тесты по геометрииx

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
КУЗНЕЦКИЙ ТЕХНИКУМ СЕРВИСА И ДИЗАЙНА им. Волкова В.А.
КОМПЛЕКТ
ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ
ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ
Математика
по специальности СПО 100119 Флористика
Новокузнецк, 2013
1
Введение
В данной работе представлены тесты по двум разделам:
Радел №1 включает тему: «Векторы в пространстве. Метод координат в
пространстве»
Раздел №2 включает тему: « Многогранники. Тела вращения».
Второй раздел можно использовать для подготовки к ЕГЭ задания В9 и
В11.Тесты составлены в двух вариантах.
Тесты предназначены для контроля и оценки образовательных
достижений студентов, освоивших программу учебной дисциплины
«Математика».
Тесты разработаны на основании:
Федерального государственного образовательного стандарта (далее
– ФГОС) по специальности среднего профессионального образования
(далее СПО) 100119 Флористика
Программы учебной дисциплины «Математика» для специальности
СПО 100119 Флористика.
2
Содержание:
1. Ключи к тестам
5
2. Раздел1.
7
3. Тест по теме «Векторы в пространстве. Сложение и вычитание
векторов»
7
4. Тест по теме «Координаты точки и координаты вектора»
12
5. Тест по теме «Компланарные векторы»
17
6. Тест по теме «Скалярное произведение векторов»
21
7. Тест по теме «Прямоугольный параллелепипед»
26
8. Тест по теме «Тетраэдр и параллелепипед»
31
9. Тест по теме «Призма»
36
10. Тест по теме «Пирамида»
41
11. Тест по теме «Цилиндр»
46
12. Тест по теме «Конус»
49
13. Список литературы
52
3
Ключи к тестам:
Раздел №1
Тест по теме: « Векторы в пространстве. Сложение и вычитание векторов.
Умножение векторов на число».
№ п/п
вариант
1
2
А1
А2
А3
А4
А5
А6
А7
А8
А9
В1
2
1
3
3
3
3
2
2
3
AC
1
2
1
1
3
1
2
1
2
B1 D


Тест по теме: « Координаты точки и координаты вектора»
№ п/п
вариа
нт
1
А
1
А
2
А
3
А
4
А
5
А
6
А А А В1
7 8 9
1
3
3
1
3
1
1
1
1
3
1
3
3
1
1
1
В2
В В4
3
(0;0; 2;3;  2
(2;2;
3
5)
0)
(–
(–
{-1;2 1;0;0
5 1;0;
1;6}
)
1)
2
2
Тест по теме: « Компланарные векторы»
№ п/п
А1 А2 А3 А4 А5 А6 А7 А8 В1
вариант
комп.
1
1 1 1 2 2 3 3 2
2
1
2
3
1
2
2
1
1
В2
не
комп.
не
комп.
комп.
В3
4
3
Тест по теме: «Скалярное произведение векторов»
№ п/п
вариант
1
2
А1
А2
А3
А4
В1
В2
В3
В4
В5
2
1
3
2
1
2
2
1
7
3
0;-1
2;-1
-4
-0,5
120⁰
60⁰
0,7
0,7
4
В5
8;8; 4
3;6; 3
Раздел №2
Тест по теме: « Прямоугольный параллелепипед»
№ п/п
1
вариант
1
3
2
3
4
5
6
7
8
В1
3
3
2
1
1
2
2
180 6
45°
2
1
2
3
3
2
1
3
14
6
5
В1
В2
В3
В4
7,5 4√3 12
1,5 2√3 6
64
56
2
В2
В3
Тест по теме: « Тетраэдр и параллелепипед»
№ п/п
А1
вариант
1
2
2
2
А2
А3
А4
А5
А6
А7
А8
2
3
3
3
3
3
2
3
2
3
2
1
1
1
Тест по теме: « Призма»
№ п/п
вариант
1
2
А1
А2
А3
А4
А5
А6
А7
В1
В2
В3
1
3
3
3
1
1
2
22
90°
4
3
2
3
3
1
2
2
9
32
2
Тест по теме: « Пирамида»
№ п/п
А1
вариант
1
2
2
1
А2
А3
А4
А5
А6
А7
А8
В1
В2
В3
В4
3
2
3
3
2
1
1
3
12
6
2
2
3
2
2
3
1
5
16УГ
10УГ
3
6
Тест по теме: «Цилиндр»
№ п/п
вариант
1
2
1
2
3
4
5
6
7
8
1
3
1
3
1
2
1
1
2
1
1
2
3
3
1
2
5
Тест по теме: «Конус»
№ п/п
вариант
1
2
1
2
3
4
5
6
7
8
2
2
1
1
3
3
3
2
2
1
3
1
3
3
2
3
6
РАДЕЛ №1
ТЕСТ ПО ТЕМЕ: «ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ.
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ.
УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО»
Вариант №1
Уровень А
1. Какое утверждение неверное?
1) Любые два противоположно направленных вектора коллинеарны.
2) Любые два коллинеарных вектора сонаправлены.
3) Любые два равных вектора коллинеарны.


2. Даны точки А, В, С, D, K. Известно, что BC  k  DK ,




AC  z  CD,

AK  x  AB  y  AC .
Тогда неверно, что…
1) все точки лежат в одной плоскости;
2) прямые ВС и DK параллельны;
3) точки А, С и D не лежат на одной прямой.
3. Какое утверждение неверное?
1) Длины противоположных векторов не могут быть неравны.
2) Если длины векторов неравны, то и векторы неравны.
3) Если длины векторов равны, то и векторы равны.


