) не зависит от числа и характера
промежуточных стадий, определяется только начальными
и конечными состояниями. Внутренняя энергия является
функцией состояния (прим.: нач. состояние опред-ся U1,
конечное сост. U2, тогда изменение внутр. эн. в ходе
процесса ∆U=U2-U1).
56. Пути изменения внутренней энергии. Теплота и работа.
Первое начало термодинамики. Работа расширяющегося
газа.
Пути изменения внутренней энергии (2 способа): 1-ый сп-б –
это подвод (отъем) теплоты Q. Подвод теплоты (теплообмен)это сп-б изменения внутр. эн., связанный с хаотическим и
тепловым движением микрочастиц, составляющих данную
систему. 2-ой сп-б – рабочее действие (совершение работы А).
Это такой процесс, связанный с упорядоченным перемещением в
пространстве системы как целое. Работа – это упорядоченная
форма передачи энергии от системы среде или наоборот.
Теплота- неупорядоченная форма обмена энергией между
системой и средой, т.к. она является результатом беспорядочного
(теплового) движения микрочастиц вещества, но не самого тела
как целого. . Первое начало термодинамики – изменение
внутренней энергии системы, равно кол-ву подведенной
теплоты(Q>0) за вычетом работты, которую совершила система
над окр. средой (A>0). ∆U=Q-А (в интегральной форме) dU=ᵟQ-ᵟA
(в дифференциальной форме) Очень важным видом работы
является работа расширения (сжатия) газа – такая работа наз-ся
объемной (связана с изменением V газа) ᵟA (объемн.) =
P(внеш.)*dV: A>0- расширение газа, A<0- сжатие газа.
57. Теплоемкость идеального газа, зависимость от
степеней свободы. Уравнение Майера
Теплоёмкость идеального газа — отношение кол-ва
теплоты, сообщённого газу, к
изменению температуры δТ, которое при этом
произошло. С=δQ/ dТ. С(уд)= δQ/m*dT- удельная
теплоемкость – кол-во т-ты, кот. нужно сообщить 1г
𝛅𝐐
в-ва, чтоб нагреть его на 1С°. С(мол)= 𝐦
𝐌
×𝐝Т
.
молярная теплоемкость, кол-во т-ты, кот. нужно
сообщить 1 молю в-ва, чтоб нагреть его на 1С°.
Смол
С(уд)=
– связь между молярной и удельной
𝐧
теплоемкостью. Зависимость от степеней свободы:
𝐢
Сvмол = ∗ 𝐑(газов. пост) – молярная теплоемкость
𝟐
мол
𝐢+𝟐
𝟐
при Vconst . Сp =
∗ 𝐑- при пост. давлении.
Уравнение Майера: Сvмол + R= Cpмол
58.Теплоёмкость идеального газа
Удельная теплоемкость вещества — величина, равная количеству
теплоты, необходимому для нагревания 1 кг вещества на 1К:
c=dQ/mdT (Дж/(кг*К)). Молярная теплоемкость — величина,
равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1 моль
вещества на 1К. Сm=dQ/vdT (Дж/(моль*К)), где v=m/M.
Удельная теплоемкость связана с молярной соотношением
Сm=cM, где М — молярная масса вещества. Различают
теплоемкости при постоянно давлении и при постоянном объеме,
если в процессе нагревания вещества его объем или давление
поддерживается постоянным. Первое начало термодинамики:
CmdT=dUm+pdVm. Если газ нагревается при постоянном объеме,
то работа внешних сил равна нулю и сообщаемая газу извне
теплота идет только на увеличение его внутренней энергии:
Cv=dUm/dT, то есть молярная теплоемкость при постоянном
объеме Cv= изменению внутренней энергии 1 моль газа при
повышении его температуры на 1 К. Cv=(i/2)R. Если газ
нагревается при постоянном давлении, то выражение для первого
начала термодинамики можно представить как:
Cp=dUm/dT+pdVm/dT. Учитывая, что dUm/dT не зависит от вида
процесса (так как определяется только температурой T) и всегда
равна Сv, получаем, что Cp=Cv+R. Ср=((i+2)/2)*R. Для газа,
состоящего из двухатомных молекул число степеней свободы (i =
5) В молекулярно-кинетической теории устанавливается
следующее соотношение между средней кинетической энергией
поступательного движения молекул и абсолютной температурой
T: E=3/2KT.Внутренняя энергия 1 моля идеального газа равна
произведению на число Авогадро NА: U=3/2RT
Вопрос 59: Работа – функция
процесса. Работа, совершаемая газом
при изотермическом и изохорном
процессах.
