9-2_ЗÐ

Горбанева Л.В.
Закон сохранения энергии в механике
Наиболее часто встречающаяся нам в повседневной жизни энергия –
механическая. Это энергия непосредственного взаимодействия и движения
физических тел и их частей. В рамках механики (раздела физики),
механическую энергию подразделяют на потенциальную (для покоящихся
тел) и кинетическую (для движущихся).
Суммарно потенциальная и кинетическая энергия системы тел
составляют полную механическую энергию для этой системы тел:
Е=Екин+Еп.
Механическая энергия обладает уникальным свойством сохранения.
Для того чтобы показать как применяется закон сохранения энергии
для решения задач рассмотрим ее составляющие: потенциальную и
кинетическую энергии.
Кинетической энергией тела называется энергия его поступательного
движения. Если внешняя сила действует на покоящееся тело, последнее
приобретает некоторую скорость и способно само совершить работу. Этот
запас работы и называется кинетической энергией тела.
При поступательном движении тела его кинетическая энергия равна:
Екин
mV 2 p 2


, где m – масса тела, V – его скорость, р – импульс тела.
2
2m
Если тело (или его части) взаимодействуют с другими телами, то
взаимодействующие тела обладают потенциальной энергией. Например,
потенциальная энергия тела, поднятого над Землей на высоту h<<RЗемли,
kx2
равна Eп=mgh. Энергия деформированной пружины равна: Еп 
.
2
Закон сохранения энергии. Как было сказано в начале статьи, полная
механическая энергия обладает свойством сохранения. При сохранении
полной
механической
энергии
происходит
взаимопревращение
потенциальной и кинетической энергий. Действительно, равенство
Ек2+Еп2=Ек1+Еп1 можно записать в виде: Ек2 – Ек1= –(Еп2 – Еп1). Это равенство
означает, что изменения кинетической и потенциальной энергий
противоположны по знаку: увеличение одной из них сопровождается
уменьшением другой, и наоборот.
Пример 1. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар,
подвешенный на легком жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули
в 1000 раз меньше массы шара. Расстояние от точки подвеса стержня до
центра 1м. Найти скорость пули, если известно, что стержень с шаром
отклонился от удара пули на угол 10°.
Для решения задачи необходим чертеж (рис. 1).
Найти скорость пули можно используя закон
сохранения импульса для системы «пуля-шар». Так как
пуля застревает в шаре, то такой удар называется
неупругим. Запишем закон сохранения импульса для
неупругого
удара
в
проекции
на
ось
ОХ:
m1V1`  (m1  m2 )V2` ,
где V1 – скорость пули до
столкновения, V2 – скорость шара и пули после их столкновения, m1 – масса
пули, (m1+ m2) – масса пули и шара. Тогда из данного выражения можно
(m1  m2 )V2`
найти V1: V 
. В этом выражении неизвестна также скорость
m1
`
1
V2, которую можно найти по закону сохранения энергии.
Пусть в результате столкновения с пулей центр массы шара поднялся
на высоту h, тогда по закону сохранения энергии: полная механическая
энергия в замкнутой системе тел остается неизменной. В момент
столкновения потенциальная энергия пули и шара равна нулю, но так как
скорость пули максимальна, то кинетическая энергия в этот момент
максимальна. При отклонении система приобретает потенциальную энергия,
но при этом скорость уменьшается до нуля и соответственно до нуля
уменьшается кинетическая энергия. То есть кинетическая энергия переходит
(m1  m2` )V22
 (m1  m2 ) gh . Из данного выражения найдем
в потенциальную:
2
2
V2: V2  2 gh .
Высоту h найдем из рисунка: h=l – l∙cosα=l∙(1-cosα). Подставив h в
2
выражение для V2: V2  2 gl (1  cos  ) , откуда V2  2 gl (1  cos  ) .