4. AB  k  CD, причём точки А, В и С не лежат на одной прямой. Прямые
АС и BD не могут быть…
1) параллельными;
2) пересекающимися;
3) скрещивающимися.
5. ABCA1B1C1 – правильная призма. A1F = FB1, B1K = KC1.
Какое утверждение неверное?

1)
KF  

2)
1 
AC .
2

| AF |  | BK | .
7


3) AF  BK .
6. ABCA1B1C1 – правильная призма. CE = EC1, BF = FB1, FM = MB1,
AD : DC = 3 : 1.
Какое утверждение верное?

1)

DM  EB1 .


2) FC  DM .

3)

EB1  FC .

7. ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед. AD  …


1) BB1  DC1;




2)
D1C1  DC1  D1 A1  BB1 ;
3)
AB1  BC  BA  CC1 .










8. Векторы AC1  AC A1C1 и A1 A  CB  AB являются…
1) равными;
2) противоположными;
3) сонаправленными.




9. DABC – тетраэдр. AC  AB  x  CD.
Тогда

x …
8

1) DA;

2) BC ;

3) DB .
Уровень В
1. ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед.






Тогда AC  BB1  BA  D1B  B1D1  DC  …
Вариант №2
Уровень А
1. Какое утверждение верное?
1) Любые два сонаправленных вектора коллинеарны.
2) Любые два коллинеарных вектора противоположно направлены.
3) Любые два коллинеарных вектора равны.
2. Какое утверждение верное?














1) Если a  b , b  c , то a  c .
2) Если a  b , b  c , то a  c .

3) Существуют векторы

c

a, b
и
c
такие, что

a
и

c

не коллинеарны, а a и b коллинеарны.
3. Какое утверждение неверное?
1) Если длины векторов равны, то и векторы равны.
2) Если векторы равны, то их длины равны.
3) Длины противоположных векторов равны.
9

не коллинеарны, b и


4. AB  k  CD, причём точки А, В и С не лежат на одной прямой. Прямые
АС и BD являются параллельными, если…
1) k = 1;
2) k = –1;
3) k = 3.
5. ABCA1B1C1 – правильная призма. A1F = FB1, B1E = EC1. Какое
утверждение неверное?

1)
FE 
1 
CA .
2


2)
| FB |  | EC | .
3)
FB || EC .


6. FABCD – правильная пирамида. AC  BD  O, FE = EC, EN = NC, OP =
PD. Какое утверждение верное?




1) AF  OE .
2) OE  NP .


3) NP  AF .
7. ABCA1B1C1 – призма.

CA  …
10








1) AA1  AB  B1C;
2) AA1  AB  BC1;

3) AA1  CA  BB1 .






8. Векторы – MN  MK  AK и DC  DA  NC являются…
1) противоположными;
2) равными;
3) сонаправленными.
9. DABC – тетраэдр.




CD  x  DB  AC …

1) BA;

2) AB;

3) BC .
Уровень В
1. ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед.






Тогда B1D1  C1C  C1B  AC1  CA  A1D1 
11
Тест по теме: «Координаты точки и координаты вектора»
Вариант №1
Уровень А
1. Точка M (–2; 3; –7) находится от плоскости XOY на расстоянии,
равном…
1) 7;
2) 2;
3) 3.





2. m  2 i  j  k . Тогда вектор m имеет координаты…

1) m  2; 1; 1 ;

2) m   2; 1; 1 ;

3)
m

2; 1; 1 .



3. a 1; 2;  3 , b   3; 2; 1 , c   3;  6; 9 . Тогда коллинеарными будут
векторы…


1) a и b ;


2) b и c ;


3) a и c .

4. Первая и третья координаты ненулевого вектора a равны нулю. Тогда
неверно, что…

1) a || OX ;

2) a  OZ ;

3) a  (XOZ ).

5. Первая координата ненулевого вектора AB равна нулю. Тогда неверно,
что…

1) AB  OX ;
12

2) AB OZ ;

3) AB || OY .
6. А (1; 2; 3), В (1; 5; 4), С (4; 5; 3). Тогда верно, что…

1) BC  OY ;

2) AC || OZ ;

3) AB || ( ZOY ).
7. Ордината точки А равна 3, ордината точки В равна 6. Длина отрезка АВ
равна 3. Тогда прямая АВ и ось OY…
1) параллельны;
2) перпендикулярны;
3) скрещиваются.

8. M (x1; y1; z1), K (x2; y2; z2). Тогда координаты вектора KM равны…
1)  x1  x2 ; y1  y2 ; z1  z 2 ;
2)  x2  x1 ; y2  y1 ; z 2  z1 ;
 x1  x2 y1  y2 z1  z 2 
;
;

.
2
2
2


3)

9. a  m; n; k . Тогда верно, что…

1) | a |  m  n  k ;

2
2
2
2) | a |  m  n  k ;

3) | a |  m n k .
Уровень В
1. Дана точка А (–1; 2; 5). Тогда координаты точки – проекции точки А на
ось OZ равны…

2. Даны точки M (–1; 2; 3) и В (1; –1; 5). Тогда координаты вектора BM
равны…

3. А (–1; 0; 2), В (1; –2; 3). Тогда | AB |  …
13
4. ABCD – параллелограмм,
координаты точки D равны…

5. Вектор a
AC  BD  O.
В (–2; 1; 0), О (0; 1,5; 0). Тогда

сонаправлен с вектором b   2; 2; 1 ,

| a |  12. Тогда

координаты вектора a равны…
Вариант №2
Уровень А
1. Точка А (–1; 2; –3) находится от плоскости YOZ на расстоянии,
равном…
1) 1;
2) 2;
3) 3.