Изохорический процесс
Если газ нагревается или
охлаждается при постоянном объеме
(рис.12.3.1), то dV = 0 и работа
внешних сил равна нулю
δA = pdV ⇒ A12=∫12∂A=0
Изотермический процесс
Работа, совершаемая газом при
изотермическом процессе (рис.
12.3.3), равна A12=∫v1V2pdV.
Выразим давление из уравнения
Менделеева − Клапейрона (p= ν
RT/V) и подставим
Эту формулу можно преобразовать
и к иному виду, если учесть, что при изотермическом процессе
выполняется закон Бойля − Мариотта p1 V1 = p2 V2 , откуда
V2/V1=p1/p2 . Тогда
. (12.3.18)
Так как для идеального газа при T=const (dU = 0), то первое
начало термодинамики можно записать в следующем виде
δQ = δA ⇒
. (12.3.19)
Вопрос 60:Работа – функция
процесса. Работа, совершаемая
газом
при
изобарическом
процессе.
Работа, совершаемая газом при
изобарическом процессе (рис.
12.3.2),
равна
61. Циклические процессы. Обратимые и
необратимые. Цикл Карно. Тепловая
машина и ее КПД – вывод на основе
цикла Карно. Обрат-ые проц-если он может быть
проведён как в прямом так и в обратном напр-ии через
одни и те же сост-я,причём в окруж-х термодин-ую систему
телах никаких изм-ий не должно произойти.В противном
случае процесс необрат-ый.
Цикл Карно — это обратимый круговой процесс, состоящий
из двух адиабатических и двух изотермических процессов. В
процессе Карно термодинамическая система выполняет
механическую работу и обменивается теплотой с двумя
тепловыми резервуарами, имеющими постоянные, но
различающиеся температуры. Резервуар с более высокой
температурой называется нагревателем, а с более низкой
температурой — холодильником.
Циклич. процесс – процесс, в результ. кот. термодинамич.
тело возвращ. в исх. сост.
62. Великая теорема Карно и теорема
Карно. Холодильная машина и ее КПД –
выод на основе цикла Карно.
Великая т. Карно: макс. КПД любой тепловой
машины не может превосходить КПД тепловой
машины Карно, работающей при тех же Т
нагревателя и холодильника.
Т. Карно: КПД тепловой машины, работающей по
циклу Карно, зависит только от Т нагревателя и
холодильника, но не зависит ни от устройства
машины, ни от вида или св-в её раб. тела
Для холодильного коэфф k выполн. выраж.
63. Второе начало термодинамики.
Самопроизвольные
и
несамопроизвольные
процессы.
Равенство и неравенство Клаузиуса.
Несамопроизв. – процесс, кот. протекает
принудительно за счёт внешнего воздействия.
Самопроизв. – процесс, кот. идут сами собой,
на них не затрачивается работа.
2-е нач. ТД: не может быть перехода тепла от
менее нагретого тела к более нагретому.
Равенство:
все
обратимые
машины,
совершающие цикл Карно с участием одного и
того же нагревателя и одного и того же
холодильника, имеют одинаковый КПД,
независимо от рода раб. тела.
Неравенство: кол-во теплоты, получ. системой
при любом круговом процессе, делённое на
абсол. температ., при кот. оно было получено,
неположит.
64. Энтропия. Статистический вес макросостояния
и статистический смысл энтропи. Приращение
энтропии ds-отношение полученной или отданной
теплоты к температуре, при которой этот процесс
dQ
происходит.dS = ( ) Статистический вес
T
макросостояний W-число способов, кот. может быть
реализовано данное состояние макросистемы или
число равновероятных микросостояний, соответ.
