XI Республиканская олимпиада имени А. М. Красникова МАТЕМАТИКА 7 класс

XI Республиканская олимпиада
имени А. М. Красникова
МАТЕМАТИКА
7 класс
Заочный тур
№1. В городе 10 улиц параллельных друг другу и 10 других пересекают их под
прямым углом. Какое наименьшее число поворотов может иметь замкнутый маршрут,
проходящий через все перекрестки?
№2. После 76 стирок длина, ширина высота куска мыла уменьшились вдвое. На
сколько стирок хватит оставшегося куска?
№3. Решить уравнение в целых числах: 2 х  3 у  1  7 .
№4. Марфуша, Поликсена и Редиска пили чай. Если бы М выпила на 5 чашек больше,
то она выпила бы столько, сколько две другие вместе. Если бы П выпила на 9 чашек
больше, то она выпила бы столько, сколько две другие вместе. Сколько каждая выпила
чашек и у кого какое отчество, если Карповна выпила 11 чашек, Уваровна пила вприкуску,
а количество выпитых Титовной чашек кратно трем?
№5. Переднее колесо велосипеда изнашивается через 2000 км, а заднее – через 3000
км. Какое максимальное расстояние можно проехать на одной паре колес?
№6. У продавца имеется моток веревки, длиной 1024 м. Никаких измерительных
инструментов нет, поэтому продавец может лишь резать любой из имеющихся кусков
веревки пополам. В магазин по одному приходят покупатели за кусками веревки, длина
которых выражается степенью двойки (1 м, 2 м, 4 м,…, 1024 м). Известно, что сумма всех
запросов покупателей за день не превышает 1024 м, но в каком порядке идут покупатели и
сколько метров будет просить каждый из них – неизвестно. Как нужно действовать
продавцу, чтобы обслужить всех покупателей?
№7. Каждый зритель, пришедший на спектакль «Королевской слон», принес с собой
либо одну дохлую крысу, либо две гнилые редьки, либо три тухлых помидорины.
Стоявший у входа Том Сойер подсчитал, что крыс было 64 штуки. После спектакля оба
артиста – король и герцог – были с ног до головы закиданы припасами, причем на долю
каждого досталось поровну предметов (а промахов жители не делают). Правда, король
принял на себя лишь пятую часть всех помидор и седьмую часть редьки, но все дохлые
крысы полетели именно в него. Сколько зрителей пришло на представление?
№8.
Можно
ли
на
плоскости
расположить 8 отрезков так, чтобы каждый
из них пересекался ровно с тремя другими?
Тот же вопрос для 7 отрезков.
На рисунке показано, что 6 отрезков так
расположить можно.
№9.
Рассмотрим
ожерелье,
составленное из 15 бусинок (красных и синих). Ожерелье считается «несчастливым», если
в нем найдутся 2 красные бусинки, между которыми будут ровно 5 бусинок. Какое
наибольшее количество красных бусинок может содержать «счастливое» ожерелье?
Докажите, что никто не сможет сделать «счастливое» ожерелье, в котором более 6
красных бусинок.
№10. Мама дала Васе денег на 30 карандашей. Оказалось, что в магазине карандашная
фабрика проводит рекламную акцию: в обмен на чек о покупке набора из 20 карандашей
возвращают 25 % стоимости набора, а в обмен на чек о покупке набора из 5 карандашей
10%. Какое наибольшее число карандашей может купить Вася?
Решения заданий заочного тура (Интернет-тура)
XI Республиканской олимпиады имени А.М. Красникова
МАТЕМАТИКА
7 класс
1. Ответ-20 поворотов. Легко привести пример, когда поворотов 20. Докажем, что
меньше 20 поворотов быть не может. Рассмотрим 10 улиц какого-то одного
направления. Если маршрут проходит по каждой из них, то на каждой из них уже
есть не менее двух поворотов маршрута, и все доказано. Если найдется такая
улица,по которой маршрут не проходит совсем, то он должен проходить по всем 10
перпендикулярным улицам. К ним мы можем применить те же самые рассуждения.
2. На одну стирку. После каждой стирки, мыло уменьшается на одинаковый объем.
После семи стирок осталась только 1/8 объема. Значит осталась только одна стирка.