2.



a  i  j 3k .

Тогда вектор a имеет координаты…

1) a 1; 1; 3 ;

2) a   1; 1;  3 ;

3) a 1;  1; 3 .
3. Координаты равных векторов…
1) равны;
2) противоположны;
1) пропорциональны.

4. Первая и вторая координаты ненулевого вектора a равны нулю. Тогда
верно, что…

1) a || ( XOZ );

2) a || OX ;

3) a  OY .

5. Третья координата ненулевого вектора AB равна нулю. Тогда неверно,
что…
14
1) AB  OZ ;
2) AB || (YOZ );
3) AB  OX .
6. А (2; 3; 4), В (2; 5; 6), С (5; 3; 6). Тогда верно, что…
1) AB || ( ZOY );
2) AC  (ZOY );
3) BC  ( XOY ).
7. Абсцисса точки А равна 3, абсцисса точки В равна 6. Длина отрезка АВ
равна 3. Тогда прямая АВ и ось OX…
1) параллельны;
2) пересекаются;
3) скрещиваются.

8. M (x1; y1; z1), K (x2; y2; z2). Тогда длина вектора KM равна…
1)
( x1  x2 ) 2  ( y1  y2 ) 2  ( z1  z2 ) 2 ;
2)
( x1  x2 ) 2  ( y1  y2 ) 2  ( z1  z2 ) 2 ;
3)
( x1  y1  z1 ) 2  ( x2  y2  z 2 ) 2 .
9. A (x1; y1; z1), B (x2; y2; z2). Тогда координаты точки – середины отрезка
АВ равны…
1) ( x2  x1 ; y2  y1 ; z 2  z1 );
 x1  x2 y1  y2 z1  z 2 
;
;

;
2
2 
2)  2
 x1  x2 y1  y2 z1  z 2 
;
;

.
3
3 
3)  3
Уровень В
1. Дана точка А (–1; 2; 5). Тогда координаты точки – проекции точки А на
плоскость OYZ равны…

2. Даны точки K (2; –1; –3) и M (1; –2; 3). Тогда координаты вектора KM
равны…
15

3. А (7; 1; –5), В (4; –3; –5). Тогда | AB |  …
4. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О. А (1; 3; –
1), О (0; 1,5; 0). Тогда координаты точки С равны…


5. Вектор m противоположно направлен вектору k   1; 2; 1 , | m |  3 6.


Тогда координаты вектора
k равны…
16
ТЕСТ ПО ТЕМЕ: «КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ»
Вариант №1
Уровень А
1. Какое утверждение верное?
1) Любые два вектора компланарны.
2) Любые три вектора компланарны.
3) Три нулевых вектора компланарны.
2. Какое утверждение верное?
1) Если один из трёх векторов нулевой, то векторы компланарны.
2) Если векторы компланарны, то один из них нулевой.
3) Если векторы компланарны, то они равны.
–
3. ABCDA1B1C1D1
векторы…








параллелепипед.
Являются
1) AD, BA и D1 C1 ;
2) BD, DB1 и AC;

3) DB1 , AB и DD1 .
4. Известно, что



2 AM  3 AB  AC .



Тогда векторы AM , AB и AC являются…
1) коллинеарными;
2) компланарными;
3) некомпланарными.



5. Векторы a , b и c некомпланарны, если…



1) a  m  b  n  c ;
17
компланарными






2) p  x  a  y  b  z  c ;

3) c  k  a  l b .
6. DABC – тетраэдр. О – точка пересечения медиан грани ABD.



AC  BC  DC  …
Тогда
1)
1 
OC ;
3
2)
3 CO ;
3)
 3 CO .


7. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке M. Точка О –
произвольная точка пространства.





OM  k (OA  OB  OC  OD). Тогда k = …
1
1)
2
2) 2
1
3)
4
8. Какое утверждение неверное?
1) Коллинеарные векторы компланарны.
18
2) Если векторы компланарны, то они коллинеарны.
3) Векторы компланарны, если имеются равные им векторы, лежащие в
одной плоскости.
Уровень В




1. Векторы a , b , a  b …
2. Точки А, В и С лежат на окружности, а точка О не лежит в плоскости

этой окружности. Тогда векторы

OA, OB
и

OC …
3. ABCDA1B1C1D1 – прямой параллелепипед, AA1  2 2 см. ABCD –



квадрат, АВ = 2 см. Тогда | AB  AD  AA1 |  …
Вариант №2
Уровень А
1. Какое утверждение верное?
1) Любые два вектора не могут не быть компланарными.
2) Любые три вектора некомпланарны.
3) Только нулевые три вектора компланарны.
2. Какое утверждение неверное?
1) Три вектора компланарны, если любые два из них коллинеарны.
2) Если векторы компланарны, то любые два из них коллинеарны.
3) Любые три равных вектора компланарны.
3. FABCD – пирамида. ABCD – параллелограмм.
Не являются компланарными векторы…



1) OF , BO и DF ;



2) AB, CD и OD;
19



3) BF , FO и AD .



