Математика_Сервис

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДИСЦИПЛИНЫ
Б1.ДВ.1.2 Математика
Основная образовательная программа подготовки бакалавра
по направлению
100100.62 Сервис, профиль Сервис в индустрии моды и красоты
1.Цель
Приобрести навыки в употреблении математической символики для выражения
количественных и качественных отношений объектов исследования, научиться
классифицировать возникающие математические задачи и применять необходимые
способы решения, а также уметь пользоваться математической литературой.
Выпускник должен обладать следующими компетенциями:
- владением культурой мышления, способностью к обобщению, анализу,
восприятию информации, постановке цели и выбору путей её достижения (ОК-1);
- способностью использовать знания о современной естественнонаучной картине
мира в образовательной и профессиональной деятельности, применять методы
математической обработки информации, теоретического и экспериментального
исследования (ОК-4);
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
1) Знать основные понятия и утверждения, входящие в содержание дисциплины,
доказательства теорем;
2) Уметь:
- решать задачи по разделам курса, применять теоретический материал;
- используя определения, проводить исследования, связанные с основными
понятиями;
- подходить к решению профессиональных задач, строить математические модели
задач, приводить их к нужному виду;
3) Владеть
- современными знаниями о математике;
- методами выбора и реализации наиболее рациональных методов решения
поставленной задачи.
468/13
468/13
468/13
468/13
52
56
66
60
6
ЛК
ПР/
СМ
28
22
24
20
24
34
42
40
ЛБ
Часы на СРС
(для дисц. с экзаменом
включая часы на экзамен)
1
2
3
4
Часов в интеракт. форме (из
ауд.)
1
1
2
2
Всего аудит.
100100.62 Сервис,
профиль Сервис в
индустрии моды и
красоты
Трудоемкость в часах/ЗЕТ
1
2
3
4
Семестр
п
/
п
Курс
№
Шифр и наименование
направления с указанием
профиля (названием
магистерской программы),
формы обучения
Виды учебной работы в часах
–
58
–
66
60
Вид итогового контроля (форма
отчетности)
2. Объем дисциплины и виды учебной работы:
Зачет
Зачет
Экзамен
3. Содержание дисциплины.
3.1. Разделы дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение учебного
времени:
Количество часов
№
п/п
1
2
3
4
Наименование
раздела, темы
Элементы теории множеств.
Элементы математической логики.
Теория вероятностей.
Элементы математической статистики.
Всего:
Всего
ауд.ч./в
интеракт.ф.
8/2
3
10/2
5/2
26/6
ЛК
ПР/
СМ
ЛБ
Часов на
СРС
4
1
4
1
10
4
2
6
4
16
–
–
–
–
–
20
20
20
22
82
3.2. Содержание разделов дисциплины.
I) Элементы теории множеств.
Множества, подмножества, операции над ними: пересечение множеств,
объединение, вычитание, дополнение до множества. Примеры множеств: рациональные,
действительные, иррациональные числа. Соответствия. Отображения. Отношения на
множестве. Определение понятий.
II) Элементы математической логики.
Высказывания. Высказывательные формы. Таблицы истинности. Отрицание
простых и составных высказываний. Операции над высказываниями. Законы
математической логики. Высказывания с кванторами. Их отрицание. Отношение
логического следования и равносильности.
III) Теория вероятностей.
Понятие стохастического опыта и случайного события. Классификация событий.
Полная группа событий. Изображение событий. Операции над событиями. Классическое
определение вероятности случайного события. Свойства вероятности. Применение
комбинаторики при вычислении вероятностей. Относительная частота случайного
события и ее свойства. Статистическая вероятность. Геометрические вероятности.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий, ее следствия. Независимые
события. Теорема умножения вероятностей независимых событий, ее следствия.
Зависимые события. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей зависимых
событий. Теорема сложения вероятностей совместных событий и ее следствия. Формула
полной вероятности. Вероятности гипотез. Формулы Байеса. Повторные независимые
испытания. Формулы Бернулли и Пуассона.
IV) Элементы математической статистики.
Генеральная и выборочная совокупности. Виды выборок. Способы отбора. Вариационный
ряд. Статистическое распределение выборки. Основные характеристики вариационного
ряда. Выборочная функция распределения. Полигоны и гистограммы.
3.3. Темы для самостоятельного изучения.
№
п/п
Наименование раздела
дисциплины
1.
Элементы теории множеств.
2.
Элементы
математической
логики.
Теория вероятностей.
Элементы
математической