3. 2x  3 y  1  7 . Так как 7 – простое число, то каждый из множителей может быть
2 x  3  1
 y 1  7
равен: 1 и 7 или -1 и -7 или 7 и 1 или -7 и-1. Составим системы уравнений: 
2 x  3  7 2 x  3  7
2 x  3  1
или 

 y  1  1
 y 1  1
 y  1  7
или 
Решая их получаем ответ: x=-1,y=8 или x=-5,y=0 илих=2,у=2 или х=-2 или у=-6
4. Марфуша выпила 11 чашек, Поликсена-9, Редиска- 7.
5. Для того чтобы проехать наибольшее расстояние, необходимо в какой-то момент
так поменять колеса местами, чтобы они израсходовали свой ресурс по возможности
одновременно. Пусть это произойдет через х км, и мы сумеем проехать еще у км,
тогда ресурс первого колеса составит
x
y
x
y

(êì ) , а второго

(êì ) .
2000 2000
3000 3000
y
 x
 2000  2000  1
Следовательно, 
Тогда, умножая почленно каждое неравенство на
 x  y 1
 3000 3000
6000 и складывая их, получим 5 x  5 y  12000  x  y  2400 . Проверкой убеждаемся,
что при х =у=1200 оба ресурса достигают 1. Ответ: 2400 км
6. Стратегия продавца должна состоять в том, чтобы разрезать как можно меньше.
Если кусок, требуемый покупателем длины уже есть, тот нужно продать его, если же
его нет, нужно взять кусок наименьшей длины, превышающий длину требуемого, и
разрезать его пополам. Если получившиеся куски снова длиннее требуемого, нужно
взять один из них и разрезать его пополам и т.д. Действуя таким образом, продавец
когда-нибудь получит кусок требуемой длины и сможет продать его. При такой
стратегии после каждой продажи у продавца у продавца не окажется двух или более
кусков одинаковой длины. Покажем, что при такой стратегии продавец сможет
последовательно удовлетворить запросы всех покупателей. Предположим, что это не
так. Пусть продавец не может продать кусок, требуемый очередным покупателем.
Это значит, что все куски, которые есть у продавца, короче того, который нужен
покупателю. Но мы знаем, что среди них нет кусков одинаковой длины. Значит, если
бы у продавца оставались все куски, имеющие меньшие длины, то сумма этих длин
была бы меньше требуемой, т к для все натуральных n 1  2  ...  2n  2n 1 .
Следовательно, сумма всех запросов покупателей за этот день превысила бы 1024
метра, что противоречит условию.
7. Пусть в короля попало х яиц, у кочанов и 64 кошки. Тогда герцогу досталось 4х яиц
и 6у кочанов. Так как предметов, угодивших в них, равное количество, то составляем
уравнение: х+у+64=4х+6у, которое равносильно уравнению 3х+5у=64. Из условия
задачи следует, что общее количество яиц делится на 3, а общее количество кочановна 2. Следовательно, 5х кратно трем, а 7у кратно двум. С учетом того, что числа 5 и
3, а также 7 и 2 образуют пары взаимно простых чисел, имеем, что х=3к, а у=2n , где
к и n – натуральные числа. Подставляя в исходное уравнение, получаем : 9k+10n=64.
Перебором находим, что его решением в натуральных числах является только n=1,
K=6. Т.е. х=18, у=2. Значит, на представление было принесено 5х=90 (яиц),
7у=14(кочана) и 64 кошки. Следовательно, количество зрителей, пришедших на
представление, равно: 90:3+14:2+64=101. Ответ: 101
8. 8 отрезков так расположить можно(см рис).,
а 7- нельзя. Докажем
это. Предположим, что такое расположение 7 отрезков возможно. Занумеруем
отрезки и составим табличку 7х7; в клетке (i,j) на пересечении i-той строки и j-го
столбца поставим +, если i-й отрезок пересекается с j-м, и -, если не пересекается.
Если i=j, то тоже ставим -. Подсчитаем двумя способами, сколько плюсов в таблице.
С одной стороны, в каждой строке их на 3, поэтому всего- 3*7=21. С другой
стороны, таблица заполнена симметрично относительно диагонали: если в клетке
стоит (I,j) стоит +, то в клетке (j,i) тоже +. Значит, общее количество плюсов должно
быть четным. Получили противоречие.
9.
1. Приведем пример: n=6
- 2. Докажем, что никто не сможет сделать «счастливое» ожерелье, в котором более 6
красных бусинок:
Если бусинка под №1синяя,
то
среди
номерами
бусинок
4, 7, 10, 13 не более двух
-
красных бусинок.