(1  cos  )
Используем тригонометрическое уравнение sin( ) 
для
2
2
преобразования выражения для нахождения V2 найдем V1:
( m  m2 )

V1`  2 1
sin( ) gl .
m1
2
Подставив значения величин получаем:
V1`  2
(m1  1000m1 )
0,09) 9,8  1  570 м / с
m1
Условия применимости закона сохранения механической энергии. Закон
сохранения механической энергии выполняется в замкнутых системах, тела в
которых взаимодействуют потенциальными силами (силы упругости и
тяготения), а силы трения отсутствуют или можно пренебречь работой,
совершаемой ими. В качестве примера можно привести систему тел,
взаимодействующих с Землей. При отсутствии сопротивления воздуха
механическая энергия взаимодействующих с Землей тел сохраняется.
Пример 2. Груз массой 0,5кг падает с некоторой высоты на плиту
массой 1 кг, укрепленную на пружине жесткостью k=9,8∙10 2Н/м.
Определить наибольшее сжатие пружины, если в момент удара груз
обладал скоростью 5м/с. Удар неупругий.
Решение. Согласно условиям задачи систему можно считать замкнутой.
По закону сохранения энергии, полная механическая энергия груза вместе с
плитой после удара равна потенциальной энергии сжатой пружины:
(m1  m2` ) 2
kx2
V2  (m1  m2 ) gx 
, где m1 – масса груза, m2 – масса
2
2
плиты, х – искомое сжатие пружины, V2 – скорость груза и плиты после
удара, которую можно найти по закону сохранения импульса для неупругого
m1V1`
удара: m V  (m1  m2 )V , откуда V 
.
(m1  m2 )
`
1 1
`
2
`
2
Подставляя полученное выражение в закон сохранения энергии
(m1  m2` )
m12V12
kx2

