вероят~6

XV. ПРИМЕРЫ ВЕРОЯТНОСТНЫХ СХЕМ. Покажем, что ранее рассмотренные подходы к понятию вероятности могут быть описаны с помощью аксиоматического построения теории вероятностей.
1. Классическая схема. Пусть   {1 ,  2 , ...,  m } ,    () . Возьмем
A   . Положим p ( A) 
A
m
, где A - число элементов множества А. Отобра-
жение p :  [0, 1] , заданное равенством
p ( A) 
A
m
,
(15.1)
удовлетворяет аксиомам вероятности 1. и 2. Действительно, p( A) 
p() 
A
m
0 и
m
 1 . Покажем, что выполнена также аксиома аддитивности. Пусть
m
A  , B   и A  B =.
p( A  B) 
A B
m

AB
m
В

A
m
этом

B
m
случае
A B  A  B .
Поэтому
 p( A)  p( B) .
Эта схема называется классической. При A   i  равенство (15.1)
примет вид: p ( A) 
1
. Следовательно,
m
p1   p 2   ...  p m  
1
,
m
(15.2)
т.е. события, состоящие из одного элементарного события, равновероятны.
Ясно, что в тех случаях, когда применимо классическое определение вероятности, можно с помощью (15.1) и (15.2) построить соответствующую классическую схему. Таким образом, при аксиоматическом построении теории вероятностей описывается, в частности, классический подход, базирующийся
на классическом определении понятия вероятности. Классическая схема
служит моделью при описании задач из области азартных игр, лотереи и т.д.
2. Дискретное вероятностное пространство. Схема с дискретным пространством элементарных событий.
Пусть   1 ,  2 , ...  - конечное или счетное множество, а    () .
Будем также предполагать, что задана конечная, если  - конечное множество, или бесконечная, если  - счетное множество, последовательность неотрицательных чисел
p1 , p 2 , p3 , ...,
удовлетворяющих условию
p1  p 2  p3  ...  1.
Если A   , то полагаем
p( A)   pi ,
где суммирование ведется по всем таким i , для которых  i  A .
Так введенное отображение р удовлетворяет аксиомам 1 и 2:
p( A)  0 и p()  1.
Осталось проверить выполнение аксиомы счетной аддитивности. Сначала предположим, что   {1 ,  2 , ...,  k } - конечное множество. В этом
случае можно ограничиться аксиомой аддитивности 3. Пусть A  { i1 ,...,  im }
и B  { j1 ,...,  js } , где A  B  , m  s  k . Тогда
A  B  { i1 ,...,  im ,  j1 ,...,  js } и
p( A  B)  pi1  ... pim  p j1  ... p js  p( A)  p( B).
Теперь обратимся к случаю, когда   {1 ,  2 , ...,  n , ...}- бесконечное
счетное множество. По условию сумма ряда

 p n равна
1. Выделим из по-
n 1
следовательности натуральных чисел 1, 2, …, n, … некоторую возрастающую
подпоследовательность n(1), n(2), …, n(k),… . Тогда легко проверить, что ряд

