математика-9-кл-задание-1-2012

Математика, 9 класс
Мендель Виктор Васильевич, доцент кафедры математики ДВГГУ
Конфигурация «окружность и прямая» при решении задач планиметрии
1. Читателям, принимавшим участие в олимпиадах и конкурсах по математике,
известна такая ситуация: предложено решить геометрическую задачу, вроде она
не сложная, но как к ней подступиться – непонятно. То ли дело на уроке:
материал разбит на темы, к каждой теме подборка задач. Если тема «Теорема
Пифагора» - применяй в задаче теорему Пифагора и не задумывайся.
Один из способов выхода из сложившейся ситуации – анализ
конфигурации фигур, для которых сформулирована задача. Простейшие
фигуры, которые часто встречаются в геометрических задачах, это отрезок,
прямая, треугольник и окружность. К этому перечню можно также добавить
различные виды четырехугольников и правильные многоугольники. Если в
условиях задачи явно или неявно говорится о нескольких фигурах, то мы имеем
дело с конфигурацией этих фигур.
Примеры простых конфигураций: треугольник, вписанный в окружность;
окружность и секущая; окружность и касательная.
Более сложные конфигурации: треугольник и его медианы; треугольник и
его высоты, три попарно касающиеся окружности и т.п.
Есть
и
четырехугольнику
неявные
следует
конфигурации:
например
мысленно
явно
или
к
добавить
вписанному
описанную
окружность.
Если вам при анализе условия задачи попалась такая вот конфигурация –
вспомните, какие свойства для нее вам известны и попробуйте использовать
соответствующие теоремы. Увидите, что у вас все быстро получится.
2. В этой статье мы рассмотрим часто встречающуюся конфигурацию, которую
образуют окружность и две ее непараллельные
секущие прямые. Эти секущие в свою очередь
пересекаются в некоторой точке. Возможны три
случая, представленные на чертежах.
Первый: В случае внешней секущей имеет место
следующая связь между отрезками секущей:
MA  MB  MC  MD
(1).
Эта формула имеет известное продолжение:
MA  MB  MC  MD  OM 2  R 2  MT 2
Рисунок 1. Секущие пересекаются
во внешней точке окружности
Здесь R -
(2).
радиус
окружности, а MT – длина отрезка касательной,
проведенной из точки M к этой окружности (на
чертеже не построена).
Второй: Секущие пересекаются в точке, лежащей
на
окружности.
Это,
на
самом
деле,
угол,
вписанный в окружность. Наиболее известное
свойство такой конфигурации – «вписанный угол в
Рисунок 2. Секущие пересекаются
на окружности (вписанный угол)
два раза меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу
окружности». В виде формулы это выглядит так:
AMB 
1
AOB
2
(3).
Третий: Секущие пересекаются внутри окружности.
Здесь
имеет
место
соотношение,
аналогичное
формулам (2). Но есть нюанс в порядке слагаемых
третьего равенства (они меняются местами):
MA  MB  MC  MD  R 2  OM 2
(4).
Четвертого равенства в этой формуле нет, так как из
внутренней точки нельзя провести касательную к
окружности.
Рисунок 3. Секущие пересекаются во внутренней
точке
3. Рассмотрим теперь по подробнее первую конфигурацию. Проведем хорды
AC и BD. На чертеже появились новые
фигуры.
Первая
вписанный
очевидна
четырехугольник
–
это
ABDC.
Две другие фигуры не столь очевидны,
но очень важны в геометрии – это
треугольники MAC и MDB. Напомним,
что главным свойством вписанного
Рисунок 4. Вписанный четырехугольник
четырехугольника является то, что
суммы его противоположных углов равны. Однако это свойство не очень
эффективно «работает» при решении
задач. Гораздо более ценным является то,
что треугольники MAC и MDB подобны
(на чертеже №4 соответственные углы
этих
треугольников
одинаково
отмечены).
Особый
интерес
представляет
случай, когда одна из хорд (на рисунке 5
это DB) является диаметром окружности.
Рисунок 5. Одна из хорд является диаметром
окружности
В этом случае точки A и C являются основаниями высот треугольника MDB,
проведенными
из
соответственно.
В
установить
вершин
этом
D
случае
коэффициент
и
B
легко
подобия
треугольников MAC и MDB: он равен косинусу
угла при вершине М.
Отсюда, кстати, следует, что отношение
длин малой и большой хорд (где большая –
диаметр)
Рисунок 6. Пара подобных
треугольников
секущими!
равно
косинусу
угла
между
4. Перейдем теперь к третьей конфигурации (вторая – вписанный угол,
подробно рассмотрена в школьных учебниках геометрии). Так же как и в
первой конфигурации, здесь появляются два подобных треугольника: MAC и
MBD.