с
-Всего таких звездочек – 3, =>
Красных бусинок не более 6.
Вывод: Невозможно сделать «счастливое» ожерелье, в котором более 6 красных
бусинок, => n= 6, ч.т. д.
10.Заметим, что 25% от стоимости 20 карандашей- это стоимость 5 карандашей, а 10%
стоимости 5 карандашей- это половина стоимости карандаша. Ясно, что для
получения максимальной скидки Вася должен действовать так: 1) Пока хватает
денег, покупать набор из 20 карандашей и сразу обменивать чек на выходе; 2) Если
не хватает денег на 20 карандашей, но хватает на 5, покупать набор из 5 карандашей
и сразу обменивать чеки на выходе; 3) в крайнем случае покупать отдельные
карандаши. Действуя таким образом, Вася купит сначала коробку из 20 кар, и
получит на выходе стоимость 5 кар. После этого у него будет денег на 15 кар. Потом
он купит три набора из 5 карандашей и получит на выходе стоимость 1,5
карандашей. На оставшиеся деньги он купит 1 карандаш. Итого: 36 карандашей.
XI Республиканская олимпиада
имени А. М. Красникова
МАТЕМАТИКА
8 класс
Заочный тур
№1. Найдите числа
и
из тождества:
5 x  11
a
b


.
x  3x  10 x  5 x  2
2
№2. Можно ли разменять 100 рублей, имея рублевые, трехрублевые и пятирублевые
купюры, так, чтобы всего в размене участвовало 29 купюр.
№3. Найти все пары целых чисел (х; у), удовлетворяющих уравнению
x 2  y 2  2 y  13.
№4. В треугольнике АВС проведены высоты АЕ, ВМ, СР. Известно, что ЕМ||АВ,
ЕР||АС. Доказать, что МР||ВС.
№5. Упростить: 2 3  5  13  48 .
№6. В треугольнике известны две стороны x и y . Какой должна быть третья сторона,
чтобы наибольший угол треугольника имел наименьшую величину?
№7. Имеются два слитка золота с серебром. Процентное содержание золота в первом
слитке в 2,5 раза больше, чем процентное содержание золота во втором слитке. Если
сплавить оба слитка вместе, то получится слиток, в котором будет 40% золота. Найдите, во
сколько раз первый слиток тяжелее второго, если известно, что при сплаве равных по весу
частей первого и второго слитков получается сплав, в котором 35% золота.
№8. О натуральных числах x и y известно, что xn  1 делится на yn  1 при любом
натуральном n . Докажите, что x  y.
Решения заданий заочного тура (Интернет-тура)
XI Республиканской олимпиады имени А.М. Красникова
МАТЕМАТИКА
8 класс
1. Найдите числа а и в из тождества:
=
+
Решение:
Сложив две дроби в правой части тождества, перепишем его в виде
5 x  11
(a  b) x  (5b  2a )

x  3x  10
x 2  3 x  10
2
Поскольку дроби в левой и правой части равенства тождественно равны, то они
принимают равные значения при всех значениях х, отличных от 2 и -5. Отсюда
a  b 5
5b  2 a 11 Решив полученную систему, находим: а=2, в=3

2. Можно ли разменять 100 рублей, имея рублевые, трехрублевые и пятирублевые
купюры, так, чтобы всего в размене участвовало 29 купюр.
Решение: Пусть в размене участвуют a рублёвых в трёхрублёвых и с пятирублёвых
купюр, тогда а+3в+5с=100. Записав это равенство в виде (а+в+с)+(2в+4с)=100, заключаем,
что а+в+с=29- чётное число, так как числа 100 и 2в+4с – чётные. Следовательно, нельзя
разменять 100 рублей с помощью 29 купюр достоинством в 1р., 3р. и 5р.
3. Найти все пары целых чисел (х ; у), удовлетворяющих уравнению = + 2у +13
Решение: x 2  ( y  1) 2  12
x 2  ( y  1) 2  12
( x  y  1)( x  y  1)  12
Заметив, что каждая скобка – чётное число, получаем четыре возможности: одна из
скобок равна ±2, вторая ±6, откуда легко следует ответ:
(4;1); (4;-3); (-4;1); (-4;-3).