4. AC  x  AB  y  AD. Тогда прямые АС и BD…
1) пересекаются;
2) скрещиваются;
3) параллельные.



5. Векторы a , b и c некомпланарны, если…



1) b  m  a  n  c ;




2) p  k  a  l  b  d  c ;



3) с  x  a  y  b .
6. DABC – тетраэдр. О – точка пересечения медиан грани BDC. Тогда

OA  …
1)



1 
( AD  AB  AC );
2


1 
( AK  AN  AM );
2) 3
3)



1 
( AD  AB  AC ).
3
7. Точки M, N, P, K – середины сторон четырёхугольника ABCD.
MP  NK  F . Точка О – произвольная точка пространства.

Тогда OF  …
20
1)



1 
(OM  ON  OP  OK );
4
2)



1 
(OA  OB  OC  OD);
4

3)



4 (OM  ON  OP  OK ).
8. Какое утверждение неверное?
1) Прямые, содержащие компланарные векторы, лежат в одной плоскости.
2) Если векторы лежат в одной плоскости, то они компланарны.





3) Если вектор c можно разложить по векторам a и b , то векторы a , b

и c компланарны.
Уровень В




1. Известно, что векторы a , b и c компланарны. Тогда векторы 2 a ,




a  b, a  3 c …
2. Точки А, В и С не лежат на одной прямой, а точка О не лежит



в плоскости (АВС). Тогда векторы OA, OB и OC …
3. ABCDA1B1C1D1 – куб. АВ =


3 см.

Тогда | AB  AD  AA1 |  …
21
Тест по теме: «Скалярное произведение векторов»
Вариант №1
Уровень А




1. a  b  0. Тогда угол между векторами a и b …
1) острый;
2) тупой;
3) прямой.
2. DABC – тетраэдр, AB = BC = AC = AD = BD = CD.
Тогда неверно, что…






1)  ( AB; DC )  90;
2)  ( BD; CD)  60;
3)  ( AD; BA)  60.
3. Какое утверждение верное?












1) a b  | a |  | b |  cos ( a , b ).


2) a b  | a |  | b |  sin ( a , b ).




3) | a |  | b |  a b  cos ( a , b ).


4. Скалярное произведение векторов a  a1 ; a2 ; a3  и b  b1 ; b2 ; b3  равно…
1) a1a2a3 + b1b2b3;
2) a1b1 + a2b2 + a3b3;
3) a1b2b3 + b1a2b3 + b1b2a3
22
Уровень В


1. Скалярное произведение векторов a   2; 1; 3  и b   4; 2;  1  равно…




2. a  b , a 1;  2; 4m , b  2; 2m  1;  m . Тогда m = …
3. В правильной четырёхугольной пирамиде FABCD все рёбра равны по 2 см.


Тогда FA  AC  …



4. Угол между векторами j и a 1;  1; 2
 равен…
5. Даны координаты точек:
А (1; –1; –4), В (–3; –1; 0), С (–1; 2; 5), D (2; –3; 1).
Тогда косинус угла между прямыми АВ и CD равен…
Вариант №2




1. a  b  0. Тогда угол между векторами a и b …
1) острый;
2) тупой;
3) прямой.
2. ABCA1B1C1 – призма,  A1 AC   A1 AB, AB = BC = AC = AA1. Тогда
верно, что…
23






1)  (CB1 , CB)  90;
2)  ( AA1 , CB)  90;
3)  ( AB; CA)  60.
3. Какое утверждение верное?




cos ( a , b ) 

|a||b|


ab
cos ( a , b ) 
.
ab
1)




.
|a||b|
2)

 
ab
sin ( a , b ) 


.
| a || b |
3)


4. Скалярное произведение векторов m  m1; m2 ; m3  и n  n1; n2 ; n3  равно…
1) m1n1 + m2n2 + m3n3;
2) (n1 – m1)2 + (n2 – m2)2 + (n3 – m3)2;
3) m1m2m3 + n1n2n3.
Уровень В


1. Скалярное произведение векторов a  3; 7;  2  и b   1; 2; 4  равно…


2. a  b , a  n;  2; 1 , b  n; 1;  n . Тогда n = …


3. Все рёбра тетраэдра равны по 2 см. M, N, K, P – середины рёбер CD, BC,
AB и BD соответственно.


