Определение подобных треугольников. Подобие вокруг нас

ДЕПАРТАМЕНТ СОЦИАЛЬНОЙ ПОЛИТИКИ АДМИНИСТРАЦИИ ГОРОДА
КУРГАНА
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГОРОДА
КУРГАНА
"СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 52"
(МОУ "СОШ № 52")
Алексеева ул., д.14, город Курган, 640023, телефон 8 (3522) 56-93-65, 56-96-22
ИНН 4501032603/КПП 450101001, E-mail - [email protected],
http//hde.kurganobl.ru/mou52/index_52.htm
Урок исследования
нового понятия с использованием ИКТ
по теме
«Определение подобных треугольников.
Подобие вокруг нас»
(геометрия, 8 класс)
г. Курган
Выполнила: Осипенко Марина Александровна, учитель математики, учитель
высшей квалификационной категории.
Тема: Определение подобных треугольников. Подобие вокруг нас.
Предмет: геометрия.
Класс: 8.
1
Форма урока: объяснение нового материала с применением ИКТ.
Оборудование: компьютер, презентация, лист заданий (тест на 2 варианта),
модель равностороннего треугольника из бумаги (для каждого ученика), модели
треугольников и квадратов на магнитах (по 16 шт.), две картины.
Межпредметные связи: живопись, история.
Используемые ресурсы: программа для презентаций, интернет – ресурсы.
Образовательный результат:
 пользоваться языком геометрии для описания подобных предметов
окружающего мира;
 распознавать подобные фигуры, различать взаимное расположение;
 изображать подобные фигуры; выполнять чертежи по условию задач;
осуществлять преобразования фигур;
 распознавать на чертежах, моделях и в окружающей обстановке подобные
геометрические фигуры, изображать их;
 решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства подобных
фигур и отношений между ними, применяя дополнительные построения и
алгебраический аппарат;
 проводить дополнительные рассуждения при решении задач, используя
известные теоремы, обнаруживая возможности для их использования.
План урока:
1. Мотивация к работе и постановка целей урока.
2. Актуализация знаний.
3. Первичное закрепление.
4. Закрепление.
5. Заключение.
6. Домашнее задание.
7. Рефлексия.
Цели: (для учителя):
 стимулирование познавательного интереса учащихся;
 активизация взаимодействия между учащимися и учителем, развитие навыков
работы;
 практическое применение знаний;
 развитие умственной деятельности, памяти, умения применять информационные
технологии для оформления работ и решения задач в соответствии с
современными требованиями.
Цели урока (для ученика):
 ученик должен убедить себя в том, что:
 может справиться с решением практических задач по геометрии;
 информационные технологии – инструмент для выполнения поставленных задач;
 хороший настрой – залог успеха;
 решать творческие задачи интереснее, чем стандартные;
Задачи урока:
Воспитательная:
 развитие познавательного интереса учащихся;
2
 развитие основ коммуникационного общения;
 развитие уверенности в собственных силах;
 возможность “найти себя”, “стать успешным”.
Учебная:
 актуализировать субъектный опыт учащихся;
 находить соответственные углы треугольников;
 находить сходственные стороны треугольников;
 доказывать подобие треугольников;
 находить коэффициент подобия;
 распознавать подобные треугольники и фигуры;
 практическое применение современных информационных технологий.
Развивающая:
 развитие приемов умственной деятельности (обобщение, анализ, синтез,
сравнение), памяти (лучше всего запоминается то, что связано с практическим
применением, преодолением затруднений);
 активная деятельность способствует лучшему усвоению материала.
Ход урока:
Мотивация к работе и постановка целей урока
В начале урока посетим картинную галерею, в частности музей Лувр в Париже..
Посмотрите на эти две картины (если нет картин, то можно использовать слайд №1)
кисти великого итальянского художника эпохи Возрождения Леонардо Да Винчи.
Что вы можете сказать о них? (они похожи, отличаются только размерами). Да,
действительно это так. Но, что бы сказал, глядя на эти картины ГЕОМЕТР? Давайте
выясним это. Проследим за ходом мыслей и действий ГЕОМЕТРА и поймем его, а для
этого рассмотрим знакомую нам фигуру - треугольник.