4. В треугольнике АВС проведены высоты АЕ, ВМ, СР. Известно, что ЕМ ΙΙ АВ, ЕР ΙΙ
АС. Доказать, что МР ΙΙ ВС.
Решение: можно доказать, что ∆АВС - равносторонний и высоты будут являться
медианами. Отрезок РМ - средняя линия и РМ || ВС.
2 способ: обозначим точку пересечения отрезков СР и ЕМ буквой О. ∆РОЕ~∆МОС по
двум углам. Из подобия треугольников следует ЕО:ОМ=РО:ОС. Треугольники РОМ и
ЕОС так же будут подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
Значит угол ОРМ равен углу ОСМ а они накрест лежащие, то РМ параллельно ВС при
секущей РС.
5. Упростить: 2∙
Решение: 2∙ 3  5  (1  2 3) 2 =2∙ 3  5  1  2 3
=2∙ 3  4  2 3 =
2
2∙ 3  (1  3) =2∙ 3  1  3 =2∙ 2  3 = 8  4 3 = ( 6  2) 2 = 6  2 = 6  2
6. В треугольнике известны две стороны x и y. Какой должна быть третья сторона,
чтобы наибольший угол треугольника имел наименьшую величину?
Решение: Предположим x › y, тогда наибольший из углов либо x либо с. Следовательно,
наименьший угол становится наибольшим при x=c.
7. Имеются два слитка золота с серебром. Процентное содержание золота в первом
слитке в 2,5 раза больше, чем процентное содержание золота во втором слитке. Если
сплавить оба слитка вместе, то получится слиток, в котором будет 40% золота. Найдите, во
сколько раз первый слиток тяжелее второго, если известно, что при сплаве равных по весу
частей первого и второго слитков получается сплав, в котором 35% золота.
Решение: Пусть х кг золота в первом слитке, у кг золота во втором слитке; р%процентное содержание золота во втором слитке, 2,5р%-процентное содержание золота в
первом слитке . При сплаве равных по весу частей первого и второго слитков получается
сплав, в котором 35% золота, получаем уравнение:
0,025 p  0,01 p
 0,35 Отсюда следует
2
р=20% золота во втором слитке, 20∙2,5=50% золота в первом слитке. Если сплавить оба
слитка вместе, то получится слиток, в котором будет 40% золота. Составляем
уравнение:
0,025 px  0,01 py
 0,4 . Подставляя за место р=20 получим 0,5х+0,2у=0,4∙(х+у)
x y
0,5х+0,2у=0,4х+0,4у
0,1х=0,2у
Х=2у
Ответ: первый слиток тяжелее второго в два раза
8.О натуральных числах x и y известно, что xn+1 делится на yn+1 при любом
натуральном n. Докажите, что x=y.
Решение: Вместе с числом xn+1 на yn+1 делится и разность
(xn+1) - ( yn+1)=(x-y)n. C другой стороны n взаимно простое с числом yn+1. (Поскольку
разность ( yn+1)- yn=1 должна делится на любой общий делитель n и yn+1). Поэтому (x-y)
делится ( yn+1), но число yn+1 при достаточно больших n будет больше целого
неотрицательного числа |x-y|, поэтому x-y=0,значит x=y.
XI Республиканская олимпиада
имени А. М. Красникова
МАТЕМАТИКА
9 класс
Заочный тур
№1. Найдите действительные решения уравнения (x+2)⁴+x⁴=82.
№2. Равнобокая трапеция MNPQ разбивается диагональю на 2 равнобедренных
треугольника. Определите углы трапеции.
№3. Вычислите:
№4. Пусть A – точка на прямой y=2x+1, а B – точка на параболе y=-x²+x-2. Чему равно
наименьшее значение длины отрезка AB?
№5. В равностороннем треугольнике ABC сторона равна a. На стороне BC лежит
точка D, а на AB – точка E так, что BD= , AE=DE. Найдите CE.
№6. Решите систему:
№7. Профессор Киселев и доцент Галлямов живут недалеко друг от друга. Они любят
по вечерам прогуливаться от своего дома до дома коллеги, туда и обратно несколько раз.
Однажды они вышли из своих домов одновременно. В первый раз они поравнялись на
расстоянии 55 м от дома профессора. Второй раз это произошло на расстоянии 85 м от
дома доцента. На расстоянии 25 м от дома доцента находится газетный киоск, а
неподалеку от дома профессора – киоск, торгующий газированной водой. Известно, что,
выйдя из своих домов, профессор и доцент одновременно прошли мимо ближайших
киосков. Чему равно расстояние между киосками?