Тогда NM  PK  …
24




4. Угол между векторами i и a 1;  1; 2 равен…
5. Даны координаты точек:
С (3; –2; 1), D (–1; 2; 1), M (2; –3; 3), N (–1; 1; –2).
Тогда косинус угла между прямыми CD и MN равен…
25
Раздел №2
ТЕСТ ПО ТЕМЕ: «ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД»
Вариант №1
Уровень А
1. Развёрткой прямоугольного параллелепипеда является фигура под
номером…
2. ABCD – квадрат, AA1  ( ABC ). АВ = m, СС1 = n.
Тогда верно, что…
2
2
1) BD1  2n  m ;
2) S бок  6 mn ;
2
3) Sпол  2m  4mn.
3. Все шесть граней прямоугольники …
1) у наклонного параллелепипеда;
2) прямого параллелепипеда;
3) прямоугольного параллелепипеда.
4. В прямоугольном параллелепипеде неверно, что…
26
1) диагонали параллелепипеда равны;
2) диагонали всех боковых граней равны;
3) диагонали оснований равны.
5. ABCDA1B1C1D1 – куб.
DB1 = d.
Тогда площадь полной поверхности куба равна…
1) 2d2;
2) 3d2;
3) 6d2.
6. ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед.
Тогда неверно, что…
1) DB1  A1 B1 ;
2) DC1  B1C1 ;
3) AC  BB1 .
7. Какое утверждение неверное?
1) Куб – это прямоугольный параллелепипед с равными рёбрами.
2) Если в параллелепипеде все рёбра равны, то он является кубом.
3) Не могут боковые грани куба быть не квадратами.
8. Угол между диагональю B1D прямоугольного параллелепипеда
ABCDA1B1C1D1 и плоскостью (DCC1) – это угол…
27
1) B1DC;
2) B1DC1;
3) B1DB.
Уровень B
1. Измерения прямоугольного параллелепипед равны 6 см, 8 см и 3 см.
Тогда площадь полной поверхности параллелепипеда равна…
2. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны
Тогда длина диагонали параллелепипеда равна…
2 см, 3 см и 5 см.
3. ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед.
АВ = 7 см, ВС = 24 см, АА1 = 25 см.
Тогда угол наклона диагонали параллелепипеда к плоскости основания
равен…
Вариант №2
Уровень А
1. Не является развёрткой прямоугольного параллелепипеда фигура под
номером…
2. ABCDA1B1C1D1 – куб.
АВ = m, DB1 = n.
Тогда верно, что…
28
m
1)
3
n;
3
3
2) n  m 3;
3) n 
3m .
3. Четыре грани – прямоугольники, а две – параллелограммы…
1) у наклонного параллелепипеда;
2) прямого параллелепипеда;
3) прямоугольного параллелепипеда.
4. Только в прямоугольном параллелепипеде верно, что…
1) противоположные грани равны и параллельны;
2) диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам;
3) диагонали равны.
5. Какое предложение верное?
1) Всякие два диагональных сечения прямоугольного параллелепипеда
пересекаются по его диагоналям.
2) В прямоугольном параллелепипеде все диагональные сечения равны.
3) В прямоугольном параллелепипеде все диагональные сечения –
прямоугольники.
6. ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед.
Тогда неверно, что…
1) A1 D  A1 B1 ;
29
2) BB1  A1 D;
3) BB1  AC .
7. Какое утверждение верное?
1) Не могут боковые грани прямоугольного параллелепипеда быть не
прямоугольниками.
2) Прямоугольный параллелепипед – это куб.
3) Боковыми гранями куба не могут быть прямоугольники с равными
смежными сторонами.
8. Угол между диагональю B1D прямоугольного
ABCDA1B1C1D1 и плоскостью (АВВ1) – это угол…
параллелепипеда
1) B1DB;
2) B1DA1;
3) AB1D.
Уровень B
1. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 6 см, 4 см и 12 см.
Тогда диагональ параллелепипеда равна…
2. Длина диагонали куба равна 6 3 см.
Тогда длина ребра куба равна…
3. ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед. АВ = 3 см, ВС = 4
см. Угол наклона диагонали параллелепипеда к плоскости основания равен
45°.
Тогда длина бокового ребра равна…
30
ТЕСТ ПО ТЕМЕ: «ТЕТРАЭДР И ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД»
Вариант №1
Уровень А
1. ABCD – тетраэдр. Тогда не являются противоположными рёбра…
1) AD и BC;
2) AC и DC;
3) AB и DC.
2. 12 – это число…
1) вершин параллелепипеда;
2) рёбер параллелепипеда;
3) граней параллелепипеда.
3. Какое предложение неверное?
1) Противоположные рёбра параллелепипеда параллельны и равны.
2) Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
3) Диагонали параллелепипеда равны.
4. Диагональным сечением параллелепипеда не может быть…
1) прямоугольник;
2) ромб;
3) трапеция.
5. Не существует тетраэдра, у которого…
1) все грани равные равносторонние треугольники;
2) все грани прямоугольные треугольники;
3) сумма градусных мер углов при одной вершине 360°.
6. Существует параллелепипед, у которого…
1) все углы граней острые;
2) все углы граней прямые;
3) число всех острых углов граней не равно числу всех тупых углов
граней.
7. ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед. Точки N и Р – середины рёбер AD и