статистики.
3.
4.
Форма самостоятельной
работы
Кол-во
часов
Форма контроля
выполнения
самостоятельной работы
20
- контрольные работы
- тестирование
20
20
22
- выполнение тестов
- проверка контрольных
работ
Методические рекомендации по организации изучения дисциплины
Тема 1. Элементы теории множеств.
План: Множества, подмножества, операции над ними: пересечение множеств,
объединение, вычитание, дополнение до множества. Примеры множеств: рациональные,
действительные, иррациональные числа. Соответствия. Отображения. Отношения на
множестве. Определение понятий.
Задания для самостоятельной работы:
Задание 1.
Заданы множества А, В, С. Какие из утверждений будут верными?
a) Множества A и C не содержат одинаковых элементов.
b) Множества A и C равны ( A  C ).
c) Множества В и C равны ( B  C ).
d) Множество А является подмножеством множества В. ( A  B )
e) Множество С является подмножеством множества А. ( C  A )
f) Множество С является подмножеством множества B. ( C  B )
g) Пустое множество  является подмножеством множества А. (   A )
h) Множество А конечно.
i) Множество В является бесконечным.
j) Множество В является подмножеством пустого множества  .
Вариант 0. A  1, 2, a, b , B  2, a, C  a,1, 2, b .
Вариант 1. A  2, 3, 4, f  , B  3,4, C  4, 3 .
Вариант 2. A  7, 9, a , B  a, 9, 7 , C  7, 8, 9, a, b .
Задание 2.
Заданы произвольные множества А, В, С.
Вариант 0.
Расположите множества: A  B , A \ B , A  B  C , A /( B  C ) , в таком порядке,
чтобы каждое из них являлось подмножеством предыдущего множества.
Вариант 1.
Расположите множества: A  B  C , A \ B , A  B , A , в таком порядке, чтобы каждое
из них было подмножеством следующего за ним.
Вариант 2.
Расположите множества: B  C , C \ A , C \ ( A  B) , A  B  C , в таком порядке,
чтобы каждое из них включало в себя предыдущее множество.
Задание 3.
Заданы множества А, В.
Найдите: A  B , A  B , A \ B , B \ A , A   , B   , A \  ,  \ B .
Вариант 0. A  1, 2, 4, 5, k , l , B  2, 3, 4, 5, l , m .
Вариант 1. A  3, t , o, 4, 5 , B  2, 3, 5, o, p .
Вариант 2. A  5, 6, 8, y, u, r , B  6, 7, 8, y, m, r .
Тема 2. Элементы математической логики.
План: Высказывания. Высказывательные формы. Таблицы истинности. Отрицание
простых и составных высказываний. Операции над высказываниями. Законы
математической логики. Высказывания с кванторами. Их отрицание. Отношение
логического следования и равносильности.
Задания для самостоятельной работы:
Даны высказывания А, В. Определите истинность А и В, а также сформулируйте и
определите
значения
истинности
высказываний
A B,
A B, A B,
B  A, B  A.
Вариант 0. A – «Температура кипения воды при нормальном атмосферном давлении
100ºС», B – «В марте 30 дней».
Вариант 1. A – «Сумма внутренних углов в четырехугольнике равна 240º», B –
«Температура плавления льда составляет 0ºС».
Вариант 2. A – «Число 10012, переведенное из двоичной системы счисления в
десятичную, рано 910», B – «Август – осенний месяц».
Вариант 3. A – «Сумма внутренних углов в треугольнике равна 160º», B – «По
размерности 1 килобайт равен 1024 байтам».
Вариант 4. A – «Множество натуральных чисел принято обозначать буквой N », B –
«Число 1210, переведенное из десятичной системы в двоичную, равно 10102».
Вариант 5. A – «Температура кипения воды при нормальном атмосферном давлении
110ºС», B – «Множество целых чисел принято обозначать буквой Z ».
Тема 3. Теория вероятностей.
План: Понятие стохастического опыта и случайного события. Классификация
событий. Полная группа событий. Изображение событий. Операции над событиями.
Классическое определение вероятности случайного события. Свойства вероятности.
Применение комбинаторики при вычислении вероятностей. Относительная частота
случайного события и ее свойства. Статистическая вероятность. Геометрические
вероятности.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий, ее следствия. Независимые
события. Теорема умножения вероятностей независимых событий, ее следствия.
Зависимые события. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей зависимых
событий. Теорема сложения вероятностей совместных событий и ее следствия. Формула
полной вероятности. Вероятности гипотез. Формулы Байеса. Повторные независимые
испытания. Формулы Бернулли и Пуассона.
Задания для самостоятельной работы:
Задание 1.
Вариант 0. Игральный кубик бросают два раза. Найти вероятность того, что на верхней
грани два раза выпадет:
а) нечетное число очков, меньшее 4;
b) четное число очков, не большее 1.