№8. Слова АКТ, КРОВ, ТАЛАНТ означают соответственно квадрат, куб и четвертую
степень одного натурального числа. Какое слово соответствует числу 93015823?
Решения заданий заочного тура (Интернет-тура)
XI Республиканской олимпиады имени А.М. Красникова
МАТЕМАТИКА
9 класс
1. Найдите действительные решения уравнения (x+2)⁴+x⁴=82.
Решение: Обозначим y=x+1, тогда данное уравнение примет вид
(y+1)⁴+(y-1)⁴=82, которое после упрощения примет вид: y⁴+6y²-40=0. Данное
биквадратное уравнение имеет решения y₁,₂=-3;1. Cледовательно, x₁=1; x₂=-3.
Ответ: x₁=1; x₂=-3.
2. Равнобокая трапеция ABCD разбивается диагональю на 2 равнобедренных
треугольника. Определите углы трапеции.
Решение: Так как <B > 90°, то <1=<2. Но BC|| AD, AC- секущая, значит,
<CAD=<2. Так как <3‡<2( иначе <A=<C, чего быть не может),
B
C
то <3=<D. Но <D=<A, поэтому <3=<1+<2,
2
тогда <3=2<1=2<2. В результате имеем:
3
<2+<3+<3=180°; <2+2<2+2<2=5<2=180°;
1
Откуда <2=36°. Тогда углы трапеции будут
72°, 108°, 108°,72°.
A
D
Ответ: 72°, 108°, 108°,72°.
3. Вычислите:
Решение: Преобразуем левую часть:
Ответ: 2011.
4. Пусть М – точка на прямой y=2x+1, а N – точка на параболе y=-x²+x-2. Чему равно
наименьшее значение длины отрезка MN?
Решение: Найдем уравнение прямой, параллельной данной прямой y=2x+1 и
касающейся параболы y=-x²+x-2. Для этого, учитывая, что прямая y=2x+1 не параллельна
оси параболы, надо среди прямых вида y=2x+b найти ту, которая имеет единственную
точку с параболой. Это означает, что уравнение -x²+x-2=2x+b; x²+x+2+b=0 имеет
дискриминант, равный нулю: b=-7/4. Прямая y=2x+1 и парабола y=-x²+x-2 расположены в
разных полуплоскостях по отношению к прямой y=2x-7/4. ( За исключением одной точки
N₀ на параболе, которая принадлежит также и прямой y=2x-7/4). Теперь очевидно, что
наименьшее значение длины отрезка MN равно расстоянию между параллельными
прямыми y=2x+1 и y=2x-7/4. Это расстояние равно (1+7/4) cosa. Но tga=2, следовательно,
cosa=
Ответ:
.
.
5. В равностороннем треугольнике ABC сторона равна a. На стороне BC лежит точка
D, а на AB – точка E так, что BD= , AE=DE. Найдите CE.
Ответ: 13/15 а.
6. Решите систему:
Решение: Поделим первое уравнение на второе и первое на третье. Получим после
упрощения x²y²+9y²z²-8z²x²=0, 13x²y²-45y²z²-32z²x²=0. Исключая z²x², найдем x=
затем
y=
и т.д.
Ответ:
7. Профессор Иванов и доцент Петров живут недалеко друг от друга. Они любят по
вечерам прогуливаться от своего дома до дома коллеги, туда и обратно несколько раз.
Однажды они вышли из своих домов одновременно. В первый раз они поравнялись на
расстоянии 55 м от дома профессора. Второй раз это произошло на расстоянии 85 м от
дома доцента. На расстоянии 25 м от дома доцента находится газетный киоск, а
неподалеку от дома профессора – киоск, торгующий газированной водой. Известно, что,
выйдя из своих домов, профессор и доцент одновременно прошли мимо ближайших
киосков. Чему равно расстояние между киосками?
Решение: Рассмотрим три возможных случая.
1) К моменту второй встречи оба прошли по одному разу весь путь. Пусть S –
расстояние между домами. К первой встрече суммарный путь равен S, ко второй – 3S.
Значит, каждый прошел втрое больше. Профессор прошел 3 по 55 т.е.165; с другой
стороны, его путь (S+85), т.е. 165=S+85, S=80, чего быть не может, так как S>85.