Геометр, сначала задал бы два вопроса (слайд 2):
1.
Равны ли соответствующие углы треугольников?
2.
Пропорциональны ли сходственные стороны треугольников?
Давайте и мы попытаемся на них ответить, по ходу рассуждений будем
знакомиться с новыми понятиями и определениями и повторим ранее изученное.
Итак, тема урока «Подобие треугольников. Подобие вокруг нас». Эпиграфом
урока послужат слова таджикского поэта и философа Омара Хаяма: «Мысль твоя - это
сути незримая нить» (слайд 3).
Давайте, проследим за ходом мыслей и действий ГЕОМЕТРА и перед вами стоят
следующие цели (слайд 4):
• Находить соответственные углы треугольников;
• Находить сходственные стороны треугольников;
• Доказывать подобие треугольников;
• Находить коэффициент подобия;
• Распознавать подобные треугольники и фигуры.
Напомним вопросы ГЕОМЕТРА (слайд 5):
1. Равны ли соответствующие углы треугольников?
2. Пропорциональны ли сходственные стороны треугольников?
3
Рассмотрим эти два треугольника (модели из картона). Путем наложения не трудно
выяснить, равны ли соответствующие углы (демонстрация). Но наложением, в
большенстве случаев, неудобно проверить равенство углов и на помощь приходят
правила, определения, свойства.
Актуализация знаний
Найдем углы треугольников (устная работа на слайде 6). Итак, нам помогли:
свойство углов равнобедренного треугольника, теорема о сумме углов треугольника,
признаки параллельности прямых.
Прежде, чем рассматривать стороны треугольников, давайте вспомним, а как мы
можем их найти? (устная работа на слайде 7). Нам помогли теорема Пифагора и
свойство катета, лежащего против угла в 300 .
Пропорциональны ли данные отрезки? (устная работа на слайде 8).
Ответим на первый вопрос ГЕОМЕТРА (слайд 9): равны ли соответственные углы
треугольников? У первой пары треугольников по их градусным мерам, у второй пары по обозначениям углов. Ответ: да.
Ответим на второй вопрос ГЕОМЕТРА: пропорциональны ли сходственные
стороны треугольников? Но, мы не знаем, какие стороны треугольников называются
сходственными.
Объяснение новой темы
Какие же стороны называются сходственными (слайд 10)?
• Назовите соответственно равные углы треугольников (см. слайд).
• Познакомимся с определением сходственных сторон (см. слайд).
• Сходственные стороны можно определить по записи соответственно равных углов
(см. слайд) или по рисунку, используя обозначения углов (см. слайд).
Выполните задание 1 на листе заданий (см. приложение).
Мы готовы ответить на второй вопрос ГЕОМЕТРА (слайд 11): пропорциональны ли
сходственные стороны треугольников? Для этого (работа на слайде):
• найдем сходственные стороны треугольников;
• составим отношение сходственных сторон;
• введем длины сторон;
• проверим пропорциональность сторон.
Ответ: да.
Итак, мы ответили на два вопроса, поставленные ГЕОМЕТРОМ (слайд 12).
Теперь мы должны узнать, что же это за треугольники. Прочитайте определение на
стр.139 учебника. Еще раз прочитаем и запомним его (работа на слайде).
 Какие условия вы выделяете для того чтобы треугольники были подобными?
 Число k названо коэффициентом подобия. А что это за число? Прочитайте на стр.
139 учебника.
Вернемся к рассмотренным треугольникам (слайд 13). Что вы скажите о данных
треугольниках и почему? (работа на слайде).
4
Выполните задание 2 и 3 на листе заданий.
Что показывает коэффициент подобия? (слайд 14).
Коэффициент подобия показывает:
• во сколько раз стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого
треугольника, если k>1;
• какую часть стороны одного треугольника составляют от сходственных сторон
другого треугольника, если 0<k<1.
Например: если к=2, то стороны первого треугольника больше в 2 раза сходственных
сторон второго; если к =1/2, то стороны первого треугольника составляют ½
сходственных сторон второго или в 2 раза меньше их. Что показывает k=3, k=1/4?
Вернемся к определению подобных треугольников. Выделим условие и заключение
данного определения (слайд 15).