Вариант 1. Игральный кубик бросают три раза. Найти вероятность того, что на верхней
грани три раза выпадет:
а) четное число очков, не меньшее 6;
b) число очков, меньшее 1.
Вариант 2. Игральный кубик бросают два раза. Найти вероятность того, что на верхней
грани два раза выпадет:
а) нечетное число очков, большее 2;
b) четное число очков, не меньшее 2.
Задание 2.
Вариант 0. Стрелок выполняет три выстрела по мишени, вероятность попадания в
мишень, в каждом из которых, равна p  0.6 .
Найти вероятность того, что:
a) Мишень будет поражена 1 раз.
b) Число попаданий в мишень будет не менее 2.
Вариант 1. В ходе проверки качества зерна, приготовленного для посева, установлено,
что всхожи 80% зерен. Определить вероятность того, что среди 2 произвольно взятых:
a) Оба зерна прорастут.
b) Прорастет только 1 из 2 зерен.
Вариант 2. Стрелок выполняет три выстрела по мишени, вероятность попадания в
мишень, в каждом из которых, равна p  0.7 .
Найти вероятность того, что:
a) Мишень будет поражена 2 раза.
b) Число попаданий в мишень будет не более 1. Задание 5.
Вариант 0. Для посева берут семена из 3 пакетов, вероятность прорастания для каждого
вида соответственно 0.5; 0.8; 0.6. Составить закон распределения случайной величины X –
числа проросших семян.
Вариант 1. Три стрелка стреляют по мишени (по 1 разу), вероятности попадания в
мишень каждым соответственно равны 0.4; 0.7; 0.5. Составить закон распределения
случайной величины X – числа попаданий в мишень.
Вариант 2. Для посева берут семена из 3 пакетов, вероятность прорастания для каждого
вида соответственно 0.5; 0.4; 0.8. Составить закон распределения случайной величины X –
числа проросших семян.
Задание 3.
Вариант 0. В первом ящике 6 красных и 14 синих шаров, во втором – 3 красных и 7
синих. Из произвольного ящика достают один шар. Вероятность того, что он красный
будет равна?
Вариант 1. В первом ящике 8 зеленых, 7 синих и 5 белых шаров, во втором – 7 зеленых,
11 синих и 2 белых. Из произвольного ящика достают один шар. Вероятность того, что он
будет зеленый равна?
Вариант 2. В первом ящике 3 зеленых и 7 синих шаров, во втором – 6 зеленых и 14 синих.
Из произвольного ящика достают один шар. Вероятность того, что он синий будет равна?
Задание 4.
Дан закон распределения дискретной случайной величины X.
Найти p, математическое ожидание M ( X ) , дисперсию
квадратическое отклонение  ( X ) .
Вариант 0.
X
1
2
3
4
pi
0.2
P
0.15
0.35
Вариант 1.
X
2
3
4
6
pi
0.4
0.1
P
0.25
Вариант 2.
X
-2
-1
0
1
pi
0.2
0.25
0.1
p
D( X ) ,
среднее
Тема 4. Элементы математической статистики.
План: Генеральная и выборочная совокупности. Виды выборок. Способы отбора.
Вариационный ряд. Статистическое распределение выборки. Основные характеристики
вариационного ряда. Выборочная функция распределения. Полигоны и гистограммы.
Задания для самостоятельной работы:
Задание 1.
Из данных выборок найдите: моду M, медиану me, размах R и среднюю
выборочную x â .
Вариант 0. а) – 1, 2, – 1, – 3, 4; b) 4, 1, 2, 3, 5, 2, 4, 2, 5, 2.
Вариант 1. а) – 1, 3, 5, – 1, – 2; b) 3, 2, 1, 5, 5, 6, 3, 6, 3, 4.
Вариант 2. а) 4, 5, 3, 5, 1; b) – 3, 0, – 2, 1, 3, 4, – 2, 4, – 2, 5.
Задание 2.
Дана выборка. Определите объем n и моду M выборки, составьте законы
статистического распределения частот и относительных частот.
Вариант 0. 2, 3, 2, 4, 2, 2, 4, 3, 5, 3, 5, 3, 2, 2, 5, 4, 2, 3, 4, 3.
Вариант 1. 1, 4, 3, 1, 4, 2, 1, 3, 4, 1, 1, 2, 2, 4, 3, 1, 2, 3, 4, 1.
Вариант 2. 7, 6, 9, 8, 8, 9, 6, 7, 9, 7, 7, 6, 8, 7, 9, 6, 7, 8, 6, 7.
Задание 3.
Зная объем выборки n и закон распределения частот выборки, определите
значение m , найдите среднюю выборочную x â , составьте закон распределения
относительных частот. Постройте полигон частот выборки.
Вариант 0. n  30
-1
0
1
2
xi
ni
Вариант 1. n  40
xi
ni
Вариант 2. n  25
xi
ni
8
5
m
12
0
1
2
3
11
m
14
5
1
2
3
4
m
6
9
3
Задание 4.
По приведенной гистограмме частот выборки и зная ее объем
значение величины h .
n , определите
Вариант 0. n  78
Вариант 1. n  105
Вариант 2. n  80
Вариант 3. n  115
Рекомендуемая литература:
Основная литература
1.
2.
3.
4.
Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика: Учеб. для студ. высш. учеб.
заведений. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2003.
Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по
высшей математике. 1 курс. – М.: Айрис-пресс, 2003.
Н.В. Иванчук, В.Я. Побойкин. Математика и информатика: математика. Часть II:
Задачник-практикум. Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных
факультетов МГГУ, 2011.
Шипачев В. С. Высшая математика: Учеб. для вузов / Шипачев В.С. – 6 изд., стер. –
М.: Высшая школа, 2003.
Дополнительная литература
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. –
М., Наука, 1988.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: в
2-х ч. – М.: Высш. шк., 1986. – ч.1, 2.
3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1973 [и
последующие издания].
4. Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика / Под ред. А.И.
Кириллова. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.
5. Лунгу К.Н., Макаров Е.В. Высшая математика. Руководство к решению задач. Ч. 2. – М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2007. Лунгу К.Н., Макаров Е.В. Высшая математика. Руководство к
решению задач. Ч. 2. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.
6. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для
вузов. – М. Высшая школа. Изд 7-е, 2001.
7. Баврин И.И. Краткий курс высшей математики для химико-биологических и медицинских
специальностей. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.
8. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1989.
9. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2 т. – М.: Наука, 1970 [и
последующие издания].
10. Привалов И.И. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1966 [и последующие издания].
11. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистике: Учебное пособие для студентов вузов. 4-е издание. – М.: Высшая школа, 1979 [и
послед. издания].
12. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и ее преподавание. – М., Наука, 1985.
13. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике, части 1, 2, 3, 4, 5. – Харьков,
1967.
14. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика: учеб. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект,
2007.
15. Математика в современном мире. – М., Мир, 1967.
16. Турецкий В.Я. Математика и информатика. – Екатеринбург, 1999.
Электронные образовательные ресурсы (ЭОР)
1. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library.htm - Электронная библиотека сайта EqWorld.
Примерные зачетные тестовые задания.
Вариант 1.
1. Абонент забыл шестизначный телефонный номер (первая цифра – не 0). Помнит
только, что первые 2 цифры одинаковые, а другие – разные. Найти вероятность,
что он дозвонится с первого раза.
Вероятность, что он отгадает первую цифру – 1/9. Вторую угадывать не надо (она
совпадает с первой). Вероятности угадать каждую из последних чётырёх цифр – по
1/10. Таким образом, вероятность угадать все цифры одновременно:
1 1 1 1 1
1
p     
9 10 10 10 10 90000
2. Вероятность того, что нужная деталь лежит в первом ящике, составляет 0.7, во
втором – 0.8, в третьем – 0.9. Найти вероятность того, что деталь лежит: а) только в
одном ящике; б) не больше, чем в двух ящиках.
а) Итак, деталь может лежать либо в первом ящике и одновременно – не лежать во
втором и третьем ( p1  0.7 * (1  0.8) * (1  0.9)  0.014 ), либо лежать во втором ящике и
не лежать в первом и третьем ( p2  (1  0.7) * 0.8 * (1  0.9)  0.024 ), либо лежать в
третьем и не лежать в первом и втором ( p3  (1  0.7) * (1  0.8) * 0.9  0.054 ).
Складывая эти вероятности, получим:
р=0.014+0.024+0.054=0.092
б) Единственный случай, когда условие не выполняется – когда деталь лежит в трёх
ящиках одновременно. Поэтому вероятность того, что деталь лежит не более чем в
двух ящиках, это, по сути, вероятность, того, что деталь НЕ лежит в трёх ящиках
одновременно.
Вероятность того, что деталь лежит в трёх ящика одновременно, равна
0.7*0.8*0.9=0.504. Тогда нужная нам вероятность составляет 1-0.504=0.496.
3. Абонент пейджинговой связи не получает отправленное сообщение с вероятностью
0.1. Найти вероятность, что среди 80 отправленных сообщений будет а) ровно 6 не
полученных; б) не больше 4 таких сообщений.
Поскольку количество независимых событий в серии велико (80), будем пользоваться
приближённой формулой Пуассона:
Pn (k ) 
k
e  ( ãäå  n  p)
k!
а) Согласно формуле
(80  0.1) 6 800.1
, т.к. n – количество испытаний в серии (80), k - количество
P80 (6) 
e
6!
успехов (6, в нашем случае успехом будем считать неполучение сообщения), а
вероятность успеха каждого испытания – p (0.1 т.к., опять же, успехом считаем
неполучение сообщения).
Тогда P≈0,1221
б) Надо найти вероятность того, что недошедших сообщений будет или 0, или 1, или 2,
или 3. Тогда
P=P80(0)+ P80(1) + P80(2) + P80(3)=
0
(80  0.1)1 (80  0.1) 2 (80  0.1) 3
800.1 (80  0.1)
=e
(