данному состоянию.S=klnW Статистический смысл:
энтропия замкнутой системы при любых
происходящих в ней процессах не может убывать. Она
остается постоянной в обратимых процессах и
возрастает в необратимых.
65. . Энтропия. Изменение энтропии идеального
газа в различных процессах. Приращение энтропии
ds-отношение полученной или отданной теплоты к
температуре, при которой этот процесс происходит.
dS=(dQ/T). Изменение энтропии идеального газа.
Найдем изменение энтропии идеального газа при
любом произвольном процессе. ∆S12 =
2 ∂Q
2 dU+∂A
v2 vCv dT
v2 pdV
M T2
=
=
+
=
vC
+
∫1
∫1
∫v
∫v
V ln
T
V2 vRdV
∫V V
1
=
T
T
1
V2
M T2
vCV ln + vRln
T
V
1
1
1
T
T1
66. Третье начало термодинамики (теорема
Нернста).
При приближении к абсолютному нулю энтропия
системы также стремится к нулю независимо от того,
какие значения принимают все остальные параметры
состояния системы: lim S(T, V) = 0 -третье начало
T→0
термодинамики. Поскольку энтропия равна:
T ∂Q
T dT
S = ∫0
= ∫0 C , а температура Т стремится к
T
T
нулю, теплоемкость вещества также должна
стремиться к нулю,причем быстрее,чем Т. От следует
сюда недостижимость абсолютного нуля температуры
при конечной последовательности термодинамических
процессов, т. е. конечного числа операций − циклов
работы холодильной машины.
67 Термодинамические функции и
потенциалы.
Характеристические функции в ТД, убыль
которых в равновесных процессах, протекающих
при постоянстве значений соответств.
независимых параметров, равна полезной
внешней работе.
Выделяют ТД потенциалы:
-внутр. энергия: U=Q-A
-энтальпия: H=E=U+PV
-свободная энергия Гельмгольца: F=U-TS
-потенциал Гиббса: G=U+PV-TS
-большой ТД потенциал: Ω=U-TS-μN=F-μN
68. Понятие статистического распределения,
функция
распределения.
Распределение
Максвелла молекул газа по вектору скорости.
Функция распределения молекул по скоростям –
функция f, зависящая от модуля скорости v
𝑑𝑝
𝑓 (𝑣 ) =
𝑑𝑣
Cтатистическое распределение – это описание (в
виде ф., таблицы или текста) того, насколько
вероятно то, что случайная величина примет то
или иное значение.
Ф. распред. Максвелла молекул газа по
скоростям:
𝑚0 3
𝑚0 𝑣 2
𝑓 (𝑣 ) = (
)2 𝑒 (−
) 4𝜋𝑣 2
2𝜋𝑘𝑇
2𝑘𝑇
69.
Барометрическая
формула.
Понятие
статистического
распределения,
функция
распределения.
Распределение
Больцмана.
Барометрическая ф-ла
p= 𝑝0 𝑒(−
𝑚𝑔ℎ
)
𝑅𝑇
Если частица идеального газа наход-ся в
силовом поле,то реализ-ся оба распред-я
частиц:Максвелла и Больцмана.
П
𝑛 = 𝑛0 𝑒(−
𝑘𝑇)
70. Реальный газ. Уравнение и изотермы Ван-дер-Ваальса. Критические температуры.
Реальный газ – газ, который не описывается уравнением состояния идеального газа
Менделеева – Клапейрона. Модель идеального газа пригодна для реального только при
высоких температурах и низких давлениях, когда можно пренебречь размерами молекул и их
взаимодействием.
Термическим уравненим состояния (или, часто, просто уравнением состояния) называется
связь между давлением, объёмом и температурой.
Для одного моля газа Ван-дер-Ваальса оно имеет вид:
,
Поправка
Для
учитывает притяжение молекул, поправка
— объём занимаемый молекулами.
молей газа Ван-дер-Ваальса уравнение состояния выглядит так:
.