Интересными
частными
случаями
такой
конфигурации
являются
следующее:
- одна из хорд-секущих служит диаметром окружности. Тогда вписанный
четырехугольник ACBD будет иметь два прямых угла;
- секущие перпендикулярны. Тогда у вписанного четырехугольника
ACBD равны суммы квадратов противоположных сторон.
5. Рассмотрим примеры использования рассмотренных выше конфигураций для
решения задач.
Задача 1. На основании равнобедренного треугольника как на диаметре
построена окружность. Пересекаясь с боковыми сторонами треугольника,
эта окружность поделила их пополам. Найдите углы треугольника.
Решение. Фигуры в задаче образуют первую конфигурацию. Как было
отмечено выше (пункт 3), так как рассматриваемая окружность имеет
диаметром одну из сторон треугольника, она пересекает боковые стороны в
точках, являющихся основаниями высот этого треугольника, проведенными из
вершин, являющихся концами диаметра. Таким образом, мы получили
равнобедренный треугольник, высоты которого,
проведенные к боковым сторонам, являются
также его медианами. Отсюда следует, что
рассматриваемый
треугольник
–
равносторонний. Следовательно, все его углы
равны 60 градусам. (Предлагаем сделать чертеж
самостоятельно).
Задача 2. Хорда проходит через середину
радиуса
окружности
под
прямым
углом.
Рисунок 7. К задаче 2.
Найдите длину этой хорды, если радиус окружности равен 6.
Решение. Дополним данный радиус до диаметра (смотри чертеж 7). Получим
третью конфигурацию. Заметим, что точка D делит пополам не только радиус,
но и хорду C1C2 . Далее используем равенство (4). Из него следует, что
BD  DE  C1D  DC2 .
(*)
Далее обозначим C1D  DC2  x . Кроме этого, из условий задачи найдем длины
двух других отрезков: BD  3, DE  9 . Подставив все эти данные в формулу (*),
получим простейшее квадратное уравнение:
x 2  3  9  27 .
Отсюда x  3 3 , поэтому длина хорды - 6 3 .
Задача 3. На стороне AC треугольника ABC как
на
диаметре
построена
окружность.
Эта
окружность пересекает сторону BC в середине,
а вторую сторону разбивает на отрезки 5 и 3
(считая от вершины С). Найдите стороны этого
треугольника.
Рисунок 8. К задаче 3.
Решение. 1. Вновь у нас первая конфигурация.
Кроме того, AE – высота
треугольника. Из условий следует, что CE=EB. Из двух указанных фактов
делаем вывод о том, что треугольник ABC – равнобедренный. Отсюда находим,
что AC=AB=5+3=8.
2. Найдем теперь сторону BC – основание треугольника. Воспользуемся
свойством (1) для внешних секущих BC и BA:
BE  BC  BD  BA , x  2x  3  8  24 , x 2  12 , x  2 3 .
Отсюда находим, что BC  4 3 .
Ответ: стороны треугольника 8, 8 и 4 3 .
Задачи для самостоятельного решения
Предлагаемые здесь задачи являются контрольной работой №1 для учащихся 9
классов. Решите эти задачи, запишите решения в отдельную (от физики и
информатики) тетрадь. Укажите на обложке следующую информацию о себе:
1. Фамилия, имя, класс, профиль класса (например: Пупкин Василий,9 кл.,
математический)
2. Индекс, адрес места жительства, электронная почта (если есть), телефон
(домашний или мобильный)
3. Данные о школе (например: МБОУ №1 п. Бикин)
4. Фамилия, И. О. учителя математики (например: учитель математики
Петрова М.И.)
М 9.1.1. В равнобедренном треугольнике проведены высоты к боковым
сторонам. Найдите длины этих высот, если сторона AC основания треугольника
равна 8, а боковые стороны разделены основаниями высот в отношении 2:1
(считая от вершины B).
Указание: рассмотрите окружность, построенную на основании данного
треугольника.
М 9.1.2. На катете AC прямоугольного треугольника, как на диаметре
построена окружность, которая делит гипотенузу BC в отношении 2:3 считая от
вершины B. Найдите углы этого треугольника.
Указание: определите расположение второго катета и окружности.
Используйте свойство: произведение отрезков внешней секущей окружности
равно квадрату внешней касательной к окружности, проведенной из тоой же
точки.
М 9.1.3. Хорда, разделяющая радиус окружности на отрезки 1 и 3, пересекает
его под прямым углом. Найдите длину этой хорды (рассмотрите оба случая
положения точки пересечения на радиусе).
Указание: используйте идею из задачи 2.
М 9.1.4. Хорда проходит через середину радиуса окружности под углом в 60
градусов. Найдите длину этой хорды, если радиус окружности равен 6.
М 9.1.5. Угол при вершине A остроугольного треугольника равен 45 градусов.
Найдите
расстояние
между
основаниями
высот
этого
треугольника,
проведенными из вершин B и С, если длина стороны BC равна 4.
Указание: используйте свойства подобных треугольников из пункта 3.