) ≈0,042380
0!
1!
2!
3!
4. В коробке 2 красных, 3 чёрных и 3 синих ручки. Наугад выбирают 2 ручки, и Y –
количество синих среди них. Найти распределение Y, его математическое
ожидание и дисперсию.
Для того, чтобы найти функцию распределения, найдём вероятности того, что Y равно
0, 1 и 2.
Вероятность того, что Y=0
5 4 20
P( H 0 )   
, т.к., когда мы вытаскиваем первую ручку – их в коробке 8, из них
8 7 56
5 – не синих, а когда вытаскиваем вторую – всего 7 ручек, из которых не синих – 4.
Вероятность того, что Y=1
3 5 5 3 30
   
, т.к.:
8 7 8 7 56
1) либо, когда мы вытаскиваем первую (синюю) ручку – их в коробке 8, из них 3 –
синих, а когда вытаскиваем вторую (уже не синюю) – всего 7 ручек, из которых не
синих – 5;
2) либо, когда мы вытаскиваем первую (не синюю) ручку – их в коробке 8, из них 5 –
не синих, а когда вытаскиваем вторую (уже синюю) – всего 7 ручек, из которых синих
– 3.
P( H 0 ) 
Вероятность того, что Y=2
3 2 6
P( H 0 )   
, т.к., когда мы вытаскиваем первую ручку – их в коробке 8, из них
8 7 56
3 – синих, а когда вытаскиваем вторую – всего 7 ручек, из которых синих осталось – 2.
Так как значение функции распределения – это сумма вероятностей появления
величин, умноженных на отрезок, на котором достигается величина (все такие отрезки
у нас равны 1, т.к. у нас вероятности посчитаны для величин Y, которые отличаются
на единицу), то,
для х<0, F(x)=0,
20
для 0<=x<=1, F(x)=
56
20 30 50