2) Профессор догнал доцента. Этот случай также невозможен, так как тогда скорость
профессора более чем в 2 раза превышала бы скорость доцента. Значит путь, пройденный
доцентом к моменту первой встречи, меньше, чем 55+0,5 *55=82,5<85.
3) Доцент догнал профессора. Пусть u и v – скорости соответственно процента и
доцента, S – расстояние между домами. Во все моменты времени отношение пройденных
путей равно отношению скоростей; следовательно ,
пропорции. Получим
Используя свойство
. Это значит, что в тот момент, когда
доцент прошел 25м, т.е. был у газетного киоска, профессор прошел S-195м, т.е. был на
расстоянии 195м от дома доцента. Расстояние между киосками будет: 195-25=170м.
Ответ: 170 м.
8. Слова АКТ, КРОВ, ТАЛАНТ означают соответственно квадрат, куб и четвертую
степень одного натурального числа. Какое слово соответствует числу 93015823?
Ответ: ВАЛТОРНА. 17<x<22. Так как x⁴ имеет одинаковые первую и последнюю
цифры, то x=19.
XI Республиканская олимпиада
имени А. М. Красникова
МАТЕМАТИКА
10 класс
Заочный тур
№1. Пусть рациональные числа
удовлетворяют уравнению
.
Докажите, что
квадрат рационального числа.
№2. Рассматриваются все 10-значные числа, которые записываются семью двойками и
тремя единицами. Найти их среднее арифметическое.
№3. Найти натуральные числа
удовлетворяющие системе:
№4. Что больше
№5. Известно, что
где задано. Выразить tg1 через x.
№6. В
помещены три равные окружности, каждая из которых касается двух
сторон треугольника. Все три окружности имеют одну общую точку. Найдите радиусы
этих окружностей, если радиусы вписанной и описанной окружностей
равны
№7. На отрезке
лежат точки
, причем
. Точка
взята так, что
, если известно, что
∠
, а площади
равны соответственно
.
№8. Найти число решений уравнения
.
XI Республиканская олимпиада
имени А. М. Красникова
МАТЕМАТИКА
11 класс
Заочный тур
№1. На плоскости даны 2011 точек (никакие три из которых не лежат на одной
прямой). Каждые две точки соединены отрезком. Маша и Витя играют в следующую игру.
Витя помечает каждый отрезок одной из цифр, а затем Маша помечает каждую точку
одной из цифр. Витя выигрывает, если найдутся две точки, помеченные той же цифрой,
что и соединяющий их отрезок, и проигрывает в противном случае. Доказать, что при
правильной игре Витя выиграет.
№2. Дан куб с ребром длины n см. В нашем распоряжении имеется длинный кусок
изоляционной ленты шириной 1 см. Требуется обклеить куб лентой, при этом лента может
свободно переходить через ребро на другую грань, по грани она должна идти по прямой
параллельно ребру и не свисать с грани вбок. На сколько кусков необходимо разрезать
ленту, чтобы обклеить куб?
№3. Автобусные билеты имеют номера от 000000 до 999999. Билет называется
счастливым, если сумма цифр, стоящих на четных местах его номера, равна сумме трех его
цифр, стоящих на нечетных местах. Докажите, что сумма номеров всех счастливых
билетов делится на 999.
№4. Двое бросают монету: один бросил её 10 раз, другой – 11 раз. Чему равна
вероятность того, что у второго монета упала орлом больше раз, чем у первого?
№5. Правильная четырехугольная пирамида с двугранным углом при основании
пирамиды, равным 30 вписана в сферу радиуса 1. Найдите площадь основания пирамиды.
х 2  у 2  4  4 х  4 у
№6. Найти значение параметра р, при которых система 
,
х  у  р
имеет 5 решений.
№7. Вначале 2002года Марк положил в сейф 1000000 рублей и брал из него m%суммы
каждый год. При каком значении m в начале 2011 он вынет из сейфа максимальную
сумму?
№8. В треугольнике АВС, вписанном в окружность, АВ<АС. На стороне АС отмечена
точка D так, что AD=AB. Докажите, что серединный перпендикуляр к отрезку DC делит
пополам дугу ВС, не содержащую точку А.