 (m1  m2 ) gx 
получим:
, или
2
2
(m1  m2 ) 2
m12V12
kx  2 g (m1  m2 ) x 
0
m1  m2
2
Решая полученное квадратное уравнение получаем:
km12V12
g (m1  m2 )  g (m1  m2 ) 
(m1  m2 )
x
.
k
2
2
9.8(0,5  1)  9,8 (0,5  1) 
2
x
2
9,8 10 2 0,5 25 2
(0,5  1)
 8,2 10 2 м .
9,8 10
Второй корень отрицательный и он не удовлетворяет условию задачи.
2
Закон сохранения механической энергии выполняется при действии
внешних потенциальных сил, если они не изменяются с течением времени.
Это связано с тем, что закон сохранения механической энергии – следствие
однородности времени. Именно поэтому даже потенциальные силы,
зависящие от времени, приводят к невыполнению закона сохранения
механической энергии.
Можно использовать закон сохранения энергии и при действии
внешних сил, если эти силы не совершают работу. Например, при колебании
груза на нити работа силы упругости нити равна нулю, и можно
воспользоваться законом сохранения механической энергии. Очень часто
применение закона сохранения энергии значительно упрощает решение
задач. Изменение полной механической энергии системы равно работе
внешних сил: А=ΔЕ=Е2–Е1. При этом удобно рассматривать начальное и
конечное состояние тела. Если утечки механической энергии не происходит,
то ест сила трения отсутствует, то Е2 – Е1=0, где Е1 – полная механическая
энергия системы в первом состоянии, Е2 – полная механическая энергия
системы во втором состоянии.
Пример 3. Груз массой 2кг, падающий с высоты 5м, проникает в
мягкий грунт на глубину 5см. Определить среднюю силу сопротивления
грунта.
Для решения задачи изобразим данные на рисунке (рис. 2).
Направим ось ОY вертикально вверх, начало оси выберем на
глубине h1 от поверхности земли. На участке СО действует внешняя
сила (сопротивление грунта), поэтому
А=ΔЕ или Е – Е0=А, где Е0 =mgh+mgh1 – механическая
энергия груза в точке В, Е – механическая энергия груза на глубине
h1 от поверхности земли. Так как в точке 0 y=0 и V=0, то Е=0.
Работа внешних сил на участке С0 A= – Fh1. Учитывая
получаем: 0 – mgh – mgh1= – Fh1, откуда
h
5
F  mg  (  1) или F  2  9,8  (
 1)  1,98кН
h1
0,05
Если в качестве внешней силы выступает сила трения (или сила
сопротивления движению), то закон приобретает вид Е2 – Е1=Атр. А так как
работа силы трения равна Атр=Fтр∙S∙cos180= – Fтр∙S, то можно записать это
же соотношение как Е2 – Е1= – Fтр∙S или Е1 – Е2= Fтр∙S.
Пример 4. Определить тормозной путь автомобиля, движущегося со
скоростью 36км/ч, если коэффициент торможения равен 0,4.
Полная механическая энергия автомобиля равна только кинетической
энергии, так как потенциальная энергия на поверхности земли равна 0.
В задаче рассматривается два состояния автомобиля: состояние 1 в
момент начала торможения и состояние 2 в момент окончания торможения
(остановки). В состоянии 1 полная механическая энергия Е1=Ек, а в
состоянии 2 полная механическая энергия равна 0: Е2=0. Тогда закон
сохранения и превращения энергии примет вид: Е2 – Е1=Атр или 0 – Е1=Атр
mV 2
 Fтр  S . Так как тело движется по горизонтальной поверхности
2
и сила тяжести его уравновешивается силой реакции опоры, то Fтр=µmg,
V2
mV 2
 mg  S . Из полученного уравнения найдем S: S 
тогда
.
2g
2
Переведем все известные величины в СИ и подставим в полученную
10 2
 12,7 м .
формулу получаем: S 
2  0,4  9,8
Задачи для самостоятельного решения:
Ф.9.2.1. Пуля массой 10г, летящая со скоростью 500м/с, пробивает доску
толщиной 50см и вылетает со скоростью 200м/с. Определить среднюю силу
сопротивления, которая действовала на пулю.
Ф.9.2.2. Из колодца, на ¾ заполненного водой, насосом
откачивают воду. Глубина колодца h=20м, площадь
поперечного сечения S=1м2. Продолжительность откачки
30мин, площадь поперечного сечения трубы, через
которую производится откачка, S=25см2. Определить
мощность насоса (см. рис.). Плотность воды ρв=103кг/м3.
Ф.9.2.3. Оцените среднюю силу натяжения ремней безопасности,
удерживающих человека в автомобиле, движущемся со скоростью 36 км/ч и
столкнувшегося со столбом, при этом у машины появилась вмятина 35 см.
Масса человека 70 кг.
Ф.9.2.4. На нити длиной 2м висит небольшой ящик с песком массой 2кг.
Пуля, летящая горизонтально, попадает в ящик и застревает в нем, при этом
максимальное отклонение нити составляет 300. Определить скорость пули V0,
если масса пули 10г. Размеры ящика существенно меньше длины нити.
Ф.9.2.5. Человек, находящийся в вагонетке, толкает другую вагонетку. Они
приходят в движение и через некоторое время останавливаются вследствие
трения. Определить отношение перемещений вагонеток до остановки, если
масса первой вагонетки с человеком в три раза больше массы второй
вагонетки.
Ф.9.2.6. Шар массой m = 3 кг удерживается на высоте h = 3м
над столиком, укрепленным на пружине. Найдите
максимальное сжатие пружины при свободном падении
шарика на столик, если ее жесткость k = 500 Н/м. Массами
пружины и столика пренебречь. Удар абсолютно неупругий.
Ф.9.2.7. С какой высоты упала пружина жесткостью 50Н/см, если при ударе о
землю она сжалась на 4см? Масса пружины 100г. Ось пружины при падении
осталась вертикальной.
Ф.9.2.8. Определить минимальную высоту, скатившись с
которой тело сможет преодолеть «мертвую петлю»
радиусом 25м.
Ф.9.2.9. Сравнить работу силы тяжести для свободно падающего тела за
первую и вторую половину времени падения.
Ф.9.2.10. Пуля, летящая со скоростью 400 м/с, попадает в вал и проходит до
остановки 0,5 м. Определить силу сопротивления вала движению пули, если
её масса 24 г.
Ф.9.2.11. Падающим с высоты 1,5м грузом забивают сваю, которая от удара
уходит в землю на 2см. Определить среднюю силу удара и его
продолжительность, если масса груза 500кг, а масса сваи много меньше
массы груза.
Ф.9.2.12. На гладком столе лежит канат длиной l, один
из концов которого немного свисает. Определить
скорость каната, когда он весь скользит со стола (см.
рис). Считать, что сила трения отсутствует.
Ф.9.2.13. Из пружинного пистолета стреляют шариком вертикально вверх.
Шарик поднялся на высоту 1м. Определить деформацию пружины перед
нажатием курка, если k=4·102Н/м, масса шарика 10-2кг.
Ф.9.2.14.
Санки массой m, движущиеся со
скоростью V0, поднимаются в гору с углом наклона
α. Какой путь L пройдут санки до полной
остановки, если известно, что на горизонтальном
участке с тем же коэффициентом трения санки,
имеющие начальную скорость V0, проходит путь l.