CD соответственно, NP   .
Сечением параллелепипеда плоскостью  является треугольник. Тогда
плоскость  пересекает ребро…
31
1) BB1;
2) DD1;
3) A1B1.
8. DABC – тетраэдр. Точки M и N – середины рёбер основания АВ и АС
соответственно, MN   .
Сечение тетраэдра плоскостью  является четырёхугольник. Тогда
плоскость  параллельна…
1) ребру AD;
2) ребру BD;
3) грани BCD.
Уровень В
1. Треугольник со сторонами 13 см, 12 см и 5 см согнули по его средним
линиям и получили модель тетраэдра. Тогда площадь каждой грани
тетраэдра равна…
2. В тетраэдре DABC углы DBC, DBA и ABC равны по 60º,
DB = AB = BC = 4 см. Тогда площадь грани ADC равна…
32
3. В тетраэдре DABC все рёбра равны по 8 см. Точки M, N и K – середины
рёбер AD, AB и CB соответственно. Тогда периметр сечения тетраэдра
плоскостью MNK равен…
4. Три ребра параллелепипеда равны 3 см, 5 см и 8 см. Тогда сумма длин
всех его рёбер равна…
Вариант №2
Уровень А
1. ABCD – тетраэдр. Тогда противоположными являются рёбра…
1) AC и ВС;
2) АВ и DC;
3) DB и DC.
2. 6 – это число…
1) вершин тетраэдра;
2) граней тетраэдра;
3) рёбер тетраэдра.
3. Какое предложение неверное?
1) Диагональным сечением параллелепипеда называется сечение
параллелепипеда плоскостью, проходящей через его диагонали.
2) Диагональным сечением параллелепипеда является параллелограмм.
3) Диагональные сечения параллелепипеда – равные параллелограммы.
4. Существует параллелепипед, у которого…
1) только одна грань – прямоугольник;
2) только две смежные грани – ромбы;
3) только две противоположные грани – ромбы.
5. Развёрткой тетраэдра является фигура под номером…
6. Не является развёрткой параллелепипеда фигур под номером…
33
7. ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед. Точки M и K – середины рёбер AB и
AD соответственно, MK   . Сечением параллелепипеда плоскостью 
является четырёхугольник. Тогда плоскость  не пересекает ребро…
1) СС1;
2) DD1;
3) A1B1
8. DABC – тетраэдр. Точки M и N – середины основания AB и BC
соответственно, MN   . Сечением тетраэдра плоскостью  является
треугольник. Тогда плоскость  не может быть параллельна…
1) ребру BD;
2) грани ADC;
3) высоте тетраэдра.
.
34
Уровень B
1. Треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см согнули по его средним
линиям и получили модель тетраэдра. Тогда площадь каждой грани
тетраэдра равна…
2. В тетраэдре DABC углы DBC, DBA и АВС прямые, DB = AB = BC = 2 см.
Тогда площадь грани ADC равна…
3. Дан тетраэдр DABC, все рёбра которого равны по 4 см. Точки M, N и K
– середины рёбер АВ, АС и CD соответственно. Тогда периметр сечения
тетраэдра плоскостью MNK равен…
4. Три ребра параллелепипеда равны 3 см, 4 см и 7 см. Тогда сумма длин
всех его рёбер равна…
35
ТЕСТ ПО ТЕМЕ: « ПРИЗМА»
Вариант №1
Уровень A
1. Призма изображена на рисунке…
2. 6 – это число…
1) вершин шестиугольной призмы;
2) рёбер треугольной призмы;
3) граней четырёхугольной призмы.
3. Не существует призмы, у которой все грани…
1) ромбы;
2) прямоугольники;
3) треугольники.
4. Существует призма, которая имеет…
1) 13 рёбер;
2) 14 рёбер;
3) 15 рёбер.
5. ABCA1B1C1 – наклонная призма.  A1 AC   A1 AB.
Тогда СС1B1B не может быть…
1) ромбом;
2) квадратом;
3) прямоугольником.
36
6. ABCDA1B1C1D1 – прямой параллелепипед.  B1 DM – угол между
диагональю DB1 и плоскостью DD1C1.
Тогда ABCD –
1) ромб;
2) квадрат;
3) прямоугольник.
7. Развёрткой наклонной призмы является фигура под номером…
Уровень B
1. В правильной четырёхугольной призме площадь основания равна 144
см2, а высота равна 14 см. Тогда длина диагонали этой призмы…
2. ABCA1B1C1 – правильная призма. A1M = MB1.
Тогда  C1MB  …
1
3. ABCA1B1C1 – прямая призма, АА1 = 6 см. АС = 12 см, sin ∠АСК =
8
Тогда тангенс угла между плоскостями АВС и А1ВС равен…
37
Вариант №2
Уровень А
1. Призма изображена на рисунке…
2. 9 – это число…
1) вершин девятиугольной призмы;
2) рёбер треугольной призмы;
3) граней четырёхугольной призмы.
3. Не существует призмы, у которой все грани…
1) ромбы;
2) квадраты;
3) трапеции.
4. Число рёбер призмы кратно… 1) 5;
2) 2; 3) 3
5. ABCDA1B1C1D1 – наклонный параллелепипед.  A1 AD   A1 AB.
A1O  ( ABC ). O  биссектрисе AK. Тогда ABCD…
1) прямоугольник;
2) ромб:
3) квадрат.
38
6. ABCA1B1C1 – правильная призма. Тогда угол между BC1 и плоскостью
АВВ1 – это…
1)  B1 BC1 ;
2)  MBC1 ;
3)  BC1 A1.
7. Не является развёрткой правильной призмы фигура под номером…
Уровень В
1. Диагональ основания правильной четырёхугольной призмы равна 8 см,
а диагональ боковой грани – 7 см. Тогда диагональ призмы равна…