Если поменять условие и заключение, будет ли определение верным? На
последующих уроках мы познакомимся с признаками подобия треугольников.
Первичное закрепление
Так, на какие вопросы сначала ответил бы ГЕОМЕТР, глядя на эти картины?
Ответим и мы. (Отмечаем, что соответственные углы равны. Один из учеников
измеряет ширину и длину картин, другой на МК находит коэффициент подобия.
Делаем вывод: картины подобны с k=0,55).
Решим задачу №541 на стр. 141 учебника (к доске пригашается один ученик,
остальные на местах и работают по плану на слайде 16, во время работы
закрепляются правила).
Итак, чтобы записать пропорциональность сторон подобных треугольников
(слайд 17), нужно:
• выяснить, при каких вершинах углы равны;
• определить, какие стороны являются сходственными;
• записать пропорцию, где в числителях – стороны одного треугольника, в
знаменателях – сходственные им стороны другого треугольника.
Гимнастика для глаз (слайд 18, по гиперссылке).
Выполним несколько заданий по конструированию (заставка - слайд 19. К
магнитной доске приглашаются два ученика: один работает с треугольниками, другой
с квадратами).
1. Составьте из деталей фигуру, сторона которой в 2 раза больше стороны детали.
a. Подобны ли, полученная фигура и деталь?
b. Чему равен коэффициент подобия?
c. Сколько деталей вам понадобилось?
2. Постройте подобную фигуру с коэффициентом подобия 3.
a. Сколько деталей вам понадобилось?
b. Во сколько раз его сторона больше стороны детали?
3. Постройте подобную фигуру из 16 деталей.
5
a. Чему равен коэффициент подобия?
4. Сколько понадобится фигур, чтобы построить подобную фигуру с коэффициентом
подобия 1/5, 1/10
5. Чему равен коэффициент подобия, если на фигуру пошло 64 детали?
Закрепление
Итак, повторим изученный материал (слайд 20) и ответим на дополнительные
вопросы.
Заполните пропуски в определениях (работа на слайде). Дополнительные вопросы:
1. Можно ли второе условие подобия заменить фразой «отношения
сходственных сторон треугольников должны быть равны»? (да)
2. Как называются стороны, к которым прилежат равные углы, в равных
треугольниках? (соответственные)
3. Каким термином можно заменить слово «отношение»? (частное)
Решите устно задачи: (работа на слайде 21)
1. Коэффициент подобия треугольников равен 1/3, сторона меньшего
треугольника равна 1,8. Чему равна сходственная сторона большего
треугольника?
2. Коэффициент подобия треугольников равен 3, сторона большего
треугольника равна 4,8. Чему равна сходственная сторона меньшего
треугольника?
3. Сходственные стороны треугольников соответственно равны 2,4 и 0,8. Чему
равен коэффициент подобия?
4. Коэффициент подобия треугольников равен 2. Один из углов, меньшего из
них, равен 220. Чему равен соответственный ему угол в большем
треугольнике?
Выполните задание 4 на листе заданий.
Подобие вокруг нас (слайд 22). ( Учащиеся работают на местах с моделями
треугольника, демонстрация работы на слайде 22).
1. Разделите треугольник на 4 равных треугольника. Закрасьте один из них
(центральный) в красный цвет
2. Оставшиеся белые треугольники тоже разделите на 4 равных треугольника.
Закрасьте один из треугольников в синий цвет.
3. Оставшиеся белые треугольники, аналогично, разделите на 4 равных
треугольника. Закрасьте один из них в желтый цвет.
Вопросы:
- Подобны ли построенные треугольники?
- Определите коэффициенты подобия следующих треугольников:
- синего и белого
- желтого и белого
Выполните задание 5 на листе заданий.
Построенный треугольник состоит из подобных ему треугольников (продолжение,
слайд 22). Фигуры, каждый элемент которой подобен себе, французский математик
6
Мандельброт назвал фракталами. Существуют фракталы, созданные ученными и
созданные природой.
Рассмотрим примеры различных фракталов (слайды 23 – 29).
Заключение
Два круга, две шара, две окружности два квадрата являются подобными фигурами
(слайд 30).