для 1<x<=2, F(x)=
56 56 56
50 6

1
для x>2, F(x)=
56 56
Окончательно:
x0
 0,
5
 , 0  x  1
F ( x)   14
25
 , 1 x  2
 28
x2
 1,
Для математического ожидания и дисперсии воспользуемся следующими формулами:
M   xi p i и D   ( xi  M ) 2 p i
i
M  0
i
20
30
6 42 21
 1  2 


56
56
56 56 28
D  (0 
21 2 20
21 30
21 6
840 105
)
 (1  ) 2
 (2  ) 2


28 56
28 56
28 56 1568 71
5. Фермер выращивает цыплят. Месячные цыплята в среднем весят 0.8 кг, а
среднеквадратичное отклонение веса 0.2. Найти вероятность того, что каждый из
двух наугад выбранных цыплят весит больше, чем 0.75.
Для начала найдём вероятность того, что один наугад выбранный цыплёнок весит
меньше, чем 0.75. Вероятность этого – значение функции распределения F(x) (в
данном случае – распределения веса) в точке 0.75.
Так как
xa
F ( x)   (
),

где Φ – функция нормального распределения с мат. ожиданием=0 и дисперсией=1,
a – мат. ожидание нашего распределения (среднее)
σ – среднеквадратичное отклонение нашего распределения
0.75  0.8
)  (0.25)  1   (0.25) ={определяем по таблице}=
Тогда F (0.75)   (
0.2
=1-0,5987=0,4013.
/*в таблицах учебников можно встретить функцию распределения Φ, для которой
Φ(0.25)=0.0987. Будьте внимательны: там интеграл от нуля до х, а нам нужна функция
с интегралом от (–бесконечности) до х, и её значение равно 0.5 + (значение функции,
где интеграл взят от нуля до х)*/
Это мы нашли вероятность того, что цыплёнок весит меньше, чем 0.75. А вероятность
того, что он весит больше, равна
p1=1-F(0.75)=0.5987.
А вероятность того, что из двух наугад выбранных цыплят оба одновременно весят
меньше, чем 0.75, равна
p=p1*p1=0.5987*0.5987=0,35844169
6. Проводилось измерение веса 36 наугад выбранных студентов 1-го курса: (кг): 69,
75, 59, 80, 52, 53, 60, 73, 52, 63, 71, 69, 58, 53, 65, 61, 67, 65, 74, 63, 68, 70, 72, 66, 62,
54, 58, 60, 72, 62, 64, 68, 59, 58, 55, 54. Построить вариационный ряд,
эмпирическую функцию распределения, интервальное распределение, гистограмму
частот. Вычислить среднее, выборочную дисперсию, среднеквадратичное
распределение, медиану. Найти доверительный интервал для среднего.
Вариационный ряд – это отсортированный по возрастанию ряд выборочных значений:
52, 52, 53, 53, 54, 54, 55, 58, 58, 58, 59, 59, 60, 60, 61, 62, 62, 63, 63, 64, 65, 65, 66, 67, 68,
68, 69, 69, 70, 71, 72, 72, 73, 74, 75, 80.
Эмпирическая функция (правила построения смотри в зад.4):
 0,
1
 ,
 18
 1,
9
1
 6,
7
 ,
 36
5
 18 ,
1
 ,
3
7,
 18
5
 ,
6
17 ,
 36
 19
 ,
 36
 5,