2. Все рёбра наклонной треугольной призмы равны по 4 см. Боковое ребро
АА1 составляет с рёбрами оснований углы по 30°.
Тогда площадь боковой поверхности равна…
39
3. ABCDA1B1C1D1 – прямая призма, АА1 = 6 см. ABCD – параллелограмм,
AB  2 3 см,  ABC  60.
Тогда тангенс угла между плоскостями АВС и АВ1С1 равен…
40
ТЕСТ ПО ТЕМЕ: «ПИРАМИДА»
Вариант №1
Уровень А
1. Многогранник, не являющийся пирамидой, изображён на рисунке…
2. 8 – это число…
1) вершин восьмиугольной пирамиды;
2) граней треугольной пирамиды;
3) рёбер четырёхугольной пирамиды.
3. Какое утверждение неверное?
1) Вершина правильной пирамиды проецируется в центр вписанной в
основание окружности.
2) Если вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание
окружности, то пирамида правильная.
3) В основании правильной пирамиды лежит правильный n-угольник.
4. Неверно, что…
1) апофема – это высота боковой грани;
2) апофема не может совпадать с высотой пирамиды;
3) апофемы всех боковых граней пирамиды равны.
5. Не существует четырёхугольной пирамиды, у которой…
1) все боковые грани – равные равнобедренные прямоугольные
треугольники;
2) все грани – равносторонние треугольники;
3) противоположные боковые грани перпендикулярны плоскости
основания.
6. Если вершина пирамиды проецируется в центр описанной около
основания окружности, то равны…
41
1) апофемы;
2) углы наклона боковых рёбер к плоскости основания;
3) двугранные углы при рёбрах основания.
7. Если вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание
окружности, то равны…
1) апофемы;
2) боковые рёбра;
3) углы наклона боковых рёбер к плоскости основания.
8. FABCD – пирамида, FO  (ABC ), FA = FB = FC = FD. Тогда ABCD не
может быть…
1) ромбом;
2) квадратом;
3) прямоугольником.
Уровень В
1. Боковые рёбра треугольной пирамиды равны 3 см, 4 см и 7 см. Одно из
них перпендикулярно плоскости основания. Тогда высота пирамиды равна…
2. В основании пирамиды, которая имеет 32 ребра, лежит…
3. DABC – пирамида, AD  ( ABC ).  ACB  90, АВ = 13 см, CВ = 5 см.
 ( ABCD )  45 . Тогда высота пирамиды равна…
4. DABC – пирамида, ( ABC )  ( ABD ). AB = BC = AC = AD = BD = 2 6 см.
Тогда длина наибольшего ребра равна…
42
Вариант №2
Уровень А
1. Пирамида изображена на рисунке…
2. 6 – это число…
1) вершин шестиугольной пирамиды;
2) рёбер треугольной пирамиды;
3) граней четырёхугольной пирамиды.
3. Какое утверждение неверное?
1) В основании правильной пирамиды лежит правильный n-угольник.
2) Если в основании пирамиды лежит правильный n-угольник, то
пирамида правильная.
3) Вершина правильной пирамиды проецируется в центр описанной около
основания окружности.
1
4. По формуле 𝑆бок = 𝑃осн ∙ 𝑙апоф можно найти площадь боковой
2
поверхности пирамиды, изображённой на рисунке…
43
5. Число рёбер пирамиды кратно…
1) 5;
2) 2;
3) 3.
6. Если вершина пирамиды проецируется в центр описанной около
основания окружности, то равны…
1) апофемы;
2) боковые рёбра;
3) двугранные углы при рёбрах основания.
7. Если вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание
окружности, то равны…
1) боковые рёбра;
2) углы наклона боковых рёбер к плоскости основания;
3) двугранные углы при рёбрах основания.
8. FABCD – пирамида. FO  ( ABC ),  FAO   FBO   FCO   FDO.
Тогда ABCD не может быть…
1) ромбом;
2) квадратом;
3) прямоугольником.
Уровень В
1. Боковые рёбра треугольной пирамиды равны 5 см, 12 см и 7 см. Одно из
них перпендикулярно плоскости основания.
44
Тогда высота пирамиды равна…
2. Основанием пирамиды, имеющей 20 рёбер, является…
3. FABCD – пирамида, BF  ( ABC ). ABCD – квадрат, AB  3 3 см.
 ( ADCF )  30 .
Тогда высота пирамиды равна…
4. DABC – пирамида, ( ABC )  ( ABD ).
Треугольники АВС и ABD равносторонние. Длина наибольшего ребра
равна 3 6 см.
Тогда длина ребра основания равна…
45
ТЕСТ ПО ТЕМЕ: «ЦИЛИНДР»
Вариант №1
1. Цилиндр нельзя получить вращением…
1) треугольника вокруг одной из сторон;
2) квадрата вокруг одной из сторон;
3) прямоугольника вокруг одной из сторон.
2. Площадь боковой поверхности цилиндра можно вычислить по
формуле…
1) S бок  2 RH ;
2
2) Sбок   R H ;
3) S бок   RH .
3. Сечением цилиндра плоскостью, перпендикулярной его образующей,
является…
1) круг;
2) прямоугольник;
3) трапеция.
4. На основаниях цилиндра взяты две параллельные друг другу хорды,
проходящие через центры оснований. Тогда расстояние между хордами…
1) равно высоте цилиндра;
2) больше высоты цилиндра;
3) меньше высоты цилиндра.
5. Боковой поверхностью цилиндра высотой H и диаметром основания d
является квадрат. Тогда верно, что…
1) d = H;
2) H   d ;
3)  H  d .