Изотермы Ван-дер-Ваальса — кривые зависимости р от Vm при заданных Т, определяемые
уравнением
Ван-дер-Ваальса
для моля газа.
Эти
кривые
имеют довольно
своеобразный характер. При высоких температурах (T > Tк) изотерма реального газа
отличается от изотермы идеального газа только некоторым искажением ее формы, оставаясь
монотонно спадающей кривой. При некоторой температуре Tкна изотерме имеется лишь одна
точка перегиба К.
Эта изотерма называется критической, соответствующая ей температура Tк — критической
температурой; точка перегиба К называется критической точкой; в этой точке касательная к
ней
параллельна
оси
абсцисс. Соответствующие этой
точке объем Vк, и давление рк называются также критическими. Состояние с критическими
параметрами (pк, Vк, Tк) называется критическим состоянием. При низких температурах
(Т < Tк ) изотермы имеют волнообразный участок, сначала монотонно опускаясь вниз, затем
монотонно поднимаясь вверх и снова монотонно опускаясь.
Рассматривая различные участки изотермы при T<Тк (рис. внизу), видим, что на участках 1—
3 и 5—7 при уменьшении объема Vm давление р возрастает, что естественно. На участке 3—
5 сжатие вещества приводит к уменьшению давления; практика же показывает, что такие
состояния в природе не осуществляются. Наличие участка 3—5 означает, что при
постепенном изменении объема вещество не может оставаться все время в виде однородной
среды; в некоторый момент должно наступить скачкообразное изменение состояния и распад
вещества на две фазы. Таким образом, истинная изотерма будет иметь вид ломаной линии 7—
6—2—1. Часть 6–7 отвечает газообразному состоянию, а часть 2–1 — жидкому. В
состояниях, соответствующих горизонтальному участку изотермы 6—2, наблюдается
равновесие жидкой и газообразной фаз вещества. Вещество в газообразном состоянии при
температуре ниже критической называется паром, а пар, находящийся в равновесии со своей
жидкостью, называется насыщенным.
71.Эффект Джоуля- Томсона отрицательный
Изменение температуры реального газа в результате его адиабатического
расширения, или, как говорят, адиабатического дросселирования —
медленного прохождения газа под действием перепада давления
сквозь дроссель (например,
пористую
перегородку),
называется эффектом Джоуля—Томсона. Эффект Джоуля — Томсона
отрицательный, если газ в процессе дросселирования нагревается (DT >
0).
72.
Эффект
Джоуля-Томсона
положительный и интегральный.
Положительный, если газ в процессе
дросселирования охлаждается.
Интегр. эффект – эффект, при кот. давление
измен. в широких пределах, сопровожд.
значит. измен. темпер.
–
73. Понятие фазовых переходов. Фазовая диаграмма. Нормальные и
аномальные вещества. Фазовые переходы 1-го рода. Уравнение
Клайперона-Клаузиуса.
Фаз. переход – переход ве-ва из одной ТД фазы в другую при
измен. внешних условий.
Фазовая диаграмма – графич. отображ. равновесного сост.
бесконечной физико-химич. системы при условиях, отвечающих
координатам рассм. точки на диаграмме.
Фаз. переходы 1-го рода сопровожд. поглощением теплоты фаз.
перехода (кипение, плавление, возгонка) или выделением
теплоты фаз. перехода (конденсация, кристаллизация,
сублимация), при этом измен. молярные объёмы и энтропии вева.
Ур. Клап.-Клаузиуса:
𝒅𝑷
𝑳
=
L- удельная теплота фазового перехода, △V – измен.
𝒅𝑻
𝑻∆𝑽
удельного объёма тела при фаз. переходе
74. Фаза. Фазовый переход. Правило фаз Гиббса. Фазовый
переход 2-го рода. Фазовая диаграмма гелия
Фаза-термодинамически равновесное состояние в-ва,
отличающееся по физическим свойствам от других возможных
равновесных состояний того же в-ва. Под фазой можно
понимать агрегатное состояние. Фазовый переход- переход вва из одной фазы в другую, всегда связан с качественными
изменениями св-в в-ва.