Решения заданий заочного тура (Интернет-тура)
XI Республиканской олимпиады имени А.М. Красникова
МАТЕМАТИКА
11 класс
1. Выделим из данных точек какие-нибудь 1024. Докажем, что Витя может так
пометить отрезки, что независимо от того, как пометит точки Маши, среди выделенных
1024 точек найдутся две точки одного цвета, соединённые отрезком того же цвета.
Покажем, как может для этого действовать Витя. Разобьём выделенные точки на 512 пар и
пометим нулём отрезки, соединяющие точки из одной пары. Далее, объединим
получившиеся пары по две. Получим 256 четвёрок. Пометим цифрой 1 ещё не помеченные
отрезки, соединяющие точки одной четвёрки. После этого объединим получившиеся
четвёрки по две. Получим 128 восьмёрок. Пометим цифрой 2 ещё не помеченные отрезки,
соединяющие точки из одной восьмёрки, и так далее. На последнем шаге мы объединим
получившиеся две группы по 512 точек в одну и пометим ещё не помеченные отрезки
цифрой
9.
Докажем, что как бы теперь Маша не покрасил точки, Витя выиграет. Предположим, что
Маша может раскрасить точки так, чтобы не нашлось отрезка, помеченного той же
цифрой, что и оба его конца. Заметим, что в каждой из 512 исходных пар найдётся точка,
помеченная ненулевой цифрой. Действительно, иначе эти две точки образовывали бы
пару, дающую выигрыш Вите. Рассмотрим какую-нибудь из 256 четвёрок. В каждой из
двух пар, из которых она образована, найдётся точка, помеченная не нулём. Если бы обе
эти точки были помечены единицей, они образовывали пару, дающую выигрыш Вите
(поскольку они соединены отрезком, помеченным цифрой 1). Следовательно, в каждой из
256 четвёрок найдётся точка, помеченная не нулём и не единицей. Продолжая это
рассуждение, получаем, что в каждой из 128 восьмёрок найдётся точка, помеченная не
нулём, не единицей и не двойкой, и т. д.; в каждой из двух групп по 512 найдётся точка,
помеченная не нулём, не единицей, не двойкой, …, не восьмёркой. Следовательно, эти
точки помечены цифрой 9. Но они соединены отрезком, помеченным цифрой 9, что
противоречит предположению. Следовательно, Витя выигрывает независимо от игры
Маши.
2.
2n кусков достаточно: обклеиваем четыре грани куба, образующие боковую
поверхность прямоугольной призмы, n рядами ленты, каждый ряд ширины 1, а затем
аналогично обклеиваем другую четвёрку граней (из них две грани уже один раз обклеены,
а
две
другие
заклеиваем
в
первый
раз).
Докажем, что меньшим числом кусков обойтись нельзя. Рассмотрим две грани, имеющие
общее ребро, разобьём их на n полосок, ширины 1, длины 2n, перпендикулярных общему
ребру этих граней. Если имеются куски ленты, идущие вдоль этих полосок и закрывающие
всю их ширину (может быть, и не всю длину), то таких кусков не менее n. Тогда остаются
ещё две грани, полностью свободные от этих кусков. Чтобы заклеить одну из них,
необходимо затратить ещё по крайней мере n кусков, так как каждый кусок заклеивает не
более 1/n площади этой грани. Если же есть полоска, по всей длине свободная от кусков,
идущих вдоль неё, то для того, чтобы закрыть эту полоску кусками, идущими поперёк этой
полоски, нужно по крайней мере 2n кусков ленты.
3. Каждому счастливому билету поставим в соответствие билет, номер которого
состоит из цифр, дополняющих соответствующие цифры номера исходного билета до
девятки. Например, билет 239601 получит в пару билет 760398. Из равенства сумм троек
цифр следует равенство сумм их дополнений до девятки, поэтому парой к каждому
счастливому билету является также счастливый билет. Очевидно, что если билет A
получает в пару билет B, то и наоборот, билет B получает в пару билет A. При этом
никакой билет не получает в пару себя, так как в этом случае каждая цифра его номера
должна была бы дополнять до девятки самое себя, что невозможно, поскольку 9 —
нечетное число. Таким образом, мы получили разбиение всех счастливых билетов на пары.
При этом сумма номеров билетов любой пары равна 999999, значит, она делится на 999.
Сложив эти попарные суммы, получим число, делящееся на 999. С другой стороны, это
будет сумма номеров всех счастливых билетов.