6. Развёрткой боковой поверхности прямого кругового цилиндра может
быть…
1) прямоугольник;
2) ромб;
3) параллелограмм.
7. Отношение площадей боковой поверхности и осевого
сечения цилиндра равно…
 R;
2) 2 ;
1)
3)
.
46
8. Площадь боковой поверхности цилиндра в 2 раза больше площади
основания. Тогда отношение
1) 1;
2) 2;
3) 3.
H
R
равно…
Вариант №2
1. Цилиндр можно получить вращением…
1) трапеции вокруг одного из оснований;
2) ромба вокруг одной из диагоналей;
3) прямоугольника вокруг одной из сторон.
2. Площадь боковой поверхности цилиндра нельзя вычислить по
формуле…
1)𝑆бок =𝜋𝑑𝐻
2) S бок  2 RH ;
2
3) Sбок  2 R H .
3. Сечением цилиндра плоскостью, параллельной его образующей,
является…
1) круг;
2) прямоугольник;
3) трапеция.
4. На основаниях цилиндра взяты две перпендикулярные друг другу
хорды, проходящие через центры оснований.
Тогда расстояние между хордами…
1) равно образующей цилиндра;
2) больше высоты цилиндра;
3) меньше образующей цилиндра.
5. Боковой поверхностью цилиндра с высотой H и радиусом основания R
является квадрат. Тогда верно, что…
H
 2 ;
1) R
R
 2 ;
2) H
3) H  2R.
6. Развёрткой боковой поверхности прямого кругового цилиндра не
может быть…
47
1) прямоугольник;
2) ромб;
3) квадрат.
7. Площадь боковой поверхности цилиндра больше площади осевого
сечения цилиндра в…
1
1) раз;
𝜋
2) 2 раза;
3) 𝜋 раз.
8. Площадь боковой поверхности цилиндра в 3 раза больше площади
основания. Тогда отношение
1) 1;
H
R
равно…
2) 1,5;
48
3) 3.
ТЕСТ ПО ТЕМЕ: «КОНУС»
Вариант №1
1. Конус может быть получен вращением…
1) равностороннего треугольника вокруг его стороны;
2) прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов;
3) прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы.
2. Площадь боковой поверхности конуса можно вычислить по формуле…
1) S бок   Rl ;
2) S бок   RH ;
3) S бок   lH .
3. Сечением конуса плоскостью, перпендикулярной оси цилиндра,
является…
1) треугольник;
2) прямоугольник;
3) круг.
4. Расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения,
проходящей через вершину конуса, равно длине отрезка…
1) OB;
3) OM.
2) OK;
5. Развёрткой боковой поверхности конуса является круговой…
1) сегмент;
2) сектор;
3) слой.
6. Площадь полной поверхности конуса равна…
1) S пол  2 Rl ;
2) S пол   H (l  R);
S пол   R (l  R ).
3)
7. Наибольший периметр имеет сечение конуса, проходящее через его
вершину и хорду, стягивающую дугу в…
1) 60°;
2) 90°;
3) 180°.
8. Через вершину конуса и хорду ВС проведена плоскость.
Тогда угол между этой плоскостью и плоскостью основания это угол…
49
1) ABO;
3) BAC.
2) AMO;
Вариант №2
1. Конус может быть получен вращением…
1) прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы;
2) равнобедренного треугольника вокруг медианы, проведённой к
основанию;
3) тупоугольного треугольника вокруг одной из его сторон.
2. Площадь боковой поверхности конуса нельзя вычислить по формуле…
2
1) Sбок   R ;
2) S бок   Rl ;
3) 𝑆 =
бок
𝜋 𝑙 S бок   RH .
𝑑
2
3. Сечением конуса плоскостью, проходящей вершину конуса и хорду
основания, не может быть…
1) прямоугольный треугольник;
2) равнобедренный треугольник;
3) разносторонний треугольник.
4. Расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения,
проходящей через вершину конуса, равно длине отрезка…
1) OF;
OB.
2) OK;
5. а – образующая конуса, b – высота конуса.
Тогда верно, что…
1) a > b;
3) a < b.
50
3)
2) a = b;
6. Площадь полной поверхности конуса, у которого осевым сечением
является равносторонний треугольник со стороной а, равна…
1)
S пол 
3 2
a ;
4
2)
a2 3
;
4
Sпол 
2
3) Sпол  3 a .
7. Наибольшую площадь имеет сечение конуса, проходящее через его
вершину и хорду, стягивающую дугу в…
1) 60°;
2) 90°;
3)
180°.
8. Через вершину конуса и хорду AB проведена плоскость.
Тогда угол между этой плоскостью и плоскостью основания – это угол…
1) ACB;
CKO.
2) OAC;
51
3)
1.
2.
3.
4.
Список литературы:
Атанасян, Л. С. Геометрия [Текст]: Учебник для общеобразовательных
учреждений: базовый и профильный уровени /Л. С. Атанасян, В. Ф.
Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.– М.: Просвещение, 2009.-256 с.
ЕГЭ 2008. Математика. Типовые тестовые задания [Текст]/ Т. А.
Корешкова и др. – М. : Издательство «Экзамен», 2008. – 78 [2]с. (Серия
«ЕГЭ 2008. Типовые тестовые задания»).
Саакян, С. М. Изучение геометрии в 10-11 классах[Текст]: кн. для
учителя /С.М.Саакян, В.Ф.Бутузов.- 4-е изд., дораб.- М.: Просвещение.
2010.
ЕГЭ 2012. Математика. Задача В9. Стереометрия: расстояние в
пространстве. Рабочая тетрадь[Текст] / Под ред. А.Л.Семенова и
И.В.Ященко.-М.: МЦНМО, 2012.
52