F ( x)   9
11
 ,
 18
 23
 36 ,
2
 ,
3
 13 ,
 18
7
 ,
9
 29 ,
 36
5
 ,
6
 8,
9
 11
 12 ,
17
 ,
 18
 35
 36 ,
 1,

x  52
52  x  53
53  x  54
54  x  55
55  x  58
58  x  59
59  x  60
60  x  61
61  x  62
62  x  63
63  x  64
64  x  65
65  x  66
66  x  67
67  x  68
68  x  69
69  x  70
70  x  71
71  x  72
72  x  73
73  x  74
74  x  75
75  x  80
x  80
Интервальное распределение:
Ii
52:55
55:58
58:61
mi
7
3
5
Wi=mi/n 0.1944 0.0833 0.1389
61:64
5
0.1389
64:67
4
0.1111
67:70
5
0.1389
70:73
4
0.1111
73:76
2
0.2222
76:80
1
0.1111
Гистограмма частот:
8
7
6
5
4
3
2
1
0
52:55
55:58
58:61
61:64
64:67
67:70
70:73
73:76
76:80
Выборочное среднее:
1
x   xi =63.4444
n i
Выборочная дисперсия:
1
D   ( xi  x ) 2 =52,1358
n i
Среднее квадратическое отклонение:
  D =7,220513
Медианой называется такое значение варьирующего признака, которое приходится на
середину вариационного ряда. В нашем случае число вариант – чётно, поэтому берётся
среднее двух серединных элементов вариационного ряда:
63  63
Me 
 63
2
Доверительный интервал для среднего (при заданной надёжности γ) имеет вид
(x t

;x t

), где t – значение аргумента функции Лапласа Φ(t), при котором
n
n
Φ(t)= γ/2
/*тут имеется в виду функция распределения, у которой интеграл берётся от нуля до
х*/
Возьмём надёжность 0.95. Тогда (по находим по таблице) Φ(1.96)=0.95/2, значит t=1.96
и доверительный интервал будет
7,220513
7,220513
( 63.4444  1.96
) или a принадлежит интервалу
;63.4444  1.96
36
36
( 61,0857;65,8031 )
Вариант 2.
1. На книжной полке расположено 5 книжек по математике и 3 – по физике. Наугад
выбирают 2 книжки. Найти вероятность того, что а) выбранные книжки – по
математике; б) одна книжка по математике, а вторая – по физике.
5 4 5
а) p    т.к. когда берём первую книгу, на полке стоят 8 книг, 5 из которых –
8 7 14
по математике, а когда берём вторую – 7 книг, из которых осталось 4 по математике.
5 3 3 5 15
б) p     
, т.к. мы
8 7 8 7 28
либо первой достаём первой одну из 5 книг по математике среди 8ми на полке, а
второй – одну из 3х книг по физике среди оставшихся 7ми на полке,
либо первой достаём одну из 3 книг по физике среди 8ми на полке, а второй – одну из
5ти книг по математике среди оставшихся 7ми на полке.
2. Хлебопекарня выпекает 70% продукции из пшеницы высшего сорта и 25% из
пшеницы первого сорта. Какая вероятность того, что среди двух наугад выбранных
изделий будет: а) только одно изделие из пшеницы первого сорта; б) два одного и
того же сорта.
а) Т.к. одно должно быть первого сорта, и, одновременно, второе – не первого сорта,
перемножаем вероятности этих событий:
p=0.25*(1-0.25)
б) Аналогично, вероятность, что оба – высшего сорта, = 0.7*0.7, что оба – первого
сорта, = 0.25*0.25, и что оба – «оставшегося» сорта, = 0.05*0.05 (раз 95% продукции –
либо первый, либо высший сорт, то должны быть ещё 5% какого-то «третьего» сорта),
тогда вероятность, что произойдёт одно из этих событий – сумма их вероятностей:
p=0.72+0.252+0.052=0.555
3. Вероятность попадания при одном выстреле стрелка равняется 0.7. Какая
вероятность того, что: а) при 7 выстрелах один промах; б) при 70 выстрелах 5
промахов.
а) Очевидно, что вероятность одного промаха и, одновременно с этим, шести
попаданий равна:
p=(1-0.7)*0.76=0,0352947
б) Так как количество событий велико, воспользуемся приближённой формулой
Пуассона:
k
e  ( ãäå  n  p)
k!
Получим
(70  0.3) 5 700.3
, т.к. n=70 – количество испытаний в серии, k=5 - количество
P70 (5) 
e
5!
успехов (успехом будем считать промах), а вероятность успеха каждого испытания –
p=0.7.
Вычисляя, получим:
P70(5)≈0.0000258
Pn (k ) 
4. Подкидывают 3 монеты. Вероятность выпадения «герба» для одной монеты 0.6, а
для других – 0.5; Х – количество выпадений «герба». Найти распределение Х, его
математическое ожидание и дисперсию.
Для того, чтобы найти функцию распределения, найдём вероятности того, что Х равно
0, 1, 2 и 3.
Вероятность того, что Х=0
Р(Н0)=0.4*0.5*0.5=0.1 – все монеты выпали «решкой»
Р(Н1)=0.6*0.5*0.5 + 0.4*0.5*0.5 + 0.4*0.5*0.5=0.35 – либо первая выпала решкой
(остальные - гербами), либо вторая (остальные - гербами), либо третья (остальные гербами).
Р(Н2)=0.6*0.5*0.5 + 0.4*0.5*0.5 + 0.6*0.5*0.5=0.4 – либо первая и вторая выпали
решкой (третья - гербом), либо вторая и третья (первая - гербом), либо первая и третья
(вторая - гербом).
Р(Н3)=0.6*0.5*0.5=0.15 – все выпали гербом
Так как значение функции распределения – это сумма вероятностей появления
величин, умноженных на отрезок, на котором достигается величина (все такие отрезки
у нас равны 1, т.к. у нас вероятности посчитаны для величин Х, которые отличаются
на единицу), то,
для х<0, F(x)=0,
для 0<=x<=1, F(x)= 0.1
для 1<x<=2, F(x)= 0.35+0.1=0.45
для 2<x<=3, F(x)= 0.4+0.45=0.85
для x>3, F(x)= 1
Окончательно:
x0
 0,
 0.1, 0  x  1