В жизни подобные фигура мы часто называем похожими. Почему пиратский
головной убор называют «треуголкой»? (Потому, что она похоже на треугольник).
Теория отношений и пропорций была создана древними греками (слайд 31).
Одинаковые по форме, но разные по величине фигуры встречаются в вавилонских и
египетских памятниках. Основным источником знаний о древнегреческой геометрии
является папирус Ринда, относящийся примерно к 1700 г. до н. э., из которого видно,
что то время люди уже знали и использовали подобные треугольники.
Еще Фалес Милетский (4 в. до н. э.) (слайд 32), находясь в Египте, вычислял
высоты пирамид, измеряя их тень и сравнивая с тенью стержня, взятого за единицу
длины, т.е. пользовался пропорцией.
Практическую геометрию изучали, отложив на время кисти и краски, величайшие
художники и теоретики искусства Леонардо да Винчи и Альбрехт Дюрер. Они
использовали геометрическую технику в приложении к теории пропорций и перспективы
в живописи, т.е. подобие (слайд 33).
Домашнее задание:
п. 57, №534, 542 придумать и нарисовать самоподобную фигуру, т.е. фрактал (слайд 34)
Рефлексия.
Перед вами были поставлены цели (слайд 35). Научился ли ты…
• Находить соответственные углы треугольников;
• Находить сходственные стороны треугольников;
• Доказывать подобие треугольников;
• Находить коэффициент подобия;
• Распознавать подобные треугольники и фигуры.
Определите степень их достижения по критериям: усвоил полностью, могу
применить; усвоил полностью, но затрудняюсь в применении; усвоил частично; не
усвоил (на доске заранее подготовлены критерии и каждый ученик ставит свою
метку).
Урок окончен (слайд 36).
7
Приложение 1. Презентация.
Приложение 2. Лист заданий.
Ф.И. _____________________
Задания -1 в.
Класс _______________________
1. Найдите сходственные стороны и составьте отношения сходственных сторон треугольников.
Ответ:
В
М
М
О
АВ и_____
ВС и ______
А
С
АС и_____
Р
---- = ----- = ----
2. Найдите коэффициент подобия в задании №1, если АС=17, МР=34.
Ответ: k =_______
3. Подобны ли треугольники?
16
Ответ:
60⁰
20
______(да, нет)
4
5
12
3
30⁰
4. Два треугольника подобны с коэффициентом подобия 2. Найдите сторону большего
треугольника, если сходственная сторона меньшего треугольника
равна 7, 6 см.
Ответ: ________
5.Используя модель, найдите коэффициент подобия треугольников
Ответ:
- красного и синего;
k =_____
- желтого и красного.
k = ____
8
Ф.И.________________________
Задания -2 в.
Класс_____________________
1. Найдите сходственные стороны и составьте отношения сходственных сторон треугольников.
Ответ:
В
М
О
АВ и _____
ВС и ______
А
С
АС и_____
---- = ----- = ---Р
2. Найдите коэффициент подобия в задании №1, если ВС=9 , МО =27.
Ответ: k =_______
3.Подобны ли треугольники?
Ответ:
12
15
______(да, нет)
4
30⁰
10
60⁰
5
3
4. Два треугольника подобны с коэффициентом подобия 3. Найдите сторону меньшего
треугольника, если сходственная сторона большего треугольника равна 10,8 см.
Ответ: ______
5. Используя модель, найдите коэффициент подобия треугольников
- красного и синего;
- желтого и синего.
Ответ:
k =_____
k =_____
9
1.
2.
3.
4.
5.
Используемая литература:
Геометрия: Учебник для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений/ЛС. Атанасян,
В.Ф. Бутусов, С.Б. Кадомцев и др.- 5-е изд.- М.: Просвещение, 2006.
Энциклопедический словарь юного математика.- М.: Педагогика, 1989.
С. С. Варданян. Задачи по планиметрии с практическим содержанием.- М.:
Просвещение, 1989.
Г. И. Кукарцева. Сборник задач по геометрии в рисунках и тестах, 7 – 9 класс. М.: Аквариум, 1998.
Глейзер Г.И. История математики в школе. – М.: Просвещение, 1983.
10