 pn(k )
(1)
k 1
также сходится и его сумма  1. Пусть подпоследовательность
n(1), n(2), …, n(k),… разложена каким-либо образом на бесконечное множество возрастающих подпоследовательностей
m(1,1), m(1, 2), ..., m(1, l ), ...
m(2,1), m(2, 2), ..., m(2, l ), ...
............................................
(2)
m(k ,1), m(k , 2), ..., m(k , l ), ...
.............................................
При этом каждое из натуральных чисел n(1), n(2), …, n(k),… входит в одну и
только одну из подпоследовательностей (2) и притом по одному разу. Справедливо следующее утверждение.
Лемма 1 Ряд
( p m (1,1)  p m (1, 2)  ...  p m (1, l )  ...)  ( p m ( 2,1)  p m ( 2, 2 )  ...  p m ( 2, l )  ...) 
( p m ( k ,1)  p m ( k , 2)  ...  p m ( k , l )  ...)  ...
сходится и его сумма совпадает с суммой ряда (1).
Из этой леммы вытекает справедливость аксиомы счетной аддитивности.
3. Геометрическая вероятностная схема. Пусть опыт состоит в том, что
на отрезок [a, b] наугад бросается точка. Найти вероятность события А =
[точка попала на отрезок [c, d]], где [c, d] – заданный отрезок, лежащий на
[a, b]. В примере 14.1 указано, что естественно положить   [a, b] , а за  алгебру принять семейство всех борелевских множеств, лежащих на [a, b].
Здесь возникает трудность, связанная с определением понятия длины борелевского множества. Затем мы должны проверить выполнение аксиомы счетной аддитивности. Эти проблемы решаются с помощью введения так называемой меры Лебега: на некотором семействе линейных множеств, содержащем борелевские множества, можно так ввести понятия длины множества,
что будет выполнятся аксиома 3. При этом для всякого отрезка [c, d] его мера
Лебега [c, d ] будет совпадать с длиной d – c этого отрезка. Пусть A1   , то
есть A1 - борелевское множество, лежащее на [a, b]. Тогда полагаем
p( A1 ) 
 ( A1 )
ba
. Так введенное отображение p :    удовлетворяет всем
трем аксиомам вероятностной меры.
Аналогичное построение вероятностной схемы можно провести в двумерном случае, когда   2 и  является семейством плоских борелевских
множеств, лежащих на .
Таким образом, если имеется задача на геометрическую вероятность,
то эту задачу можно описать с помощью геометрической вероятностной схемы.
Примеры на геометрическую вероятность были рассмотрены во второй
части (см. п. VIII).
4. Схема Бернулли. Пусть  состоит из 2n точек и    () . Элементы
множества  будет обозначать  i1i2 ...in , где i j  0 или 1 при j = 1, 2,…, n, т.е.
  { 00...000 ,  00...001,  00...010 , ...,11...101, 11...10 , 11...111}. Пусть задано также неко-
торое положительное число p, меньшее единицы. Обозначим q  1  p . Каждому
одноточечному
подмножеству
{ i1i2 ...in }
припишем
вероятность
p { i1i2 ...in } . Полагаем p { i1i2 ...in }  p k q nk , если строки индексов (i1 i2 ...in ) со-
держит
ровно
k
единиц.
Получим
числа
p1 , p2 , ..., p n ,
2
где
p1  p{ 00...000}  p 0 q n  q n ,
p2  p{ 00...001}  p q n1 ,
p3  p{ 00...010}  p q n1  p2 ,
p4  p{ 00...011}  p 2 q n2 ,
p5  p{ 00...0100}  p q n1 , p 2n 3  p{11...100}  p n2 q 2 , p 2n 2  p{11...101}  p n1 q ,
p
2 n 1
 p{11...110}  p n1 q , p
2n
 p{11...111}  p n .
Если A   , то полагаем p( A)   p j , где суммирование ведется по тем
значениям j, которым соответствуют элементарные события  i1 i2 ...in , входящие в A. Например, если A  { i1 i2 ...in / строка (i1 i2 ...ik ) имеет ровно k единиц}, то p( A)  Cnk p k q nk . Получили дискретное вероятностное пространство
(, , p) , зависящее от двух параметров n и p. Эта вероятностная схема назы-
вается схемой Бернулли или схемой независимых испытаний. Обычно n ин-
терпретируется как число независимых испытаний, а p – вероятность успеха
в каждом испытании.
Из вышесказанного вытекает, что язык теории вероятностей есть язык
теории множеств, точнее язык теории меры. Между тем прикладные задачи
формулируются на другом языке, где вообще нет упоминания о множестве.
Поэтому при разборе конкретных задач мы предварительно должны осуществить перевод с практического языка на язык теории вероятностей, т.е. построить вероятностное пространство. Однако обычно построение конкретного вероятностного пространства будем проводить лишь в тех случаях, когда
отсутствие вероятностного пространства может затруднить понимание рассматриваемой задачи. Отметим также, что не всегда выбор вероятностного
пространства однозначно определяется условиями задачи. Иногда при выборе вероятностного пространства приходится обращаться к эксперименту (см.
пример 9.3).