F ( x)  0.45, 1  x  2
0.85, 2  x  3

 1,
x3
Для математического ожидания и дисперсии воспользуемся следующими формулами:
M   xi p i и D   ( xi  M ) 2 p i
i
i
М=0*0.1+1*0.35+2*0.4+3*0.15=1.6
D=(0-1.6)20.1+(1-1.6)20.35+(2-1.6)20.4+(3-1.6)20.15=0,584
5. Найти вероятность события {2<x<2.5}, если случайная величина Х имеет функцию
x2
 0,

распределения: F ( x)  ( x  2) 2 , 2  x  3
 1,
x3

По определению
Р{2<x<2.5}=F(2.5)-F(2)=(2.5-2)2-0=0.25
6. (см. выше - вариант 1)
Примерный перечень вопросов к зачету.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Множества, подмножества, операции над ними: пересечение множеств, объединение,
вычитание, дополнение до множества.
Примеры множеств: рациональные, действительные, иррациональные числа.
Соответствия. Отображения.
Отношения на множестве. Определение понятий.
Высказывания. Высказывательные формы.
Таблицы истинности. Отрицание простых и составных высказываний. Операции над
высказываниями.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Законы математической логики.
Высказывания с кванторами. Их отрицание. Отношение логического следования и
равносильности.
Понятие стохастического опыта и случайного события. Классификация событий.
Полная группа событий.
Изображение событий. Операции над событиями. Классическое определение
вероятности случайного события.
Свойства вероятности.
Применение комбинаторики при вычислении вероятностей.
Относительная частота случайного события и ее свойства. Статистическая
вероятность. Геометрические вероятности.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий, ее следствия.
Независимые события. Теорема умножения вероятностей независимых событий, ее
следствия.
Зависимые события. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей
зависимых событий.
Теорема сложения вероятностей совместных событий и ее следствия.
Формула полной вероятности. Вероятности гипотез. Формулы Байеса.
Повторные независимые испытания. Формулы Бернулли и Пуассона.
Генеральная и выборочная совокупности. Виды выборок.
Способы отбора. Вариационный ряд. Статистическое распределение выборки.
Основные характеристики вариационного ряда.
Выборочная функция распределения. Полигоны и гистограммы.