Правило фаз Гиббса: определяет число фаз, которые могут
одновременно существовать в равновесии в ТД-системе. N<=K+2, где Кчисло компонентов смеси. Одновременно в равновесии м/б фаз: в
чистом в-ве(К=1) N<=3; в бинарном(К=2)N<=4; в тройном(К=3)
N<=5.если N<К+2, то f=K+2-N- число ТД-степеней свободы системы.
Фазовые переходы 2-ого рода: не требуют теплоты фаз перехода, не
изменяют объём и энтропию; скачкообразное изменение теплоемкости;
происходит незначительное перемещение атомов без большого
затрачивания энергии. Пример: появление сверхпроводимости в
металлах, превращение обыкновенного жидкого гелия в другую жидкую
модификацию, обладающую св-вами сверхтекучести.
Фазовая диаграмма гелия: гелий после своего сжижения остаётся
жидким при всех Т, вплоть до абсолютного 0. Кривые испарения и
плавления не пересекаются, нет тройной точки. Кривая плавления
пересекает ось давления при р= 2,5 МПа. Для отвердевания гелия
необходимы понижение температур и повышение давления. Эти явления
связаны с квантовыми процессами, движение атомов не прекращается
при Т=0. Только при низких температурах гелий является квантовой
жидкостью, которая не обязательно переходит в твердое состояние.
75. Явления переноса: внутреннее трение.
Внутреннее трение, или вязкость, связано с
возникновением сил трения между слоями газа или
жидкостями, перемещающимися параллельно друг другу с
разными по модулю скоростями. Силы трения, которые
возникают, направлены по касательной к поверхности
1
∂u
∂u
соприкасающихся слоёв. F = − nϑср mλcp ds = −η ds;
1
1
3
∂x
∂x
где η = nλcp mϑcp = ρϑcp λcp - коэффициент
3
3
динамической вязкости(сила на единицу площади при
единичном градиенте), [η] = 1Па ∗ с
ϑcp -скорость теплового движения молекул, λcp - средняя
длина свободного пробега молекул, ρ- плотность вва.
Коэффициент кинематической вязкости- ν =
η
ρ
[ν] =
1 Cтокс
Процесс направленного переноса количества
движения (связано с возникновением сил трения
между слоями) назыв. внутр. трением.
Явления (процессы), возникающие в газах при
отклонении их от равновесия, назыв. явл.
переноса.
76 Явления переноса: диффузия и
теплопроводность
Процесс установления внутри фаз равновесного
распределения концентрации газовых молекул ( а
также молекул жидких и твёрдых тел) назыв.
диффузией.
Процесс направленного переноса внутренней энергии
(выравнивание температуры), назыв.
теплопроводностью.
𝒅𝑻
𝒅𝑸 = −𝝀
𝒅𝑺𝒅𝒕 − уравнение теплопроводности
𝒅𝑿
𝒅𝒏
𝒅𝑺𝒅𝒕
𝒅𝑿
− уравнение диффузии (𝟏 − ый з. Фика)
𝒅𝑴 = −Д
𝒅𝒗
𝒅𝑭𝒅𝒕 = −𝜼
𝒅𝑺𝒅𝒕 − уравнение внутреннего трения
𝒅𝑿
𝝀- коэффициент теплопроводности
Д- коэфф. диффузии
η-коэфф. вязкости
dX – градиент вдоль направл. Х:
dT – температуры
dn- концентрации
dv- скорости
77. Капиллярные явления.
Капиллярные явления: физ. явл заключ. в способности жидкостей
изменять уровень в трубках, узких каналах произвольной формы, пористых
телах.
ℎ=
2𝜎𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑟0 𝜌𝑔
h- высота поднятия столба жидкости
𝛉- угол смачивания жидкостью стенки капилляра.
𝑟0 − радиус капилляра
При отсутствии смачивания уровень жидкости в капилляре опускается
на величину h.
Смачивание – физ. взаимодействие жидкости с пов. ТТ или другой
жидкости.